Erosion linéaire

Transcription

Erosion linéaire

Chapitre
Chapitre XXIII
XXIII :: L’érosion
L’érosion linéaire
linéaire
Moment
Moment P(h)
P(h)
Interprétation
Interprétation probabiliste
probabiliste
Granulométries
Granulométries linéaires
linéaires
en
en nombre
nombre
en
en mesure
mesure
Etoile
Etoile
Courbure
Courbure et
et rugosité
rugosité
J. Serra
Ecole des Mines de Paris ( 2000 )
Cours de morphologie Mathématique XXIII. 1
Erosion
Erosion linéaire
linéaire et
et covariance
covariance
Mesure
Mesurede
del’érosion
l’érosionlinéaire
linéaireetetcovariance
covariance sont
sontdeux
deuxnotions
notionssoeurs.
soeurs.
Similarités
Similarités
•• L’élément
L’élémentstructurant
structurant yy est
est lelesegment,
segment, soit
soit pris
pris dans
dans sa
sa totalité,
totalité, soit
soit via
via
ses
sesextrémités;
extrémités;
•• Valeur
Valeur etet dérivée
dérivée àà l’origine
l’origine sont
sont identiques,
identiques, etet admettent
admettent les
les mêmes
mêmes
interprétations
interprétationsgéométriques
géométriques((volume,
volume,surface
surfacespécifique)
spécifique);;
•• étoile
étoileetetportée
portéese
secorrespondent,
correspondent,etetprésentent
présententun
uncontenu
contenustéréologique.
stéréologique.
Différences
Différences
•• L’érosion
L’érosionlinéaire
linéairedébouche
débouchesur
surune
unegranulométrie;
granulométrie;
•• son
son comportement
comportement àà l’origine
l’origine est
est plus
plus riche
riche que
que celui
celui de
de lala covariance
covariance
(nombre
(nombrede
deconvexité,
convexité,rugosité);
rugosité);
•• elle
elle n’admet
n’admet pas
pas lala généralisation
généralisation numérique
numérique de
de lala covariance;
covariance; aussi
aussi
nous
nousl’étudions
l’étudionsici
icidans
danslelecas
casbinaire,
binaire,leleplus
plusfécond
féconden
eninterprétations.
interprétations.
J. Serra
Le
Le moment
moment P(h)
P(h)
n
•• Soit
Soit dans
dans RRn lele vecteur
vecteur hh d’origine
d’origine 0,
0, de
de module
module hh etet de
de direction
direction α.
α.
Prenons
Prenons pour
pour élément
élément structurant
structurant BB lele segment
segment [[ 0,0, hh ]] etet considérons
considérons
l’érosion
l’érosion
X!
!
X!
!BB==∩
∩{{XX-u-u,, uu∈∈[[0,
0,hh]] }}
X!B
X!B est
est l’ensemble
l’ensemble des
des points
points communs
communs àà XX etet àà tous
tous ses
ses translatés
translatés
par
parles
lesvecteurs
vecteurscompris
comprisentre
entre00etet hh..
•• Définition
Définition :: On
On appelle
appelle moment
moment P(h)
P(h) de
de XX lala mesure
mesure de
de Lebesgue
Lebesgue de
de
X!
!
X!
!BB,,etetl’on
l’onnote:
note:
PP(h)
!
(h)==PPαα(h)
(h)==PPαα++ππ(h)
(h)==Mes
Mes[X!
[X!
!BB]]
En
Enparticulier
particulier::PPαα(0)
(0)==Mes
MesXX etet St
St ==∫
∫P(h)
P(h)dh
dh // Mes
MesXX
L’intégrale
L’intégraleSt
Stdu
dumoment
momentPP(h),
(h),rapportée
rapportéeau
auPPαα(0),
(0),se
senomme
nommel’étoile
l’étoilede
deX.
X.
J. Serra
Erosion
Erosion linéaire
linéaire :: exemple
exemple
3500
"c:\wmmorph\pvonl.dat"
"c:\wmmorph\set.dat"
3000
X
2500
α=
h=0
α =
2000
h = 20
1500
1000
P( h )
K( h )
500
h
0
0
h = 40
J. Serra
h = 60
10
20
30
40
50
60
70
N.B. on a reporté, pour mémoire,
le covariogramme. A noter l’identité
des comportements à l’origine.
