Modélisation des systèmes dynamiques

Modélisation des systèmes dynamiques
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Modél i s at i on des s ys t èmes dynami ques
1. Cadre de l’étude.
Le système asservi réel est complexe et imparfait. Pour avoir une idée du comportement du système
asservi réel, nous allons étudier le comportement du modèle parfait.
Tous nos systèmes et sous systèmes seront modélisés par des Systèmes Dynamiques Linéaires
Continus et Invariants (S.D.L.C.I.). S’il est impossible de modéliser notre système dynamiques par un
SDLCI, alors nous ne serons pas capable d’avoir une idée de son comportement par les méthodes qui vont
suivre.
Définition d’un système dynamique linéaire continus et invariant (S.D.L.C.I.) :
Entrée e(t)
Système Dynamique
Linéaire Continu Invariant
Sortie s(t)
•
Système : il réagit à une sollicitation extérieure (entrée paramétrée par e(t)) à sa manière. Sa réaction
est paramétrée par la sortie s(t).
•
Dynamique : on appelle système dynamique, tout système dont l’étude ne peut se faire qu’en tenant
compte des valeurs passées et présentes du phénomène (équations différentielles).
•
Linéaire : un système linéaire est un système pour lequel les relations entre les grandeurs d’entrée et
de sortie peuvent se mettre sous la forme d’un ensemble d’équations à coefficients constants.
dx
dy
exemple d’équation différentielle linéaire : a. dt + b.x = c. dt + e.y
dx
exemple d’équation différentielle non-linéaire : (a.t + b). dt + b.cos(x) = y²
Propriétés des systèmes linéaires : la proportionnalité et l’additivité.
Si les deux systèmes dynamiques 1 et 2 vérifient :
e1(t)
alors :
Système
dynamique 1
λ1.e1(t) + λ2.e2(t)
s1(t)
et
e2(t)
Combinaison
linéaire des
deux
Système
dynamique 2
s2(t)
λ1.s1(t) + λ2.s2(t)
Si le système n’est pas linéaire, il ne sera pas possible de l’étudier normalement.
Exemples de non linéarité : seuil, saturation (butées physiques, ampli-op), hystérésis.
•
Continu : si e(t) est continu dans le sens mathématique, alors s(t) l’est aussi.
•
Invariant : les caractéristiques de comportement ne se modifient pas dans le temps. On ne tient pas
compte du vieillissement, de l’usure. si e(t + T) = e(t) alors s(t + T) = s(t)
Conclusion : évidemment, aucun système dynamique réel n'est linéaire continu invariant. Mais il est
toujours possible de trouver un modèle linéaire continu invariant qui l’est sous certaines conditions
(comme toujours). Exemple : la linéarisation.
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2. Deux approches.
L’objectif est d’étudier les relations entres les entrées (variables de commande) et les sorties (variables
d’observation) des systèmes et sous-systèmes. Nous allons donc faire appel à un modèle mathématique.
Ce modèle s’appelle Fonction de transfert ( H(p) ), et il est inévitablement associé à un schéma bloc.
Il y a deux manières de construire le modèle :
•
Le modèle de connaissance : nous connaissons les lois de comportement des composants du système.
Il suffit alors d’écrire les modèles traduisant ces lois.
•
Le modèle de comportement : nous observons le comportement du système réel ou d’une maquette
afin et d’y associer une lois de comportement globale passant au plus près des mesures. On parle
d’identification à un modèle connu.
3. Fonction de transfert.
La fonction de transfert H(p) est écrite dans le domaine de Laplace. Elle est définie par :
S(p) = H(p).E(p)
Avec E(p) = L(e(t)) et S(p) = L(s(t))
H(p) n’a de sens que si s(t = 0) = 0 et e(0) = 0
(conditions initiales nulles)
Important à comprendre : la fonction de transfert est la carte d’identité du système. C’est elle qui définie
le système, et elle ne dépend que de ses caractéristiques intrinsèques.
4. Schéma bloc.
La représentation par le schéma fonctionnel permet de représenter de manière graphique un système
linéaire. Chaque bloc du schéma caractérise une des fonctions (un des sous-systèmes) du système.
L’allure globale du schéma renseigne sur la structure (boucle ouverte, boucle fermée (…)).
La fonction de transfert globale s’obtient directement.
Formalisme :
•
Bloc : il est équivalent à la fonction de transfert du système ou sous système.
E(p)
•
Jonction : la variable de la branche 1 est identique à celle de la branche 2.
