Mécanique

Mécanique
Dynamique
Mechanics
Dynamics
Ref :
243 007
243 008
243 009
Français – p 1
Chute dans un fluide
English – p 11
Fall in a fluid
Version : 9001
Mécanique
Chute dans un fluide
Ref :
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243 008
243 009
1 Description
Dispositif permettant de visualiser les phases d’accélération et de vitesse
limite lors de la chute d’une bille dans un fluide.
L’ensemble se compose d’un tube en plastique rempli par un fluide
transparent contenant une bille. Le tube est fermé à chaque extrémité par un
socle sérigraphié avec les caractéristiques du tube et de la bille.
Le centrage de la bille se fait automatiquement grâce à un cône situé au
niveau des embases.
Pour amener la bille en position haute, le tube doit être retourné en plaçant
un aimant ferrite (non fourni) sous le socle : la bille possédant un noyau
magnétique reste ainsi plaquée contre le socle.
Le lâcher de la bille se fait ensuite en décollant verticalement l’aimant du
socle.
Matériel complémentaire
Aimants ferrites
Réf. 263 016
Logiciel vidéo Cinéris
Réf. 000 344
Chute dans un fluide 1 ou 2 ou 3
Réf. 243 007 ou 243 008 ou 243 009
Webcam
2 Caractéristiques techniques
•
Masse volumique du fluide : 860 kg.m-3
•
Masse volumique de la bille :
2690 kg.m-3 (Réf. 243 007)
4460 kg.m-3 (Réf. 243 008)
7790 kg.m-3 (Réf. 243 009)
•
Rayon de la bille : 12,5 mm
•
Modèle théorique pour la force de frottement :
F = k.v (Réf. 243 007 et 243 008)
F = k.v² (Réf. 243 009)
FRANÇAIS
•
Dimensions du tube : Φ 50 x 500 mm
•
Dimensions totales : Φ 130 x 500 mm
•
Masse totale : 1,4 kg
•
Garantie : 2 ans
1
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Chute dans un fluide
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3 Manipulations
3.1 La nature et le rôle de l’expérience
Etude de la chute de différents objets (même forme, même volume et masse
différente) dans l’huile de paraffine.
Mise en évidence de l’existence de deux phases dans le mouvement :
•
1ère phase, le système accélère (régime initial).
•
2ème phase, le système se déplace à vitesse constante (régime
asymptotique).
Notion de vitesse limite (dépend uniquement de la masse de l’objet).
Application de la seconde loi de Newton :
•
1ère phase, établir l’équation différentielle du mouvement.
•
2ème phase, appliquer le principe d’inertie (mouvement rectiligne
uniforme du centre d’inertie du système).
3.2 Le matériel utilisé
•
Une caméra (webcam) ToUcam pro de Philips.
•
Un ordinateur
•
Le logiciel vidéo Cinéris
•
Chute de bille 1, 2 et 3. (Chaque tube contient une bille sphérique.
Elles sont de même volume, de même état de surface et de masses
différentes.)
•
Un aimant pour déclencher la chute de la bille.
3.3 Le déroulement de l’expérience
À l’aide d’une webcam, filmer la chute de trois billes dans l’huile de paraffine.
Le choix des masses volumiques des billes est tel que le mouvement
présente deux phases (une phase accélérée, une phase uniforme) mais
avec des différences quant à la durée de ces phases.
Créer des fichiers Chute bille n.avi et les exploiter.
Le traitement graphique de ces fichiers vidéos, à l’aide du logiciel Cinéris,
conduit à la création de courbes traduisant le mouvement des billes.
Ces courbes font apparaître les phases du mouvement de la chute des billes
et montrent l’évolution de la vitesse. L’un des objectifs est de montrer
expérimentalement l’influence de la masse sur la durée des phases du
mouvement et sur la valeur de la vitesse limite.
