introduction historique des nombres complexes

introduction historique
des nombres
complexes
Hervé Gurgey
introduction historique des nombres
complexes
Hervé Gurgey
13 septembre 2009
Equations polynomiales de degré 3
introduction historique
des nombres
complexes
Hervé Gurgey
La méthode de Cardan, proposée par Jérôme Cardan dans son
ouvrage Ars Magna publié en 1545, est une méthode permettant
de résoudre les équations polynomiales du troisième degré.
Equations polynomiales de degré 3
introduction historique
des nombres
complexes
Hervé Gurgey
La méthode de Cardan, proposée par Jérôme Cardan dans son
ouvrage Ars Magna publié en 1545, est une méthode permettant
de résoudre les équations polynomiales du troisième degré.
( En fait ces équations , comme pour le second degré, possèdent
des méthodes générales de résolutions donnant les solutions en
fonction des coefficients du polynôme en utilisant seulement les
quatre opérations habituelles sur les nombres rationnels, et
l’extraction de racines carrées, cubiques ...
Equations polynomiales de degré 3
introduction historique
des nombres
complexes
Hervé Gurgey
La méthode de Cardan, proposée par Jérôme Cardan dans son
ouvrage Ars Magna publié en 1545, est une méthode permettant
de résoudre les équations polynomiales du troisième degré.
( En fait ces équations , comme pour le second degré, possèdent
des méthodes générales de résolutions donnant les solutions en
fonction des coefficients du polynôme en utilisant seulement les
quatre opérations habituelles sur les nombres rationnels, et
l’extraction de racines carrées, cubiques ...
Cette méthode permet de mettre en place des formules appelées
formules de Cardan donnant en fonction de p et q les solutions de
l’équation :
x 3 + px + q = 0
Equations polynomiales de degré 3
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des nombres
complexes
Hervé Gurgey
La méthode de Cardan, proposée par Jérôme Cardan dans son
ouvrage Ars Magna publié en 1545, est une méthode permettant
de résoudre les équations polynomiales du troisième degré.
( En fait ces équations , comme pour le second degré, possèdent
des méthodes générales de résolutions donnant les solutions en
fonction des coefficients du polynôme en utilisant seulement les
quatre opérations habituelles sur les nombres rationnels, et
l’extraction de racines carrées, cubiques ...
Cette méthode permet de mettre en place des formules appelées
formules de Cardan donnant en fonction de p et q les solutions de
l’équation :
x 3 + px + q = 0
On dit que les équations de degré 3 sont résolubles par radicaux.
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Formules de Cardan
Hervé Gurgey
Propriété
Si 4p 3 + 27q 2 ≥ 0 l’équation admet au moins
obtenue par la formule :
s
s
r
3
3
q
1 2 4p 3 + 27q 2
q
α= − −
+ − +
2 2
27
2
une solution α
1
2
r
2
4p 3 + 27q 2
27
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complexes
Etude d’un exemple
Hervé Gurgey
3
On considère l’équation : x − 2x + 5 = 0
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complexes
Etude d’un exemple
Hervé Gurgey
3
On considère l’équation : x − 2x + 5 = 0
ici 4p 3 + 27q 2 = 4 × (−8) + 27 × 25 = 643
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Etude d’un exemple
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3
On considère l’équation : x − 2x + 5 = 0
ici 4p 3 + 27q 2 = 4 × (−8) + 27 × 25 = 643
L’équation admet donc au moins une solution :
s
s
r
r
5 1 2 643
5 1 2 643
3
3
α= − −
+ − +
≈ −2, 09
2 2 27
2 2 27
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Etude d’un exemple
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3
On considère l’équation : x − 2x + 5 = 0
ici 4p 3 + 27q 2 = 4 × (−8) + 27 × 25 = 643
L’équation admet donc au moins une solution :
s
s
r
r
5 1 2 643
5 1 2 643
3
3
α= − −
+ − +
≈ −2, 09
2 2 27
2 2 27
L’étude des variations de P(x) = x 3 − 2x + 5 prouve que
l’équation n’admet pas d’autre solutions :
y
•
α
y = x 3 − 2x + 5
x
Etude d’un autre exemple
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complexes
Hervé Gurgey
On considère l’équation : x 3 − 15x − 4 = 0
Etude d’un autre exemple
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complexes
Hervé Gurgey
On considère l’équation : x 3 − 15x − 4 = 0
ici 4p 3 + 27q 2 = 4 × (−8) + 27 × 25 = −13068
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Etude d’un autre exemple
Hervé Gurgey
On considère l’équation : x 3 − 15x − 4 = 0
ici 4p 3 + 27q 2 = 4 × (−8) + 27 × 25 = −13068
Les formules de cardan ne peuvent donc pas être appliquées
Or l’étude des variations de P(x) = x 3 − 2x + 5 prouve que
l’équation admet trois solutions ! ! ! :
y
y = x 3 − 2x
•
•
•
La formule de cardan ne s’avoue pas vaincue ! !
Il peut paraı̂tre surprenant qu’ aucune des trois solutions de cette
équation ne puisse être donnée par la formule de Cardan.
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La formule de cardan ne s’avoue pas vaincue ! !
Il peut paraı̂tre surprenant qu’ aucune des trois solutions de cette
équation ne puisse être donnée par la formule de Cardan.
Par analogie avec le second degré , lorsque ∆ < 0 l’équation
n’admet pas de solution donc l’algèbre qui ne permet pas de
calculer la racine carré de nombre négatif est cohérente avec le
nombre de solutions.
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La formule de cardan ne s’avoue pas vaincue ! !
Il peut paraı̂tre surprenant qu’ aucune des trois solutions de cette
équation ne puisse être donnée par la formule de Cardan.