Quelques
Quelques propriétés
propriétés (I)
(I)
•• AAl’origine:
l’origine:
PPαα(0)
(0)==K
Kαα(0)
(0)==Mes
MesXX etet -P’
-P’αα(0)
(0)==-K’
-K’αα(0)
(0)==var.
var.diamétrale
diamétrale[X]
[X]
((les
lesmoyennes
moyennesde
derotation
rotationadmettent
admettentdonc
doncles
lesmêmes
mêmesinterprétations
interprétationsque
que
celles
cellesde
delalacovariance,
covariance,cf.
cf.1212-4)
4)
X
X!B
-P’(0)
-P’(h)
•• Quand
Quandhhaugmente
augmente::
ililvient,
K
vient,∀
∀αα::
Kαα(h)
(h) ≥≥ PPαα(h)
(h) ≥≥00
⇒
PPαα(h
hh1 ≥≥hh2
⇒
(h11))≤≤PPαα(h
(h22))
1
2
PPαα(∞
∞
(∞
∞))==00
J. Serra
Quelques
Quelques propriétés
propriétés (II)
(II)
X!B⊕ B
-P’(0)
-P’(h)
X!B
•• Granulométrie
Granulométrie::
11--F(h)
F(h) ==
La
Lafonction
fonctionde
derépartition
répartitiondes
descordes
cordess’écrit
s’écrit::
P’(h)
P’(0) == pourcentage
pourcentage des
descordes
cordes≥≥hh
P’(h)//P’(0)
•• Ouverture
Ouverture:: Soit
SoitXXOOBB==X!B⊕
X!B⊕BB l’ouvert
l’ouvertde
deXXpar
parlelesegment
segmentB;
B;on
onaa
Mes
Mes[X
[XOOB]
B]==P(h)
P(h)--hhP’(h)
P’(h)
La
Lagranulométrie
granulométriepar
parouverture,
ouverture,dérive
dérivedonc
doncdu
duP(h)
P(h),,qui
quicontient
contienttoute
toute
l’information
l’informationpour
pourconstruire
construirelalafonction
fonctionde
derépartition
répartition
11--G(h)
G(h)==Mes
Mes[X
[XOOB]
B]//MesX
MesX
..
J. Serra
Individus
Individus et
et Pondérations
Pondérations
•• Mesures
Mesuresglobales
globalesou
ouanalyse
analyseindividuelle
individuelle??
Supposons
Supposons maintenant
maintenant que
que XX == ∪X
∪Xi i se
se présente
présente comme
comme lala réunion
réunion de
de
grains
grains disjoints
disjoints XXi i ,, connexes
connexes ou
ou non
non (( par
par exemple,
exemple, sisi les
les XXi i sont
sont les
les
sections
sectionsplanes
planesd’un
d’unXXde
del’espace):
l’espace):
Comment
Commentpasser
passerdes
desPPαα,i,i(h)
(h)ààPPαα(h)
(h)??peut-on
peut-on
•• Deux
Deuxfaçons
façonsde
depondérer
pondérer
C’est
C’est l’histoire
l’histoire du
du boucher
boucher qui
qui vend
vend du
du pâté
pâté d’alouette,
d’alouette, etet qui
qui
annonce
annonce ‘Excellent
‘Excellent pâté
pâté mixte
mixte :: 50%
50% alouette,
alouette, 50%
50% cheval’...
cheval’... du
du moment
moment
que
quepour
pourune
unealouette
alouetteililyyrajoute
rajouteun
uncheval.
cheval.
Aussi
Aussi bien,
bien, quand
quand on
on parle
parle de
de lala statistique
statistique de
de tailles
tailles d’objets,
d’objets, ilil
convient
convientde
depréciser
précisersisil’on
l’oncompte
comptechaque
chaqueindividu
individu
–– pour
⇒
pourun
un(ex:
(ex:formule
formulesanguine
sanguine))
⇒ analyse
analyseen
ennombre;
nombre;
–– ou
ouen
en%
%de
deson
sonvolume
volume(ex.
(ex.tamisage)
tamisage)⇒
⇒ analyse
analyseen
enmesure.
mesure.