FRANÇAIS
2
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Chute dans un fluide
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•
dv
Une étude théorique permet d’établir l’équation différentielle
suivante :
= −
dt
dv
= −
dt
k.v
ρb.V
k.v
+ g(1 −
2
ρb.V
+ g(1 −
ρf
ρb
(si le frottement est modélisé par F = k.v)
)
ρf
ρb
)
(si le frottement est modélisé par F = k.v2)
La résolution de cette équation peut être réalisée par la méthode d’Euler.
Enfin on établit l’expression de la vitesse limite en fonction des paramètres :
vL =
vL =
ρb.V.g - ρf .V.g
k
ρb.V.g - ρf .V.g
k
(si le frottement est modélisé par F = k.v).
(si le frottement est modélisé par F = k.v2).
vL : vitesse limite (m.s-1).
ρb et ρf : masses volumiques de la bille et du liquide (ou fluide) (kg.m-3).
g : valeur du champ de pesanteur (m.s-2) ou (N.kg-1).
V : volume de la bille (m-3).
k : coefficient de frottement fluide (kg.s-1 ou kg.m-1 selon le modèle adopté).
3.4 La réalisation du montage et les réglages
™ Réglages préliminaires
Astuce
•
Poser la webcam sur un plan horizontal.
•
Pour l’arrière plan du film, prévoir une planche, en
bois ou en carton, recouverte d’un tissu (bleu, vert
ou gris) ou peinte dans ces mêmes couleurs.
•
Placer la webcam de façon à avoir toute la hauteur
des tubes dans le champ.
•
S'assurer que l'échelle graduée (une règle plate convient bien) se
trouve dans le champ de la caméra et dans le plan du mouvement.
Faire un signe avec
la main libre au
moment du lâcher de
bille pour faciliter la
recherche du début
de la séquence sur la
vidéo.
™ Acquisition des images
FRANÇAIS
•
Ouvrir Cinéris. Une partie de l’écran est représentée (Figure 1).
•
Choisir l’onglet Paramétrage Vidéo. Un nouvel écran apparaît
(Figure 2)
3
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Paramétrage
des entrées
vidéos
Démarrage de
l’acquisition
Figure 2
Figure 1
™ Paramétrage des entrées vidéos
Le paramétrage de la webcam est celui du modèle ToUcam de Philips.
•
Décocher le Réglage entièrement automatique (Figure 3) et choisir
le nombre d’Images par secondes. Les chutes avec frottements
sont lentes, 25 ou 30 images par seconde suffisent.
Figure 3
FRANÇAIS
Figure 4
•
Cliquer sur l’onglet Commandes caméra. Si l’objet n’est pas net sur
la vidéo (exemple : balle qui laisse une trace au lieu d’un point) alors
il faut augmenter la Vitesse d’obturation après avoir décoché la
case Automatique.
•
Mais il faut sans doute apporter de la lumière à l’aide de projecteurs,
pour cela élever le Gain et éviter le phénomène d’oscillation en
cliquant sur la case Marche qui se trouve dans Sans Oscillation.
4
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D’ailleurs pour des vidéos en intérieur, il est souvent indispensable de
cocher cette dernière case.
•
Terminer les réglages des Commandes caméra en cliquant sur
Fermer (Retour sur l’écran de la figure 2).
•
Choisir Acquisition rapide pour retourner sur l’écran de la Figure 1
et confirmer le nombre d’images par secondes (30 dans notre cas).
•
Préciser aussi la durée du film (une durée de 10 secondes semble
être bien adaptée dans cette expérience).
•
Donner un nom au fichier et démarrer l’acquisition en cliquant sur
l’icône :
Remarque :
Pendant l’enregistrement vidéo l’image est fixe.
S’il y a perte d’image essayer à nouveau en diminuant le
nombre d’images par seconde.
™ Montage de la vidéo
Nous allons maintenant sélectionner la partie utile de la vidéo.
•
Choisir l’onglet Montage à gauche (Figure 1). Vous atteignez l’écran
de la Figure 5.
Figure 5
FRANÇAIS
•
Faire défiler le film, image par image, et s’arrêter sur celle du début
du mouvement. Enlever alors toute la partie précédente en cliquant
sur les ciseaux Début.
•
Faire à nouveau défiler le film image par image et s’arrêter sur la
dernière image choisie.
