Commande en Mode Glissant avec Observateur Robuste Associée

Transcription

REPUBLIQUE ALGERIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE
MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE
SCIENTIFIQUE
UNIVERSITE DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE D'ORAN
MOHAMED BOUDIAF
FACULTÉ DE GÉNIE ÉLECTRIQUE
DÉPARTEMENT D'ÉLECTROTECHNIQUE
THESE EN VUE DE L'OBTENTION DU TITRE
DE DOCTORAT EN SCIENCE
SPÉCIALITÉ: Eléctrotechnique
OPTION
: Automatique
Présenté par
Mme KEBBATI Ymene
Sujet de Thése
Commande en Mode Glissant avec Observateur Robuste Associée à un
Estimateur pour le Diagnostic du Moteur Asynchrone
Soutenue le 04 - 07- 2013
Mr MAZARI Benyounés
Devant le jury composé de:
Président
Professeur, USTOran
Mr MANSOURI Abdellah
Rapporteur
Professeur, ENP d'Oran
Mr.BOURAHLA Mohamed
Co Rapporteur
Professeur, USTOran
Mr MILOUD Yahia
Examinateur
Professeur, Université de Saida
Mr BOUHENNA Abdelrahman
Mr BENDIABDELLAH Azeddine
Examinateur
Examinateur
Maître de conférences A, ENP d'Oran
Maître de conférences A, USTOran
Remerciement
Je tiens a exprimer mes chaleureux remerciements et ma profonde reconnaissance pour
mon encadreur Monsieur A. Mensouri, Professeur à L’école Normale Supérieur d’enseignement Technologique d’Oran ENP qui a consacré à l’encadrement de ma thèse un temps
et une disponibilité d’esprit considérable, je lui suis redevable d’avoir pu faire une thèse
dans des conditions exceptionnelles.
Je remercie chaleureusement Monsieur M. Bourahla, Professeur à l’Université des sciences
et de Technologie d’Oran, co-encadreur de thèse pour m’avoir accueilli au sein de son
équipe et pour m’avoir encadré et encouragé tous au long de ces années de recherches.
Je tiens à adresser ma sincère et profonde reconnaissance à M. Mazari, Professeur à l’université des Sciences et de Technologies d’Oran, d’avoir accepté de présider mon jury de
thèse.
J’exprime mes vifs remerciements à Monsieur A. Bouhanna Maître de Conférence à L’école
Normale Supérieur d’enseignement Technologique d’Oran ENP d’avoir accepté d’examiner mon sujet de thèse.
Je souhaite remercier Monsieur M. Miloud, Professeur à l’université de Saida, d’avoir accepté de participer au jury et d’examiner mon sujet de thèse.
Je remercie également Monsieur, B. Bendiabdellah maître de conférences à l’université
des Sciences et de Technologies d’Oran, d’avoir accepté d’examiner mon sujet de thèse.
J’exprime toute ma reconnaissance et mes plus sincères remerciements à Madame Y.
Hammou maître assistante à l’université des Sciences et de Technologies d’Oran pour son
aide grâce à sa grande compétence scientifique, son dévouement, et ses sacrifices pendant
toutes ces années de travail sur ce sujet de thèse.
J’exprime mes remerciements les plus sincères a mon mari qui a été patient tous aux
long de ces années d’études.
Je ne pourrais clore ces remerciements sans exprimer ma reconnaissance à mes parent qui
m’ont encouragé pendant ces longues années d’études.
1
Dédicace
" Le vieil homme et la mer " de Ernest Hemingway
Dans un premier temps, il y a l’obstination du vieux Monsieur contre sa malchance,
Quatre vingt quatre jours sans pouvoir pêcher un seul poisson. Un jour, après une forte
lutte face à face et en pleine mer avec un énorme poisson, il a réussi à le pêcher. Finalement, le triomphe et la défaite de l’homme : En retournant à terre avec le gros poisson,
les requins dévorent l’animal et le vieux pêcheur se trouve seulement avec l’énorme épine
dorsale décharnée. Dans ce cas, il n’y a ni échec, ni destruction. Le vieil homme s’est battu
avec courage jusqu’au limites de ses forces et l’adversité du destin est quelque chose avec
laquelle il n’y peut rien. Telle est la vie de beaucoup d’hommes, dont leur considération
morale se trouve au-dessus des victoires et des défaites, pourvu qu’ils se soient battus
jusqu’à la fin.
A mon père, ma mère et mes deux enfants Rania et Mehdi.
2
Résumé
L’objectif de ce travail est de donner une synthèse de la commande et l’observation
non linéaire robuste du moteur asynchrone et d’exploiter une technique d’identification
paramétrique en vue du diagnostic. Ainsi Notre travail s’est axé dans cette direction dans
le but de proposer une loi de commande qui réponde au questions posées. La commande
vectorielle et populaire parmi les deux communautés académiques et industrielles et elle
est utilisée. La commande en mode glissant est une commande à structure variable, elle
se distingue par sa simplicité et sa robustesse et elle est utilisée aussi et pour surmonté la
difficulté de la mesure du flux rotorique nous avons introduit un observateur non linéaire
robuste. Les méthode qui utilisent le calcul soft sont à la portée de cette thèse. nous
avons appliquer les réseaux de neurones pour l’identification de certains paramètres de la
machine asynchrone en vue de diagnostic des défauts.
3
Introduction genérale
Grâce à ses avantages, la machine asynchrone demeure la plus pratique dans les entraînements électriques, car elle ne nécessite pas un entretien fréquent comme celui exigé
par la machine à courant continu. Ainsi, elle procure un bon rendement face à un faible
coût, ajoutant à cela sa robustesse et sa fiabilité. En outre, elle peut être utilisée dans les
environnements explosifs parce qu’elle ne produit pas d’étincelles. Cependant, ces nombreux avantages ne sont pas sans inconvénients. La machine asynchrone est caractérisée
par un couplage non linéaire entre le flux magnétique et le couple moteur, ce qui rend
sa commande plus complexe par rapport à celle de la machine à courant continu. Pour
atteindre des performances dynamiques, il faut donc élaborer des lois de commande robustes. La commande vectorielle à flux orienté, introduite par Blaschke en 1972 [17], est
une technique de commande classique pour l’entraînement des machines asynchrones. Le
principe de la La commande vectorielle est de ramener le comportement de la machine
asynchrone à celui d’une machine à courant continu , elle accomplit une linéarisation
asymptotique et un découplage [73]. De façon générale on peut dire que deux types de
commandes vectorielles sont possible d’une part, la commande vectorielle indirecte ou seul
la position du flux est estimée et directe ou l’on estime la norme et la position du flux
pour plus de détails se reporter aux ouvrages suivants [49] [26], [66].
D’autre part Un type de lois de commande robuste simple à calculer et à mettre en oeuvre,
même pour des systèmes non linéaires, est la commande par modes glissants. Elle est apparue en Union soviétique pendant les années 60 à partir des travaux sur les commandes
à structure variable, la commande par modes glissants se distingue par sa simplicité :
le critère de commutation est une surface de glissement divisant l’espace d’état en deux
(pour une commande monovariable, ou pour chaque composante d’une commande multivariable), et les lois de commande dans chaque demi espace sont des constantes. Cette
loi de commande est définit de manière à forcer le système à atteindre un voisinage de
la surface de glissement et à y rester, pour tous les modèles de la classe d’incertitudes
considérée. Cette commande a deux principaux avantages. Premièrement, le comportement dynamique du système une fois atteint le voisinage de la surface de glissement est
essentiellement conditionné par cette dernière. On dit que le système est en régime glissant. Deuxièmement, ce comportement est non seulement robuste, mais même insensible
à la classe d’incertitudes pour laquelle la commande a été réglée.
Compte tenu de tous les enjeux économiques, le diagnostic des machines asynchrones
s’est fortement développé dans le monde industriels car la volonté d’obtenir une chaîne
de production doit être dotées de systèmes de protection fiable car une quelconque défaillance, même la plus anodine, peut mener à un dommage matériel ou corporel grave.
Le diagnostic de la machine asynchrone à été sujet de recherche de plusieurs auteurs,[88],
[7], [29], ,[14], [19], [12]. Les réseaux de neurones ont connus une utilisation large en ce
qui concerne la modélisation, la commande et la surveillance des systèmes industriels.
4
Introduction genérle
dans ce contexte le travail présenté dans ce mémoire est porté sur la réalisation d’algorithmes d’identification de commande et d’observation pour la machine asynchrone,
depuis la phase d’étude théorique jusqu’a la mise en oeuvre de la simulation.
Nous avons orienté notre travail dans plusieurs directions qui ont abouti au contributions
suivantes :
– nous nous somme concentré sur l’application de l’approche neuronale erreur de sortie
("out put error") pour identifier la variation de la résistance rotorique, statorique
et le courant statorique de la machine asynchrone en vue de diagnostic.
– Nous avons étudié un observateur de flux a grand gain susceptible de fournir des
estimés de flux.
– La commande par mode glissant à été expérimentée par différent auteurs qui ont
montré la faisabilité d’une tel approche [2], [15], [46], [69]. Il nous a semblé important
d’évaluer ce type d’algorithmes par comparaison à la loi de type commande vectorielle dans le cadre d’exemple de test("Benchmark") sur la machine asynchrone.
Ce rapport de mémoire est organisé de la façon suivante :
le premier chapitre consiste à présenté brièvement la modélisation de la machine asynchrone à l’aide du modèle de Park. Nous donnons le modèle non linéaire sous forme de
modèle d’état : deux modèles sont présentés : Le modèle de Park à cinq paramètres et le
modèle de Park à quatre paramètres dans les différents repères utilisés. Ensuite nous nous
intéressons plus spécifiquement à la commande vectorielle directe appliquée à la machine
asynchrone, un test de robustesse de la commande est donné en fin du chapitre dans le
but de comparer cette loi de commande avec la commande en mode glissant utilisée au
dernier chapitre.
Dans Le deuxième chapitre nous présentons les différentes Techniques d’identification paramétrique en vue de diagnostic par la suite un estimateur par réseau de neurones est
présenté pour estimer la résistance rotorique, statorique et le courant statorique de la
machine asynchrone mais avant cela nous présentons le principe de fonctionnement des
réseau de neurones et les différent modèles utilisé dans la littérature.
Le chapitre trois est consacré aux rappels des notions de bases d’observabilité des systèmes linéaires et non linéaires, ainsi qu’à la présentation, en particulier, de synthèses
d’observateurs quand le problème des entrées pour les systèmes non linéaires est posé
(observabilité non uniforme) et la notion d’observabilité uniforme quand ce problème ne
se pose pas. Différentes notions d’observabilité sont abordées : locale, globale, uniforme,
générique. Ces éléments de base sur l’observabilité et la synthèse d’observateurs des systèmes linéaires et non linéaires. Nous nous intéressons plus spécifiquement au problème de
l’observation de la machine asynchrone. Dans le cas où la vitesse est mesurée, il n’y a pas
de difficulté théorique à établir l’observabilité des grandeurs électriques (flux et courant)
et mécaniques (vitesse et couple de charge). La suite du chapitre est dédiée a la synthèse
de l’observateur non linéaire à grand gain utilisé pour l’observation de la norme du flux
de la machine asynchrone.
Le chapitre quatre se concentre sur l’étude théorique d’une loi de commande non linéaire
en mode glissant appliquée à la machine asynchrone. Nous présentons des résultats de simulations à l’aide de l’environnement Matlab Simulink pour le test "commande en boucle
ouverte" et "commande + observateur ". le reste du chapitre est consacré à une comparaison entre les deux lois de commandes utilisées.
Enfin, le travail entrepris sera achevé par une conclusion générale et une proposition
pour les futurs travaux de recherches. Nous ajoutons quelques annexes afin que le lecteur
5
Introduction genérle
étranger au domaine, puisse assimiler notre travail.
6
Table des matières
1 La machine asynchrone : modélisation et commande vectorielle
1.1
1.2
1.3
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modélisation de la machine asynchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Présentation de la machine asynchrone . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Transformation de Park-Blondel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Équations électriques généralisées de la machine asynchrone dans le
repère de Park . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Modèle d’état dans le repère tournant généralisé (d, q) . . . . . .
1.2.5 Modèle d’état dans le repère fixe (α, β) lié au stator . . . . . . . .
1.2.6 Modèle de la machine asynchrone à quatre paramètres . . . . . .
Commande vectorielle basée sur la structure des régulateurs Proportionnels
Intégraux (PI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Résultats de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2
3
3
3
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8
9
9
. 11
. 13
. 19
2 Identification paramétrique pour le diagnostic des défauts.
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Discrimination des défauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagnostic par modélisation paramétrique du système (connaissance à priori)
2.2.1 Techniques d’identification paramétrique en vue de diagnostic . . .
2.2.2 Techniques d’estimation d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Techniques des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagnostic par modélisation paramétrique du système(sans connaissance à
priori) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Détection de défauts par analyse du flux . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Détection de défauts par analyse du couple électromagnétique . . .
2.3.3 Détection de défauts par analyse du courant statorique . . . . . . .
Les réseaux de neurones pour l’estimation paramétrique de la machine asynchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Théorie des réseaux de neurones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 L’identification par réseaux de neurones . . . . . . . . . . . . . . .
Estimateur neuronal et suivi des paramètres de la machine asynchrone . .
2.5.1 Résultats de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
20
20
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22
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24
24
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28
28
30
34
35
Table des matières
2.6
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 Observateurs et Observabilité
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
44
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Types d’observateurs et observabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Observabilité des systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Observateurs linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Observabilité des systèmes non linéaires . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Observabilité de la machine avec mesure de vitesse . . . . . . . .
3.3.5 Observabilité de la machine sans mesure de vitesse . . . . . . . .
3.3.6 Cas 1 : Ω̇ = 0 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.7 Cas 2 :ϕ˙rα = ϕ˙rβ = 0 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.8 Cas 3 : ϕ˙rα = ϕ˙rβ = 0 et Ω̇ = 0 : . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.9 Droite d’inobservabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.10 Observateurs non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Application de l’observateur Grand Gain à la machine asynchrone . . . .
3.4.1 Application au modèle cinq paramètres . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Application au modèle quatre paramètres . . . . . . . . . . . . . .
Résultats de simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Résultats de simulation de l’observateur appliqué au modèle de Park
à cinq paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Résultats de simulation de l’observateur appliqué au modèle de Park
à quatre paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Synthèse de la commande en modes glissants
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
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63
66
66
68
68
. 68
. 74
. 76
78
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Théorie de la commande en mode glissant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.1 Système à strucure variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.2 Concept de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.3 Conception de la commande en mode glissant . . . . . . . . . . . . 83
4.2.4 Phénomène de réticence ou broutement ’Chattering’. . . . . . . . . 86
Application a la machine asynchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.1 Modèle cinq paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.2 Résultats de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Comparaison entre la commande en mode glissant et la commande vectorielle.108
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
A Rappel de la stabilité de Lyapunov
122
A.1 Théorie de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
ii
Table des matières
A.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
A.1.2 Systèmes autonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
A.1.3 Systèmes non-autonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
B Schémas de simulation de l’identification, l’observation et la commande.132
B.1
B.2
B.3
B.4
B.5
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Commande vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L’identification par Réseaux de Neurone . . . . . . . . . .
L’observateur à grand gain pour la machine asynchrone .
La commande en mode glissant + observateur à grand gain
iii
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132
133
136
138
139
Table des figures
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
2.20
Transformation triphasée à diphasé (Transformation de Concordia). . . .
Transformation de Park . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trajectoire du benchmark commande : a- Vitesse de référence, b- Couple
de charge, c- Flux de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La vitesse commandée dans le cas nominal. . . . . . . . . . . . . . . . . .
L’erreur de vitesse dans le cas nominal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le flux simulé dans le cas nominal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L’erreur du flux dans le cas nominal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L’erreur de vitesse lors de la variation de Rr. . . . . . . . . . . . . . . . .
L’erreur du flux lors de la variation de Rr. . . . . . . . . . . . . . . . . .
L’erreur de vitesse lors de la variation de Rs. . . . . . . . . . . . . . . . .
L’erreur du flux lors de la variation de Rs. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les résistances rotoriques et les inductances imposées et observées. . . . .
Principe du diagnostic par modélisation paramétrique. . . . . . . . . . .
Le neurone biologique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le neurone Formel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
les fonctions d’activation du neurone formel. . . . . . . . . . . . . . . . .
Principe d’identification du processus par réseau de neurone. . . . . . . .
Réalisation d’un NNARX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Réalisation d’un NNOE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Réalisation d’un NNARMAX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trajectoire imposée à la résistance rotorique. . . . . . . . . . . . . . . . .
La résistance rotorique estimée et l’erreur d’estimation. . . . . . . . . . .
Le comportement de la vitesse et son Erreur lors de la variation de Rr. .
Le comportement de la norme du flux et son erreur lors de la variation de
Rr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le comportement de la norme du courant lors de la variation de Rr . . .
Trajectoire imposé de la résistance rotorique. . . . . . . . . . . . . . . . .
La Résistance rotorique estimée et l’erreur d’estimation. . . . . . . . . . .
Le comportement de la vitesse et son Erreur lors de la variation de Rr. .
Le comportement de la norme du flux lors de la variation de Rr. . . . . .
Le Comportement de la norme du courant lors de la variation de Rr. . .
Trajectoire imposé de la résistance statorique. . . . . . . . . . . . . . . .
iv
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37
37
38
39
39
39
40
40
Table des matières
2.21
2.22
2.23
2.24
2.25
Estimation de Rs et l’erreur d’estimation. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le comportement de la vitesse et son Erreur lors de la variation de Rs.
Le comportement de la norme du flux lors de la variation de Rs. . . . .
Le Comportement de la norme du courant lors de la variation de Rs. .
Estimation de la norme du courant statorique. . . . . . . . . . . . . . .
3.1
3.2
Schéma de principe d’un observateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma fonctionnel d’un observateur linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . .
P 2 ϕ2rα
+ fυ . . . . . .
Droite d’inobservabilité dans la plan(Tl , Ω) avec M =
Rr
Schéma fonctionnel d’un observateur non linéaire. . . . . . . . . . . . . . .
La normes de flux observée à haute vitesse dans le cas nominal. . . . . . .
L’erreur d’observation du flux dans le cas nominal. . . . . . . . . . . . . .
Zoom sur La normes du flux observée lors de la variation de Rr à haute
vitesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zoom sur l’erreur d’estimation de la norme du flux. . . . . . . . . . . . . .
Zoom sur la normes du flux observée lors de la variation de Rs à haute
vitesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zoom sur l’erreur d’observation de la norme du flux. . . . . . . . . . . . . .
La normes de flux observée à basse vitesse dans le cas nominal. . . . . . . .
L’erreur d’observation du flux à basse vitesse dans le cas nominal. . . . . .
Zoom sur la normes du flux observée lors de la variation de Rr à basse vitesse.
Zoom sur l’erreur d’observation de la norme du flux lors de la variation de
Rr à basse vitesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zoom sur La normes du flux observée lors de la variation de Rs à basse
vitesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zoom sur l’erreur d’observation de la norme du flux lors de la variation de
Rs en basse vitesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
le Flux observé et l’erreur d’observation dans le cas nominal. . . . . . . . .
Zoom sur le flux observé lors de la variation de RR et RS (modèle quatre
paramètres) en basse vitesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
le flux Obsérvé lors de la variation de RR et RS (modèle quatre paramètres)
en haute vitesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
3.19
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
.
.
.
.
.
Différents modes pour la trajectoire dans le plan de phase . . . . . . . . .
Différents comportements en dehors de la surface de discontinuité. . . . .
Les deux phases de la commande en mode glissant. . . . . . . . . . . . .
Représentation de la commande discontinue. . . . . . . . . . . . . . . . .
Trajectoire de la commande : a- Vitesse de référence, b- Couple de charge,
c- Flux de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le comportement de la vitesse lors de la variation de Rr :(a, c, e)- Comportement de la vitesse,(b, d, f)- L’erreur de sur la vitesse . . . . . . . . .
v
.
.
.
.
.
.
.
.
.
41
41
42
42
43
46
47
63
63
69
70
70
70
71
71
72
72
73
73
74
74
75
76
76
81
82
83
87
. 93
. 94
Table des matières
4.7
4.25
Le comportement de la norme du flux lors de la variation de Rr :(a, c, e)Zoom sur le comportement de la norme du flux,(b, d, f)- Zoom sur l’erreur
du le flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le comportement de la vitesse lors de la variation de Rs. . . . . . . . . . .
Le comportement de la norme du flux lors de la variation de Rs. . . . . . .
Trajectoire de l’ensemble " commande+observateur" : a- Vitesse de référence, b- Couple de charge, c- Flux de référence. . . . . . . . . . . . . . . .
Résultat de simulation dans le cas nominal : a- Vitesse commandée , bCouple de charge, c- Norme du flux observée . . . . . . . . . . . . . . . . .
L’erreur de vitesse dans le cas nominal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L’erreur sur la norme du flux dans le cas nominal. . . . . . . . . . . . . . .
Comportement de la vitesse lors de la variation de Rr : a- Trajectoire de la
variation de Rr, b- Couple de charge, c- Vitesse commandée. . . . . . . . .
Erreur de la vitesse lors de la variation de Rr. . . . . . . . . . . . . . . . .
La Norme de flux observée lors de la variation de Rr : a- Trajectoire de la
variation de Rr, b- Couple de charge, c- Norme du flux observée. . . . . . .
Erreur de la norme du flux lors de la variation de Rr. . . . . . . . . . . . .
Zoom sur le comportement des courants statoriques lors de la variation de
Rr : a- Trajectoire de la variation de Rr, b- courant statorique suivant l’axe
a, c- courant statorique suivant l’axe b, d- courant statorique suivant l’axe d
La norme du courant statorique lors de la variation de Rr :a- Trajectoire
de la variation de Rr, b- Norme du courant statorique simulé. . . . . . . .
Comportement de la vitesse lors de la variation de Rs : a- Trajectoire de la
variation de Rs, b- Couple de charge, c- Vitesse commandée . . . . . . . .
Erreur de la vitesse lors de la variation de Rs . . . . . . . . . . . . . . . . .
La Norme de flux observée lors de la variation de Rs : a- Trajectoire de la
variation de Rs, b- Couple de charge, c- Norme du flux observée . . . . . .
Erreur de la norme du flux lors de la variation de Rs . . . . . . . . . . . .
Zoom sur le comportement des courants statoriques lors de la variation de
Rs : a- Trajectoire de la variation de Rs, b- courant statorique suivant l’axe
a, c- courant statorique suivant l’axe b, d- courant statorique suivant l’axe d
La norme du courant statorique lors de la variation de Rs. . . . . . . . . .
B.1
B.2
B.3
B.4
B.5
B.6
B.7
B.8
B.9
B.10
Schéma de principe de la machine asynchrone. . .
Bloc de la Commande vectorielle. . . . . . . . . .
Bloc du FOC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bloc de Compensation. . . . . . . . . . . . . . . .
Bloc du PI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bloc simulink utilisé pour l’identification. . . . . .
La couche cachée de l’estimateur neuronal. . . . .
Bloc Simulink de l’observateur en boucle ouverte.
Bloc Simulink de la commande en boucle ouverte.
Bloc Commande + Observateur. . . . . . . . . . .
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20
4.21
4.22
4.23
4.24
vi
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
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.
.
95
96
96
97
98
99
99
101
101
102
102
103
104
105
105
106
106
107
107
133
134
135
135
136
136
137
138
139
140
Table des matières
B.11 Variation de la résistance rotorique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
B.12 Bloc commande + estimateur + observateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
vii
Liste des tableaux
2.1
2.2
2.3
Evolution des paramètres en présence de défauts. . . . . . . . . . . . . . . 21
Fréquence caratéristique du flux axial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Constitution du neurone biologique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
B.1 paramètre de la machine asynchrone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
1
Chapitre 1
La machine asynchrone : modélisation
et commande vectorielle
1.1
Introduction
Ce premier chapitre permet de rappeler la constitution de la machine asynchrone,
sa modélisation et sa commande vectorielle. Nous nous attardons en particulier sur la
commande à flux rotorique orienté. Nous rappelons aussi certaines notions importantes
(champ tournant et repère de Park) ; ces notions sont utilisées dans la présentation du
modèle de simulation et des modèles de comportement dédiés à l’identification et au diagnostic.
Les machines électriques tournantes occupent une place prépondérante dans tous les secteurs industriels. Les machines asynchrones triphasées à cage d’écureuil sont les plus
fréquemment utilisées en raison de leur robustesse, de leur simplicité de construction et
de leur bas coût [97]. Néanmoins, celles-ci subissent au cours de leur durée de vie un
certain nombre de sollicitations externes ou internes qui peuvent les rendre défaillantes.
Les contraintes industrielles en fiabilité, maintenabilité, disponibilité et sécurité des équipements sont par ailleurs très fortes. C’est pourquoi il est intéressant d’estimer l’état de
santé de ces machines.
L’objectif de ce chapitre est de présenter mathématiquement, d’un point de vue de l’automaticien, une modélisation de la machine asynchrone sous forme de différents modèles
d’état selon le choix de repère, le vecteur d’état et les entrées-sorties possibles du moteur.
Généralement, ces modèles sont définis dans un référentiel diphasé, soit tournant (d, q),
soit fixe au stator (α, β). Ces référentiels sont définis à partir du référentiel triphasé naturel de la machine asynchrone à l’aide de transformations mathématiques adaptées. En
plus, une commande par flux orienté, (la commande vectorielle directe)est appliquée à
la machine asynchrone, puis un test de robustesse de la commande est effectué en haute
vitesse comme en basse vitesse.
Chapitre 1
1.2
La machine asynchrone : modélisation et commande vectorielle
Modélisation de la machine asynchrone
1.2.1
Présentation de la machine asynchrone
La machine asynchrone, connue également sous le terme "anglo-saxon" moteur à induction, est constituée des principaux éléments suivants : Le stator, le rotor et les organes
mécaniques permettant la rotation et le maintien des différents sous ensembles. Le stator
de forme cylindrique représente la partie statique de la machine. Il est constitué d’un
bobinage, le plus souvent triphasé, logé dans des encoches et relié à la source d’alimentation. Le rotor est la partie tournante. Il peut prendre plusieurs aspects permettant de
distinguer les différents types de machine asynchrone :
– Rotor bobiné, de forme cylindrique portant un enroulement bobiné à l’intérieur d’un
circuit magnétique constitué de disques en tôles empilés sur l’arbre de la machine.
Les enroulements bobinés sont généralement identiques à ceux du stator ;
– Rotor à cage d’écureuil, composé de barres métalliques en cuivre, en bronze ou
en aluminium formant un cylindre et reliées entre elles à leurs extrémités par des
anneaux.
Dans ce chapitre, nous allons considérer le cas d’une machine asynchrone à cage d’écureuil.
Nous admettons par contre que sa structure rotorique est électriquement équivalente à
celle d’un rotor bobiné. Le champ tournant induit des courants rotoriques dans les barres
de la cage d’écureuil (ou bobinage) : ces courants induits provoquent un couple permettant
au rotor de tourner à une vitesse Ω, voisine de celle du champ tournant, mais nécessairement inférieure. La mise en équation de la machine asynchrone avec les hypothèses
retenues étant classique, nous ne mentionnerons que les points qui nous semblent essentiels et les choix qui nous sont propres par rapport à ce qui se fait habituellement.
1.2.2
Transformation de Park-Blondel
Il est présenté dans cette première partie les modèles mathématiques de la machine
asynchrone qui seront utilisés par la suite pour l’étude de l’observabilité et la synthèse
d’observation et de commandes développées tout au long de cette thèse. Classiquement
et de façon systématique tous les modèles sont obtenus suivant la théorie de Park [49] qui
consiste à écrire ces modèles dans des repères particuliers. Cette méthode se décompose
en deux étapes
1. Transformation Triphasé-Diphasé dans un repère fixe concordia
3
Chapitre 1
2. Transformation Repère fixe - Repère tournant Park
Avant d’établir le modèle de la machine asynchrone en vue de sa commande, nous rappelons brièvement les hypothèses, désormais classiques, retenues :
– les circuits magnétiques sont non saturés.
– les pertes fer sont négligées.
– Il n’y a pas d’effet de peau.
– L’effet des encoches est négligé.
– La répartition de la force magnétomotrice est sinusoïdale.
Les transformations de Concordia et de Park permettent de remplacer les équations électriques d’un moteur triphasé par ceux d’un moteur biphasé équivalent. l’avantage de ce
modèle équivalent par phase est avant tout une simplification de la représentation électrique de la machine. D’un système triphasé fixe de coordonnées abc, on passe à un système
de coordonnées (0 α β) figure 2.1. Cette transformation non linéaire se fait à l’aide de la
matrice de Park [97].
sb
rb
sb
rb
ra
ra
q
sa
sa
sc
rc
Figure 1.1 – Transformation triphasée à diphasé (Transformation de Concordia).
La transformation est basée sur la mise sous forme normale des équations électriques
par la diagonalisation des matrices d’inductances [67]. Elle est réalisée à l’aide de la
matrice de transformation T3 .