J. Serra
Poids,
Poids, Echantillonnage,
Echantillonnage, et
et Stéréologie
Stéréologie
•• Echantillonnage
Echantillonnage
–– En
En échantillonnant
échantillonnant l’espace
l’espace selon
selon une
une
grille
grillerégulière,
régulière,on
onpondère
pondère en
envolume.
volume.
–– IlIl en
en va
va de
de même
même lorsqu’on
lorsqu’on décide
décide
d’extraire
d’extrairelelegrain
grainqui
quicontient
contientl’origine.
l’origine.
•• Stéréologie
Stéréologie
–– lalapondération
pondérationen
ensurface
surfacesur
surles
lessections
sections
planes
planes exprime
exprime une
une pondération
pondération en
en
volume
volumedes
desobjets
objets3-D
3-Dcorrespondants.
correspondants.
°
°
°
° °
°
°
°
• Cas des distributions de cordes
Dans la granulométrie des cordes, chaque intercept est compté pour 1 :
F(h) pondère donc en nombre.
L’ouvert est par contre l’ensemble des points où passe un intercept ≥ h :
G(h) pondère donc en mesure.
J. Serra
Granulométries
Granulométries linéaires
linéaires en
en nombre
nombre et
et en
en mesure
mesure
•• Moments
Momentsen
ennombre
nombre
De
Delalarelation
relation 11--F(h)
F(h) == P’(h)
P’(h)//P’(0)
P’(0),,on
ontire
tire
∞∞
EE[h]
[h]==∫
∫00 [[11-F(h)]
-F(h)]dh
dh== --P(0)
P(0)//P’(0)
P’(0)
etetplus
plusgénéralement
généralement
∞∞
n
EE[h
n(n-1)
-1)// -- P’(0)
P’(0)]]∫
∫00 hh(n(n--2)2)P(h)]
P(h)]dh
dh
[hn]]==[[n(n
•• Moments
Momentsen
enmesure
mesure
Supposons,
Supposons,pour
poursimplifier,
simplifier,que
queFFetetGGadmettent
admettentdes
desdensités
densitésffetetg.g.Alors
Alors::
g(h)
g(h)== hhf(h)
f(h)// EE[h]
[h]
∞∞
n
l’expression
l’expressiondu
dumoment
momenten
enmesure
mesureM
M[h
[hn]]==∫
∫00 hhnng(h)
g(h)dh
dh s’en
s’endéduit,
déduit,etet
∞∞
n
M
M[h
[hn]]==[[n(n
n(n+1)
+1)// P(0)
P(0)]]∫
∫0 hh(n(n--1)1)P(h)]
P(h)]dh
dh
0
J. Serra
Exemple
Exemple de
de distributions
distributions f(h)
f(h) et
et g(h)
g(h)
120
"c:\wmmorph\cat2.dat"
f
100
80
f(h) voit qu’on a
coupé les moustaches
du chat,
60
40
20
h
0
0
20
40
60
80
100
120
140
70
g
60
...mais g(h) voit qu’il
a mangé une souris !
50
40
30
20
10
h
0
0
J. Serra
20
40
60
80
100
120
140
Passage
Passage au
au cas
cas stationnaire
stationnaire
•• Mesure
Mesure⇒
pourcentage
⇒ pourcentage
Pour
Pour passer
passer en
en mode
mode stationnaire,
stationnaire, ilil suffit
suffit de
de remplacer
remplacer lala mesure
mesure de
de l’érodé
l’érodé
linéaire
linéaire par
par lele pourcentage
pourcentage volumique
volumique de
de l’érosion
l’érosion ,, i.e.
i.e. de
de diviser
diviser P(h)
P(h)
par
parl’unité
l’unitéde
devolume
volume((ou
oude
desurface,
surface,ou
oude
delongueur
longueur).).
Comme
Comme cette
cette unité
unité est
est une
une constante,
constante, toutes
toutes les
les interprétations
interprétations ci-dessus
ci-dessus
restent
restentvalables.
valables.On
Ongardera
gardera donc
donclelesymbole
symboleP(h),
P(h),par
parsimplicité.
simplicité.