•
Enlever alors toute la partie suivante en cliquant sur les ciseaux Fin.
•
Cliquer ensuite la case Choix du mode de compression et sur
l’icône représentée par une disquette :
•
Choisir Codec Cinepak de Radius dans Compresseur (Figure 6).
•
Donner un nom au fichier.
5
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Chute dans un fluide
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Figure 6
™ Traitement de la vidéo
•
Choisir l’onglet Traitement manuel à gauche. Vous êtes sur l’écran
de la Figure 7.
Figure 7
•
Faire l’étalonnage, le paramétrage et le traitement (clic sur :
mouvement enregistré.
•
Enfin cliquer sur l’onglet Tableau ou Graphique pour passer à
l’exploitation des courbes obtenues.
) du
3.5 L’exploitation des mesures
L’outil Droite, utilisé directement sur le graphe, ou le calcul de la vitesse (par
la création de la dérivée de y(t)) montre que chaque bille atteint une vitesse
limite.
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Chute dans un fluide
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™ La chute dans le tube 1 : la masse volumique de
la bille est ρb = 2,69.103 kg.m-3
La mesure de la vitesse limite vL est donnée par le coefficient directeur de la
droite y1L(t) qui modélise la partie rectiligne de la courbe y1(t).
La vitesse limite atteinte par la bille dans le tube 1 est vL = 0,406 m.s-1.
™ La chute dans le tube 2 : la masse volumique de
la bille est ρb = 4,46.103 kg.m-3
La vitesse limite atteinte par la bille dans le tube 2 est vL = 0,723 m.s-1.
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™ La chute dans le tube 3 : la masse volumique de
la bille est ρb = 7,79.103 kg.m-3
La vitesse limite atteinte par la bille dans le tube 3 est vL = 1,09 m.s-1.
™ La vitesse v(t) des billes : représentation et
mesure des vitesses limite et initiale
L’exemple de la chute dans le tube 1
vL = 0,406 m.s
v0 = 0,28 m.s
-1
-1
tL = 200 ms
L’affichage de la courbe v1(t), c’est-à-dire la dérivée y’1 de la courbe y1,
montre l’évolution de la vitesse. Celle-ci devient à peu près constante au
bout d’une durée tL ≈ 200 ms.
Les résultats des mesures pour les trois tubes
FRANÇAIS
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Chute dans un fluide
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Tube
Vitesse initiale de
-1
la bille (en m.s )
Vitesse limite de
-1
la bille (en m.s )
1
0,28
0,406
2
0,50
0,723
3
0,57
1,09
™ L’étude dynamique de la chute d’une bille
•
Bilan des forces :
Attraction terrestre (poids) : P = m.g = ρb.V.g
Frottement fluide : F
Poussée d’Archimède : A = ρf.V.g
(avec V volume de la bille : V =
•
4πR 3
)
3
Cas où le frottement est modélisé par F = k.v
Application de la 2° loi de Newton :
m.
dv
= - k.v + m.g - ρf.V.g
dt
(avec : m = ρb.V)
dv
= 0, la bille a un mouvement rectiligne
dt
uniforme, ce qui revient à appliquer la 1° loi de Newton :
Si v = vL (constante) alors
vL =
Dans ce cas :
ρb.V.g - ρf .V.g
k
ou vL =
m.g - ρf .V.g
k
On constate que vL augmente avec la masse m.
•
Cas où le frottement est modélisé par F = k.v2
Application de la 2° loi de Newton :
m.
dv
= -k.v2 + m.g - ρf.V.g
dt
dv
= 0, la bille a un mouvement rectiligne
dt
uniforme ce qui revient à appliquer la 1° loi de Newton. Dans ce cas :
Si v = vL (constante) alors
vL =
ρb.V.g - ρf .V.g
k
ou vL =
m.g - ρf .V.g
k
On vérifie ainsi que, plus m = ρb.V est grand, plus la vitesse limite vL est
grande.
FRANÇAIS
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Chute dans un fluide
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™ La valeur du coefficient de frottement fluide
L’étude des graphes des chutes de billes permet d’obtenir la valeur
expérimentale de la vitesse limite atteinte : vL.
