Quantité de mouvement relativiste (2) Force et accélération en

Quantité de mouvement relativiste (2)
• Collision élastique de deux particules identiques: 1 + 2 3 + 4
– dans le référentiel R du centre de masse toutes les vitesses sont égales
–d
R y saut de vitesse +a
saut de vitesse –a
r
4
d x’’
–a
r
''3
R’’ y’’g
br
2
r
1
–b
saut de vitesse +d
r r
''4 ''2
r
''1 –e
Saut de vitesse de R'' à R' avec =
1 :
1 d 2
a r
3
x
r
'4
y’
R’
e
r
'2
x’
r r
'1 '3
–d
d
–g
e = '4y =
''4y
g
= = g 1 d 2
(1 ''
4x d)
{
0
Dans R’, conservation de la quantité de mouvement selon y’: p'1y + p'2y = p'3y + p'4 y
(
(
)
(
)
(
)
d 2 + e 2 e = (g)g + d 2 + e 2 e (g)g = d 2 + e 2 e
g
(g)
d 2 + e 2 = (g) =
(0)
Si b0, alors
e
1 d 2
(d)=
e0 et g0, et:
1 d 2 CQFD
(g)g )
OS, 11 mai 2006
311
Force et accélération en relativité restreinte
r dpr d(mvr )
r
r d
=
= ma + mv
F=
dt
dt
dt
F ma et la force n’est en général
pas parallèle à l’accélération
r
d (1 v 2 /c 2 ) 3 r 2 3 r r
d d 1
dv = v a vr ar = c 2 d
dt
=
= =
dt dt 1 vr 2 /c 2 2(1 vr 2 /c 2 ) 3 / 2 2c 2 dt c 2
3 dt
r 2 d
2
r r
r r
r r d
r d
d
d
F v = ma v + mv v = m c 3 + mv 2 = mc 2 12 + v2 = mc 2
dt
dt
dt
dt
c dt
r
r
r
r d
r r F vr F = ma + mv = ma + v 2 dt
c •
Si F est parallèle à v:
r
r r vr 2
F = ma + F 2
c
la force est parallèle à l’accélération
si et seulement si elle est parallèle
ou perpendiculaire à la vitesse
r vr 2 r
r
r
F1 2 = ma F = m 3a
c •
Si F est perpendiculaire à v:
r
F = m ar
r r
d
F v =0 =0 dt
= constante v = constante
OS, 11 mai 2006
312
Energie cinétique relativiste
• Une particule au repos dans R au point A se déplace au point B
sous l’effet d’une force, en acquérant une énergie cinétique T:
F
z
R
y
traje
ctoir
e
A
O
t
B
vA=0
A=1, TA=0
x
vB=v
B= , TB=T
• Théorème de l’énergie cinétique entre A et B:
Br
Br r
r
T = TB TA = F d r = F vdt
A
A
B
B
d = mc 2 dt = mc 2 A = mc 2 ( B A ) T = mc 2 ( 1)
A
dt • Limite non-relativiste ( = v/c << 1):
r 1/ 2
r
r
r
r
T = mc 2 (1 2 ) 1 = mc 2 1 + 12 2 + O( 4 ) 1 = 12 mc 2 2 + O( 4 )
12r3
1 mv 2
OS, 11 mai 2006
2
[
]
[
]
313
Quantité de mouvement et énergie
cinétique en fonction de la vitesse
p/mc
4
Quantité de mouvement relativiste:
p = mc= mv
3
Quantité de mouvement newtonienne:
p = mc = mv
Remarques:
2
1
=v/c
0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
T/mc2
4
1.2
1.4
Energie cinétique relativiste:
T = mc2(–1)
– on retrouve la
mécanique
newtonienne si
v << c ( << 1)
– en relativité,
v est bornée
(par c)
Energie cinétique newtonienne:
mais p et T ne
T = mv2/2
sont par bornées
3
2
1
=v/c
0
0.0
OS, 11 mai 2006
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
314
Energie potentielle de masse
Z 0 q q g hadrons
• On observe une particule au repos
qui se désintègre. Exemples:
Z 0 quark + antiquark + gluon hadrons
neutron proton + électron + antineutrino
temps de vie moyen du neutron = 15 min
• Lois de conservation:
– Quantité de mouvement totale conservée – Energie cinétique pas conservée
de l’énergie potentielle est libérée sous forme d’énergie cinétique
– On introduit une énergie interne associée à la masse, de sorte que
l’énergie totale (énergie cinétique + énergie de masse) soit conservée:
énergie
potentielle
de masse
équivalence
masse-énergie
Attention:
2
E pot
masse = mc
«taux de change» très élevé:
1g de matière correspond à
103 (3 10 8 ) 2 1014 J
ou ~ 3MW pendant 1 an
Einstein, 1905
masse énergie
OS, 11 mai 2006
315
Energie potentielle de masse (2)
• Soit la constante de proportionnalité
entre masse et énergie interne de masse.