xa
x0
 xα  = T3 T  xb 
xc
xβ

où
T3 =
λ1 , λ2 , λ3
=
r
4

2

3
√1
2
√1
2
√1
2
(1.1)
1
− 12
0
√
− 12 −
3
2√
3
2


.
Chapitre 1
. Les composantes de T3 sont les valeurs propres
λi
i=1,2,3
de la matrice inductance.
Ces valeurs propres sont définies de manière à normaliser la matrice de transformation T3 ,
c’est-à-dire λi = 1, ce qui correspond à l’invariance de la puissance lors de transforP
mation. Si l’alimentation est triphasée équilibrée alors
i = 0 . L’équation (1.1) permet
de vérifier facilement que i0 =
√1 (ia
3
+ ib + ic ) = 0. Le courant et donc le flux s’an-
nulent sur l’axe homopolaire 0. Dans la suite, nous ne tenons plus compte de cet axe. La
transformation triphasé en biphasé devient :
où
T32
xα
xβ
= T32 T

xa
 xb 
xc

(1.2)

r  1
0
√
2 1
3 
−2
=
.
2√
3
3
1
−2 − 2
La transformation inverse s’écrit directement xabc = T32 xαβ car T3 est une matrice orthogonale. Après cette première transformation, il existe un décalage entre l’axe statorique
et rotorique par l’angle mécanique θ figure 2.1. Afin d’exprimer toutes les grandeurs dans
un seul repère d’axes, on utilise la transformation de Park. Cette transformation consiste
à passer d’un repère biphasé fixe (α, β) (grandeurs sinusoïdales) à un repère tournant par
rapport au stator. Ainsi, les grandeurs statoriques et rotoriques sont projetées dans un
repère tournant généralisé (d, q) qui est décalé d’un angle θs par rapport au repère fixe
(α, β), figure 2.2. Sur cette figure l’indice ”r” désigne les grandeurs rotoriques et l’indice
”s” ceux du stator. Cette transformation non linéaire se fait à l’aide de la matrice de Park
P.
rb
sq
sb
sd
rd
rq
qr qs
q
ra
sa
Figure 1.2 – Transformation de Park
cos(θ) − sin(θ)
P (θ) =
sin(θ) cos(θ)
(1.3)
avec θ = θs − θr . La transformation inverse est donnée par xαβ = P θxdq et P (−θ) =
P (θ)−1 = P (θ)T
5
Chapitre 1
1.2.3
Équations électriques généralisées de la machine asynchrone
dans le repère de Park
Soit Λ la matrice d’inductance de la machine asynchrone.
Λ=
Avec
Ls Lsr
LTsr Ls

,
,
ls Ms

Ls = Ms ls
Ms Ms

lr Mr
Lr =  Mr lr
Mr Mr
(1.4)

Ms
Ms 
ls

Mr
Mr 
lr

2π
)
M
cos(θ
−
)
M cos θ
M cos(θ + 2π
3
3
)
M cos θ
M cos(θ + 2π
) 
Lsr =  M cos(θ − 2π
3
3
2π
2π
M cos(θ + 3 ) M cos(θ − 3 )
M cos θ

.
Les matrices d’inductances vérifient les expressions suivantes :
ls + 2Ms
0
−1
T3 Ls T3 =
0
(ls − Ms )Id
lr + 2Mr
0
−1
T3 Lr T3 =
0
(lr − Mr )Id
T
Lsr = M T32 P (θ)T32
Avec Id =
1 0
0 1
(1.5)
et M = 32 Msr
Les flux magnétiques sont donnés par l’équation matricielle suivante :
ϕs = Ls is + Lsr ir
ϕr = Lsr is + Lr ir
On substituant l’équation (1.5) avec l’équation du flux (1.6), on obtient :
ϕsαβ = Ls isαβ + M P (θ)irαβ
ϕrαβ = Lr irαβ + M P (θ)isαβ
6
(1.6)
(1.7)
Chapitre 1
Avec Ls = ls − Ms et Lr = lr − Mr .
Les équations de tension de la machine asynchrone dans le repère diphasé sont :
usαβ = Rs isαβ + ϕ̇sαβ
urαβ = Rr irαβ + ϕ̇rαβ
(1.8)
En appliquant transformation de park de l’équation (1.3) aux équations (1.6) et (1.7), on
obtient les équations d’une machine asynchrone à cage d’écureuil dans un repère (d, q)
généralisé.
et

ϕsd



ϕsq
ϕrd



ϕrq

usd



usq

u

 rd
urq
=
=
=
=
=
=
=
=
Ls isd + M ird
Ls isq + M irq
Ls ird + M isd
Ls isq + M irq
(1.9)
Rs isd + ϕ˙sd − θ˙s ϕsq
Rs isq + ϕ˙sq + θ˙s ϕsq
0 = Rr ird + ϕ˙rd − θ˙r ϕrq
0 = Rr irq + ϕ˙rq − θ˙r ϕrd
(1.10)
Pour simplifier les expressions, on note :

θ̇s




 θ̇
θ̇r




 σ
= ωs
= pΩ
= ωr = ωs − pΩ
M2
)
= 1−(
Ls Lr
Les relations entre le flux et les courants sont :

1−σ
1


ϕsd −
ϕrd
isd =


σLs
σM


1
1−σ


 isq =
ϕsq −
ϕrq
σLs
σM
1−σ
1


ϕsd
ϕrd −
ird =


σLr
σM



1
1−σ

 irq =
ϕsq
ϕrq −
σLr
σM
Le couple électromagnétique est :
Te =
pM
(ϕrd isq − ϕrq isd )
Lr
7
(1.11)
(1.12)
Chapitre 1
L’équation (1.12) montre que le couple est proportionnel à un produit vectoriel représentant une expression non linéaire.
Pour obtenir le modèle complet de la machine asynchrone il faut ajouter l’équation mécanique :
Ω̇ =
1.2.4
Te Tl fv
− − Ω
J
J
J
(1.13)
Modèle d’état dans le repère tournant généralisé (d, q)
Dans ce repère les vecteurs x, u et y sont donnés par :
xdq






























=


isd
isq
ϕrd
ϕrq
Ω






u
sd

, u =
,
y
=


usq


d
i
dt sd
d
i
dt sq
d
ϕ
dt rd
d
ϕ
dt rq
d
Ω
dt



.


k
1
ϕrd + pΩkϕrq +
usd
Tr
σLs
k
1
−ωs isd − γisq − pΩkϕrd + ϕrq +
usq
Tr
σLs
M
1
isd − ϕrd + (ωs − pΩ)ϕrq
Tr
Tr
M
1
isq − (ωs − pΩ)ϕrd − ϕrq
Tr
Tr
pM
fv
1
(ϕrd isq − ϕrq isd ) − Ω − Tl
Jlr
J
J
d
i
dt sd
= −γisd + ωs isq +
d
i
dt sq
=
d
ϕ
dt rd
=
d
ϕ
dt rq
=
d
Ω
dt
=
(1.14)
les paramètres k, Tr , σ, γ sont définis par :
Lr
M2
Rs
Rr M 2
M
, Tr =
, σ =1−
, γ=
+
k=
σls lr
Rr
Ls Lr
σLs σLs L2r
le modèle non linéaire d’état de la machine asynchrone dans le repère tournant généralisé
(d, q) est :






d
i
dt sd
d
i
dt sq
d
ϕ
dt rd
d
ϕ
dt rq
d
Ω
dt
Avec xdq =









= 









k
−γisd + ωs isq + ϕrd + pΩkϕrq
Tr
k
−ωs isd − γisq − pΩkϕrd + ϕrq
Tr
1
M
isd − ϕrd + (ωs − pΩ)ϕrq
Tr
Tr
1
M
isq − ϕrq − (ωs − pΩ)ϕrd
Tr
Tr
pM
Tl
fv
(ϕrd isq − ϕrq isd ) − Ω −
Jlr
J
J
isd isq ϕrd ϕrq Ω
T
.
8







+







1
σLs
 0

 0

 0
0
0
1
σLs

 
usd

0 
usq
0 
0
(1.15)
Chapitre 1
1.2.5
Modèle d’état dans le repère fixe (α, β) lié au stator
Le modèle d’état non linéaire dans le repère fixe (α, β) se déduit directement du
modèle (d, q), équation (1.14). En imposant l’angle de projection θs ainsi que sa dérivée
égaux à zéro θs = 0 et θ̇s = ωs = 0. Les vecteurs d’état x, d’entrée u et de sortie y pour
ce repère sont :



x=


isα
isβ
ϕrα
ϕrβ
Ω






u
sα
, u =
, y=


usβ


d
i
dt sα
d
i
dt sβ
d
ϕ
dt rα
d
ϕ
dt rβ
d
Ω
dt



.


Le modèle d’état est :






d
i
dt sα
d
i
dt sβ
d
ϕ
dt rα
d
ϕ
dt rβ
d
Ω
dt









= 









k
−γisα + ϕrα + pΩkϕrβ
Tr
k
−pΩkϕrα + ϕrβ
Tr
1
M
isα − ϕrβ − pΩϕrβ
Tr
Tr
1
M
isβ − ϕrβ − pΩϕrα
Tr
Tr
pM
Tl
fv
(ϕrα isβ − ϕrβ isα ) − Ω −
Jlr
J
J







+







1
σLs
 0

 0

 0
0
0
1
σLs

 
u
sα
0 

usβ
0 
0
(1.16)
Remarque 1.1 Dans le modèle de l’équation (1.12), nous avons exprimé les grandeurs
statoriques et rotoriques dans le même système d’axes α, β (correspondant aux axes sα et
sβ sur la figure 2.1 parce ce que ce modèle est développé à partir du modèle généralisé (d,
q) de l’équation (1.11).
1.2.6
Modèle de la machine asynchrone à quatre paramètres
1.2.6.1
Le modèle Γ - inverse :
Comme montré par slemon (1989), le nombre de paramètres du modèle peut être
diminué de cinq à quatre en réduisant le flux de couplage et le courant rotorique par :
ϕR = Kr ϕr
9
(1.17)
Chapitre 1
ir
Kr
Ou le facteur de couplage magnétique du rotor est définit par :
(1.18)
iR =
Kr =
Lm
Lr
(1.19)
De plus l’inductance magnétisante réduite est :
(1.20)
LM = K r Lm
La résistance électrique rotorique réduite est :
RR = Kr2 Rr
(1.21)
Ls = Lsσ + Kr Lrσ
(1.22)
L’inductance transitoire statorique :
′
En introduisant ces nouveaux paramètres, les équations de tensions deviennent :

