17-TP5-étude d`un prisme 2008-2009

Etude de la courbe de déviation d'un prisme
Mesure de son indice au minimum de déviation
1 - RAPPELS SUR LA THEORIE DU PRISME
1.1 Formules du prisme
Un rayon d’une lumière monochromatique SI tombant sous un angle d’incidence i sur la face d'entrée
d’un prisme est réfracté selon IJ et ressort selon JR’ (fig 1).
Les angles sont orientés, de la normale vers le rayon, le sens positif choisi étant celui des aiguilles
d’une montre. L’angle A est, par convention, toujours choisi positif.
On a donc :
i < 0 ; r < 0 ; r’ > 0 ; i’ > 0 ; D > 0; A > 0.
A
+
N’
N
i
J
I
r
D
i’
r’
R’
S
n
B
C
Fig.1. Les rayons incident et réfractés sont dans le plan de section principale du prisme.
Les angles i’, r’, D et A sont positifs tandis que les angles i et r sont négatifs.
L’application de la loi de la réfraction de Snell-Descartes, en I et J, ainsi que des considérations
géométriques simples, permettent d'établir les formules du prisme :
sin i = n sin r
sin i’ = n sin r’
A = r’ - r
D = i’ - i - A
où :
•
•
•
n est l’indice du prisme pour la lumière monochromatique considérée,
A est l’angle du prisme,
D est l’angle de déviation du rayon incident.
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1
1.2 Etude de la déviation D en fonction de l'angle d’incidence i
1.2.1 Domaine de variation de l’angle i
Le rayon IJ ne peut se réfracter en J que si :
- ro’ ≤ r’ ≤ ro’
où ro’ est l’angle limite défini par :
ro’ = arcsin (1/n)
De la relation r = r’ - A, on tire la condition suivante sur r :
- ro’ - A ≤ r ≤ ro’ - A.
L’angle r devant également satisfaire la condition de réfraction en I, on a aussi :
- ro’ ≤ r ≤ ro’.
On obtient ainsi l’intervalle de variation de l’angle r :
- ro’ ≤ r ≤ ro’ - A
(1)
On en déduit que :
n sin(- ro’) ≤ n sin r ≤ n sin(ro’ - A)
soit, puisque [n sin (-ro’)] = -1 :
-1 ≤ sin i ≤ n sin (ro’ - A)
L’intervalle de variation de l’angle i est donc :
- 90° ≤ i ≤ io
avec :
io = arcsin [n sin (ro’ - A)]
(2)
Remarques :
•
L’inégalité (1), montre que pour qu’un rayon puisse émerger en J, l’angle au sommet A du
prisme doit vérifier la condition suivante :
A ≤ 2 ro’ = 2 arcsin (1/n)
•
L’équation (2) montre que l’angle d’incidence i peut devenir positif (rayon incident au-dessus
de la normale en I) si :
A ≤ ro’
1.2.2 Allure de la courbe D = f(i)
En calculant la dérivée première de la fonction D = f(i), A et n étant constants, on montre que l’angle
de déviation D passe par une valeur minimale Dm pour :
i = - i’ = im
avec :
im = - arcsin [ n sin (A / 2)]
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2
La figure 2 ci-dessous donne l’allure de la courbe D = f(i) :
D
Do
Dm
i
− π /2
im
io
0
Fig 2 : Pour i = io , dD / di = -∞ ; pour i = im , dD / di = 0 et pour i = -π /2, dD / di = -1.
1.3 Détermination de l'indice n du prisme
Au minimum de déviation, pour lequel i = - i’ = im, les formules du prisme donnent :
r = - r’ = rm = - A/2
et :
im = -
Dm + A
2
La relation sin im = n sin rm conduit alors à :
 D +A
sin  m