Par analogie avec le second degré , lorsque ∆ < 0 l’équation
n’admet pas de solution donc l’algèbre qui ne permet pas de
calculer la racine carré de nombre négatif est cohérente avec le
nombre de solutions.
Bombelli (1526-1572) imagine qu’il existe un ensemble
contenant strictement de R dans lequel
il existerait des racines carrées de nombres négatifs et dans lequel
les propriétés calculatoires dans R se prolongeraient
I La formule de Cardan donnerait alors comme solution :
q
q
√
√
3
3
2
α = 2 + −121 + 2 − 2 −121
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La formule de cardan ne s’avoue pas vaincue ! !
Il peut paraı̂tre surprenant qu’ aucune des trois solutions de cette
équation ne puisse être donnée par la formule de Cardan.
Par analogie avec le second degré , lorsque ∆ < 0 l’équation
n’admet pas de solution donc l’algèbre qui ne permet pas de
calculer la racine carré de nombre négatif est cohérente avec le
nombre de solutions.
Bombelli (1526-1572) imagine qu’il existe un ensemble
contenant strictement de R dans lequel
il existerait des racines carrées de nombres négatifs et dans lequel
les propriétés calculatoires dans R se prolongeraient
I La formule de Cardan donnerait alors comme solution :
q
q
√
√
3
3
2
α = 2 + −121 + 2 − 2 −121
√
√ 3
I Or on peut démontrer que : 2 +
−1 = 2 + −121 et
√
√ 3
2 − −1 = 2 − −121
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La formule de cardan ne s’avoue pas vaincue ! !
Il peut paraı̂tre surprenant qu’ aucune des trois solutions de cette
équation ne puisse être donnée par la formule de Cardan.
Par analogie avec le second degré , lorsque ∆ < 0 l’équation
n’admet pas de solution donc l’algèbre qui ne permet pas de
calculer la racine carré de nombre négatif est cohérente avec le
nombre de solutions.
Bombelli (1526-1572) imagine qu’il existe un ensemble
contenant strictement de R dans lequel
il existerait des racines carrées de nombres négatifs et dans lequel
les propriétés calculatoires dans R se prolongeraient
I La formule de Cardan donnerait alors comme solution :
q
q
√
√
3
3
2
α = 2 + −121 + 2 − 2 −121
√
√ 3
I Or on peut démontrer que : 2 +
−1 = 2 + −121 et
√
√ 3
2 − −1 = 2 − −121
I On a alors
√ √ α = 2 + −1 + 2 − −1 = 4
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Hervé Gurgey
Un problème de notation
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complexes
Hervé Gurgey
la fonction racine carrée ne peut pas se prolonger correctement à
ce sur ensemble
Un problème de notation
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complexes
Hervé Gurgey
la fonction racine carrée ne peut pas se prolonger correctement à
ce sur ensemble
p
√
√
√
En effet on aurait : −1 × −1 = (−1) × (−1) = 1 = 1
√
√
√ 2
et : −1 × −1 = −1 = −1
Un problème de notation
introduction historique
des nombres
complexes
Hervé Gurgey
la fonction racine carrée ne peut pas se prolonger correctement à
ce sur ensemble
p
√
√
√
En effet on aurait : −1 × −1 = (−1) × (−1) = 1 = 1
√
√
√ 2
et : −1 × −1 = −1 = −1
Ce qui donnerait : −1 = 1 ! ! !
Un problème de notation
introduction historique
des nombres
complexes
Hervé Gurgey
la fonction racine carrée ne peut pas se prolonger correctement à
ce sur ensemble
p
√
√
√
En effet on aurait : −1 × −1 = (−1) × (−1) = 1 = 1
√
√
√ 2
et : −1 × −1 = −1 = −1
Ce qui donnerait : −1 = 1 ! ! !
Gauss
décida en 1831 de noter C ce sur ensemble et de remplacer
√
−1 par i
Un problème de notation
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des nombres
complexes
Hervé Gurgey
la fonction racine carrée ne peut pas se prolonger correctement à
ce sur ensemble
p
√
√
√
En effet on aurait : −1 × −1 = (−1) × (−1) = 1 = 1
√
√
√ 2
et : −1 × −1 = −1 = −1
Ce qui donnerait : −1 = 1 ! ! !
Gauss
décida en 1831 de noter C ce sur ensemble et de remplacer
√
−1 par i
Ainsi i 2 = −1
Un problème de notation
introduction historique
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complexes
Hervé Gurgey
la fonction racine carrée ne peut pas se prolonger correctement à
ce sur ensemble
p
√
√
√
En effet on aurait : −1 × −1 = (−1) × (−1) = 1 = 1
√
√
√ 2
et : −1 × −1 = −1 = −1
Ce qui donnerait : −1 = 1 ! ! !
Gauss
décida en 1831 de noter C ce sur ensemble et de remplacer
√
−1 par i
Ainsi i 2 = −1
√
√
√
On pourra alors remplacer , par exemple , −16 par 16 × −1
c’est à dire 4 × i
La fin de l’histoire
introduction historique
des nombres
complexes
Hervé Gurgey
En ce qui concerne les équations polynomiales . Il revint à
Ludovico Ferrari (1522-1565) de mettre en place une méthode de
résolution par radicaux des équations du quatrième degré.
La fin de l’histoire
introduction historique
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complexes
Hervé Gurgey
En ce qui concerne les équations polynomiales . Il revint à
Ludovico Ferrari (1522-1565) de mettre en place une méthode de
résolution par radicaux des équations du quatrième degré.
L’histoire se termine avec Abel et Galois au 19ieme qui
démontrèrent l’impossibilité de résoudre par radicaux les équations
polynomiales de degré supérieur ou égal à 5