ϕ̇
ϕ
i

Rα
Rα
Rα

+
= Rr
+Ω
 0
ϕ̇Rβ
ϕRβ
iRβ ϕ̇sα
usα
i


+0
= Rs sα +

ϕ̇sβ
usβ
isβ
Les équations du flux correspondant au modèle réduit deviennent :
 i
i
ϕ
′

sα
Rα
sα

+ Lm
= (Ls + Lm )

isβ
ϕsβ iRβ
ϕRα
i


= Lm isα isβ + Lm Rα

ϕRβ
iRβ
Soit le modèle final de la machine asynchrone à quatre


pΩ
1
1
ϕRα +
ϕRβ − isα


Ls Tr
Ls
τσ

 d
 
1
1
pΩ


i
ϕ
−
ϕ
−
i
dt sα


Rα
Rβ
sβ
 d isβ  

L′s Tr
L′s
τσ
 ddt

 
1
 ϕRα  = 

ϕ
−
pΩϕ
+
R
i
Rα
Rβ
R
sα
dt
 d

 
Tr

 ϕRβ  


dt
1
d


ϕ
+
pΩϕ
+
R
i
−
Ω
Rβ
Rα
R
sβ


dt
T
r
 p
fv
Tl 
(ϕRα isβ − ϕRβ isα ) − Ω −
J
J
J
10
(1.23)
(1.24)
paramètres :
1
L′ s
0
0
0
0
0
1
L′ s
0
0
0




 usα

 usβ


(1.25)
Chapitre 1
1.3
Commande vectorielle basée sur la structure des
régulateurs Proportionnels Intégraux (PI)
La commande vectorielle à flux orienté, introduite par Blaschke en 1972 à été un
pas important vers une commande de la machine asynchrone à haute performances dans
les applications industrielles. Le principe de la commande vectorielle est de ramener le
comportement de la machine asynchrone à celui d’une machine à courant continu. cette
méthode est basée sur la transformation des variables électriques vers un référentiel qui
tourne avec le vecteur du flux rotorique. Dans ce nouveau repère, les dynamiques du flux
rotorique sont asymptotiquement linéaires est découplées. Et si la norme du flux rotorique
est maintenue constante, la dynamique de la vitesse devient linéaire et découplée. la commande vectorielle accomplit donc une linéarisation asymptotique et un découplage. deux
types de commandes vectorielles sont possibles : D’une part la commande vectorielle directe ou l’on estime la norme et la position du flux rotorique et d’autre part, la commande
vectorielle indirecte ou seule la position du flux rotorique est estimée. Dans le paragraphe
suivant, on rappelle les principes de la commande vectorielle directe .
La commande vectorielle est basée sur un repère (d, q) orienté suivant le flux rotorique,
figure 2.2. si le repère est parfaitement orienté, on peut supposer que la composante ϕrq
est nulle. En outre, l’annulation de ϕrq entraîne l’annulation de ϕ˙rq . à partir de là, le
modèle de l’équation (1.12) est simplifié de la façon suivante :



















d
i
dt sd
d
i
dt sq
d
ϕ
dt rd
d
Ω
dt
k
1
ϕrd +
usd
Tr
σLs
1
= −ωs isd − γisq − pΩkϕrd +
usq
σLs
M
1
=
isd − ϕrd
Tr
Tr
pM
Tl
fv
=
ϕrd isq − Ω −
Jlr
J
J
M isq
ωs = ω +
Tr ϕrd
= −γisd + ωs isq +
(1.26)
(1.27)
En utilisant la transformée de Laplace on peut écrire l’équation (1.15) :
ϕrd =
M
isd
Tr s + 1
D’autre part, le couple éléctromagnétique délivré par la machine est :
11
(1.28)
Chapitre 1
Te =
pM
ϕrd isq
JLr
(1.29)
La composante isd peut commander, de façon découplée, le flux rotorique et la composante isq commandera le couple si le flux ϕrd est constant. On peut aussi voir qu’a un
terme de compensation prés, il y a également un transfert du premier ordre entre isd et la
tension usd équation (1.14). La consigne en flux impose donc un courant isd qui lui même
impose une tension usd . De même, une régulation en cascade permet de déterminer une
tension usq par une consigne de vitesse, via le courant isq figure 2.3.
La réalisation de correcteurs est donc aisée à partir des équations (1.14) et (1.25). Pour
se faire, les dynamiques des courants sont linéarisées et découplées avec le retour d’état
non linéaire suivant :


k
ϕrd − vsd )
Tr
 u = σL (ω i + pωKϕ
sq
s
s sd
rd − vsq )
usd = −σLs (ωs isq +
En conséquence, le modèle de l’équation (1.14)

disd


= −γisd + υsd


dt

 disq



= −γisq + υsq
dt
dϕrd
1
M


=
isd − ϕrd


dt
Tr
Tr



dΩ
pM
Tl
fv


=
ϕrd isq − Ω −
dt
JLr
J
J
(1.30)
(1.31)
Les nouvelles entrées υsd et υsq sont calculées de la façon suivante :
υsd = kpd (i∗sd − isd ) + kid
υsq = kpq (i∗sq − isq ) + kiq
Rt
0
Rt
0
(i∗sd − isd )dt
(1.32)
(i∗sq − isq )dt
(1.33)
où kid , kpd , kpq sont les gains des correcteurs, i∗sd et i∗sq sont les courants de référence pour
isd et isq respectivement.
Lorsque l’amplitude du flux rotorique ϕrd = kϕr k atteint sa référence constante ϕ∗r , la
dynamique de la vitesse rotorique devient aussi linéaire. Il est donc possible de faire une
commande en flux et en vitesse via des correcteurs PI comme suit :
Z t
∗
∗
isd = kpd (ϕr − ϕrd ) + kid
(ϕ∗r − ϕrd )dt
(1.34)
0
i∗sq
Lr
=
[kpq (Ω∗ − Ω) + kiΩ
pM
Z
t
(Ω∗ − Ω)dt]/ϕrd
(1.35)
0
Où les gains kid , kpq , kiΩ , kpΩ sont calculés de façon à imposer les dynamiques voulues
aux erreurs ϕ∗r − ϕrd et Ω∗ − Ω. On note que l’on peut réaliser directement une boucle de
12
Chapitre 1
flux sans bouclage interne sur isd . Il est à remarquer que la faiblesse de la commande se
présente en régime de survitesse, car le découplage entre le couple est le flux disparaît. En
effet pour les régimes à grande vitesse, il faut diminuer le flux afin de réduire la norme
de la tension. Le flux n’étant plus constant, le contrôle du couple est donc plus difficile à
assurer.
En outre la difficulté dans l’implantation de la commande vectorielle est la connaissance
de la position du flux qui détermine la position du repère (d, q). En général l’approche de
base est d’utiliser le modèle de la machine pour construire un estimateur de flux :
M
1
ϕ̂˙ rd =
îsd − ϕ̂rd
Tr
Tr
ω̂s = pΩ +
(1.36)
M îsq
Tr ϕ̂rd
(1.37)
Avec
îsd = isα cos(θ̂s ) + isβ sin(θ̂s )
îsq = −isα sin(θ̂s ) + isβ cos(θ̂s )
Où isα et isβ sont les courants statoriques dans le repère (α, β) et ωˆs =
1.3.1
dθˆs
.
dt
Résultats de simulation
Afin d’évaluer le comportement dynamique de la machine asynchrone munie de sa
commande vectorielle directe, nous avons testé les performances de la régulation de la
vitesse et le flux, nous avons utilisé le logiciel Matlab Simulink Pour la résolution des
systèmes d’équations différentielles, le programme ode 45(Ormand-Prince) fournit par
Matlab de Mathworks a été utilisé. Cette résolution se fait par variable avec une tolérance
absolue de divergence de l’ordre de 10−3 .
suivi de trajectoire
La motivation principale de ce teste et d’analyser la commande vectorielle directe en
boucle ouverte plus précisément, la valeur initiale de la vitesse mécanique est maintenu
à 0. A t = 1s la vitesse de la machine est portée à 150rad/s et reste constante jusqu’a
t = 3.5s puis le couple de charge est appliqué entre 1.5s et 2.5s cette première phase
permet de tester et d’évaluer les performances de la loi de commande en haute vitesse
avec charge. On décélère ensuite la machine jusqu’a atteindre −150rad/s à t = 5.5s et
reste constante jusqu’a t = 8s tout en appliquant un nouveau couple de charge à t = 6s.
Cette deuxième phase a pour but de tester le comportement de la loi de commande durant
un grand transitoire de vitesse, ainsi que la robustesse de la commande en basse vitesse
(figure 1.3).
13
Chapitre 1
Cas nominal :
200
100
Rad/s
a
0
−100
−200
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
10
N.m
5
b
0
−5
−10
0
1
2
3
4
2
Wb
1.5
c
1
0.5
0
0
1
2
3
4
Temps(s)
Figure 1.3 – Trajectoire du benchmark commande : a- Vitesse de référence, b- Couple
de charge, c- Flux de référence.
La figure 1.4 montre les résultats de simulation de la commande de vitesse dans le cas dit
"nominal" c’est à dire en utilisant les paramètres nominaux de la machine. Nous pouvons
remarquer que la vitesse commandée suit sa référence avec une erreur de poursuite égale
à 0.2rad/s (figure 1.5), cette erreur augmente au moment de l’application du couple, elle
atteint 0.861rad/s. La fiqure 1.6 montre bien que le flux suit sa trajectoire et rejette le
couple. L’erreur atteint 0.1839W eb au moment de l’application du couple (figure 1.7).
14
Chapitre 1
200
Vit ref
Vit
150
100
Vitesse(Ra/s
50
0
−50
−100
−150
−200
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Temps(s)
Figure 1.4 – La vitesse commandée dans le cas nominal.
variation de Rr :
La figure 1.8 montre l’erreur entre la vitesse de référence et celle commandée. Nous pouvons remarquer que pour une variation de 50% sur la résistance rotorique l’erreur de
vitesse tend vers 0 jusqu’a t = 1s. A 1s seconde elle est égale à 0.1rad/s et au moment de
l’application du couple à 1.5s et 2.5 elle atteint ±0, 2rad/s) et 0.13rad/s. Pour la deuxième
variation de Rr qui est égale à 110% sur la résistance rotorique, la figure (b)1.8 montre
que l’erreur de vitesse est ±0, 22rad/s au instants ou le couple est appliqué. D’aprés la
figure (a)1.9 l’erreur du Flux atteint 0.3W b au moment de l’application du couple lors de
la variation de -50% sur Rr et 0.195W b lors de la variation de +10% sur Rr, (figure et
(b)1.9).
15
Chapitre 1
0.3
Cas nominal
0.2
Erreur de vitesse(Wb)
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Temps(s)
Figure 1.5 – L’erreur de vitesse dans le cas nominal.
1.4
Flux ref
Flux estimé
1.2
La norme du flux(wb)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Temps(s)
Figure 1.6 – Le flux simulé dans le cas nominal.
16
Chapitre 1
1.2
1
Erreur du flux(Wb)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Temps(Wb)
Figure 1.7 – L’erreur du flux dans le cas nominal.
0.4
0.3
50%Rr
0.2
+10%Rr
0.2
0.1
Erreur de vitesse(rad/s)
0.3
0.1
0
0
−0.1
−0.1
−0.2
−0.2
−0.3
−0.3
−0.4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Temps(s)
Temps(s)
(a)Lors de la variation de (50%) sur Rr
(b)Lors de la variation de (110%) sur Rr
Figure 1.8 – L’erreur de vitesse lors de la variation de Rr.
0.4
0.28
−50%Rr
0.35
0.26
+10%Rr
0.3
Erreur du flux(Wb)
Erreur du Flux(Web)
0.24
0.25
0.2
0.15
0.22
0.2
0.18
0.16
0.1
0.14
0.05
0.12
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0.1
9
Temps(s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Temps(s)
(a)Lors de la variation de (-50%) sur Rr
(b)Lors de la variation de (+10%) sur Rr
Figure 1.9 – L’erreur du flux lors de la variation de Rr.
17
Chapitre 1
variation de Rs
Les figures 1.10 et 1.11 montrent qu’une variation de 50% sur la résistance statorique donne
une erreur de vitesse égale à 0.82rad/s (figure (a)1.10). Cette erreur diminue quand la
résistance statorique varie de 110% sur sa valeur nominale puisqu’elle est de et 0.22rad/s
(figure(b)1.10). La variation sur la résistance statorique engendre une erreur de flux égale
à environs 0.184W b et 0.183W b pour les variations respectives de 50% et 110% sur Rs
(figures (a)1.11 et (b)1.11).
0.25
1
0.2
0.8
0.15
0.4
0.1
−50%Rs
0.6
0.2
0
−0.2
0.05
0
−0.05
−0.4
−0.1
−0.6
−0.15
−0.8
−0.2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
−0.25
9
110%Rs
0
1
2
3
4
Temps(s)
5
6
7
8
9
Temps(s)
(a)Lors de la variation de (50%) sur Rs
(b)Lors de la variation de (110%) sur Rs
Figure 1.10 – L’erreur de vitesse lors de la variation de Rs.
0.1846
0.192
0.1844
0.19
+10%Rs
0.1842
−50%Rs
0.188
Erreur du flux(Wb)
Erreur du flux(Wb)
0.184
0.186
0.184
0.1838
0.1836
0.1834
0.182
0.1832
0.18
0.183
0.178
0.1828
0.176
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
Temps(s)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Temps(s)
(a)Lors de la variation de (50%)sur Rs
(b)Lors de la variation de (110%) sur Rs
Figure 1.11 – L’erreur du flux lors de la variation de Rs.
18
Chapitre 1
1.3.2
conclusion
Dans ce chapitre, la modélisation de la machine asynchrone a été présentée. La commande vectorielle (ou à flux orienté) plus précisément la commande directe de la vitesse
à été appliquée à la machine asynchrone. Le choix de la méthode tient au fait qu’elle
fait appel à des outils de l’automatique avancée non linéaire. Par conséquent, elle est
considérée comme une commande de référence pour la comparaison avec la commande
non linéaire en mode glissant traitée dans le cadre de ce travail. Le chapitre suivant est
dédié à l’élaboration d’une technique d’estimation paramétrique en vue de diagnostic de
défauts.
19
Chapitre 2
Identification paramétrique pour le
diagnostic des défauts.
2.1
Introduction
Un système de surveillance doit fournir des informations fiables sur le fonctionnement
de l’unité aux opérateurs qui l’exploitent. Il doit être capable de provoquer dans les cas
graves un arrêt de l’unité ou de permettre au système de production de continuer de fonctionner en mode dégradé en cas de problème ne nécessitant pas un arrêt immédiat. Tout
cela en évitant bien sûr des erreurs de type fausses alarmes qui provoquent l’arrêt inutile
de l’installation. Les tâches de détection et de localisation des défaillances trouvent ainsi
tout naturellement leur place dans un tel système de surveillance.
La détection de défauts dans les machines électriques a fait l’objet de recherches et de réalisations industrielles depuis de nombreuses années. L’analyse vibratoire, en particulier,
est utilisée pour la détection de problèmes mécaniques, des ruptures de barres au rotor et
des courts-circuits au stator des machines asynchrone [8]. Les exigences industrielles en
terme de maintenance orientent la recherche vers un diagnostic fin des défauts et surtout
leur diagnostic précoce [12].
Depuis environ deux décennies, de nombreuses recherches en génie électrique et en identification paramétrique ont permis l’élaboration de stratégies de diagnostic hors-ligne et
en-ligne des entraînements électriques. Les Moteurs asynchrones sont soumis pendant
leurs fonctionnement à plusieurs contraintes de différentes natures. l’accumulation de ces
contraintes provoque des défauts dans leurs différentes parties. l’apparition d’un défaut au
niveau d’un moteur modifie son fonctionnement et affecte ses performances. La recherche
de signatures ou indicateurs de ces défauts a pour but de caractériser le fonctionnement
du système, le type et l’origine de chacun de ces défauts. Ceci permet d’assurer une bonne
Identification paramétrique pour le diagnostic des défauts.
Chapitre 2
discrimination des pannes ou anomalies survenant au différents niveaux du processus.
Par ailleurs et vu la diversité de ces défauts, de nombreuse méthodes permettent de réaliser
une démarche de diagnostic et de prévenir au mieux la dégradation du système surveillé,
ont été développées [19].
Ainsi lorsque les observations issues du système sont du type numériques, et que l’on dispose d’un modèle mathématique, l’approche par modèle mathématique (méthode interne)
est privilégiée pour le diagnostic de systèmes dynamiques [55], [36]. En revanche lorsqu’on
ne peut pas construire un modèle analytique ou si sa complexité le rend inexploitable, une
alternative est l’approche sans modèle (aucune connaissance à priori). dans ce chapitre,
nous allons présenter les différentes approches et méthodes de diagnostic ainsi que les
signatures qui en découlent. Nous optons dans la suite de notre travail pour une technique d’estimation d’état ou d’estimation paramétrique qui peut être un indice signalant
le défaut.
2.1.1
Discrimination des défauts
Il est important de préciser que la représentation biphasée de la machine n’est valide
physiquement que si les alimentations sont équilibrées et si la machine est saine et équilibrée. Lors de l’apparition d’un défaut, un déséquilibre s’instaure dans la machine. Les
paramètres du modèle vont dériver. Dans son étude, [75] utilise l’identification des paramètres issus du circuit équivalent de la machine asynchrone pour détecter l’occurrence
d’un défaut. Ces études portent sur les défauts tels que les barres cassées et la réduction
de spires ou les courts-circuits dans les enroulements statoriques. Les paramètres estimés
sont les suivants [81] :
θ=
Ses résultats montrent que :
R s R r Ls Lr
– Lors d’une rupture de barres au rotor, la résistance rotorique augmente et les autres
paramètres, c’est à dire la résistance statorique et les inductances de fuite statorique
et rotorique, diminuent.
– Lors d’un court circuit entre spires du bobinage statorique, la résistance statorique
augmente et les autres paramètres diminuent (Table2.1).
Désignation
Défaut rotorique
Défaut de court circuit au bobinage statorique
Rs
ց
ր
Rr
ր
ց
Lr
ց
ց
Lf
ց
ց
Table 2.1 – Evolution des paramètres en présence de défauts.
21
Chapitre 2
Ainsi, pour déterminer la présence d’un défaut, il est nécessaire de suivre un ensemble de
paramètres constitués d’une variable résistive et l’autre inductive. Sur le même principe,
[21] propose un observateur de Kalman étendu aux paramètres Rr et M pour détecter
les défauts au rotor. Les figures suivantes montrent la convergence de la résistance et de
l’inductance vers les variables imposées [81].
Au final, ce ou ces couples de paramètres donnent une signature du défaut. Ils ne donnent
Figure 2.1 – Les résistances rotoriques et les inductances imposées et observées.
plus une représentation physique de la machine détériorée mais un indicateur de panne
basé sur une évolution distincte de ces paramètres pour une machine saine ou défectueuse.
2.2
Diagnostic par modélisation paramétrique du système (connaissance à priori)
Cette approche appelée aussi "approche avec modèle", est issus de l’automatique et
repose sur une connaissance a priori du système. Elle s’appuie sur la connaissance des paramètres caractéristiques du système étudié ou de variables représentatives développées à
partir des acquisitions. Une comparaison entre les paramètres identifiés a un état de fonctionnement normal(sain) et ceux identifiés à un état de fonctionnement anormal prouve
la présence d’un défaut. L’utilisation de cette approche nécessite la connaissance au préalable des variations de ces paramètres dans les conditions de fonctionnement normales et
lors de la présence de défauts. La figure 2.2 traduit cette approche.
On part d’un modèle du processus à surveiller sain. si le modèle Sm (t) correspond à
la sortie du processus Sp (t), alors le modèle fournit une estimation des grandeurs caractéristiques du fonctionnement sans défauts. La détection de défaillance est réalisée par
le suivi de l’erreur de sortie ǫ(t) (technique des résidus) ou par la mise en évidence d’un
22
Chapitre 2
Processus
yp (k)
+
u(k)
ym(k)
Modèle