2

 = n(λ)
n=
A
 
sin  
2
Remarque : L'indice d’un milieu dépend de la longueur d'onde λ de la lumière utilisée ; il est d'autant
plus élevé que la longueur d'onde est plus faible. Pour une lumière incidente polychromatique, la
déviation est ainsi plus grande pour les faibles longueurs d'onde (vers le bleu) que pour les grandes
(vers le rouge).
2 - BUT DE LA MANIPULATION
L'objectif de cette manipulation est de :
•
Tracer la courbe de déviation D = f(i) du prisme.
•
Calculer la valeur de l'indice n du prisme pour la longueur d'onde de la raie verte de la lampe à
vapeur de mercure. Cette valeur sera déduite de la mesure de l’angle A du prisme et de celle de
l’angle de déviation minimum Dm pour cette longueur d'onde.
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3
•
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4
LEGENDE DE LA PHOTOGRAPHIE DU GONIOMETRE
Lunette
A : tirage du tube portant l'oculaire de la
lunette (bague de réglage de la lunette)
Platine
E : blocage de la platine supportant le
prisme
Collimateur
F : fente
F’ : réglage de la largeur de fente
C : réglage de l'inclinaison de la lunette (ne
pas modifier)
E’ : vis micrométrique commandant la
rotation du support de la platine
D : blocage de la plate-forme de la lunette
V : vis calantes de la platine (ne pas
B : tirage du tube portant la fente (bague
de réglage du collimateur)
modifier).
D’ : vis micrométrique déplaçant le support
de lunette le long du cercle gradué
G : mise au point pour la lecture du vernier
H : basculement de la lame semi-transparente
(ou semi-réfléchissante) inclinée à 45°
L : lampe éclairant le réticule
O : bague de réglage de l'oculaire
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3 - DESCRIPTION DU GONIOMETRE
Graduation circulaire
visible dans l’oculaire
G du goniomètre
90°
platine
A
180°
collimateur
lunette
lampe
0°
B
prisme
C
objectif
réticule
oculaire
fente
270°
Fig 3 : Schéma du goniomètre.
Le goniomètre comprend (voir la figure 3 et la photo avec sa légende, pages précédentes) :
1 - Une lunette constituée :
•
•
•
d’un objectif
d’un oculaire
d’un réticule (deux fils fins perpendiculaires)
Elle est correctement réglée (avec la bague A) si les foyers, image de l'objectif et objet de l'oculaire,
coïncident avec le réticule. On a ainsi un système optique afocal permettant une vision nette du
réticule et des objets situés à l'infini. Cette lunette peut tourner autour de l'axe vertical du goniomètre et
sa direction angulaire θ est déterminée à l’aide d’une graduation circulaire fixe.
2 - Un collimateur constitué :
•
•
d’une fente F réglable en largeur avec la vis F’.
d’une lentille, d’axe perpendiculaire à celui du goniomètre.
La fente, dont la position par rapport à la lentille est réglable avec la bague B, est éclairée par une
lampe à vapeur de mercure émettant principalement trois raies caractéristiques, de couleurs bleue,
verte et jaune. Le collimateur est correctement réglé quand la fente est située dans le plan focal objet de
la lentille, donnant ainsi un faisceau lumineux émergent parallèle.
3 - Une platine centrale montée sur trois vis calantes V pouvant pivoter, de façon indépendante, autour
de l'axe de l'appareil. Sous cette platine, on trouve une vis de blocage E ainsi qu'une vis micrométrique
E’ pour effectuer des petites rotations.
4 - Une graduation circulaire (en degrés), visible à travers l'oculaire G du goniomètre, devant
laquelle se déplace un micromètre solidaire de la lunette. Celui-ci est gradué en minutes d’arc dont le
symbole est : ( ’ ). On rappelle que : 1° = 60’.
La position de la lunette est donnée, pour les degrés, par le chiffre de la graduation principale se
trouvant dans la plage du micromètre et, pour les minutes, par la division du micromètre coïncidant
avec cette même graduation.
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Ainsi sur la figure 4, la valeur lue sera :
θ = 251° 43’
Pour une autre position du micromètre on pourrait lire, par exemple, 251° 60' ou 252° 00' (dans ce cas,
chacun des deux grands traits coïncideraient avec une extrémité de la plage du micromètre).
Graduation
principale
251
60
50
40
30
20
10
252
0
micromètre
Fig.4. La graduation 251 du cercle coïncide avec la graduation 43 du micromètre, d’où : θ = 251° 43’.
4 - MANIPULATION
4.1 Réglages préalables du goniomètre
Pour régler le goniomètre se reporter à l’annexe B, à la fin de ce chapitre.
4.2 Mesure de l'angle A du prisme
♦ Placer le prisme au centre de la platine, sa
base BC tournée vers le collimateur, puis