• Désintégration d’une particule de masse M
en deux particules identiques de masses m:
avant
M
E pot
masse (m) = m
saut de vitesse –v
v
M
avant
repos
u
u = 2v/(1+v2/c2)
repos
Référentiel R’ où une masse m est au repos
après
m m
Conservation de E dans R':
r
Conservation de p dans R':
–v
m m
v
après
Référentiel R du centre de masse
pot
T(M,v) + E pot
masse (M) = T(m,u) + 2E masse (m)
Mc 2 ( (v) 1) + M = mc 2 ( (u) 1) + 2m
M(v)v = m(u)u
(1)
(2)
c 2 ( (v) 1) + c 2 ( (u) 1) + 2
(1)
=
où u = 2v2 2
(2)
(v)v
(u)u
1 + v /c
OS, 11 mai 2006
à résoudre pour avoir
en fonction de v
Solution: = c2 indépendamment de v !
316
Au tableau
Relation énergie – quantité de mouvement
• Energie totale d’une particule de masse m et de vitesse v:
2
2
E = T + E pot
masse = mc ( 1) + mc
E = mc 2
• Vitesse:
r
r
r
r
r
p
pc
=
p = mc =
mc mc 2
r pr c
=
E
• Relation entre énergie et quantité de mouvement:
r
1 2 = 12
r 2 E 2
E (E) = 2
r
2
E 2 (pc) = (mc 2 ) 2
r
E 2 p 2c 2 = m2c 4
• Particule de masse de masse nulle:
Remarque:
les quantités E, pc et mc2
ont toutes la dimension
d’une énergie
Unités courantes: eV, MeV, …
m = 0 E = pc = 1
– exemple: le photon (particule de lumière)
OS, 11 mai 2006
317
Scalaires et quadrivecteurs
• Scalaire (ou invariant):
– grandeur que ne change pas par changement de référentiel:
• exemples: c, (s)2, m, mc2
• Quadrivecteur:
– ensemble de 4 composantes (A0, A1, A2, A3) =(A0, A) qui se
transforme comme (ct, x, y, z) = (ct, x) par changement de
référentiel (transformation de Lorentz)
r
r
• exemple: (ct,x) = (ct 2 , x 2 ) (ct1, x1 )
r
r
r r
– produit scalaire de deux quadrivecteurs: (A0 , A) (B0 , B) = A0B0 A B
– carré de la norme d’un quadrivecteur
= produit scalaire d’un quadrivecteur
lui-même:
r par
r
2
(A0 , A) = A20 A2 = A20 A12 A22 A23
• Le carré de la norme d’un quadrivecteur est un scalaire
2
2
– par exemple (ct, x) = (ct) 2 (x) = (s) 2 est un scalaire
OS, 11 mai 2006
318
Quadrivecteur énergie–quantité de mouvement
Temps propre d’une particule de vitesse v
(= temps dans le référentiel où la particule est au repos):
Quadrivecteur position:
= 1t
r
(ct, x)
d (ct, xr ) = d (ct, xr ) = ( c,vr )
dt
d
r
r 2
r 2
r
Quadrivecteur vitesse/c: ( ,) de norme 2 = ( ,) = 2 ( ) = 2 (1 2 ) = 1
Quadrivecteur vitesse:
En multipliant ce dernier quadrivecteur par le scalaire mc2,
on obtient un quadrivecteur de norme2=m2c4 :
r
r
r
E 2 p 2c 2 = m2c 4
mc 2 , mc 2 = (E, pc) est un quadrivecteur
(
)
Conséquence:
l’énergie et la quantité de mouvement
se transforment de la façon suivante
lors d’un saut de vitesse standard:
E' 0 0 E p'x 0 0 p x p'y = 0
0 1 0 p y 0
0 0 1 p z p'z transformation de Lorentz
OS, 11 mai 2006
319
Résumé de relativité restreinte
Relativité restreinte
Postulats
v/c << 1
c = constante
Mécanique newtonienne
temps et espace absolus
2
(ct) 2 (x) invariant
t et x invariants
Grandeurs
physiques
r r
r 1/ 2
= v/c, = (1 2 )
r
r
p = mc
T = mc 2 ( 1)
E = mc 2
r r
= pc/E
r
E 2 p 2c 2 = m2c 4
Loi de la
dynamique
r dpr
F=
dt
r dpr
F=
dt
conservation du r
quadrivecteur (E, pc)
r
conservation de p
conservation de l'énergie
Lois de
conservation
OS, 11 mai 2006
r
r
p = mv
T = 12 mv 2
E = E interne + 12 mv 2
v = 2T/p
r
T = p 2 /(2m)
320