e(k)=yp(k)-ym(k)
-
d'identification
Figure 2.2 – Principe du diagnostic par modélisation paramétrique.
écart entre le modèle (qui s’éloigne alors de la physique du phénomène) et le processus
réel. Dans le second cas, l’erreur de sortie peut être minimisée en modifiant les paramètres
structuraux du modèle. De cette manière les paramètres inhérents au système sont identifiés même en cas de défaillance. Le modèle adapté donne alors une signature du mode
de fonctionnement.
Les paramètres électriques et mécaniques de ces modèles sensibles aux défauts peuvent
être identifiés et/ou observés [88], [6] par des algorithmes spécifiques.
En présence de défauts, ces paramètres dérivent et le modèle s’écarte alors de la physique
du phénomène. l’évolution de ces paramètres permet donc de caractériser les défauts recherchés [19].
Pour cela des modèles très fins du moteur ont été envisagés, tout en gardant la possibilité
d’identifier les paramètres souhaités. Ces modèles peuvent être des modèles triphasés, qui
s’affranchissent de l’hypothèse d’un moteur magnétiquement équilibré, ou encore des modèles à n phases capables de refléter le fonctionnement sur une large bande de fréquence
[7].
2.2.1
Techniques d’identification paramétrique en vue de diagnostic
L’identification est la détermination, à partir de la connaissance des signaux d’entrées
et de sorties, d’un modèle mathématique appartenant à une classe donnée pour lequel
les comportements dynamiques ou statiques sont équivalents à ceux du processus au sens
d’un critère donné. donc le processus de diagnostic peut se faire selon les étapes suivantes
[21].
– Le choix d’un modèle mathématique.
– Le choix des signaux d’entrées et de sorties.
– Un critère de similitude entre le modèle et le processus.
23
Chapitre 2
Il s’agit donc de détecter un écart entre l’évolution des paramètres au cours d’un fonctionnement sain et celle suivie par le système en présence de défauts. l’identification des
paramètres peut se faire hors ligne. elle se base alors sur un algorithme d’optimisation de
l’erreur entre les paramètres du modèle et ceux du système étudié [106].
les paramètres peuvent aussi être identifiés en cours de fonctionnement à l’aide d’observateur étendu. le plus couramment utilisé est le filtre de Kalman [57], [33], [78]. Ce filtre
apparaît comme le plus adéquat de tous mais aussi le plus délicat à mettre en oeuvre.
Tout d’abord, en tant qu’algorithme d’identification en temps réel, le filtre de Kalman
étendu délivre un modèle adaptatif, capable de prendre en compte les évolutions normales
des paramètres du moteur telles que la variation des résistance (en fonction de la température) ou encore la variation des inductances (en fonction du niveau de saturation). Par
ailleurs, les paramètres estimés eux mêmes, permettent une première analyse des conditions de fonctionnement du moteur. Par exemple : une variation anormale de la valeur
des résistances peut signifier un échauffement excessif et donc une dégradation progressive
des enroulements [30].
2.2.2
Techniques d’estimation d’état
L’estimation des variables internes d’un système en se basant sur sur un modèle approché, comme par exemple l’estimation des flux ou des courants rotoriques dans le moteur
asynchrone sur la base du modèle de Park, peuvent donner dans certains cas des informations sur la présence de défauts [20]. l’observation effectue la correction des variables
estimées sur la base des mesures. Ces techniques permettent le suivi de grandeurs utilisées en commande ou en diagnostic. dans la suite de notre travail nous avons touché à
l’estimation du courant statorique par l’identificateur en vue de diagnostic de défauts.
2.2.3
Techniques des résidus
Un résidu est un signal indicateur de défauts. Il reflète la cohérence des données vis
à vis du modèle comportemental du système (panne+Perturbation+incertitude+......).
Ce modèle est de manière générale , constitué d’un ensemble de relations de contraintes
dynamiques liant deux types de variables : des variables inconnues (variables internes,
perturbations, entrées inconnues,...) et des variables connues (consignes, variables mesurées). Les résidus sont théoriquement nuls en fonctionnement normal et différents de zéro
lorsqu’une défaillance survient [21]. Plusieurs méthodes sont utilisées pour faire ressortir
un résidus significatif de la présence de défauts [Gradient, Newton-Raphson, Levenbert-
24
Chapitre 2
Marquedt). La difficulté majeure consiste à faire la liaison entre le résidu établi et un
défaut particulier.
Cette technique présente l’avantage d’observer des grandeurs difficiles à diagnostiquer,
voire même parfois non mesurable. Si les estimations sont correctement réalisées, alors les
résistances, inductances, mutuelles peuvent servir de bon indicateur de défauts.
2.3
Diagnostic par modélisation paramétrique du système(sans connaissance à priori)
Nous avons vu que la première famille de méthodes nécessite la connaissance du comportement dynamique de la machine asynchrone. Dans cette deuxième partie, nous nous
intéressons aux résultats obtenus à partir du suivi direct des grandeurs telles que les courants, le couple estimé ou mesuré, les flux ou encore les vibrations.
Ces méthodes dites "sans modèles" se basent sur l’analyse des signaux d’acquisitions.
Elles ont l’avantage de l’indépendance de l’analyse par rapport aux fluctuations internes
du système. D’autre part, l’information contenue dans les signaux, n’étant pas filtrée par
la modélisation, elle reste intacte. Dans ce travail nous nous intéressons aux grandeurs
mesurables ou observables les plus utilisées, à savoir : la vitesse, le courant statorique et
le flux magnétique.
2.3.1
Détection de défauts par analyse du flux
Tout déséquilibre quel qu’il soit, magnétique, mécanique, électrique ou bien encore
électromagnétique, situé au rotor ou au stator, peut affecter la conversion électromécanique et la répartition de champ dans et hors de la machine. Des études ont donc été
menées pour extraire de la mesure des flux d’entrefer, axial ou de fuite des signatures
caractéristiques de certains défauts. Pour cela, des bobines exploratrices sont placées à
l’extérieur de la machine, parallèlement et perpendiculairement à l’axe du rotor. Dans
[51], l’auteur met en évidence les composantes fréquentielles du flux de fuite dans l’axe du
rotor, qui permettent de détecter et d’identifier des courts-circuits dans les enroulements
statoriques. Il en déduit les fréquences caractéristiques suivantes :
ff f (HZ) = k.fa ± n.frot
(2.1)
Avec n et k des nombres entiers et k impaire. Ces composantes présentent dans le spectre
du flux pour une machine saine, vont augmenter avec l’apparition d’un défaut [?].
25
Chapitre 2
Certaines composantes du flux axial permettent de détecter d’éventuels défauts liés aux
barres rotoriques et aux paliers (roulements).
2.3.2
Détection de défauts par analyse du couple électromagnétique
Certains défauts mécaniques peuvent être détectés par la recherche d’harmoniques
dans le spectre du couple électromagnétique mesuré, résultant d’une interaction entre le
flux et le courant [104]. Ce couple peut être reconstruit, soit à partir de deux des trois
courants statoriques, soit en utilisant un modèle physique de la machine.
L’utilisation de ce signal peut s’avérer un bon choix pour la détection des défauts de
charge. En effet, les variations du couple de charge vont induire des variations du flux et
du courant dans la machine. De même la torsion de l’arbre, entraîne l’apparition d’harmoniques dans le spectre du couple.
Les oscillations de couple, provoquées par certains défauts rotoriques, peuvent servir à
détecter ceux-ci. [105] montre par une analyse théorique et des essais, comment le spectre
du couple se trouve modifié lorsqu’un des deux anneaux d’une cage est cassé. [95] analyse
le couple électromagnétique d’une machine asynchrone présentant des portions d’anneaux
cassées. Dans le tableau 2.3.2 sont présentés les résultats obtenus concernant les variations
des harmoniques du couple en présence de défaut pour une alimentation 50HZ.
50HZ
ց
100HZ
ց
200HZ
ր
300HZ
ց
700HZ
ր
800HZ
ր
Table 2.2 – Fréquence caratéristique du flux axial.
A partir d’un modèle de la machine, [105] procède à l’estimation des composantes du
flux rotorique dans un repère (dq) lié au stator dans le but d’observer le couple électromagnétique Cem. Il constate qu’une dissymétrie électrique du rotor fait apparaître des
harmoniques de dentures rotoriques, ce qui modifie le champ d’entrefer. Le problème peut
alors être détecté en analysant les fréquences d’encoches présentes dans le spectre du
couple estimé Cem :
fsb = fa .
Avec
fsb
Nr
fs
n
g
:
:
:
=
:
Nr .(1 − g)
p
± 2.g.fs
fréquence d’encoche au rotor
nombre d’encoche au rotor
fréquence d’alimentation(fréquence des courants statoriques)
1, 2, 3, 4, ...
le glissement
26
(2.2)
Chapitre 2
Pour une alimentation à 50HZ [104] porte l’attention sur la variation d’amplitude des
raies à 600 et 900HZ en présence de barres cassées et des deux premiers harmoniques
du couple qui augmentent en présence d’excentricité. [63] utilise le modèle triphasé pour
estimer le flux statorique, ce qui permet d’estimer le couple utile Cu. Or, en présence
d’excentricité, le spectre du couple Cu présente des informations aux fréquences :
1−g
fcu (Hz) = 1. ± n
.fa
p
(2.3)
Cependant, cette technique reste moins efficace et moins utilisée du faite que le spectre
du couple électromagnétique est moins riche en information que ceux obtenus par analyse
vibratoire ou par courant statorique. De plus l’acquisition de cette grandeur nécessite un
équipement d’acquisition assez coûteux.
Passant maintenant à la dernière grandeur physique qui est de loin la plus utilisée, celle
du courant statorique.
2.3.3
Détection de défauts par analyse du courant statorique
Parmi tous les signaux mesurables que nous venons de voir, le courant statorique s’est
avéré être, et de loin le plus intéressant, et ceux pour deux raison :
1. La surveillance du courant statorique permet de détecter voir de diagnostiquer aussi
bien des défauts électromagnétiques (déséquilibre de phase, court circuit entre spires,
excentricités d’entrefer, rupture de barres,...) que des défauts purement mécaniques
(dégradation de roulements à bille, désalignement,...).
2. L’accès au courant statorique reste très facile, puisqu’en général il est déjà utilisé
pour la commande du moteur et qu’il peut être mesuré directement au poste d’alimentation. Par contre les autres grandeurs physiques nécessitent la mise en place
d’un grand nombre de capteurs (flux, couplemètres, transducteurs) souvent onéreux,
sensible et délicats à placer dans des environnements contraignant.
Pour toutes ces raisons, cette approche de surveillance des entraînements électrique a
été largement utilisée depuis ces dernière années [13],[79], [96] ; elle est connue comme
l’analyse spectrale du courant statorique MCSA (Motor Curent Signature Analysis).
27
Chapitre 2
2.4
Les réseaux de neurones pour l’estimation paramétrique de la machine asynchrone
Les réseaux de neurones sont des êtres mathématiques, capables de générer des modèles comportementaux à partir des données entrées-sorties des systèmes dynamiques.
Dernièrement, les réseaux de neurones ont connus une utilisation large en ce qui concerne
la modélisation, la commande et la surveillance des systèmes industriels. En diagnostic la
phase de modélisation est très importante. En effet, le diagnostic est un aspect qui utilise le modèle représentatif du processus afin d’extraire le mode de fonctionnement dans
lequel doit se trouver le processus. L’utilisation des modèles neuronaux pour les mesures,
l’observation et le diagnostic vient mettre fin à beaucoup de problèmes rencontrés lors
de la modélisation classique. A l’aide de ces algorithmes, nous pouvons surveiller d’une
manière complète les systèmes complexes, c’est-à-dire que les réseaux de neurones offrent
la possibilité d’isoler les défauts détectés et de prendre les décisions nécessaires [65], [107],
[32], [72], [84] et [50].
2.4.1
Théorie des réseaux de neurones
2.4.1.1
Le neurone biologique
Le neurone biologique est constitué de quatre parties essentielles : Le corps cellulaire,
l’axone, les synapses et les dendrites [59], [47]. Figure2.3.
Dendrites
Noyau
Synapses
Axone
Corps Cellulaire
Figure 2.3 – Le neurone biologique.
28
Chapitre 2
partie
Corps cellulaire
axones
synapses
dendrites
fonction
Réception du flux nerveux (Traîtement activation)
Transmission
Transformation éléctrique chimique
Transmission du signal provenant de l’axone
Réception électrique chimique
Acheminement des signaux d’autres corps cellulaires
Table 2.3 – Constitution du neurone biologique.
2.4.1.2
Le neurone formel
Le neurone formel peut être représenté par une cellule possédant plusieurs entrées et
une sortie, et Peut être modélisé par deux opérateurs figure 2.4, il calcule la somme des
diverses entrées à travers la fonction d’activation pour produire la sortie principale selon
les deux étapes suivantes :
– Un opérateur de sommation qui élabore un potentiel post-synaptique netj égal à la
P
somme pondérée des entrées de la cellule : netj =
Wij Xi avec ωi le poids et Xi
l’entrée (état du neurone connecté en entrée).
– Un opérateur de décision qui calcul l’état de la sortie s du neurone en fonction de
son potentiel netj : cet opérateur est appelé fonction d’activation.
Oj = ϕ(netj + θj )
Le calcul de l’état du neurone est obtenu en calculant le potentiel post-synaptique
puis en appliquant l’opérateur de décision. Le calcul est appelé : mise à jour du
neurone.
x1
w1j
x2
w2j
x3
...
xn
w3j
...
wnj
Fonction de
combinaison
Fonction d'activation
net j
j
Oj
Activation
Somme
pondérée
qj
Seuil
Figure 2.4 – Le neurone Formel.
29
Chapitre 2
2.4.1.3
Les fonctions d’activation du neurone formel
La fonction d’activation ou fonction de seuillage, ou encore fonction de transfert, sert à
introduire une non linéarité dans le fonctionnement du neurone. Les fonctions de seuillage
illustrées dans la figure 2.5, présente généralement trois intervalles :
1. En dessous du seuil, le neurone est non actif (souvent dans ce cas, la sortie vaut 0
ou 1).
2. Aux alentours du seuil, une phase de transition.
3. Aux dessus du seuil, le neurone est actif (souvent dans ce cas, sa sortie vaut 1), c’est
une sortie binaire seuil.
2.4.2
L’identification par réseaux de neurones
Le principe de l’identification par réseaux de neurones consiste à substituer aux modèles paramétriques classiques des modèles neuronaux [106]. Comme dans le cas de l’identification classique illustrée par la figure 2.6 :
2.4.2.1
Modèles d’identification non linéaire par réseaux de neurone
1. NNARX :modèle neuronal équation erreur
C’est le modèle non linéaire utilisant le réseau de neurone le plus simple figure 2.7.
Dans le cas linéaire il est appelé ARX (équation erreur), il s’écrit :
y(k) = g(y(k − 1), ..., y(k − n), u(k − 1), ..., u(k − n) + e(k))
e(k) :
(2.4)
c’est une séquence de variable aléatoire indépendantes à la valeur moyenne nulle
Le prédicteur neuronal s’écrit :
ŷ(k) = g(y(k − 1), ..., y(k − n), u(k − 1), ..., u(k − n), θ)
(2.5)
d’ou
ŷ(k) = g(ϕ(k), θ) : désigne un réseau prédicteur non bouclé .
Le vecteur de régression ϕ(k) est donnée par :
ϕ(k) =
y(k − 1), ..., y(k − n), u(k − 1), ..., u(k − n)
30
T
(2.6)
Chapitre 2
sign
Hev
+1
+1
x
x
0
0
-1
(a) Fonction Heaviside
(b) Fonction sign
sign
+V
x
x
0
-V
(c) Fonction à deux seuils
(d) Fonction multi-seuils
+a
+a
x
0
-a
0
(e) Fonction non linéaire
(f) Fonction sigmoide
Figure 2.5 – les fonctions d’activation du neurone formel.
31
x
Chapitre 2
Processus
yp(k)
+
u(k)
Réseaux de
neurone
ym(k)
e(k)=yp(k)-ym (k)
-
Figure 2.6 – Principe d’identification du processus par réseau de neurone.
u(k-1)
..
..
..
..
u(k-n)
y(k)
Figure 2.7 – Réalisation d’un NNARX.
2. Modèle neuronal d’erreur de sortie NNOE C’est un modèle non linéaire utilisant un réseau de neurone ; il peut représenté un processus affecté d’un bruit de
mesure additif figure 2.8. Dans le cas linéaire ; ce modèle est appelé (Output Error),
il s’écrit de la manière suivante [59] :
z(k) = g(z(k − 1), ..., z(k − n), z(k − 1), ..., z(k − n))
(2.7)
y(k) = z(k − 1) + e(k)
(2.8)
Le prédicteur neuronal s’écrit suivant l’équation (2.9)
ŷ(k) = g(ŷ(k − 1), ..., ŷ(k − n), u(k − 1), ..., u(k − n), θ)
(2.9)
Le vecteur de régression est donc :
ϕ(k) =
ŷ(k − 1), ..., ŷ(k − n), u(k − 1), ..., u(k − n)
T
(2.10)
ŷ(k) = g(ϕ(k), θ) : désigne un réseau prédicteur bouclé . C’est le modèle utiliser
dans la suite de notre travail
32
Chapitre 2
u(k-1)
y(k-1)
..
..
y(k-2)
.
..
y(k-n)
y(k)
Z -1
Z -1
Z -1
Figure 2.8 – Réalisation d’un NNOE
3. Modèle neuronal Auto régressif à Moyenne Ajustée et variables exogène
NNRMAX
C’est une extension au non linéaire du modèle linéaire ARMAX (Auto Régressive à
Moyenne Ajusté et variable exogène) c’est un modèle qui modélise le procédé plus
la perturbation figure 2.9. Il est de la forme :
y(k) = g(y(k−1), ..., y(k−n), u(k−1), ..., u(k−n), w(k−1), w(k−n))+w(k) (2.11)
Le prédicteur neuronal associé s’écrit :
ŷ(k) = g(y(k − 1), ..., y(k − n), u(k − 1), ..., u(k − n), ǫ(k − 1), ǫ(k − n), θ) (2.12)
ǫ(k) = y(k) − ŷ(k) : est l’erreur de prédiction.
Le vecteur de régression est alors :
ϕ(k) =
y(k − 1), ..., y(k − n), u(k − 1), ..., u(k − n), ǫ(k − 1), ǫ(k − n)
T
(2.13)
ŷ(k) = g(ϕ(k), θ) ǫ(k) = y(k) − ŷ(k) : désigne un réseau prédicteur bouclé. .
33
Chapitre 2
u(k-1)
u(k-n)
y(k-1)
y(k-n)
e(k-1)
e(k-n)
y(k)
..
..
y(k)
e(k)
Z -1
Z -1
Z -1
Figure 2.9 – Réalisation d’un NNARMAX.
2.5
Estimateur neuronal et suivi des paramètres de la
machine asynchrone
Dans cette partie il est présenté le suivi des paramètres de la machine asynchrone.
Pour cette raison nous allons présenter d’abord le modèle de la machine asynchrones de
la manière suivante :