immobiliser la platine à l'aide de la vis de blocage
E.
♦ Basculer vers l'avant le levier H situé à droite
de l’oculaire de la lunette pour éclairer, avec la
lumière de la lampe O et par l’intermédiaire
d’une lame semi-réfléchissante, le réticule de la
lunette (voir fig.8 en annexe).
♦ Vérifier que de la lumière est bien émise vers
le prisme.
♦ Orienter l'axe de la lunette perpendiculairement à la face AB du prisme qui, jouant le rôle
de miroir, donne une image du réticule.
♦ Bloquer la lunette avec la vis D et faire
coïncider très précisément, à l'aide de la vis
micrométrique D’, le fil vertical du réticule et
celui de son image.
♦ Repérer dans l’oculaire G la valeur de l’angle θ1 :
θ1 ± ∆θ1 =
θ1
B
θ croissant
A
α
C
θ2
collimateur
Fig. 5. Les directions θ1 et θ2 sont normales
aux faces réfléchissantes AB et AC du prisme.
♦ Opérer de la même façon pour la face AC en
faisant pivoter la lunette. Soit θ2 sa nouvelle
position :
θ2 ± ∆θ2 =
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7
♦ En déduire la valeur de l’angle α dont a tourné la lunette :
α=
♦ Calculer la valeur de l’angle A du prisme sachant qu’il est supplémentaire de l’angle α (fig 5) :
A=
Faire vérifier le résultat de la mesure de l’angle A par l’enseignant avant de
poursuivre la manipulation.
4.3 Détermination de la courbe D = f(i)
Faisceau incident
4.3.1 Principe de la détermination de D et i
♦ Noter, tout d’abord, la valeur θo
(inscrite sur la plate-forme du goniomètre)
de la direction fixe du faisceau incident :
θ croissant
0°
B
θ0 =
i
-i
• L’angle i est déterminé à partir de la
direction θR du faisceau partiellement
réfléchi sur la face AB du prisme et de la
direction θ0 du faisceau incident. On a, en
effet (fig 6) :
A
θR
C
D
Faisceau
partiellement
réfléchi
- 2 i = θR - (θ0 – 180°)
•
Faisceau
réfracté
émergent
L’angle de déviation D est donné par :
D = θE - θ0
θE
4.3.2 Détermination de la courbe D = f(i )
pour la raie verte de la lampe à vapeur de
mercure.
θo
Fig 6 : Le faisceau incident se réfléchi
partiellement sur la face AB du prisme.
♦ Avant de tracer cette courbe, observer sur un écran l’évolution de la déviation du faisceau
émergent lorsque l'angle d'incidence i varie (voir comment procéder dans l’annexe A).
♦ Placer le prisme sur la platine de façon que son arête déborde de quelques millimètres le centre de
celle-ci et que sa base BC soit à gauche du faisceau incident (fig 6).
♦ Oter la lame semi-réfléchissante en basculant en arrière le levier H.
Pour obtenir avec précision les valeurs de i notées dans le tableau de la page suivante, procéder
comme suit :
♦
♦
Pour une valeur de i choisie, calculer la valeur de θR correspondante (voir ci-dessus)
Fixer la lunette sur cette valeur de θR (pour le réglage fin, utiliser la vis D’ après avoir bloqué la
lunette avec la vis D).
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8
♦
♦
Tourner la platine à la main (sans toucher à ses vis calantes !) jusqu'à ce que l’image, de couleur
bleu-ciel, de la fente donnée par la réflexion partielle sur la face AB du prisme, apparaisse dans la
lunette.
Amener cette image en parfaite coïncidence avec le réticule en jouant sur la vis micrométrique E’
après avoir bloqué la platine avec la vis voisine E : le faisceau est alors incident sur le prisme
selon l’angle i choisi.
Pour déterminer la direction θE du faisceau émergent correspondant, procéder comme suit :
♦
Desserrer la vis D et faire pivoter la lunette jusqu'à ce que les raies d'émission caractéristiques de
la lampe à vapeur de mercure y apparaissent.
♦ Pointer très précisément la raie verte et noter dans le tableau ci-dessous la valeur de θE
correspondante.
Faire vérifier votre première mesure par l’enseignant.
♦
♦
Recommencer cette procédure pour les autres valeurs de l’angle i du tableau et compléter celui-ci.
Tracer la courbe D = f(i). On prendra les échelles suivantes :
• en abscisse : 2 mm pour 1°
• en ordonnée : 4 mm pour 1°
i
θR
(- 90° < i < 0°)
(30° < D < 70°)
θE
D
.....
- 85° 00’
-80° 00’
- 75° 00’
-70° 00’
- 65° 00’
- 60° 00’
- 55° 00’
- 50° 00’
- 45° 00’
- 40° 00’
- 35° 00’
♦ L'allure de la courbe expérimentale est-elle en bon accord avec la courbe théorique présentée sur la
figure 2 ?
♦ Discuter, en particulier, la pente des tangentes pour les valeurs i0, im et - 90° de l’angle i.
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4.4 Détermination de l'indice du prisme pour la raie verte de la lampe à vapeur de mercure
Pour calculer la valeur de l’indice n du prisme, on utilise la relation :
D +A
sin  m