•• Grains
Grainsetetpores
pores
lalaversion
versionstationnaire
stationnairepermet
permetde
defaire
fairejouer
jouerun
unrôle
rôlesymétrique
symétriqueààl’érodé
l’érodéQ(h)
Q(h)
des
despores.
pores.Si
Sihh11etethh00sont
sontaffectés
affectésaux
auxgrains
grainsetetaux
auxpores,
pores,ililvient
vient
cc
P(0)
=
L
(X)
=
E
[h
]
E
[h
+
h
]
;
Q(0)
=
L
(X
/
P(0) = LLL(X) = E [h11] / E [h00 + h11] ; Q(0) = LLL(X ))==EE[h
[h00]]// EE[h
[h00++hh11]]
cc
--P’(0)
=
Q’(0)
=
N
(X)
=
N
(X
P’(0) = - Q’(0) = NLL(X) = NLL(X ))==11// EE[h
[h00++hh11]]
J. Serra
L’étoile
L’étoile
•• Définition
Définition
Prenons
Prenonspour
pourXXles
lespores
poresetetaffectons
affectonsààtout
toutpoint
point x∈X
x∈Xl’ensemble
l’ensembleYYxxdes
des
points
pointsy∈X
y∈Xvus
vusdirectement
directementààpartir
partirde
dex.x.La
Lamesure
mesure
Mes(
[[Ind
Mes(YYxx))==∫
∫Rn Ind
Indxx(y)dy
(y)dy
Indxx(y)
(y) ::indicatrice
indicatricede
deYYxx]]
Rn
admet
admetune
uneespérance
espéranceque
quel’on
l’onnomme
nomme l’étoile
l’étoileSt(X)
St(X)..
•• Calcul
Calcul
EE[Mes(
∫RnRnPrPr{y∈X
{y∈Xx∈X
x∈X}}dy
dy==11//P(0)
P(0)∫
∫RnRnP(y
P(y--x)
x)dy
dy
[Mes(YYxx)])]==∫
qui,
qui,par
parstationnarité,
stationnarité,ne
nedépend
dépendpas
pasdu
dupoint
pointx,x,i.e.
i.e.
St
St(X)
(X) ==∫
∫P(h)
P(h)dh
dh // Mes
MesXX
Dans
Danslelecas
casisotrope,
isotrope,ililvient
vient
..
∞∞
3
33]
–– dans
ππ// VVV∫
hh22P(h)]
dh
==ππ//33M
[h
dansRR3 St
St33(X)
(X) ==4π
4π
∫
P(h)]
dh
M
[h
]
V 0
0
∞∞
2
22]
–– dans
ππ// AAA∫
hhP(h)]
dh
==ππ//33M
[h
dansRR2 St
St22(X)
(X) ==2π
2π
∫
P(h)]
dh
M
[h
]
A 0
0
J. Serra
Interprétation
Interprétation géométrique
géométrique
•• Considérons
Considérons une
une population
population de
de convexes
convexes
disjoints.
disjoints. Chaque
Chaque point
point xx du
du grain
grain XXi i voit
voit
lala totalité
totalité du
du grain
grain .. Dans
Dans l’étoile,
l’étoile, celui-ci
celui-ci
est
estdonc
doncpondéré
pondérépar
parsa
samesure,
mesure,i.e.
i.e.
33
dans
R
dans R
2
dans
dansRR2
33]
St
(X)
=
M
[V]
=
π
/3
M
[h
St33 (X) = M [V] = π/3 M [h ]
2
St
St2 (X)
(X) ==M
M[A]
[A]==ππ/3
/3M
M[h
[h2]]
2
•• En
En revanche,
revanche, quand
quand XX est
est quelconque,
quelconque, lala
zone
zone de
de vision
vision directe
directe YYxx varie
varie en
en chaque
chaque
point.
point.C’est
C’estlelecas
casd’un
d’unmilieu
milieuporeux.
poreux.
L’étoile
L’étoilepermet
permetalors
alorsde
dedéfinir
définirun
unvolume
volume
moyen
moyende
depores
poresmême
mêmes’ils
s’ilssont
sontconnectés
connectés
etetde
delelecalculer
calculerààpartir
partirdes
dessections
sections..
J. Serra
.x
Yx
Si l’on suppose une lampe
placée en x, la zone directement
éclairée Yx est le poulpe central.
L’étoile des pores (en 2-D ) est la
surface moyenne du poulpe
quand x décrit les pores .