Les expressions de vL précédentes donnent :
•
•
pour le modèle F = k.v
k
pour le modèle F = k.v2
V.g (ρ b - ρ f )
=
vL
V.g (ρb - ρf )
k =
2
vL
3.6 Conclure
™ Le cas où le frottement est modélisé par F = k.v
Expression de l’équation différentielle sous la forme :
m.
ρb.V.
dv
dv
dt
dv
= −a.v + b
dt
dv
= - a.v + b:
dt
dv
= -k.v + m.g - ρf.V.g
dt
= − k.v + ρb.V.g − ρf .V.g
dt
=
avec
−
k.v
+
ρb.V
a =
g(1 −
k
ρb.V
et
ρf
ρb
)
b = g(1 −
ρf
ρb
)
™ Le cas où le frottement est modélisé par F = k.v2
On retrouve :
a =
k
ρb.V
et
b = g(1 −
ρf
ρb
)
4 Service après vente
La garantie est de 2 ans, le matériel doit être retourné dans nos ateliers.
Pour toutes réparations, réglages ou pièces détachées, veuillez contacter :
JEULIN - SUPPORT TECHNIQUE
Rue Jacques Monod
BP 1900
27 019 EVREUX CEDEX FRANCE
0 825 563 563 *
* 0.15 € TTC/ min à partir d’un poste fixe
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Fall in a fluid
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1 Description
A device that helps display the acceleration phases and the terminal velocity
during the fall of a ball in a fluid.
The assembly consists of a plastic tube filled with a transparent fluid and a
ball. The tube is closed at both ends with a base screen-printed with the
characteristics of the tube and the ball.
The ball is centred automatically with a cone located on the bottom plates.
To bring the ball to the high position, the tube must be turned over by placing
a ferrite magnet (not supplied) under the base: the centre of the ball being
magnetic, the ball remains stuck to the base.
The ball is released by vertically removing the magnet from the base.
Additional equipment
Ferrite magnets
Part no. 263 016
Generis 5+ software
Part no. 000 720
Fall in fluid 1 or 2 or 3
Part no. 243 007 or 243 008 or 243 009
Webcam
2 Technical characteristics
•
Density of the fluid: 860 kg.m-3
•
Density of the ball :
2690 kg.m-3 (Part no. 243 007)
4460 kg.m-3 (Part no. 243 008)
7790 kg.m-3 (Part no. 243 009)
•
Radius of the ball: 12.5 mm
•
Theoretical model for the frictional force:
F = k.v (Part no. 243 007 and 243 008).
F = k.v² (Part no. 243 009)
•
Dimensions of the tube: Φ 50 x 500 mm
•
Overall dimensions: Φ 130 x 500 mm
•
Total mass: 1.4 kg
•
Guarantee: 2 years
3 Experiments
3.1 The nature and the role of the experiment
Study of the fall of different objects (same shape, same volume and different
mass) in paraffin.
Demonstration of the existence of two phases in the movement:
•
ENGLISH
1st phase, the system accelerates (initial state)
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Mechanics
Fall in a fluid
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•
2nd phase, the system moves at a constant velocity (asymptotic
state).
Concept of terminal velocity (depends only on the mass of the object)
Application of Newton’s second law:
•
1st phase, establish the differential equation of movement
•
2nd phase, apply the principle of inertia (uniform rectilinear motion of
the system’s centre of inertia).
3.2 Equipment used
•
ToUcam pro Philips webcam.
•
A computer
•
Generis 5+ software
•
Fall of ball 1, 2 and 3. (Each tube contains a spherical ball. They all
have the same volume, same surface finish but different masses)
•
A magnet to start the fall of the ball.
3.3 Experimental procedure
Using the webcam, record the fall of the three balls in paraffin.
The density of the balls is chosen in such a way that the movement presents
two phases (an accelerated phase, a uniform phase) but with differences in
the duration of these phases.
Create Chute bille n.avi files and process them.