2


n=
A
 
sin  
2
Cependant la courbe précédente ne permet pas d’obtenir une valeur très précise de Dm et donc de n.
Procéder alors comme suit :
♦ Repérer dans le tableau ci-dessus la plus petite valeur de D obtenue et identifier les valeurs de θR
et de θE correspondantes.
♦ Replacer le prisme et la lunette dans cette configuration.
♦ Observer la raie verte à travers la lunette.
♦ Tourner la platine dans un sens ou dans l'autre : le mouvement en résultant pour la raie verte doit
changer de sens en passant par une position extrême (ou point de rebroussement). Si ce n'est pas
le cas, déplacer légèrement la lunette et recommencer.
♦ Bloquer la platine à ce point de rebroussement de la raie (affiner le réglage avec la vis E’).
♦ Pointer la raie verte et relever la valeur de θEm :
θEm =
♦ En déduire la valeur de Dm :
Dm =
♦ Calculer la valeur numérique de n et l’incertitude ∆n (voir en annexe C le calcul d'incertitude sur
n et l’expression du résultat final) :
nvert =
Pour cette position particulière de la platine correspondant au minimum de déviation, on souhaite
vérifier expérimentalement que :
i = - i’ = im
♦ Mesurer l’angle θRm correspondant :
θRm =
♦ En déduire l’angle im :
im =
♦ Décrire une méthode permettant de mesurer l'angle i’m (faire un schéma explicatif) :
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Effectuer la mesure puis conclure :
i’m = …………
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ANNEXE
A - Observation sur un écran de la déviation du faisceau
♦
♦
collimateur
Ouvrir très largement la fente F du
collimateur avec la vis F’ et placer
un écran à la place de la lunette sur
la partie avant du pourtour du
goniomètre (fig 7).
+
Faisceau incident
B
ii
Tourner la platine pour que l’angle
d'incidence i soit voisin de -90° (le
faisceau incident est rasant sur la
face AB).
A
♦
Faire varier l’angle i en tournant la
platine dans le sens indiqué sur la
figure. Sur l'écran, le faisceau dévié
se rapproche d’abord du faisceau
direct puis s'en éloigne. L'angle de
déviation D passe donc par une
valeur Dm minimale.
C
D
Sens de
rotation de
la platine
écran
Faisceau
réfracté
Faisceau
direct
Fig 7. La rotation de la platine permet d’observer sur
l’écran le minimum de déviation du faisceau réfracté.
B - Réglages du goniomètre
Ils doivent s'effectuer dans l'ordre suivant :
•
•
•
réglage de l'oculaire de la lunette
réglage de la lunette sur l'infini
réglage du collimateur sur l'infini
B.1 Réglage de l'oculaire de la lunette
♦ Mettre sous tension le coffret d'alimentation.
♦ Mettre au point sur le réticule par rotation de la bague O de l'oculaire.
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B.2 Réglage de la lunette sur l'infini par autocollimation
Face réfléchissante
