Déterminer une fonction affine à partir de deux images

FONCTIONS AFFINES
Déterminer une fonction affine à partir de deux images
Le problème
Lorsqu’on sait que f(x1) =
y1 et que f(x2) = y2, comment trouver l’expression de f(x1) ?
On sait qu’une fonction affine a une expression de la forme f(x) = ax + b, le problème est donc
de calculer a et b.
1° méthode
Détermination de a.
Une fonction affine est caractérisée par un taux de variation constant.
f(x2) – f(x1)
Donc
= constante et cette constante est a.
(pour x1
x2 – x1
Détermination de b.
On écrit que f(x1) = ax1 + b
(ou f(x2) = ax2 + b)
Comme on connaît f(x1), x1, et a, une petite équation nous permet de trouver b
Exemple :
f(2) = 1 et f(4) = 6
f(4) – f(2)
6–1
5
On a :
a=
=
= = 2,5
4 – (2)
4–2
2
5
Comme f(2) = 1,
1 = ×2 + b
donc b = –4
2
Comme f(x1) =
Donc f(x) =
5
2
y1
x–4
x2)
f(x1) = a x1 + b
(Ne pas oublier de répondre !)
2° méthode : algorithme
L’algorithme en français vous permet, en l’apprenant et en le suivant, de faire l’exercice par
vous-même. L’utilisation d’un programme permet d’éviter les erreurs de calculs.
En français :
Lire x1, y1, x2 et y2
y2 – y1
Calculer m =
x2 – x1
Calculer p = y1 – mx1
Afficher f(x1) = mx1 + p
Pour une Casio
PROGRAM: AFFINE
"X1" ? A
"Y1" ? B
"X2" ? C
"Y2" ? D
(D–B)/(C–A) M
B–M×AP
"F(X) ="
M
"X (+)"
P
Ifend
Pour une TI
PROGRAM:DROITE
:Input "X1= ?", A
:Input "Y1= ?", B
:Input "X2= ?", C
:Input "Y2= ?", D
:(D–B)/(C–A) M
:B–M×AP
:Disp "F(X) =", M
:Disp "X (+)", P
:End
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Exercice 1
Déterminer l’expression de la fonction
f telle que : f(–2) = 1 et f(3) = 6
Corrigé – Revoir les explications du cours
Exercice 2
Déterminer l’expression de la fonction
f telle que : f(–3) = –1 et f(1) = –5
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Exercice 3
Déterminer l’expression de la fonction
f telle que : f(–1) = –3 et f(2) = 6
Corrigé – Revoir les explications du cours
Exercice 4
Déterminer l’expression de la fonction
f telle que : f(–4) = 5 et f(2) = –7
Corrigé – Revoir les explications du cours
Exercice 5
Déterminer l’expression de la fonction
f telle que : f(–2) = –1 et f(3) = 5
Corrigé – Revoir les explications du cours
Exercice 6
Déterminer l’expression de la fonction
f telle que : f(–2) = 1 et f(3) = –2
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Exercice 7
Déterminer l’expression de la fonction
f telle que : f(–2) = 3 et f(5) = 3
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Corrigé 1
Déterminer l’expression de la fonction f telle que : f(–2) = 1 et f(3) = 6
f(3) – f(–2)
6–1
On sait que f(x) = ax + b avec a =
=
=1
3 – (–2)
3+2
Comme f(3) = 6,
6=3+b
donc b = 3
Donc f(x) =
x+3
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Corrigé 2
Déterminer l’expression de la fonction f telle que : f(–3) = –1 et f(1) = –5
f(1) – f(–3) –5 – (–1)
On sait que f(x) = ax + b avec a =
=
= –1
1 – (–3)
1+3
Comme f(1) = –5,
–5 = –1 + b
donc b = – 4
Donc f(x) = – x – 4
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Corrigé 3
Déterminer l’expression de la fonction f telle que : f(–1) = –3 et f(2) = 6
f(2) – f(–1) 6 – (–3)
On sait que f(x) = ax + b avec a =
=
=3
2 – (–1)
2+1
Comme f(2) = 6,
6 = 3×2 + b
donc b = 0
Donc f(x) = 3x
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Corrigé 4
Déterminer l’expression de la fonction f telle que : f(–4) = 5 et f(2) = –7
f(2) – f(–4) –7 – 5
On sait que f(x) = ax + b avec a =
=
= –2
2 – (–4)
2+4
Comme f(2) = –7,
–7 = –2×2 + b
donc b = 3
Donc f(x) = –2x + 3
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Corrigé 5
Déterminer l’expression de la fonction f telle que : f(–2) = –1 et f(3) = 5
f(3) – f(–2)
5 – (–1)
6
On sait que f(x) = ax + b avec a =
=
=
3 – (–2)
3+2
5
6
25
18
7
Comme f(3) = 5,
5 = ×3 + b
d’où
=
+b
donc b =
5
5
5
5
4x + 13
4
13
Donc f(x) = x +
ou, f(x)=
5
5
5
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Corrigé 6
Déterminer l’expression de la fonction f telle que : f(–2) = 1 et f(3) = –2
f(3) – f(–2) –2 – 1 –3
On sait que f(x) = ax + b avec a =
=
=
3 – (–2)
3+2
5
3
–10
9
1
Comme f(3) = –2,
–2 = – ×3 + b
d’où
= – + b donc b = –
5
5
5
5
–3x – 1
3
1
Donc f(x) = – x – ou, f(x) =
5
5
5
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Corrigé 7
Déterminer l’expression de la fonction f telle que : f(–2) = 3 et f(5) = 3
f(–2) = f(5) donc la fonction est constante. On a f(x) = 3
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