The graphic processing of these video files using the Generis software leads
to the creation of curves reproducing the movement of the balls.
These curves show the phases of the movement of the balls’ fall and the
variation of the velocity. One of the objectives is to experimentally show the
influence of mass on the duration of the phases of the movement and on the
value of the terminal velocity.
•
dv
dt
dv
dt
A theoretical study helps establish the following differential equation:
= −
= −
k.v
ρb.V
k.v
+ g(1 −
2
ρb.V
+ g(1 −
ρf
ρb
(if the friction is modelled by F = k.v)
)
ρf
ρb
)
(if the friction is modelled by F = k.v2)
This equation can be solved by Euler’s method.
ENGLISH
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Mechanics
Fall in a fluid
Ref :
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243 008
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Finally the expression of the terminal velocity in function of the following
parameters can be established:
vL =
vL =
ρb.V.g - ρf .V.g
k
ρb.V.g - ρf .V.g
k
(if the friction is modelled by F = k.v)
(if the friction is modelled by F = k.v2)
vL: terminal velocity (m.s-1).
ρb and ρf: density of the ball and the liquid (or fluid) (kg.m-3).
g: value of the gravitational field (m.s-2) or (N.kg-1).
V: volume of the ball (m-3).
k: friction coefficient of the fluid (kg.s-1 or kg.m-1 according to the model
used).
3.4 Setting up and adjustments
™ Preliminary adjustments
•
Place the webcam on a horizontal plane
•
For the background of the film, use a plank in wood or
cardboard covered with a cloth (blue, green or grey) or
painted with these colours
•
Place the webcam in such a way that the entire height
of the tube is in the field of view
•
Ensure that the graduated scale (a flat ruler will also
do) is within the camera’s field and in the plane of the movement.
Tip
Make a sign with
the free hand
when releasing
the ball to make it
easier to find the
start
of
the
™ Acquisition of images
•
Open Generis. A part of the screen is shown (Figure 1).
•
Select the Video Parametering tab. A new screen appears (Figure
2)
Parametering
video inputs
Starting the
acquisition
Figure 1
ENGLISH
Figure 2
13
Mechanics
Fall in a fluid
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243 008
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™ Parametering of video inputs
The parametering of the webcam is that of the ToUcam Philips model.
•
Uncheck Fully automatic adjustment (Figure 3) and select the
number of Images per second. The falls with friction are slow, 25 to
30 images per second are sufficient
Figure 4
Figure 3
•
Click on the Video camera commands tab. If the object is not clear
in the video (for example: ball leaves a trace instead of a point) then
the Shutter Speed must be increased after unchecking the
Automatic box
•
Spotlights must be used for lighting. For this, increase the Gain and
eliminate oscillations by clicking on Run located in Without
Oscillation. However, for indoor videos it is often necessary to
select this box
•
Complete the adjustment of the Video camera commands by
clicking on Close (Return to the screen as in figure 2)
•
Select Quick Acquisition to return to the screen of Figure 1 and
enter the number of images per second (in this case 30)
•
Mention the duration of the recording (a duration of 10 seconds
seems to be appropriate for this experiment)
•
Name the file and start the acquisition by clicking on the following
icon:
Note:
The image is fixed during the video recording.
If there is a loss of images try again by reducing the number
of images per second.
™ Setting up the video
We will now select the useful part of the video.
•
ENGLISH
Select the Set-up tab on the left (Figure 1). The screen in Figure 5 is
displayed
14
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Fall in a fluid
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Figure 5
•
Fast-forward the film, image-by-image and stop at the beginning of
the movement. Then delete the entire previous part by clicking on
the scissors Start tool
•
Then fast forward the film again image by image till the last selected
image and stop on it
•
Then delete the entire part that follows by clicking on the scissors
End tool
•
Then click on the Choice of compression mode box and on the
icon represented by a floppy disk:
•
Select Radius Cinepak Codec in Compression (Figure 6)
•
Name the file.
Figure 6
™ Processing the video
•
ENGLISH
Select the Manual Processing tab on the left. You are on the
screen displayed Figure 7.