Rs Lr
Rr M 2
M Rr
P ΩM
Lr


i̇
=
−(
−
)isα +
ϕrα +
ϕrβ +
sα

2
2
2
2

Ls Lr − M
Ls L − r − M
Ls Lr − M
Ls Lr − M
Ls Lr − M 2


2

Rs Lr
Rr M
P ΩM
M Rr
Lr


i̇sβ = −(
−
)isβ −
ϕrα +
ϕrβ +
usβ


2
2
2
2

Ls Lr − M
Ls L − r − M
Ls Lr − M
Ls Lr − M
Ls Lr − M 2

Rr
M Rr
isα −
ϕrα − P Ωϕrβ
ϕ̇rα =

Lr
Lr



Rr
M Rr


i
+
P
Ωϕ
−
ϕrβ
ϕ̇r
=

sβ
rα
β

Lr
Lr




 Ω̇ = P M (ϕrα isβ − ϕrβ isα ) − fv Ω
JLr
J
(2.14)
Une approche de surveillance sera présentée dans les paragraphes suivants, elle consiste
à suivre en premier la résistance rotorique en utilisant un identificateur neuronale et voir
l’évolution de la vitesse, le flux et le courant statorique. Nous pensons que cette approche
est nécessaire à la surveillance des machines électriques mais elle n’est pas suffisante pour
un diagnostic.
Le modèle neuronale à apprentissage utilisé pour l’identification des paramètres de la
machine est un modèle multicouches du type Perceptron "NNOE" qui veut dire "narxnet". Après avoir choisi le nombre de couches cachées (dans notre cas une seule couche
cachée), décidé du nombre de neurones ainsi que de la fonction de transfert dans la couche
34
Chapitre 2
cachée ("Sigmoïde" Fig2.5(f)) et celle de la couche de sortie ("fonction à deux seuils"
Fig2.5(c)), nous sommes passé au choix de la fonction d’entraînement ("LevenbergMarquardt"). Une fois le réseau entraîné vient l’étape de la généralisation c’est à dire
connecter le réseau obtenu au modèle de Park présenté dans la figure 2.14. Après plusieurs
jeux de test ou de validation, les résultats de simulations suivants viennent justifiés notre
choix.
2.5.1
Dans un premier temps, le réseau de neurone ainsi que son apprentissage ont été réalisés sous Matlab Simulink. Le bloc simulink utilisé pour l’identification des paramètres
de la machine est illustré dans l’annexe B.
Estimation de la résistance rotorique Rr
Test1 :
Le but de cette simulation est d’analyser les performances de l’estimateur sur les trajectoires présentées par la figure 2.10. Les variations sur la résistance rotorique imposées
sont :
A 1 seconde nous avons fait une variation de +20% sur Rr, à 2 secondes -25% sur Rr, à
3 secondes nous somme revenus à la valeur nominale de la résistance rotorique, à t = 4s
seconde nous avons fait une augmentation de +50% sur Rr et à 5 secondes c’est le retour
vers la valeur nominale de la résistance rotorique.
La figure 2.11 montre la convergence de la résistance estimée vers celle imposée, figure
7
Variation de Rr (Ohms)
6
5
+20%Rr
+50%Rr
Rr
Rr
4
−25%Rr
3
2
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Temps (s)
3
3.5
4
4.5
5
Figure 2.10 – Trajectoire imposée à la résistance rotorique.
35
Chapitre 2
2.10. Au moment de changement de consigne ( t = 1s) l’erreur est au voisinage de 0.52Ω
puis s’annule. A t = 2s elle est égale à 0.7Ω puis elle s’annule entre t = 2s et t = 3s (c’est
l’estimation de la valeur nominale), à t = 3s elle augmente à 0.4Ω et à t = 4s elle est au
environs de 1.2Ω(changement de consigne).
La figure fig (a)2.12 montre qu’il apparaît un écart statique entre la vitesse de la machine
est celle perturbée d’ou l’erreur su la vitesse à l’instant t = 1s est égale à 2.4 × 10−3 rad/s
(fig (b)2.12). A t = 2s l’erreur est égale à 0.9 × 10−3 rad/s et entre les intervalles de temps
2s et 3s elle est de l’ordre de 0.7 × 10−3 rad/s. Entre les instants t = 3s et t = 4s l’erreur
tend vers 0 car la résistance rotorique estimée est à sa valeur nominale . A t = 4s l’erreur
augmente jusqu’a 1.7 × 10−3 rad/s puis se stabilise à −0.910−3 rad/s, en se moment la
résistance imposée est à +50% sur sa valeur nominale.
La figure (a)2.13 montre qu’il existe un écart entre le flux simulé est le flux perturbé aux
2
7
6.5
1.5
6
Rr−estimée
0.5
5
Erreur Rr
1
5.5
4.5
4
0
−0.5
3.5
−1
3
−1.5
2.5
2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Temps (s)
3
3.5
4
4.5
−2
0.5
5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Temps (s)
(a)Estimation de Rr
(b) L’erreur d’estimation de Rr
Figure 2.11 – La résistance rotorique estimée et l’erreur d’estimation.
−3
2.5
x 10
157.08
2
157.07
Erreur de vitesse (rad/s)
1.5
Vitesse (rad/s)
157.06
157.05
Rr nominal
157.04
Rr imposée
157.03
1
0.5
0
−0.5
−1
157.02
157.01
−1.5
1
1.5
2
2.5
3
Temps (s)
3.5
4
−2
1
4.5
(a)Zoom sur le comportement de la vitesse
1.5
2
2.5
3
Temps (s)
3.5
4
4.5
(b) Zoom sur l’erreur de la vitesse
Figure 2.12 – Le comportement de la vitesse et son Erreur lors de la variation de Rr.
36
5
Chapitre 2
instants ou la résistance rotorique est supérieur ou inférieur a sa valeur nominale. L’erreur
à t = 1s et de l’ordre de −.08 × 10−5 . Entre t = 1s et t = 2s l’erreur est de l’ordre de
−0.2×10−3 W b et s’annule entre les instants t = 3s et t = 4s car la résistance imposé est à
sa valeur nominale. Entre les instants t = 4s et t = 5 l’erreur est égale à −4.78 × 10−3 W b.
(figure 2.13).
x 10
0.8118
−5
6
4
0.8117
2
0
−2
Erreur du flux
Norme du flux (Wb)
0.8116
0.8115
0.8114
−4
−6
−8
0.8113
−10
−12
0.8112
Rr nominal
Rr imposée
0.8111
1
1.5
2
2.5
3
Temps (s)
3.5
4
4.5
−14
1
5
1.5
(a) Zoom sur le comportement du flux
2
2.5
3
Temps (s)
3.5
4
4.5
5
(b) Zoom sur l’erreur du flux
Figure 2.13 – Le comportement de la norme du flux et son erreur lors de la variation de
Rr.
La conclusion est la même pour le courant statorique. La figure (a)2.14 indique qu’il existe
un écart statique entre les deux courants (Rr imposé et Rr nominale), cela est du à l’augmentation de la valeur de la résistance rotorique ou a sa diminution. La figure (b)2.14
montre l’erreur sur les deux courants, elle tend vers zéro quand Rr imposée est la valeur
nominale. A l’instant t = 4s l’erreur est égale à 1.8 × 10−3 .
−3
1.821
5
Rr nominal
Rr imposée
x 10
4
1.82
2
Erreur de courant
Norme du courant (A)
3
1.819
1.818
1.817
1
0
−1
−2
1.816
−3
1.815
−4
1.814
1
1.5
2
2.5
3
Temps (s)
3.5
4
4.5
−5
1
5
(a) Zoom sur le comportement
de la norme du courant
1.5
2
2.5
3
Temps (s)
3.5
4
4.5
(b) Zoom sur l’erreur de courant
Figure 2.14 – Le comportement de la norme du courant lors de la variation de Rr .
37
5
Chapitre 2
Test2 :
les nouvelles variations de la résistance rotorique imposées sont :
A 1 seconde nous avons fait une variation de +20% sur Rr, à 2 secondes -40% sur Rr,
à 3 secondes nous somme revenus à la valeur nominale de Rr, à 4 secondes +80% de
Rr et à 5 secondes c’est le retour vers la valeur nominale de Rr. La figure2.15 illustre la
nouvelle trajectoire de la résistance rotorique. La figure (a)2.16 montre la convergence de
la résistance éstimée vers celle imposée. La figure (b)2.16 donne l’erreur d’estmation. Nous
constatons qu’il apparait un écart statique entre la vitesse de la machine et celle avec Rr
pérturbée (fig (a)2.17 à partitr de 1s cet écart est plus apparant sur les suivantes variations
de la résistance rotorique. la figure (b)2.17 illustre cet écart. La figure 2.18 montre bien que
l’écart entre le flux simulé et celui pertubé par la variation de la résistance est amplifié par
rapport au test précédent. La conclusion est la même pour le courant statorique (figures :
(a)2.19 et (b)2.19).
10
9
+80%Rr
8
7
+20%Rr
6
Rr
Rr
5
−40%Rr
4
3
2
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Temps (s)
Figure 2.15 – Trajectoire imposé de la résistance rotorique.
38
Chapitre 2
2
12
Rr imposée
Rr estimée
10
1.5
Erreur de Rr (Ohms)
1
Rr (Ohms)
8
6
4
0.5
0
−0.5
−1
2
−1.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
−2
5
Temps (s)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Temps (s)
(a) Estimation de Rr
(b) l’erreur d’estimation
Figure 2.16 – La Résistance rotorique estimée et l’erreur d’estimation.
−3
3
157.08
Rr nominal
Rr imposée
x 10
2.5
157.075
Vitesse (rad/s)
157.07
157.065
157.06
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
157.055
−1
157.05
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
−1.5
5
Temps (s)
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Temps (s)
(a) Zoom sur le comportement de la vitesse
(b) Zoom sur l’erreur de vitesse
Figure 2.17 – Le comportement de la vitesse et son Erreur lors de la variation de Rr.
−5
0.8118
8
x 10
6
0.8117
4
2
Erreur du flux (Wb)
Norme du flux (Wb)
0.8116
0.8115
0.8114
0
−2
−4
0.8113
−6
0.8112
−8
Rr nominal
Rr imposée
0.8111
−10
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Temps (s)
Temps (s)
Figure 2.18 – Le comportement de la norme du flux lors de la variation de Rr.
39
5
Chapitre 2
−3
1.821
2.5
Rr nominal
Rr imposée
x 10
2
1.82
Erreur du courant (A)
Norme du courant(A)
1.5
1.819
1.818
1.817
1
0.5
0
−0.5
1.816
−1
1.815
−1.5
1.814
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
−2
5
1
1.5
2
2.5
3
Temps (s)
3.5
4
4.5
5
Temps (s)
(a) Zoom sur le comportement
de la norme du courant
(b) Zoom sur l’erreur de courant
Figure 2.19 – Le Comportement de la norme du courant lors de la variation de Rr.
Estimation de la résistance statorique
Nous avons imposés les mêmes variations que ceux imposés précédemment à la résistance
rotorique (fig 2.20). La figure 2.21 montre la convergence de la résistance estimée vers
toute les valeurs imposées (+20%, -40% et +50%) sur la résistance statorique. l’erreur
d’estimation est prèsque nulle dans les intervalles [0, 1s], [1, 2s], [2, 3s], [3, 4s] et [4, 5s].
Cette erreur augmente quand il y a un changement brusque de consigne, elle est égale à
0.1rad/s pour une variation de +20% sur Rs et elle atteint 0.4rad/s quand on applique
une variation de +50% sur la résistance statorique.
22
+80%Rs
20
18
Variation de Rs (Ohms)
16
+20%Rs
14
12
Rs
Rs
10
−40%Rs
8
6
4
2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Temps (s)
3
3.5
4
4.5
5
Figure 2.20 – Trajectoire imposé de la résistance statorique.
La figure (a)2.22 montre qu’il existe un écart statique entre la vitesse perturbée par Rs et
40
Chapitre 2
celle de la machine est réduit par rapport au test précédent (celui de la variation de Rr).
L’erreur de vitesse atteint 0.34rad/s à t = 2s, c’est l’instant ou Rs diminue de -40% sur
Rs nominale.
25
4
3
20
Rs estimée
Erreur de Rs (Ohms)
Rs estimée (Ohms)
2
15
10
1
0
−1
5
−2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Temps (s)
3
3.5
4
4.5
−3
0.5
5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Temps (s)
(a)Rs estimée
(b)L’erreur d’estimation
Figure 2.21 – Estimation de Rs et l’erreur d’estimation.
Il existe un écart statique entre les deux flux (moins important que le test sur Rr) et
l’erreur augmente ou diminue selon la variation de la résistance statorique et tend vers 0
à la valeur nominale de Rs (figures (a)2.23 et (b)2.23).
Le courant est sensible à la variation de la résistance statorique, nous obtenons un
0.4
157.5
Vitesse (rad/s)
157
156.5
156
Rs imposée
Rs estimée
0.2
0
−0.2
−0.4
155.5
1
1.5
2
2.5
3
Temps (s)
3.5
4
−0.6
0
4.5
(a) Zoom sur le comportement de la vitesse
0.5
1
1.5
2
2.5
Temps (s)
3
3.5
4
4.5
5
(b) Zoom sur l’erreur de vitesse
Figure 2.22 – Le comportement de la vitesse et son Erreur lors de la variation de Rs.
comportement similaire à celui du flux tel que l’erreur entre le courant de la machine et
celui perturbé par la variation de Rs atteint 0.49A quand la résistance statorique augmente
de +50% sur la résistance statorique nominale( figures (a)2.24 et (b)2.24).
41
Chapitre 2
0.025
0.835
0.02
0.83
0.825
0.015
Erreur du flux (Wb)
Norme du flux (Wb)
0.82
0.815
0.81
0.805
0.8
0.01
0.005
0
−0.005
0.795
0.79
−0.01
Rs nominal
Rs imposée
0.785
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Temps (s)
3
3.5
4
4.5
−0.015
0
5
0.5
1
1.5
2
2.5
Temps (s)
3
3.5
4
4.5
5
(b)L’erreur du flux
Figure 2.23 – Le comportement de la norme du flux lors de la variation de Rs.
Rs nominale
Rs imposée
1.5
0.5
0.4
1
0.3
Erreur du courant (A)
0.2
courant(A)
0.5
0
−0.5
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.3
−1
−0.4
−1.5
−0.5
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
0
Temps (s)
(a)le comportement de la norme
du courant
0.5
1
1.5
2
2.5
Temps (s)
3
3.5
4
4.5
5
(b)L’erreur du courant
Figure 2.24 – Le Comportement de la norme du courant lors de la variation de Rs.
Estimation du courant statorique
La figure (a)2.25 montre que le courant estimé converge vers sa référence, l’erreur d’estimation est au voisinage de zéro, elle est égale à 0.1A à 4s seconde au moment du changement
de consigne.
42
Chapitre 2
15
4
3
Erreur de courant (A)
Variation du courant (A)
Is réel
Is estimée
10
5
2
1
0
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Temps (s)
3
3.5
4
4.5
−1
0
5
0.5
1
1.5
2
2.5
Temps (s)
3
3.5
4
4.5
5
Figure 2.25 – Estimation de la norme du courant statorique.
Remarque 2.2 L’estimation de la résistance rotorique et la résitance statorique effectuée
avec l’estimateur neuronale peut constituer une alarme indicatrice de dysfonctionnement
de la machine. Cependant, le déséquilibre sur les résistances permet de tracer le défaut
(nous n’avons pas touché ce point dans notre travail).
2.6
Conclusion
Nous avons présenté dans ce chapitre un panorama non exhaustif des méthodes d’obtention des signaux de détection de défauts dans le but du diagnostic des systèmes. Le
choix de la méthode ou de la technique dépend de la nature et du comportement du
système surveillé ainsi que du défaut recherché. Le travail présenté est axé vers un moyen
du diagnostic interne de la machine asynchrone et spécialement vers l’identification de ses
paramètres électriques. Nous avons proposé dans le cadre de l’estimation paramétrique,
un estimateur neuronal. En utilisant comme information les variations de la résistance rotorique ou de la résistance statorique ou bien du courant statorique de la machine. Cette
technique d’identification a été testé par le logiciel Matlab. Les résultats de simulation
ont montrés que la vitesse, le flux et le courant deviennent instables lorsque la machine
est aux voisinage d’un défaut ou d’un déséquilibre. dans le chapitre 3, nous proposerons
une technique d’observation du flux de la machine asynchrone.
43
Chapitre 3
Observateurs et Observabilité
3.1
Introduction
La mise en oeuvre de lois des commandes basées sur le modèle non linéaire du système,
nécessite la connaissance du vecteur d’état complet du système à chaque instant. Mais,
dans La plupart des cas, les seules grandeurs accessibles du système sont les variables
d’entrées et de sorties, il est nécessaire qu’à partir de ces informations de reconstruire
l’état du modèle choisi pour élaborer la commande. De ce fait, l’idée repose sur l’utilisation d’un observateur. Un observateur est un système dynamique que l’on peut appeler
capteur informatique, puisqu’il est souvent implanté sur calculateur afin de reconstituer
ou d’estimer en temps réel l’état courant d’un système, à partir des mesures disponibles,
des entrées du système et une connaissance à priori du modèle. Il nous permet alors de
suivre l’évolution de l’état en tant qu’information sur le système.
Dans ce chapitre, nous présentons dans un premier temps les différentes définitions de
l’observabilité des systèmes linéaires et non linéaires, ensuite, nous rappelons l’étude de
l’observabilité de la machine asynchrone, puis nous présentons une synthèse de l’observateur appliqué à notre machine.
3.2
Définition
Un observateur est un développement mathématique qui permet de reconstituer les
états internes d’un système à partir uniquement des données accessibles, c’est-à-dire, des
entrées imposées et des sorties mesurées. L’observation se fait en deux parties ; la première
est une étape d’estimation et la seconde est une étape de correction. L’estimation se
fait par le calcul des grandeurs d’état à l’aide de modèle proche du système (modèle
Chapitre 3
mathématique du système). Ensuite, la correction se fait par l’addition ou la soustraction
de la différence entre les états estimés et ceux mesurés (erreur d’estimation) que l’on
multiplie par un gain G. Ce gain régit la dynamique et la robustesse de l’observateur. Donc,
son choix est important et doit être adapté aux propriétés et dynamiques du système dont
on veut effectuer l’observation des états suivant la nature du modèle du système, nous
rencontrons deux types d’observateurs ; linéaires et non-linéaires. D’autre part, et suivant
la technique utilisée, nous distinguons des observateurs déterministes et stochastiques.
Dans la suite, nous allons brièvement présenter les différentes catégories d’observateurs
tout en citant les observateurs les plus utilisés.
3.3
Types d’observateurs et observabilité
L’observabilité d’un processus est un concept très important en automatique. En effet,
pour reconstruire l’état et la sortie d’un système, il faut savoir, a priori, si les variables
d’état sont observables ou non.
En général, pour des raisons de réalisation technique, de coût, etc..., la dimension du
vecteur de sortie est inférieure à celle de l’état. Ceci entraîne qu’à l’instant donné t, l’état
x(t) ne peut pas être déduit algébriquement de la sortie y(t) à cet instant. Par contre, sous
des conditions d’observabilité qui seront explicitées plus loin, cet état peut être déduit de
la connaissance des entrées et sorties sur un intervalle de temps passé : u([0, t]), y([0, t]). Le
but d’un observateur est de fournir avec une précision garantie une estimation de la valeur
courante de l’état en fonction des entrées et sorties passées. Cette estimation devant être
obtenue en temps réel, l’observateur revêt usuellement la forme d’un système dynamique.
Définition 3.1 On appelle observateur (ou reconstructeur d’état) d’un système dynamique :
ẋ(t) = f (x(t), u(t))
(3.1)
y(t) = h(x(t))
Un système dynamique auxiliaire O dont les entrées sont constituées des vecteurs d’entrée
(S) :
et de sortie du système à observer et dont le vecteur de sortie x̂(t) est l’état estimé :
ż(t) = fˆ(z(t), u(t), y(t))
(3.2)
(O) :
y(t) = ĥ(z(t), u(t), y(t))
Telle que l’erreur entre le vecteur d’état x(t) et x̂(t) tende asymptotiquement vers zéro.
t→0
ke(t)k = kx(t) − x̂(t)k −→ 0
(3.3)
Le schéma d’un tel observateur est donné sur la figure 3.1. L’existence d’un tel observateur est liée à la notion d’observabilité de (S).
45
Chapitre 3
L’observabilité caractérise la propriété de pouvoir récupérer (de façon statique ou dynamique) par une combinaison des mesures et de leurs dérivées toutes les grandeurs d’un
système.
u(t)
y(t)
S
O
x(t)
Figure 3.1 – Schéma de principe d’un observateur.
3.3.1
Observabilité des systèmes linéaires
Considérons le système dynamique linéaire
ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t)
(3.4)
x(t) ∈ IRn , u(t) ∈ IRm et y(t) ∈ IRp . Les matrices A, B et C ont des dimensions appropriées.
La matrice d’observabilité du système (3.4) est définie [37] par :


C
 CA 




.


O=

.