Granulométries
Granulométries de
de sphères
sphères
Fonction
Fonctionde
dedistribution
distributiondes
desdiamètres
diamètres
•• Quand
Quand XX représente
représente une
une population
population de
de sphères
sphères disjointes,
disjointes, on
on peut
peut
remonter
remonter de
de lala granulométrie
granulométrie FF11(h)
(h) des
des intercepts
intercepts àà celle
celle FF33(h)
(h) de
de leurs
leurs
diamètres.
diamètres. La
La contribution
contribution dd ’une
’une sphère
sphère de
de diamètre
diamètre DD aux
aux cordes
cordes ≥h
≥h
2
2
vaut
d’où,par
parintégration
intégration
vaut(π/4)
(π/4)(D
(D2--hh2),),d’où,
∞∞
2
2
NNLL[1
[1--FF11(h)
(h)]]==NNVV∫
∫h (π/4)
(π/4)(D
(D2--hh2))FF33(dD)
(dD)
h
•• eteten
endifférentiant
différentiantpar
parrapport
rapportààhh
NNL ff1(h)
= N F’ (h) = N (π
ππ/2)
/2)hh[1
[1--FF33(h)
(h)]]
L 1(h) = NLL F’11(h) = NVV (π
Moments
Moments
•• On
Onen
endéduit
déduitlelenombre
nombrespécifique
spécifiquedes
dessphères
sphères
NNV =(2/
π) N f’ (0)
V =(2/ π) NLL f’11(0)
etetleurs
leursmoments
momentsEE33,,M
M33,,en
enfonction
fonctionde
deceux
ceuxEE11,,M
M11,,des
destraversées
traversées
n
n-2
n
n
EE3 (D
(Dn))==[n
[n//f’f’1(0)]
(0)]EE1 (D
(Dn-2)) ;; M
M3 (D
(Dn))==(n+3
(n+3//3)
3)M
M1 (D
(Dn))
3
J. Serra
1
1
3
1
Comportement
Comportement àà l’origine
l’origine (I)
(I) :: courbure
courbure
Courbure
Courburemoyenne
moyenne
2
•• Soit
Soit X∈
X∈ RR2un
un ensemble
ensemble admettant
admettant une
une courbure
courbure finie
finie en
en tout
tout point
point de
de sa
sa
frontière.
frontière. Considérons
Considérons un
un point
point x∈∂X
x∈∂X ,, de
de rayon
rayon de
de courbure
courbure RR etet de
de
22 ≈
tangente
α.
Sa
contribution
à
F
(h)
est
proportionnelle
à
R
[R
(h/2)]
tangente α. Sa contribution à Fαα(h) est proportionnelle à R - [R - (h/2)] ≈
++
hh22/8R
,
d’où,
si
N
/8R , d’où, si N AA(α)
(α)est
estlelenombre
nombrede
deconvexité
convexitédes
desgrains
grainsen
enα,
α,
++
NNL(α
α
)
f
(h)
=
(N
αα))//4)
hh petit
(α
α) fαα(h) = (N A(α
(α
4)EE[1/R]
[1/R]..hh
petit
α
++
Lorsque
α
varie,
N
Lorsque α varie, N AA(α)
(α)
L
••
A
ddαα == du/R
du/R sisi RR >> 00 etet 00 sinon
sinon;; lala moyenne
moyenne
directionnelle
directionnelleff11(h)
(h)des
desNNLL(α)
(α)ffαα(h)
(h)s’écrit
s’écritdonc
donc
ff11(h)
du
//RR22,,
(h)==hh//44..L(∂X
L(∂X))∫
∫R>0
du
R>0
En
Encombinant
combinantce
cerésultat
résultatavec
avecl’écriture
l’écrituresymétrique
symétriquepour
pourles
lespores,
pores,ililvient
vient
2
[f[f11(h)
(h)++ff00(h)
(h)]]//22==hh//88..L(∂X
L(∂X))∫
∫∂X∂Xdudu//RR22 ==hhE(C
E(C2))//88== f(h)
f(h)
Ainsi,
Ainsi,pour
pourhhpetit,
petit,l’histogramme
l’histogramme f(h)
f(h)des
desintercepts
interceptsest
estlinéaire
linéaireetetsa
sapente
pente
égale
égaleààlalamoyenne
moyennequadratique
quadratiquede
dela
lacourbure
courburede
deXXdivisée
diviséepar
parhuit
huit..