du prisme
Lame
semi-réfléchissante
Levier H
Oculaire O
Réticule
R
R’
Objectif
Bague de réglage
A de la lunette
Bague de réglage
C de l’oculaire O
Lampe L
Fig 8. Le réticule et son image ne sont pas superposés : la platine n’est pas horizontale.
♦ Basculer vers l'avant le levier H pour interposer une lame semi-réfléchissante permettant
l’éclairage du réticule avec la lumière de la lampe L (fig 8).
♦ Viser avec la lunette la normale à une des faces du prisme qui, partiellement réfléchissante, joue le
rôle de miroir.
♦ Mettre au point, sur le réticule avec la bague G et, avec la bague A, sur son image donnée par la
face du prisme : leurs fils horizontaux doivent alors être au même niveau ou très voisins comme
sur la figure 9. Si ce n’est pas le cas appeler l’enseignant pour régler l’horizontalité de la platine
supportant le prisme.
Fig 9 : La platine est horizontale mais la visée n’est pas parfaite.
B-3 Réglage du collimateur sur l'infini
♦
♦
♦
♦
♦
♦
Oter le prisme de la platine.
Eclairer la fente du collimateur à l’aide de la lampe à vapeur de mercure.
Elargir la fente en tournant le bouton F' dans le sens des aiguilles d’une montre.
Escamoter la lame semi-réfléchissante en poussant le levier H vers l’arrière.
Amener la lunette dans l’axe du collimateur.
Par rotation de la bague B, obtenir une image nette de la fente : le faisceau émergent du
collimateur est alors parallèle.
♦ Replacer le prisme sur la platine.
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C - Calcul de l’incertitude sur l'indice
On a la relation :
D + A
sin  m

2


n=
A
sin  
2
Pour simplifier l’écriture, on pose :
Dm = D.

A+D 

A 

 
ln n = ln sin 
 − ln sin  
2

 
  2 
On a :
d’où :
  A 
  A + D 
d sin 
d sin  

dn
  2 
  2 
−
=
n
A+D
A
sin 
sin  

2


2
soit :


dn
dA 
1
1
=
−
n
2 
A+D
A
 tan  2  tan  2 


 







+


dD 
1
2 
A+D

 tan 
 2 







Le premier terme est négatif car la fonction 1/tan est décroissante, d’où :


∆n
∆A 
=
n
2 




1
1

−
A
A+D 
tan   tan 
 
2
 2  
+


1
∆D 

2
A+D
 tan  2 









Si on estime que les incertitudes ∆A et ∆D sur les angles A et D sont identiques, on obtient :
∆n
∆A
=
×
n
2
1
A
tan  
2
Exemple de calcul :
Supposons que : A = 69° 56’ ; Dm = 51°23’ et ∆A = ∆D = 2’ = 6.10 - 4 radians (rad). On obtient alors
(résultats provisoires) :
∆n
-4
1
n = 1,52105 ;
= 1,4299 ;
= 4,2.10
A
n
tan
2
On en déduit que ∆n = 6,4.10 - 4, valeur que l’on arrondit à ∆n = 7.10 – 4.
On écrira donc, finalement :
n = 1,5211 ± 0,0007
Remarque : On notera la très grande précision de cette mesure puisque ∆n/n est de l’ordre de 10 - 4.
Cette manipulation est donc la plus précise de toutes celles effectuées durant ce semestre.
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