.
n−1
CA
(3.5)
L’observabilité du système (3.4) est garantie si le rang de la matrice d’observabilité O
est égal à n [56]. [83] a présenté un deuxième critère ; le système (3.4) est complètement
observable si :
rang
sI − A
C
=n
(3.6)
Pour tout s complexe. Si un système linéaire est complètement observable, il est globalement observable, c’est-à-dire que toutes les composantes du vecteur d’état du système
sont observables, et donc peuvent être reconstruites par un observateur. Si le système est
non linéaire, nous devons distinguer l’observabilité globale de l’observabilité locale.
46
Chapitre 3
3.3.2
Observateurs linéaires
La structure d’un observateur linéaire peut être présentée selon la figure 3.2. Elle comprend un estimateur fonctionnant en boucle ouverte, décrit par l’équation caractéristique
du système à observer avec la matrice dynamique A (c’est-à-dire, qu’il est caractérisé
par la même dynamique que celle du système). L’introduction de la boucle de correction
agissant sur l’erreur d’observation ∆y = y − ŷ permet d’imposer à l’observateur sa dynamique propre. Ainsi, en choisissant de façon judicieuse les gains de la matrice G, on peut
modifier la vitesse de convergence de y vers zéro.
u
B
x
x
y
C
A
Processus
G
B
x
x
C
y
A
Estimateur
Observateur
Figure 3.2 – Schéma fonctionnel d’un observateur linéaire.
L’équation de l’observateur figure3.2 peut être exprimée par :
x̂˙ = Ax̂ + Bu + G∆y
Σ
ŷ = C x̂
En remplaçant l’erreur d’observation ∆y, par (y − ŷ), il vient :
x̂˙ = A0 x̂ + Bu + Gy
Σ
ŷ = C x̂
(3.7)
(3.8)
A0 = A − Gŷ Donc, la dynamique de l’observateur est gouvernée par la matrice d’état A0
qui dépend de la matrice de gains G
3.3.3
Observabilité des systèmes non linéaires
Pour mieux cerner le cadre au sein duquel se sont effectués les travaux sur l’observation et la synthèse d’observateurs pour des classes de systèmes non-linéaires, on propose
47
Chapitre 3
d’introduire quelques définitions relatives à l’observabilité et la synthèse d’observateurs
pour les systèmes non-linéaires. La classe des systèmes considérés concerne les procédés
qui admettent un modèle dynamique écrit sous la forme suivante :
x̂
= f (x(t), u(t))
Σ
y(t) = h(x(t))
(3.9)
Où l’état x(t) ∈ V est un ouvert de IRn
L’entrée u(t) ∈ U ensemble mesurable de IRm
Les sorties y(t) ∈ IRp .
La variable t représente le temps.
Pour une entrée donnée, les trajectoires au cours du temps des variables d’états dépendent
de leurs conditions initiales. Étant donné t0 un instant initial, T > 0 un horizon temporel
(éventuellement infini) et u(t; t0 ) une entrée, x(t; x(t0 ); u(t)) désigne la trajectoire du système lorsqu’elle existe de manière unique pour tout temps t ∈ [t0; t0 + T [ (Problème de
Cauchy). Etant donné le système Σ, l’espace de l’état V et l’ensemble U des entrées, la
notion d’observabilité est basée sur la possibilité de différencier deux conditions initiales
distinctes. On parlera ainsi de la distinguabilité d’un couple de conditions initiales.
Dans ce qui suit, nous allons rappeler certaines définitions inhérentes à l’observabilité des
systèmes non linéaires, que l’on peut retrouver dans [52] et [23].
3.3.3.1
Quelques définitions
La notion d’observabilité est basée sur la possibilité de différencier deux conditions
initiales distinctes. On parlera ainsi de la distinguabilité d’un couple de conditions initiales.
Définition 3.2 (Distinguabilité- Indistinguabilité) : Deux états initiaux x0 , x1 ∈ V tel
que x0 6= x1 sont dits distinguables dans V si ∃t ≥ 0 et ∃u : [0, t] → U une entrée
admissible telle que les trajectoires des sorties issues respectivement de x0 et x1 restent
dans V pendant la durée [0, t] et vérifient y(t, x0 , u(t)) 6= y(t, x1 , u(t)). Dans ce cas, on dira
que u distingue x0 et x1 dans V. Réciproquement, deux états initiaux x0 , x1 ∈ V tel que
x0 6= x1 sont dits indistinguables si ∀t ≥ 0 et ∀u : [0, t] → U pour lesquels les trajectoires
issues de x0 , x1 restent dans V on a : y(t, x0 , u(t)) = y(t, x1 , u(t)).
Il est maintenant possible de donner une définition de l’observabilité d’un système en un
point, et par extension, de définir un système observable.
Définition 3.3 (Observabilité) : Un système est observable en x0 ∈ V si tout autre état
48
Chapitre 3
x1 6= x0 est distinguable de x0 dans V. Un système est observable s’il est observable en
tout point x0 ∈ V.
La distinguabilté est un concept global. Il arrive souvent que pour engendrer deux
trajectoires à partir de x0 et x1 , on ait besoin de s’éloigner suffisamment de x0 et x1 . Les
deux définitions qui suivent sont de nature locale.
Définition 3.4 (observabilité locale) : On dit que le système Σ est localement observable
en x0 si pour tout voisinage ouvert Vx0 de x0 , l’ensemble des points qui sont indistinguables
de x0 dans Vx0 via les trajectoires dans Vx0 est le point x0 lui-même.
Lorsqu’il s’agit de distinguer x0 de ses voisins, on peut affaiblir la notion d’observabilité
locale. Dans cette optique, on a :
Définition 3.5 (observabilité locale faible) : On dit que le système Σ est localement faiblement observable en x0 s’il existe un voisinage ouvert Vx0 de x0 tel que pour tout voisinage
′
′
ouvert Vx0
⊂ Vx0 , l’ensemble des points qui sont indistinguables de x0 dans Vx0
via les
′
trajectoires dans Vx0
est le point x0 lui-même.
Un système est donc localement faiblement observable si tout état x0 peut être instantanément distingué de ses voisins en utilisant les trajectoires qui restent dans un voisinage
de x0 .
Dans le but de traduire cette propriété d’observabilité par une condition de rang comme
dans le cas des systèmes linéaires, nous sommes amenés à définir l’espace d’observation.
Définition 3.6 (Espace d’observation) : L’espace d’observation du système Σ est le plus
petit sous-espace vectoriel, O, de fonctions de V à valeurs dans l’espace de sortie qui
contienne h1 , ..., hp , et qui soit fermé pour la dérivation de Lie par rapport à tous les
champs de vecteurs du type fu (x) = f (u, x), u ∈ U , fixé.
Définition 3.7 (Observabilité au sens du rang) : Soit dO l’espace des différentielles des
éléments de O. Désignons par dO(x0 ) l’évaluation de dO en x0 . Le système Σ est localement faiblement observable en x0 si :
dim dO(x0 ) = n
49
Chapitre 3
La condition précédente est appelée condition du rang. Si cette condition est satisfaite
pour tout x0 ∈ V, on dit que le système Σ est observable au sens du rang. La définition
précédente donne une condition suffisante d’observabilité locale faible. Le théorème suivant
donne une condition nécessaire :
Théorème 3.1 Supposons que le système Σ est localement faiblement observable. Alors
la précédente est vérifiée presque partout dans V, c’est-à-dire, dimdO(x) = n en tout point
x appartenant à un ouvert V ′ dense dans V.
Les définitions d’observabilité données précédemment n’impliquent pas que toute entrée
distingue des couples de points de V. En pratique, on aimerait se placer dans le cas où
l’entrée u étant fixée, tout couple d’états distincts donne lieu à des sorties différentes. En
effet, ce n’est que dans ce cas que l’on peut reconnaître l’état initial du système à partir
des informations antérieures sur l’entrée et la sortie. Ceci nous conduit au concept des
entrées universelles et des systèmes qui sont observables au sens du rang pour toutes les
entrées appliquées.
3.3.3.2
U-uniforme observabilité
Lorsqu’une entrée distingue tous les couples d’état initiaux sur V, celle-ci est dite
universelle.
Définition 3.8 (Entrée universelle) : Une entrée u : [0, T ] → U admissible est dite universelle pour le système Σ sur [0, T ] si, pour tout couple d’états initiaux distincts x0 et
x1 , il existe au moins un temps t ∈ [0, T ] tel que y(t, x0 , u(t)) 6= y(t, x1 , u(t)). Une entrée
non universelle est dite singulière.
Lorsqu’il n’existe pas d’entrée singulière parmi l’ensemble des entrées admissibles U , alors
tout couple d’états initiaux sont distinguables. Cette propriété est appelée la U -uniforme
observabilité.
Définition 3.9 (U-uniforme observabilité) : Un système dont toutes les entrées admissibles à valeur dans U sont universelles est dit U-uniformément observable.
Dans le cas où l’ensemble de toutes les entrées à valeurs bornées dans IRm sont universelles, ce système sera dit IRm -uniformément observable (et l’on dira par la suite seulement
uniformément observable).
50
Chapitre 3
L’uniforme observabilité sur un espace V permet de caractériser un ensemble d’entrées U
tel que pour toute entrée u(t) ∈ U , le système est observable sur V. Ainsi, les systèmes
linéaires observables sont uniformément observables.
Le problème de la caractérisation des systèmes uniformément observables dans le cas
mono-sortie a été abordé par [103] pour les systèmes bilinéaires et par [39] pour les systèmes affines en la commande.
3.3.3.3
Observabilité de la machine asynchrone
La notion d’observabilité des systèmes non linéaires est complexe. Les critères généraux
permettant d’affirmer qu’un système est ou n’est pas observable sont délicats à mettre en
oeuvre. soit la définition suivante donnée par [28] [43] et [97] :
Définition 3.10 (Espace d’observabilité générique) : soit le système (3.1). L’espace d’observabilité générique est défini par O = x ∩(y + u)
x = Spank dx
u = Spank duυ , υ ≥ 0
y = Spank dy ω , ω ≥ 0
(3.10)
Où K est l’ensemble des fonctions méromorphes.
Le système 3.1 est génériquement observable si et seulement si :
dim O = n
(3.11)
Supposons que la condition de rang d’observabilité générique (3.11) soit satisfaite. On
peut alors vérifier :



rangk 

dy
dẏ
..
.
dy (n−1)
Un critère seulement suffisant est :
Le jacobien de



 = n.

(3.12)
δ(y, . . . , y (n−1) )
est le gain plein.
δ(x1 , . . . , xn )
Nous verrons pour la machine asynchrone que lorsque la mesure de vitesse est effectuée,
le système est localement observable. Par contre, lorsque la mesure n’est pas autorisée,
51
Chapitre 3
l’observation de la vitesse mécanique se heurte à des problèmes d’observabilité à basse
vitesse. Nous donnons ici quelques éléments sur ce sujet et nous montrons dans le cas ou
la vitesse est non mesurée [43].
3.3.4
Observabilité de la machine avec mesure de vitesse
L’observabilité est un préalable nécessaire à la synthèse d’observateurs pour le flux.
Prenons le cas non linéaire sous l’hypothèse de vitesse variable. La même étude dans le
cas linéaire (lorsque la vitesse est considérée constante) aboutit aux mêmes résultats.
Le modèle utilisé est celui donné par l’équation du modèle de la machine asynchrone
dan le plan (α, β) réécrit sous la forme suivante :
ẋ = f (x) + g(x)u
y = h(x)
(3.13)
Où Tl est supposé constant,
Avec :

x1
 x2

 x3
x=
 x4

 x5
x6



 
 
 
=
 
 
 
isα
isβ
ϕrα
ϕrβ
Ω
Tl




 , u = usα

usα



b(ax3 + px5 x4 ) − γx1


b(ax4 + px5 x3 ) − γx2

f (x) = 
 −ax3 − px5 x4 + Msr x2 
m(x3 x2 − x4 x1 ) − cx5 − xJ6


m1 0
 0 m1 



 0
0

g(x) = 

 0
0


 0
0 
0
0

 

x1
h1
h(x) =  h2  =  x2 
x5
h5
Soit l’ensemble des fonctions de classe C ∞ P1 (x) concernant les sorties (les mesures) et
leurs dérivées respectives suivant :
52
Chapitre 3

 

h1

P1 (x) =  h2  = 


h5


h1
h2
h5
ḣ1
ḣ2
ḣ5


 
 
 
=
 
 
 
x1
x2
x5
ẋ1
ẋ2
ẋ5








A l’espace d’observabilité de système est associé le jacobien de P1 (x) par rapport à l’état
x.
Le jacobien de P1 (x) par rapport à l’état x permet donc de caractériser l’observabilité au
sens du rang :
J1 (x) =




=



∂(P1 (x))
∂(x)
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
−γ
0
ba
bpx5
bpx4
0
−γ −bpx5
ba
−bpx3
−mx4 mx3 mx2 −mx1
−c
Le déterminant de cette matrice est :
0
0
0
0
0
−1
J








D1 = det(J1 (x))
b2 2 b2
a − (px5 )2
J
J
Le rang de la matrice J1 (x) est égal à l’ordre du système et ceci indépendamment de la
=−
vitesse, ce qui est une condition suffisante d’observabilité. La machine asynchrone avec
mesures de vitesse et de courants est donc localement observable. Dans ce cas, il est donc
inutile d’introduire de dérivées d’ordres supérieurs des mesures.
3.3.5
Observabilité de la machine sans mesure de vitesse
Le thème de la commande sans capteur mécanique de la machine asynchrone (sans
mesure de vitesse et de charge) est devenu un sujet important et un champ attrayant de
la perspective industrielle car les capteurs de vitesse réduisent la robustesse et la fiabilité
dans le pilotage de la machine asynchrone et augmentent son coût ainsi que la complexité
des montages. Il est difficile à résoudre car alors l’observabilité de la machine asynchrone
pose problème dans certains domaines de fonctionnement.
Nous allons ici montrer ces difficultés et que le problème admet des solutions.
53
Chapitre 3
Considérons le modèle de la machine asynchrone où la vitesse n’est pas mesurée et de plus
le coup de charge est supposé constant alors :
ẋ = f (x) + g(x)u
y = h(x)
Avec :
Et :




x=



x1
x2
x3
x4
x5
x6


 
 
 
=
 
 
 
isα
isβ
ϕrα
ϕrβ
Ω
Ti
(3.14)




 , u = [usα usα ]




b(ax3 + px5 x4 ) − γx1

b(ax4 + px5 x3 ) − γx2

 −ax3 − px5 x4 + aMsr x1
f (x) = 
 −ax4 − px5 x3 + aMsr x2

 m(x3 x2 − x4 x1 ) − cx5 − Ti
J
0


m1 0
 0 m1 



 0
0

g(x) = 
 0
0 


 0
0 
0
0
h1
x1
h(x) =
=
h2
x2








Soit l’ensemble des fonctions C ∞ P2 (x) obtenu de la manière suivante :

h1
h2
h˙1
h˙2




P2 (x) = 

 (2)
 h1
(2)
h2


 
 
 
 
=
 
 

x1
x2
x˙1
x˙2
(2)
x1
(2)
x2








Le jacobien de P2 (x) par rapport à l’état x permet de caractériser l’observabilité au sens
du rang :
J2 (x) =
∂(P2 (x))
∂(x)
54
Chapitre 3




=



Où
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
−γ 0
ba
bpx5 bpx4 0
0 −γ −bpx5 ba −bpx3 0
a1 a2
a3
a4
a5
a6
b1 b2
b3
b4
b5
b6








=
=
=
=
=
=
ba2 Msr − bpx24 m + γ 2
bpx4 mx3 + bpx5 aM sr
−ba2 + bpx4 mx2 + bp2 x25 − γba
−2bapx5 + bp(mx3 x2 − mx4 x1 − cx5 − xJ6 ) − bpx4 mx1 − γbpx5
2
b apx4 − bpx4 c + bp(−ax4 + px5 x3 + aMsr x2 ) + bp x5 x3 − γbpx4
b1 =
b2 =
a3 =
b4 =
b5 =
b6 =
Le déterminant
bpx4 mx3 − bpx5 aMsr
ba2 Msr − bpx23 + γ 2
2bapx5 − bp(mx3 x2 − mx4 x1 − cx5 − xJ6 ) − bpx3 mx2 + γbpx5
−ba2 + bpx3 mx1 + bp2 x25 − γbba
2
b apx3 + bpx3 c − bp(−ax3 − px5 x4 + aMsr x1 ) + bp x5 x4 + γbpx3
a1
a2
a3
a4
a5
a6
Et
−bpx4
J
bpx3
J
de cette matrice est :
D2 =
det(J2 (x))
=
−b4 p2 (−p24 a2 Jx5 − p3 x24 Jx35 − px35 − px33 amx2 J
+
px23 ax6 + px23 ax4 mx1 J + px23 acx5 J + p2 x25 x4 aJMsr x1
−
a3 x3 JMsr x2 − a2 px23 Jx5 − apx3 x24 Jmx2 + a3 x4 JMsr x1
2
+ apx4 cx5 J + apx24 x6 + apx34 mx1 J − p2 x25 x3 aJMsr x2 − p3 x35 x23 J)/J 2
L’expression littérale du déterminant D2 de la matrice J2 est très difficile à évaluer.
Afin de rendre l’expression du déterminant exploitable, nous allons étudier l’observabilité
de la machine asynchrone dans les deux cas particuliers suivants :
3.3.6
Cas 1 : Ω̇ = 0 :
Dans le cas où la vitesse de la machine asynchrone est constante, le modèle de la
machine asynchrone est donné par les équations suivantes :
ẋ = f (x) + g(x)u
y = h(x)
Avec :



x=


x1
x2
x3
x4
x5


 
 
=
 
 
isα
isβ
ϕrα
ϕrβ
Ω
55



 , u = usα

usα

(3.15)
(3.16)
Chapitre 3
Et :

(ax3 + px5 x4 ) − γx1
 b(ax4 + px5 x3 ) − γx2
f (x) = 
 −ax3 − px5 x3 + aMsr x2
m(x3 x2 − x4 x1 ) − cx5 −


m1 0
 0 m1 



0
0
g(x) = 


 0
0 
0
0
h1
x1
h(x) =
=
h2
x2

x6
J



On peut associer à l’espace d’observabilité du système le jacobien par rapport à l’état x.
La vérification de l’observabilité du système (3.15) est alors obtenue à partir du calcul du
déterminant de la matrice d’observabilité (le jacobien) associée (critère du rang).
Soit les deux ensembles de fonctions C ∞ P3 (x) et P4 (x) générés à partir des mesures et de
leurs dérivées respectives de la façon suivante :



P3 (x) = 


h1
h˙1
(2)
h1
h2
h˙2


 
 
=
 
 
x1
x˙1
(2)
x1
x2
x˙2






 , P4 (x) = 




h1
h˙1
h2
h˙2
(2)
h2


 
 
=
 
 
x1
x˙1
x2
x˙2
(2)
x2






Les jacobiens J3 et J4 respectivement de P3 (x) et P4 (x) par rapport à l’état x permettent
de caractériser l’observabilité du système (11) au sens du rang :
J3 (x) =

Et


=


1
0
0
0
0
−γ
0
ba
bpx5 bpx4
2
2
ba Msr + γ bpx5 aMsr
b7
b8
b9
0
1
0
0
0
0
−γ
−bpx5 ba −bpx3
J4 (x) =



=


∂(P3 (x))
∂(x)






∂(P4 (x))
∂(x)
1
0
0
0
0
−γ
0
ba
bpx5 bpx4
0
1
0
0
0
0
−γ
−bpx5 ba −bpx3
−bpx5 aMsr ba2 Msr + γ 2
b10
b11
b12
56






Chapitre 3
Où
b7
b8
b9
b10
b11
b12
=
=
=
=
=
=
−ba2 + bp2 x25 − γba
−2apx5 − γbpx5
−bapx4 + bp(−ax4 + px5 x3 + aMsr x2 )bp2 x5 x3 − γbpx4
2bapx5 + γbpx5
−ba2 + bp2 x25 − γba
bapx3 − bp(−ax3 − px5 x4 + aMsr x1 ) + bp2 x5 x4 + γbpx3
Les déterminants respectifs sont alors :
D3 = b3 a3 px4 − b3 a3 pMsr x2 − b3 a2 p2x5 x3 − b3 p4 x35 x3 + b3 p3 x25 x4 a − b3 p3 x25 aMsr x2
Et
D4 = −b3 a3 px3 − b3 a2 p2 x5 x4 + b3 a3 pMsr x1 − b3 ap3 x25 x3 − b3 p4 x35 x4 + b3 p3 x25 aMsr x1
Ou bien :
D3 = −b3 p3 [−ax3 − px5 x4 + aMsr x1 ](
a2
+ x25 )
p2
x˙3 = −ax3 − px5 x4 + aMsr x1
Et
D4 = −b3 p3 [−ax4 − px5 x3 + aMsr x2 ](
a2
+ x25 )
p2
x˙4 = −ax4 − px5 x3 + aMsr x2
L’expression des deux déterminants D3 etD4 montre que le point x˙3 = x˙4 = 0(ϕ˙rα = ϕ˙rβ =
0) apparaît clairement comme une singularité d’observabilité (physique) du système. La
condition suffisante d’observabilité n’est pas satisfaite.
On remarque en outre que le rang de D3 et D4 est indépendant de l’entrée, ce qui se
traduit par le fait que toute entrée rend le système localement observable sur un ensemble
E = (x : x˙3 = x˙4 6= 0, x˙5 = 0).
Dans le cas stationnaire (vitesse constante et pulsations des signaux constants), il est
possible de proposer une interprétation physique de la condition énoncée ci-dessus.
Considérons l’expression de l’équation de la pulsation statorique [43] :
ωs = pΩ +
aMsr isq
.
pϕrd
Le couple électromagnétique pouvant également s’exprimer sous la forme :
Cem =
pMsr
pϕrd isq
Lr
On obtient :
ωs = pΩ +
57
Rr Cem
pϕ2rd
(3.17)
Chapitre 3
Dans le cas présent, les relations x˙3 = x˙4 = 0(ϕ˙rα = ϕ˙rβ = 0) se traduisent par ωs = 0.
De plus la pulsation statorique ωs = 0 est la dérivée de l’angle du repère tournant (d−q)ρ.
Ce qui implique que ρ est constant.
ωs = 0 signifie que le couple électromagnétique et la vitesse mécanique sont de signes
opposés. C’est le cas du fonctionnement en génératrice avec circulation du courant continu
au stator. Il est clair que dans ce cas qu’aucune information ne peut être obtenue
sur le champ rotorique.
Rτ
Rr Cem
Msr ϕrd isq =
étant généralement faible, ce genre
Lτ
pϕ2rd
de problème ne se rencontrera qu’à basse vitesse avec le cas échéant un couple non nul.
La vitesse de glissement : ωr =
Remarque 3.3 L’interprétation donnée auparavant ne doit pas sous entendre que le défaut d’observabilité est obtenue pour une vitesse nulle Ω = 0 qui n’est qu’un cas particulier
de l’étude, ni même pour une vitesse constante Ω̇ = 0, qui n’est également qu’un cas particulier.
3.3.7
Cas 2 :ϕ˙rα = ϕ˙rβ = 0 :
Le modèle utilisé est celui donné par le modèle de la machine présenté au chapitre 1
dans lequel on considère les composantes des flux rotoriques suivant l’axe α,β constantes
et qui est donné par les équations suivantes :
ẋ = f (x) + g(x)u
y = h(x)
(3.18)
Où Tl est considéré constant,
Avec :
Et :

x1
x2
x3
x4
x5
x6

b(ax3 + px5 x4 ) − γx1
b(ax4 + px5 x3 ) − γx2
0
0
m(x3 x2 − x4 x1 ) − cx5 −
0



x=






f (x) = 





 
 