J. Serra
Exemple:
Exemple: comparaison
comparaison de
de quatre
quatre écritures
écritures
Commentaires :
• L’araméen (d), le tamoul (a) et le slavon (c), vérifient bien le modèle de
courbures finies (à un effet de pépite près, du au bruit graphique); et la pente
du f(h), à peu près nulle dans le cas de l’araméen à grands méplats, augmente
du tamoul au slavon au courbes plus resserrées;
• Le modèle n’est pas vérifié par l’arabe classique, surchargé de ponctuation.
J. Serra
Comportement
Comportement àà l’origine
l’origine (II)
(II) :: rugosité
rugosité
3
•• Lorsqu’on
Lorsqu’onpasse
passeààRR3 lelemodèle
modèles’étend
s’étendetetmet
meten
enjeu
jeuen
enchaque
chaquepoint
point
les
lesdeux
deuxcourbure
courburemoyenne
moyenneCCetettotale
totaleC’,
C’,associées
associéesaux
auxrayons
rayonsde
de
courbure
courbureprincipaux
principaux ρρ11etet ρρ22
CC==0,5(
0,5(11//ρρ11++11//ρρ22)) ;; C’
C’==11//ρρ11ρρ22
•• Au
Auvoisinage
voisinagede
del’origine,
l’origine,f(h)
f(h)se
sedéveloppe
développeen
en
2
f(h)
f(h)==E(3C
E(3C2--C’)
C’)// 88..hh
Deux
Deuxcas
cassont
sontintéressants:
intéressants:
–– L’ensemble
L’ensembleXXest
estformé
forméde
departicules
particulesdisjointes
disjointesetethoméomorphes
homéomorphesàà
des
desboules,
boules,en
ennombre
nombrevolumique
volumiqueNNvv,,alors
alors
22- 4π
f(h)
=
E(3C
ππNNv))// 88..hh
f(h) = E(3C - 4π
v
–– XXest
estlelesous
sousgraphe
graphed’une
d’unefonction
fonctionnumérique;
numérique;leleterme
termeen
enC’
C’
s’évanouit
s’évanouitetet
2
f(h)
f(h)==33// 88E(C
E(C2))..hh
J. Serra
Exemple
Exemple de
de rugosité
rugosité
Etude
Etudede
del’usure
l’usured’un
d’unrevêtement
revêtementroutier
routier::
•• On
Onaasimulé
simuléen
enmanège
manège1.000
1.000puis
puis10.000
10.000passages
passagesde
decamions
camionsde
de6,5
6,5tonnes
tonnesàà65km/h;
65km/h;
•• Daprès
Daprèslalaformule
formuleprécédente,
précédente,etetaprès
aprèsavoir
avoirmesuré
mesuréf(h)
f(h)dans
dans66directions,
directions, ililvient
vient::
2
-2
-2
2
-2
-2
E(C
E(C
E(C2))==2,2
2,210
10-2mm
mm-2 avant
avantusure
usure;;
E(C2))==10
10-2mm
mm-2 après
aprèsusure
usure. .
IlIlest
estremarquable
remarquable qu’un
qu’unmodèle
modèleaussi
aussirégulier
régulierapporte
apporteencore
encoreune
uneinformation
informationpertinente
pertinenteici.
ici.
J. Serra
Références
Références sur
sur l’érosion
l’érosion linéaire
linéaire et
et la
la covariance
covariance (I)
(I)
Sur
Surles
lescovariances
covariancesbinaires
binairesetetmultiphasées
multiphaséesetetsur
surl’érosion
l’érosionlinéaire
linéaire
•• J.J.Serra
Serra(1966
(1966)Remarques
)Remarquessur
surune
unelame
lamemince
mincede
deminerai
minerailorrain
lorrainBul.du
Bul.duBRGM
BRGM 6,6,1-36
1-36
•• A.
A.Haas,
Haas,G.
G.Matheron
MatheronetetJ.J.Serra
Serra(1967)
(1967) Morphologie
Morphologiemathématique
mathématiqueetetgranulométries
granulométriesen
en
place.
place.Ann.