S1(p)
•
S(p) = H(p).E(p)
H
Branche 1
S1(p)
Branche 2
S1(p)
Sommateur et comparateur : permet de faire la somme ou la différence de plusieurs
entrées.
E1
E2
+
+
–
S = E1 + E2 - E3
E3
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5. Construction du modèle à partir du modèle de connaissance.
5.1 Équations différen tielles → fonction de transfert.
S’il existe une équation différentielle linéaire liant les grandeurs d’entrée e(t) et s(t) du sous-système, elle
est de la forme :
dm
d
dn
d
bm.dtm s(t) + … + b1.dt s(t) + b0.s(t) = an.dtn e(t) + … + a1.dt e(t) + a0.e(t)
dans le cas des systèmes réels m ≥ n : principe de causalité.
L’utilisation de la transformée de Laplace permet de ramener l’équation différentielle à une expression
algébrique. Si les conditions initiales sont nulles, l’équation devient :
an.pn + … + a1.p + a0
S(p) = b .pm + … + b .p + b .E(p)
m
•
1
0
n
an.p + … + a1.p + a0
H(p) = b .pm + … + b .p + b
D’où la fonction de transfert
m
1
0
5.2 Description schém atique → schéma bloc.
Les SDLCI englobent tous les systèmes qu’ils soient mécaniques, électriques, électronique,
thermodynamiques, pneumatiques, etc…
A chacun de ces domaines correspond une schématisation spécifique. Les schémas blocs permettent de
combiner les domaines dans le même formalisme : exemples : électroacoustique.
Si à chaque symbole correspond une fonction de transfert qui décrit le comportement du sous-système
alors il suffit de construire le schéma bloc en plaçant « bout à bout » les différents blocs liés à chaque
fonction de transfert.
5.3 Schéma bloc → fon ction de transfert.
On utilise la linéarité des systèmes.
E
• Produit :
K
F
• Déplacement d’une sommation :
E
S
+
K
G
-
G
S
Équivalent à
E
+
Équivalent à
E
K
-
M
•
F
•
S
G
M
1/K
Déplacement d’une jonction :
E
S1
K
G
S2
S
K.F.G
E
K
G
K
F
Equivalent à
S1
S2
Cas courant à connaître absolument : la structure ci-dessous est une structure que l’on rencontre
toujours.
On détermine facilement sa fonction de transfert globale.
E(p)
+
-
A(p)
S(p)
Équivalent à
E(p)
A
H(p) = 1 + A.B
S(p)
B(p)
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5.4 Si les conditions in itiales ne sont pas nulles.
Si
avec e0 ≠ 0 et/ou s0 ≠ 0
e(0) = e0 et/ou s(0) = s0
On procède alors à un changement de variable.
On pose e(t) = e0 + eeq(t)
et
s(t) = s0 + seq(t)
Et on réalise toute l’étude avec les nouvelles variables eeq(t) et seq(t) qui sont nulles pour t = 0.
5.5 Si les équations ne sont pas linéaires.
On réalise des développements limités d’ordre 1 en supposant que les valeurs des variables sont petites
devant 1 autour de 0 :
•
Variable autour de 0 : nécessite le changement de variable préalable.
•
Variable << 1 : nécessité de faire apparaître une variable sans unité.
Quelques développements limités d’ordre 1 si x << 1 :
sin(x) = x
cos(x) = 1
1 + x = 1 + 12 .x
(1 + x)n = 1 + n.x
6. Construction du modèle à partir du modèle de comportement.
Cette construction consiste à réaliser des mesures sur un système réel ou une maquette physique ou
numérique. Puis, à comparer le comportement du système réel avec le comportement de différents
modèles parfaits. Nous identifions alors le système au modèle auquel il se rapproche le plus.
Cela suppose de connaître le comportement de quelques modèles élémentaires. L’objet du prochain
chapitre va donc consister à :
•
Étudier le comportement temporel des modèles du 1° ordre et du 2° ordre
•
D’en déduire des caractéristiques propres pour mettre en place des critères d’identification.
Sollicitation
e(t) connue
S yst ème r éel
modèle H(p) inconnu
Réponse
s(t) expérimentale
A l'aide de mesures, sur la courbe expérimentale, il est
possible de déterminer les paramètres d'un modèle
traduisant au mieux le comportement du système réel.
Identification à des comportements de référence et aux modèles associés
2er ordre – entrée impulsionnelle
2er ordre – entrée indicielle
1er ordre – entrée indicielle
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