 
=
 
 
 
isα
isβ
ϕrα
ϕrβ
Ω
Tl
58


 
 , u usα

usα


x6
J
(3.19)








(3.20)
Chapitre 3

m1 0
 0 m1 


 0
0 


g(x) = 

0
0


 0
0 
0
0
x1
h1
=
h(x) =
x2
h2

(3.21)
(3.22)
Soit l’ensemble de fonctions C ∞ P5 (x) généré à partir des mesures et de leurs dérivées
respectives de la façon suivante :





P5 (x) = 



h1
h2
h˙1
h˙2
(2)
h1
(2)
h2


 
 
 
 
=
 
 

x1
x2
x˙1
x˙2
(2)
x1
(2)
x2








(3.23)
Soit le jacobien de P5 (x) par rapport à l’état x permettant de caractériser l’observabilité
au sens du rang :
J5 (x) =

Où


=


a7
a8
a9
a10
a12
a13
a14
=
=
=
=
=
=
=
∂(P5 (x))
∂(x)
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
−γ
0
ba
bpx5 bpx4
0
0
−γ
−bpx5 ba −bpx3
0
a7 bpx4 mx3
a8
a9
a10
−bpx4 /J






−bpx24 m + γ 2
bpx4 mx2 − γab
bp(mx3 x2 − mx4 x1 − cx5 − x6 /J) − bpx3 mx2 + γbpx5
−bpx23 m + γ 2
−bp(mx3 x2 − mx4 x1 − cx5 − x6 /J) − bpx3 mx2 + γbpx5
bpx3 mx1 − γba
bpx3 c + γbpx3
Le déterminant de cette matrice est donné par :
D5 = det(J5 (x))
= −b4 p3 a(−x33 mx2 J + x23 x6 + x23 x4 mx1 J + x23 cx5J
−x3 x24 Jmx2 + x24 cx5 J + x24 x6 + x34 mx1 J)/J 2
59
Chapitre 3
Ou bien :
D5 =
2b4 p3 a 2
(x + x2 ) [mx3 x2 − mx4 x1 − cx5 − x6 /J]
{z
}
J | 3 {z 4} |
x˙5
ϕ2rd
On remarque que cette expression s’annule pour ϕrd = 0 ou pour x˙5 = 0 présente peu
d’intérêt du fait que cela reviendrait à avoir un flux nul dans le rotor. Par contre, le cas où
x˙5 = 0 signifie que si la vitesse est constante, le déterminant s’annule. Cela se traduit par
le fait que l’observabilité du système (3.18) ne peut être établie en toute circonstance, en
particulier les régimes permanents à vitesse constante et pulsation statorique nulle restent
singuliers.
˙ 0 et (ϕ˙rα = ϕ˙rβ = 0),
Remarque 3.4 Jusqu’ici, nous avons vu que dans le cas où (Ω =
il n’est pas possible de déduire tout l’état de la machine asynchrone en utilisant seulement
les mesures et leurs dérivées supérieures jusqu’à l’ordre 2.
3.3.8
Cas 3 : ϕ˙rα = ϕ˙rβ = 0 et Ω̇ = 0 :
Dans ce cas, nous utilisons le modèle de la machine asynchrone suivant :
ẋ = f (x) + g(x)u
y = h(x)
Avec :
Et :



x=


x1
x2
x3
x4
x5


 
 
=
 
 
isα
isβ
ϕrα
ϕrβ
Ω




 u = usα

usα

b(ax3 + px5 x4 ) − γx1
 b(ax2 + px5 x3 ) − γx2

0
f (x) = 


0
0


m1 0
 0 m1 


0 
g(x) = 
 0

 0
0 
0
0
h1
x1
h(x) =
=
h2
x2
60






(3.24)
(3.25)
(3.26)
(3.27)
(3.28)
Chapitre 3
Considérons l’ensemble de fonctions C ∞ P6 (x) généré à partir des mesures et de leurs dérivées supérieures jusqu’à l’ordre 4 de la façon suivante :









P6 (x) = 








h1
h2
h˙1
h˙2
(2)
h1
(2)
h2
(3)
h1
(3)
h2
(4)
h1
(4)
h2


 
 
 
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
 
 
 
x1
x2
x˙1
x˙2
(2)
x1
(2)
x2
(3)
x1
(3)
x2
(4)
x1
(4)
x2


















A l’espace d’observabilité du système on peut associer le jacobien de P6 (x) par rapport à
l’état x.
Question : Est-il possible d’extraire cinq vecteurs de cet espace qui soient linéairement
indépendants en exploitant les dérivées supérieures jusqu’à l’ordre 4 de la machine ?
Pour répondre à cette question, considérons alors le jacobien de P6 (x) par rapport à l’état
x permettant de caractériser l’observabilité au sens du rang :
J6 (x) =







=






∂(P6 (x))
∂(x)
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
−γ
0
ba
bpx5
bpx4
0 −γ −bpx5
ba
−bpx3
γ2
0
−γba −γbpx5 −γbpx4
0
γ 2 γbpx5
−γba
γbpx3
0 −γ 3
0
γ 2 ba
−γ 2 bpx3
γ4
0
−γ 3 ba −γ 3 bpx5 −γ 3 bpx4
0
γ 4 γ 3 pbx5 −γ 3 ba
γ 3 bpx3
0
0
0
0
0
0
0
0
0














On remarque que les vecteurs lignes de l’espace d’observabilité générés par le jacobien des
dérivées d’ordre 2 des mesures par rapport à l’état x sont respectivement une combinaison
linéaires des vecteurs lignes générés par le jacobien des dérivées d’ordre 1 des mesures par
(2)
(2)
∂ h˙2
∂h2
∂ h˙2
∂h1
= −γ
et
= −γ
. La conclusion est la même
rapport à l’état x. On a
∂x
∂x
∂x
∂x
pour les vecteurs lignes générés par le jacobien des dérivées d’ordre 3 et 4 des mesures par
rapport à l’état x qui sont aussi une combinaison linéaire des vecteurs lignes générés par
(3)
∂h1
∂ h˙1
le jacobien des dérivées d’ordre 1 des mesures par rapport à l’état x. Soit
= γ2
,
∂x
∂x
(3)
(4)
(4)
∂ h˙1
∂h2
∂ h˙2 ∂h2
∂ h˙2
∂h1
= −γ 3
et
= γ2
,
= −γ 3
.
∂x
∂x
∂x
∂x ∂x
∂x
61
Chapitre 3
Cela se traduit par le fait que l’observabilité du système (3.24) ne peut être établie
dans le cas particulier de fonctionnement de la machine où la vitesse est constante et
la pulsation statorique est nulle (ϕ˙rα = ϕ˙rβ = 0) même si l’on utilise les dérivées
d’ordre supérieurs des mesures de la machine. C’est une condition suffisante et
nécessaire de perte d’observabilité pour le cas 3.
3.3.9
Droite d’inobservabilité
Quand la pulsation statorique est nulle, ce qui revient à avoir les deux composantes
du flux rotorique constantes, l’équation (3.17) devient :
Cem = −KΩ
(3.29)
Avec
P 2 ϕ2rα
.
Rr
Quand la vitesse est constante, l’équation de la dynamique de la vitesse devient :
K=
Cem = (fυ Ω + Tl ).
(3.30)
En utilisant 3.29 dans 3.30, on obtient une droite dans le plan couple de charge-vitesse
mécanique donné par l’expression suivante :
Tl = −M Ω
(3.31)
Avec
P 2 ϕ2rα
+ fυ .
Rr
Cette droite est appelée droite d’inobservabilité. Elle se situe dans le deuxième et quaM=
trième quadrant du plan (Tl , Ω) : ceci correspond au fonctionnement en génératrice (le
couple de charge et la vitesse mécanique sont de signes opposés) comme le montre la figure
3.3 Elle est utilisée dans le cahier des charges des variateurs industriels pour caractériser
le comportement des régulateurs à basse vitesse.
62
Chapitre 3
Tl
W
-M
Figure 3.3 – Droite d’inobservabilité dans la plan(Tl , Ω) avec M =
3.3.10
P 2 ϕ2rα
+ fυ .
Rr
Observateurs non linéaires
Les systèmes peuvent être non-linéaires. Dans ce cas, des Observateurs non-linéaires
ont été développés pour palier cette difficulté. La figure 3.4 montre le schéma de principe
d’un observateur non-linéaire. Il est à noter que deux approches se généralisent [21] :
y
Processus
+
u
Observateur
x
C
y
Figure 3.4 – Schéma fonctionnel d’un observateur non linéaire.
– La linéarisation autour du point de fonctionnement : pour chaque instant de fonctionnement, le système est considéré linéaire et une réactualisation se fait à chaque
pas de temps. Ceci implique une réactualisation des matrices de gain. L’observateur
de Kalman à état retardé est un filtre a structure particulière qui prend en compte
la réactualisation de la matrice A.
– La structure du gain sur la base de la non-linéarité du système : c’est le cas de
l’observateur à Grand Gain. Cet observateur est synthétisé en prenant en compte
la modélisation non linéaire du système.
63
Chapitre 3
Dans les paragraphes qui vont suivre nous présenterons l’observateur à grand gain choisi
pour être appliquer à la machine asynchrone.
3.3.10.1
Présentation de l’observateur à grand gain
La simplicité de l’implémentation est le principal avantage de l’observateur à grand
gain, cependant, ce type d’observateurs souffre d’un inconvénient résidant dans le bon
choix du son unique paramètre de synthèse. Ce dernier choix s’effectue généralement
suite à plusieurs essais afin de satisfaire le compromis entre la rapidité ou la précision
de l’observateur et sa sensibilité vis-à-vis des bruits de mesure. Généralement, on doit
choisir le paramètre de synthèse relativement important lors de la convergence. Une fois,
on a obtenu l’estimation des différentes variables d’état, on peut diminuer le paramètre
de synthèse afin de garantir une robustesse aux bruits de mesure [82]. l’observateur à
Grand Gain est un observateur exponentiel pour une classe de systèmes non-linéaires
multi-sorties qui peuvent se mettre sous la forme de l’equation suivante [68] :
x̂ = Ax + ϕ(u, x)
y = Cx
(3.32)
Ou l’état x = (x1 x2 ...xq )T ∈ ℜn , avec xk = (xk1 xk2 ...xkλk )T ∈ ℜnk ,
xki ∈ ℜpk , i = 1, ..., λk , k = 1...., q, et
Pq
k=1
nk = n ; la sortie du système
P
pk
y = (y1y2...yq)T ∈ ℜp avec yk ∈
k = 1...., q, et qk=1 pk = p,
 ℜ , k = 1, ..., qk , 
0 Ipk
0


.
.
..

 .
A = diag A1 ... Aq , Ak =  .
, C = diag C1 · · · Cq Ck =
 0 . . . 0 Ipk 
0 ... 0
0
Ipk o · · · 0
Et La fonction non linéaire ϕ(u, x) = ( ϕ1 (u, x)T ϕ2 (u, x)T · · · ϕq (u, x)T
ϕk (u, x) = ( ϕ1 k (u, x)T ϕk2 (u, x)T · · · ϕkλk (u, x)T ∈ ℜnk ,
∈ ℜn
Ou chaque fonction ϕk1 (u, x) ∈ ℜpk , k = 1, · · · , q, posède la structure suivante :
Pour
1 ≤ i ≤ λk − 1 :
q
k+2
ϕi k (u, x) = ϕki ( u; x1 , x2 , . . . , xk−1 ; xk1 , . . . , xki , xk+1
1 , x1 , . . . , x 1
64
Chapitre 3
Pour
i = λk :
ϕλk k (u, x) = ϕkλk ( u; x1 , x2 , . . . , xq
3.3.10.2
Synthèse de l’observateur
Comme dans tous les travaux traitant de la synthèse d’observateurs à grand gain [35],
[40], [48],[24], nous avons besoin de l’hypothèse suivante :
Hypothèse 3.1 ϕ(u, x) est une fonction globalement Lipschitzienne en x, uniformément
en u.
Avant de donner les équations de l’observateur, nous allons introduire quelques notations
et résultats préliminaires : Soit ∆k (θ) est une matrice diagonale définie par :
1
1
∆k (θ) = diag Ipk , δ Ipk , . . . δ (λ ) Ipk
θk
θ k k−1
Ou θ ≻ 0 est un réel et les δk sont des réels positifs définis comme suit :
Qq
δk =
i=k+1 (λi−1 ) pour 1 ≤ k ≤ q − 1;
δk = 1
(3.33)
(3.34)
Soit Sθδk la solution unique de l’équation algébrique de Lyapunov suivante :
θδk Sθδk + ATk Sθδk + Sθδk Ak = CkT Ck
(3.35)
Ou les Ak et Ck sont définies dans le système 3.32. Il a été démonté par [40] que la solution
de l’équation (3.35) est SDP (symétrique Définie Positive) pou θ ≻ 0 et que l’on a :
(i+j)C j−1
i+j −2
n
(−1)
Ipk pour 1 ≤ i, j ≤ nk , ou Cnp =
θδk (i, j) = δ
θ k (i + j − 1
(n − p)p
De plus, on a :
Sθδk =
1
∆k (θ)S1k ∆k (θ)
θδk
Ou
S1k = Sθδk |θ = 1
En particulier
T
δk 1
2
nk
Sθ−1
Cnk Ipk , θ2δk Cnk
Ipk , . . . , θnk δk Cnk
Ipk )T
δk Ck = (θ
65
(3.36)
(3.37)
Chapitre 3
Soit maintenant le système dynamique suivant :
ẋ = Ax̂ + ϕ(u, x̂) − SΘ−1 C T (C x̂ − y)
(3.38)
Ou
x̂ = (x̂1 x̂2 . . . x̂q )T ∈ ℜn , etx̂k = (x̂k1 x̂k2 . . . x̂kλk )T ∈ ℜnk ,
Avec x̂ki ∈ ℜpk
Pour i = 1, . . . , λk , k = 1, . . . , q,
x̂k1
=
xk1
Pq
k=1 nk
=n
pour k = 1, . . . , q (injection de sortie).
u et y sont respectivement les entrées du système et les sorties du système 3.38 [22].
SΘ = diag Sθδ1 . . . Sθδq
Nous énonçons le théorème suivant :
Théorème 3.2 supposons que le système 3.32 satisfait 3.1, alors :
∃θ0 ≻ 0 ; ∀ ≥ θ0 ; ∃λµ θ ≻ 0 ; ∃µθ ≻ 0,
e−
||x̂(t) − x(t)|| ≤ λθ
Pour toute entrée bornée. De plus, limθ
→∞
θt
2
||x̂(0) − x(0)||
µθ = +∞. Autrement dit le système 3.38 est
un observateur exponentiel pour le système 3.32 pour les entrées bornées.
3.4
Application de l’observateur Grand Gain à la machine asynchrone
Dans cette partie il est présenté le suivi des paramètres de la machine Asynchrone
, nous avons choisi le modèle de Park dans le plan (α, β).Le schéma Simulink utilisé en
modélisation est présenté en Annexe B
3.4.1
Application au modèle cinq paramètres
Le modèle de la machine asynchrone présenté dans le chapitre I montre clairement
qu’il est non linéaire à cause de la présence de la vitesse et de résistance rotorique dans
ses équations, Ce ci nous à conduit à utiliser l’observateur à grand gain. Rappelons que
pour un système non linéaire ce lui ci est de la forme suivante :
ż = F (Ω, y)z + G(u, Ω, z)
ŷ = Cz
66
(3.39)
Chapitre 3
Ou z1
isα
ϕsα
g1
0 F
z=
, z1 =
, z2 =
,G=
, F (Ω, y) =
0 0
z1
isβ
ϕsβ
g2
Sachant que :
Nous aurons

 z˙1 = F1 (Ω)z2 + g1 (u, Ω, z1 )
z˙2 = g2 (u, Ω, z)

y = z1
k
 pΩk
−γisα +
i̇
ϕ
sα
sα

T
r

=
+

k

−γisβ +
ϕsβ
−pΩk Tr

 i̇sα


1
M
isα − ϕrα − pΩϕrβ

ϕ
˙


rα
Tr
Tr


=  M


1

 ϕ˙rβ
isβ + pΩϕrα − ϕrβ
Tr
Tr
La dynamique de l’observateur est :
(3.40)
1
u
σLs sα
1
u
σLs sβ
ẑ˙ = F (Ω)ẑ˙ + G(u, Ω, ẑ) − Λ−1 (Ω)Sθ−1 C T (C ẑ − y)
(3.41)
(3.42)
Λ−1 (Ω)Sθ−1 C T (C ẑ − y) est la correction de l’observateur . Cette correction est fonction de l’erreur d’estimation entre les courants mesurés et leurs estimés multipliés par les
gains del’observateur.
Avec :
1 0
I2 0
Iq
0
C
.
, avec I2 =
=
; C = Iq , o ; Λ(Ω) =
Λ(Ω) =
0 1
0 1
0 Iq F1
CF
2θ I2
−1 T
Sθ C =
(3.43)
θ 2 I2
(C ẑ − y) =
Après calculs, nous aurons :

iˆsα − isα
iˆsβ − isβ

1 0
0
0
 0 1
0
0 


k


Λ(Ω) =  0 0
pΩk 


Tr

k 
0 0 −pΩk
Tr
Et enfin nous aurons la matrice de correction :
67
(3.44)
(3.45)
Chapitre 3

2θ
0
2 k
θ Tr




−1 T
−1
Λ (Ω)Sθ C (C ẑ − y) =  k 2
 ( Tr ) + p2 Ω2 k 2


θ2 pΩk
( Tkr )2 + p2 Ω2 k 2
3.4.2
0
2θ
−θ2 pΩk
( Tkr )2 + p2 Ω2 k 2
θ2 Tkr
( Tkr )2 + p2 Ω2 k 2




 îsα − isα

 îsβ − isβ


(3.46)
Application au modèle quatre paramètres
L’observateur garde la même forme (équation 3.42) mais la réduction des paramètres
à quatre fait que la matrice de correction devienne :

2θ
0
θ2




Λ−1 (Ω)Sθ−1 C T (C ẑ − y) =  L′s Tr
 D
 2
 θ pΩ
0
2θ
−θ2 pΩ
′
Ls
D
Avec
D=
3.5
′
Ls
D
2
θ
′
Ls Tr
D