Ann.Mines
Mines11,
11,736-753
736-753etet12,
12,767-782.
767-782.
•• D.
D.Jeulin
Jeulin(1979)
(1979)Morphologie
Morphologiemathématique
mathématiqueetetpropriétés
propriétésphysiques
physiquesdes
desagglomérés
agglomérésde
de
minrais
de
fer
et
du
coke
métallurgique.
Thèse
doct.
ing.
Ecole
des
mines,
Paris
minrais de fer et du coke métallurgique. Thèse doct. ing. Ecole des mines, Paris
•• A.
A.Greco,
Greco,D.
D.Jeulin,
Jeulin,J.J.Serra
Serra(1979)
(1979)The
Theuse
useof
ofthe
thetexture
textureanalyser
analysertotostudy
studysinter
sinterstructure
structure
J.J.ofofMicr.116,
Micr.116,part
part22
•• M.
M.Coster,
Coster,J.L.
J.L.Chermant
Chermant(1989)
(1989) Précis
Précisd'Analyse
d'Analysed'Images
d'Images,, Les
LesPresses
Pressesdu
duCNRS
CNRS(1985);
(1985);
22ndndEdition
Edition,,Les
LesEditions
Editionsdu
duCNRS
CNRS..
Sur
Surles
lesensembles
ensemblesaléatoires
aléatoires::
•• G.
Paris..
G.Matheron.
Matheron.(1967)
(1967)Eléments
Elémentspour
pourune
unethèorie
thèoriedes
desmilieux
milieuxporeux
poreuxMasson
Masson,,Paris
••
••
G.
G.Matheron
Matheron(1975)
(1975)Random
RandomSets
Setsand
andIntegral
IntegralGeometry
Geometry,,Wiley,
Wiley,N.Y
N.Y..
D.
D. Jeulin.
Jeulin. (1991)
(1991) Modèles
Modèles morphologiques
morphologiques de
de structures
structures aléatoires
aléatoires etet de
de changement
changement
d'échelle.
d'échelle.Thèse
Thèsede
deDoctorat
Doctoratd’Etat
d’Etatès
èsSciences
SciencesPhysiques
Physiques,,Caen
Caen..
J. Serra
Références
Références sur
sur l’érosion
l’érosion linéaire
linéaire et
et la
la covariance
covariance (II)
(II)
Sur
Surlalarugosité
rugosité::
•• J.J.Serra
Serra(1984)
(1984)Descriptors
Descriptorsof
offlatness
flatnessand
androughness
roughnessJ.J.ofofMicr.134,
Micr.134,227-243
227-243
•• M.
M. Coster,
Coster, J.L.
J.L. Chermant
Chermant (1983)
(1983) Recent
Recent develpments
develpments inin quantitative
quantitative metallography.
metallography.
Int.
Int.Metal
MetalRev.
Rev.28,
28,228-241
228-241
Sur
Surlalathéorie
théorieintrinsèque
intrinsèque::
•• G.
G.Matheron
Matheron(1965)
(1965)Les
Lesvariables
variablesrégionalisées
régionaliséesetetleur
leurestimation,
estimation,Masson,
Masson,Paris
Paris
Sur
Surles
lesmodèles
modèlesde
dedilution
dilutionetetde
demarches
marchespoissonniennes
poissonniennes::
•• J.J.Serra
Serra(1982)
(1982)Image
ImageAnalysis
Analysisand
andMathematical
MathematicalMorphology,Vol.1Acad.
Morphology,Vol.1Acad.Press,
Press,
London
London
•• G.
G.Matheron
Matheron(1970)
(1970)La
Lathéorie
théoriedes
desvariables
variablesrégionalisées,
régionalisées,etetses
sesapplications,
applications,cahiers
cahiers
du
duCMM
CMM fasc.5,
fasc.5,Ecole
Ecoledes
desmines
minesParis
Paris
Sur
Surles
lesexemples
exemples::
•• S.
S.Beucher,
Beucher,J.J.Serra
Serra(1999)
(1999)Micromorph,
Micromorph,logiciel
logicielde
deMorphologie
MorphologieMathématique,
Mathématique,
Transvalor
Paris
Transvalor Paris
J. Serra

Erosion linéaire

Transcription

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