15
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Fall in a fluid
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Figure 7
•
Carry out the calibration, parameterisation and processing (click on:
) of the movement recorded
•
Finally click on the Table or Graph tab to process the curves
obtained.
3.5 Processing the measurements
The Straight line tool used directly on the graph or calculating the velocity (by
calculating the derivative of y(t)) shows that each ball attains a terminal
velocity.
ENGLISH
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Fall in a fluid
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™ Fall in tube 1: The density of the ball is
ρb = 2.69.103 kg.m-3
The measurement of the terminal velocity vL is given by the slope of the line
y1L(t), which models the straight-line portion of the curve y1(t).
The terminal velocity attained by the ball in tube 1 is vL = 0.406 m.s-1.
™ Fall in tube 2: The density of the ball is
ρb = 4.46.103 kg.m-3
The terminal velocity attained by the ball in tube 2 is vL = 0.723 m.s-1.
ENGLISH
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Fall in a fluid
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™ Fall in tube 3: The density of the ball is
ρb = 7.79.103 kg.m-3
The terminal velocity attained by the ball in tube 3 is vL = 1.09 m.s-1.
™ The velocity v(t) of the balls: representation and
measurement of the terminal and initial velocities
Example of fall in tube 1.
vL = 0.406 m.s
v0 = 0.28 m.s
-1
-1
tL = 200 ms
ENGLISH
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Fall in a fluid
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The display of the curve v1(t), that is to say the derivative y’1 of the curve y1,
shows the change in velocity. It becomes more or less constant after a
duration of tL ≈ 200 ms.
The results of the measurements for the three tubes.
Initial velocity of the
-1
ball (in m.s )
Terminal velocity of the
-1
ball (in m.s )
1
0.28
0.406
2
0.50
0.723
3
0.57
1.09
Tube
™ Dynamic study of the fall of a ball
•
Force assessment:
Gravitational pull of the Earth (weight): P = m.g = ρb.V.g
Fluid friction: F
Buoyancy: A = ρf.V.g
(with V as volume of the ball: V =
•
4πR 3
)
3
Case where the friction is modelled by F = k.v
Application of Newton’s second law:
m. = - k.v + m.g - ρf.V.g
(where: m = ρb.V)
dv
= 0, the ball has a uniform rectilinear motion
If v = vL (constant) then
dt
which leads to the application of Newton’s First Law:
vL =
In this case:
ρb.V.g - ρf .V.g
k
or vL =
m.g - ρf .V.g
k
We observe that vL increases with the mass m.
•
Case where the friction is modelled by F = k.v2
Application of Newton’s second law:
m.
dv
= - k.v2 + m.g - ρf.V.g
dt
dv
= 0, the ball has a uniform rectilinear motion
dt
which leads to the application of Newton’s First Law. In this case:
ρb.V.g - ρf .V.g
m.g - ρf .V.g
or vL =
vL =
k
k
If v = vL (constant) then
We note, that the greater the value of m = ρb.V, the greater the terminal
velocity vL.
ENGLISH
19
Mechanics
Fall in a fluid
Ref :
243 007
243 008
243 009
™ Value of the fluid friction coefficient
The study of the graphs of the fall of balls helps obtain the experimental
value of the terminal velocity attained: vL.
The previous expressions of vL lead to:
=
•
For the F = k.v model
k
•
For the F = k.v2 model
k =
V.g (ρ b - ρ f )
vL
V.g (ρb - ρf )
2
vL
3.6 Conclusion
™ Case where the friction is modelled by F = k.v
Expression of the differential equation in the following form:
dv
= -k.v + m.g - ρf.V.g
dt
m.
ρ b .V.
dv
dt
dv
dt
dv
= −a.v + b
dt
dv
= - a.v + b:
dt
= − k.v + ρ b .V.g − ρ f .V.g
=
−
k.v
ρb.V
where a =
+
g(1 −
k
ρb.V
ρf
ρb
)
and
b = g(1 −
ρf
ρb
)
™ Case where the friction is modelled by F = k.v2
a =
We find:
k
ρb.V
and
b = g(1 −
ρf
ρb
)
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