 îsα − isα

 îsβ − isβ


(3.47)
1 + p2 Tr2 Ω2
L′s2 Tr2
Résultats de simulations
Dans cette partie sont présentés les résultats de simulation de l’observateur à grand
gain connecté à la machine asynchrone.
3.5.1
Résultats de simulation de l’observateur appliqué au modèle de Park à cinq paramètres
Afin de valider la méthodologie présentée précédemment nous avons simulé dans un
premier temps le Modèle de Park à cinq paramètres associé à l’observateur grand gain
sous le logiciel Matlab-Simulink, avec un temps de simulation égal t = 9s secondes. Après
plusieurs tests avons opté pour θ = 450. Le schéma simulink de l’observateur "en boucle
ouverte" utilisé est présenté en détail dans l’annex B.
Le suivi du flux se base sur la différence entre le flux mesuré et celui observé. Deux tests de
68
Chapitre 3
robustesse on été effectués, le premier à haute vitesse et le second à basse vitesse tous en
faisant varier les paramètres électriques (résistance rotorique et statorique) de la machine.
3.5.1.1
Test 1 : Observation du flux à haute vitesse (150rad/s)
1. Test avec les paramètres nominaux :
Les figures : 3.5 et 3.6 montrent les courbes du flux observé est son erreur dans le cas
"‘nominal." c’est à dire avec les paramètres nominaux de la machine. Nous pouvons
constater que le flux observé suit sa référence et l’erreur d’observation est nulle.
0.8
Flux Désiré
Flux−observé
0.7
Nrme de flux(Wb)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Temps(s)
Figure 3.5 – La normes de flux observée à haute vitesse dans le cas nominal.
2. Test avec variation de la résistance rotorique :
La figure 3.7 montre qu’une variation de -50%, +50% et +80% sur la résistance rotorique influe peu sur les performances de l’observateur (fig (a)3.7 et(b)3.7) puisque
le flux estimé est bien reconstruit. La sensibilité de l’observateur est plus importante dans le cas de la variation -50% sur Rr puisque l’écart statique est engendré
et l’erreur d’estimation maximale est de 1, 8 × 10−15 tandis qu’il est diminué dans
le cas de la variation de 150% et 180% sur Rr ou l’erreur d’estimation ne dépasse
pas 1, 3 × 10−15 (figure 3.8).
69
Chapitre 3
0.35
0.3
Norme de flux(Wb)
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Temps(s)
Figure 3.6 – L’erreur d’observation du flux dans le cas nominal.
1.4
0.659
1.2
0.6589
0.6588
Norme de flux(wb)
1
Norme de flux(wb)
180%Rr
Rref
0.8
180%Rr
0.6
0.4
0.6587
150%Rr
0.6586
0.6585
0.6584
150%Rr
50%Rr
50%Rr
0.2
Rref
0.6583
0
0
0.5
1
1.5
Temps(s)
2
2.5
0.6582
3
3
4
5
6
Temps(s)
7
8
9
Figure 3.7 – Zoom sur La normes du flux observée lors de la variation de Rr à haute
vitesse.
−15
−15
x 10
2
1.5
1.5
1
1
Erreur de flux(wb)
Erreur de flux(wb)
2
0.5
0
−0.5
−1
0.5
0
−0.5
−1
50% Rr
150% Rr
180% Rr
−1.5
−2
1
x 10
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Temps(s)
2.2
2.4
2.6
2.8
50% Rr
150% Rr
180% Rr
−1.5
−2
3
3
4
5
6
Temps(s)
7
Figure 3.8 – Zoom sur l’erreur d’estimation de la norme du flux.
70
8
9
Chapitre 3
3. Test avec variation de la résistance statorique :
Les figures (a)3.9 et (b)3.9 montrent respectivement qu’une variation 150% et 180%
sur la résistance statorique influe peu ou pas sur les performances de l’observateur,
nous remarquons une légère diminution de l’écart statique par rapport à la variation
de la résistance rotorique dans le test précédent, soit une erreur d’estimation des
deux variations citées ne dépassant pas 1.22 × 10−15 W b (figure 3.10).
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
150%Rs
Norme de flux(wb)
Norme de flux(wb)
0.6
180%Rs
0.5
0.4
0.3
0.5
0.3
0.2
0.1
0.1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Temps(s)
2.2
2.4
2.6
2.8
0
3
3
180%Rs
0.4
0.2
0
1
150%Rs
4
5
6
Temps(s)
7
8
9
Figure 3.9 – Zoom sur la normes du flux observée lors de la variation de Rs à haute
vitesse.
−15
−15
x 10
2
1.5
1.5
1
1
Erreur de flux(wb)
Erreur de flux(wb)
2
0.5
0
0.5
0
−0.5
−0.5
−1
−1
−1.5
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Temps(s)
2.2
2.4
2.6
2.8
x 10
−1.5
3
3
4
5
6
Temps(s)
7
8
9
Figure 3.10 – Zoom sur l’erreur d’observation de la norme du flux.
3.5.1.2
Test 2 : Observation du flux à basse vitesse (39rad/s)
1. Test avec les paramètres nominaux :
Nous avons simulé d’abord l’observateur en boucle ouverte utilisant les paramètres
nominaux de la machine, les résultats de simulation sont illustrés par les figures
71
Chapitre 3
suivante : Les figures : 3.11 et 3.12 montrent les courbes du flux observé est son
erreur dans le cas "‘nominal." ( les paramètres nominaux de la machine). Nous
pouvons constater que le flux observé suit sa référence et l’erreur d’observation est
nulle.
0.8
Flux Désiré
Flux−observé
0.7
Nrme de flux(Wb)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Temps(s)
Figure 3.11 – La normes de flux observée à basse vitesse dans le cas nominal.
0.35
0.3
Erreur du flux(Wb)
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Temps(s)
Figure 3.12 – L’erreur d’observation du flux à basse vitesse dans le cas nominal.
2. Test avec variation de la résistance rotorique :
Les figures (a)3.13 et(b)3.13 montrent que les performances de l’observateur sont
72
Chapitre 3
acceptable aussi bien en basse vitesse qu’en haute vitesse, on peut remarquer que
dans le cas des variations 50%, 150% et 180% sur la résistance rotorique l’écart
statique sur le flux observé est diminué par rapport au test en haute vitesse et
l’erreur d’estimation est presque nulle (figures (a)3.14 et(b)3.14).
0.9
0.9
0.8
0.8
180%Rr
180%Rr
50%Rr
50%Rr
0.7
0.7
0.6
0.6
150%Rr
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
1
1.2
1.4
150%Rr
0.5
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
0
3
3
4
5
Temps(s)
6
7
8
9
Temps(s)
0.3
0.3
0.2
0.2
Erreur du flux(Wb)
Erreur du flux(Wb)
Figure 3.13 – Zoom sur la normes du flux observée lors de la variation de Rr à basse
vitesse.
0.1
150%Rr
50%Rr
180%Rr
0
0.1
50%Rr
0
−0.1
−0.1
−0.2
−0.2
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
180%Rr
150%Rr
3
4
Temps(s)
5
6
7
8
9
Temps(s)
Figure 3.14 – Zoom sur l’erreur d’observation de la norme du flux lors de la variation
de Rr à basse vitesse.
3. Test avec variation de la résistance statorique :
La variation de 50% 150% et 180% sur la résistance statorique engendre un écart
statique sur le flux observé entre t = os et t = 3s (figure (a)3.15) cet écart est
réduit dans le deuxième intervalle du temps : entre t = 3s t = 9s (figure (b)3.15)
par rapport au test de la haute vitesse précédent.
73
Chapitre 3
1.4
0.9
0.8
180%Rr
1.2
50%Rr
0.7
Norme du flux(Wb)
1
0.6
50%Rr
0.8
0.5
0.6
0.4
150%Rr
0.3
0.4
180%Rr
150%Rr
0.2
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0
3
3
4
5
6
7
8
9
Temps(s)
Temps(s)
Figure 3.15 – Zoom sur La normes du flux observée lors de la variation de Rs à basse
vitesse.
−3
2.5
−3
x 10
2.5
50%
150%
180%
2
x 10
50%
150%
180%
2
1.5
1.5
Erreur du flux(Wb)
1
1
0.5
0.5
0
0
−0.5
−0.5
−1
−1
−1.5
−1.5
−2
−2
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
−2.5
3
Temps(s)
3
4
5
6
7
8
9
Temps(s)
Figure 3.16 – Zoom sur l’erreur d’observation de la norme du flux lors de la variation
de Rs en basse vitesse.
3.5.2
Résultats de simulation de l’observateur appliqué au modèle de Park à quatre paramètres
Dans le chapitre 1 nous avons effectué des calculs de réduction de l’ordre des paramètres de la machine asynchrone de cinq à quatre. Nous avons conçu un observateur
à gang gain quatre paramètres pour l’estimation des paramètres de la machine. Dans
cette partie nous allons présenter les résultats de simulation afin de tester cette technique
d’observation.
74
Chapitre 3
3.5.2.1
Test 1 avec les paramètres nominaux :
Les figure (a)3.17 et (b) 3.17 montrent les courbes du flux estimé et l’erreur d’estimation dans le cas "nominal".
1
0.8
Flux Désiré
Flux−observé
0.5
0.7
0
0.6
Erreur du flux(Wb)
Nrme de flux(Wb)
−0.5
0.5
0.4
0.3
−1
−1.5
−2
0.2
−2.5
0.1
0
−3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
−3.5
0
9
Temps(s)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Temps(s)
(a)le flux observé
(b)L’erreur d’observation
Figure 3.17 – le Flux observé et l’erreur d’observation dans le cas nominal.
3.5.2.2
Test 2 avec variation des paramètres de la machine :
Remarque 3.5 Le test avec les variations de la résistance rotorique puis la résistance
statorique la machine à donné des courbes identiques au test précédent (modèle cinq paramètres) en haute vitesse comme en basse vitesse. Ceci abouti aux mêmes conclusions
données dans les paragraphes précédents. Les figures 3.18 et 3.19 montrent le flux estimé
de la machine dans le modèle de Park à 4 paramètres.
75
Chapitre 3
0.7
0.7
0.6
0.6
50%RS
180%RR
0.5
Norme de flux(wb)
Norme de flux(wb)
0.5
50%RR
0.4
0.3
0.2
150%RS
0.4
180%RS
0.3
0.2
150%RR
0.1
0
0
1
0.1
2
3
4
5
Temps(s)
6
7
8
9
0
0
10
1
2
3
4
5
Temps(s)
6
7
8
9
10
Figure 3.18 – Zoom sur le flux observé lors de la variation de RR et RS (modèle quatre
paramètres) en basse vitesse.
0.7
0.7
50%RR
50%RS
Norme de flux éstimée(Wb)
0.6
0.6
150%RS
180%RR
0.5
0.5
150%RR
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
10
180%Rs
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Temps(s)
Figure 3.19 – le flux Obsérvé lors de la variation de RR et RS (modèle quatre paramètres)
en haute vitesse.
3.6
Conclusion
A travers ce chapitre, nous avons donné dans un premier temps les différentes définitions de l’observabilité des systèmes linéaires et non linéaires, ensuite, nous avons mené
l’étude de l’observabilité de la machine. Cette étude a été faite en utilisant le critère de
rang d’observabilité générique. Cet espace est généré par les sorties et leurs dérivées successives des états non linéaires de la machine asynchrone. Nous avons pu dégager deux
conclusions :
– La machine asynchrone est observable lorsque la vitesse est mesurée,
– Lorsque la vitesse n’est pas mesurée, l’observabilité de la machine ne peut être
(Ω̇ = 0) établie dans le cas où la vitesse est constante et la pulsation statorique est
nulle (ws = 0).
76
Chapitre 3
La suite du chapitre à été dédiée à la synthèse de l’observateur à grand gain proposé
afin de résoudre le dilemme de rapidité de la convergence et la sensibilité aux variations
paramétriques de la machine. Des tests de simulation ont confirmés notre choix. Les bons
résultats obtenus en terme d’observation nous ont incités à les exploiter dans le chapitre
suivant pour la synthèse de la de commande par mode glissant appliquée à la machine
asynchrone.
77
Chapitre 4
Synthèse de la commande en modes
glissants
4.1
Introduction
La commande non linéaire a connu une expansion ainsi q’une diversification importante
depuis les années 50, due à la manipulation des procédés industriels et des applications
robotiques. L’étude du contrôle non linéaire est d’un grand intérêt, puisque la majorité
des systèmes réels sont essentiellement non linéaires. Les méthodes linéaires conventionnelles sont satisfaisantes mais pour des plages de fonctionnement restreintes. Dès que le
système sort de ce domaine de fonctionnement, le contrôleur linéaire n’est plus valable
et ne garantie plus la stabilité du système. D’où l’intérêt d’étudier plus profondément les
méthodes d’études non linéaire. Depuis quelque décennies, il a été prouvé que la théorie de la géométrie différentielle est un outil efficace pour l’analyse et l’implémentation
de commande de systèmes non linéaires. L’une des méthodes de commande non linéaire
les plus connues, utilisant la géométrie différentielle, est la commande par linéarisation
exacte. Cette commande consiste à linéariser le système par compensation et à appliquer
à ce nouveau système une commande linéaire classique telle que la commande par retour
d’état [85], [5].
De plus, la poursuite avec la plupart de ces méthodes ne peut pas être garantie en présence de perturbation externes ou des variations structurelles élevées. D’où, la nécessitée
de prendre en compte dans notre commande la notion de robustesse. La commande par
mode glissant (CMG), en raison de sa robustesse vis-à-vis des incertitudes et des perturbations externes, peut être appliquée aux systèmes non linéaires incertains et perturbés [94],
[98]. Il s’agit de définir une surface dite de glissement en fonction des états du système
de façon qu’elle soit attractive. La commande globale synthétisée se compose de deux
Synthèse de la commande par modes glissants
Chapitre 4
termes : le premier permet d’approcher jusqu’à cette surface, le second permet le maintien et le glissement le long de celle-ci. Cependant, la présence de la fonction signe, dans
la commande par mode glissant, provoque un phénomène de broutement qui consiste en
des variations brusques et rapides du signal de commande, ce qui peut exciter les hautes
fréquences du processus et l’endommager. Plusieurs solutions ont été présentées dans la
littérature. Slotine et Lie [94] ont introduit une bande de transition autour de la surface
de glissement permettant de transformer la fonction signe en saturation, et ainsi éliminer
le broutement.
Ce chapitre est consacré à la présentation générale de la commande par mode glissant
et de ses performances associées. Dans un souci de clarté, le système considéré ici est un
système non linéaire multi-variables. De plus ce chapitre se restreint à la commande par
mode glissant d’ordre 1, telle qu’elle a été introduite par [98]. Le but est de permettre à
un lecteur de comprendre les concepts de base de la commande par mode glissants. Une
première partie présente les concepts de bases de la commande par mode glissants : la
surface de glissement et la loi de commande discontinue traditionnellement utilisée pour
forcer le système à rester sur cette surface. La deuxième partie est consacrée à la théorie
qui dégage les notions de commandes équivalente et nominale, la dernière partie est consacré à définir l’algorithme de cette loi de commande ; appliqué à la machine asynchrone.
4.2
Théorie de la commande en mode glissant
Le principe de la commande par modes glissants est de pousser l’état du système
à atteindre en temps fini une hyper surface (dans l’espace d’état) donnée pour ensuite
y rester. Cette hyper surface étant une relation entre les variables d’état du système,
elle définit une équation différentielle, et donc détermine totalement la dynamique du
système, pourvu qu’il reste sur cette hyper surface. L’évolution d’un système soumis à
une loi de commande qui le fait rester sur une hyper surface donnée ne dépend donc
plus du tout du système lui même ou des perturbations auxquelles il peut être soumis,
mais uniquement des propriétés de cette hyper surface. Le système bouclé n’est donc
pas seulement robuste vis à vis des incertitudes (propres au système) et perturbations
(extérieures au système), mais totalement insensible à ces incertitudes et perturbations,
moyennant qu’elles puissent effectivement être rejetées par la commande. La synthèse
d’une loi de commande par modes glissants consiste donc à déterminer : une hyper surface
en fonction des objectifs de commande et des propriétés statiques et dynamiques désirées
79
Chapitre 4
pour le système bouclé. La dynamique exigée par l’hyper surface doit être compatible
avec l’amplitude de commande ’utile’ disponible et la dynamique du système en boucle
ouverte. Dans le cas contraire, le système ne pourra pas rester sur cette surface, et la
propriété d’insensibilité aux perturbations sera perdue. Une loi de commande discontinue
de manière à obliger les trajectoires du système à atteindre cette hyper surface en temps
fini puis à y rester en dépit des Incertitudes et des perturbations.
4.2.1
Système à strucure variable
Les systèmes à structure variable est un système dont la structure change pendant
son fonctionnement. il est caractérisé par le choix d’une fonction et d’une logique de commutation. Ce choix permet au système de commuter d’une structure à une autre a tout
instant [38]. De plus, un tel système peut avoir de nouvelles propriétés qui n’existent pas
dans chaque structure. Dans la commande des systèmes à structure variable par mode
glissement, la trajectoire d’état est amenée vers une surface. Puis à l’aide de la loi de
commutation, elle est obligée de rester au voisinage de cette surface. Cette dernière est
appelée surface de glissement et le mouvement le long lequel se produit est appelé mouvement de glissement [90].
La trajectoire dans le plan de phase est constituée de trois parties distinctes (figure 4.1)
[38] :
– Le mode de convergence (MC) : c’est le mode durant lequel la variable à régler
se déplace à partir de n’importe quel point initial dans le plan de phase, et tend
vers la surface de commutation S(x, y) = 0. Ce mode est caractérisé par la loi de
commande et le critère de convergence.
– Le mode de glissement (MG) : c’est le mode durant lequel la variable d’état a atteint
la surface de glissement et tend vers l’origine du plan de phase. La dynamique de
ce mode est caractérisée par le choix de la surface de glissement S(x, y) = 0.
– Le mode du régime permanent (MRP) : Ce mode est ajouté pour l’étude de la réponse du système autour de son point d’équilibre (origine du plan de phase), il est
caractérisé par la qualité et les performances de la commande [38].
80
Chapitre 4
Figure 4.1 – Différents modes pour la trajectoire dans le plan de phase
4.2.2
Concept de base
Considérons le système non linéaire suivant :
ẋ = f (x, t, u)
avec x(t0 ) = x0
y = h(x)
(4.1)
et l’hypersurface : S(x) = 0
f un champ de vecteur suffisamment différentiable.
u(x, t) =
u+ si S(t, x) > 0
u− si S(t, x) < 0
u(x, t) ∈ [−1, 1] si S(x) = 0
(4.2)
u ∈ Ω ⊂ ℜ est la commande du système.
Où x est l’état du système de dimension n évoluant dans une variété θ isomorphe à ℜn ,
caractérisant le domaine physique de fonctionnement du système. Le système (4.1) avec
la loi de commande (4.2) est intrinsèquement à structure variable [99]. En revanche, le
système rendu discontinu par le choix d’une commande discontinue, u est dit à discontinuité artificielle.
Le système variable (4.1) avec la loi de commande (4.2) peut se ramener à l’écriture
suivante.
ẋ = f (x, t, u) =
f + (x, t) si S(t, x) > 0
f − (x, t) si S(t, x) < 0
(4.3)
Où f + (x, t) et f − (x, t) sont des champs de vecteurs complets dans ℜn S(x, t) : est une
surface dans ℜn qui divise l’espace en deux parties disjointes S(x, t) > 0 et S(x, t) < 0
qu’on notera respectivement ǫ+ et ǫ− .
Remarque 4.6 D’autres systèmes sont de conception naturellement discontinus, à titre
81
Chapitre 4
d’exemples les circuits électroniques contenant des commutateurs et les systèmes mécaniques contenant un frottement sec [99], [100]. Qu’ils soient à discontinuité artificielle
ou naturelle, les systèmes à structure variable de type (4.1) peuvent tous se ramener à la
forme (4.3).
En dehors de la surface de discontinuité les vecteurs vitesse f + et f − peuvent avoir
différents comportements :
– Les vecteurs vitesse f + et f − traversent la surface d’un côté vers l’autre (Figures
4.2(a), 4.2(b)).
– Les vecteurs f + et f − sont pointés chacun vers la surface (Figure 4.2(c)).
f+
S=0
f+
S=0
f+
f-
f+
f-
f
f+
-
f
f+
-
f-
f(a)
(b)
f+
S=0
f+
ff+
ff(c)
Figure 4.2 – Différents comportements en dehors de la surface de discontinuité.
Le cas qui nous intéresse est celui où les deux vecteurs vitesses f + et f − sont pointés
chacun vers la surface, on dit alors que la surface est attractive, figure 4.2(c).
Définition 4.11 Une surface S = 0 est attractive pour un domaine de convergence donné
si toute trajectoire évoluant dans le domaine d’attraction est dirigée vers cette surface.
Définition 4.12 Une surface S = 0 est invariante si toute trajectoire débutant dans cette
surface ou atteignant cette surface, ne peut en sortir et évolue donc sur cette surface.
82
Chapitre 4
4.2.3
Conception de la commande en mode glissant
Etant un cas particulier de la commande à structure variable, la commande en modes
glissants (CMG) a été largement utilisée dans la littérature. Ce succès est dû à sa simplicité de mise en oeuvre et à sa robustesse vis-à-vis des variations paramétriques et des
perturbations externes. Ceci lui permet d’être particulièrement adapté pour les systèmes
ayant un modèle imprécis. [94]
Dans ce cas la structure d’un contrôleur comporte deux parties : une partie continue
représentant la dynamique du système durant le mode glissant et une autre discontinue
représentant la dynamique du système durant le mode de convergence. Cette dernière
est importante dans la commande non linéaire car elle a pour rôle d’éliminer les effets
d’imprécisions et des perturbations sur le modèle [38].
La conception de la commande peut être effectuée en trois étapes principales très dépendantes l’une de l’autre,
– Choix de surface,
– L’établissement des conditions d’existence,
– Détermination de la loi de commande.
Il s’agit de définir d’abord la surface de glissement dite l’hypersurface qui représente la
dynamique désirée, puis synthétiser une loi de commande qui doit agir sur le système en
deux phases. Dans la première, on force le système à rejoindre cette surface, et dans la
seconde phase on doit assurer le maintien et le glissement le long de cette surface pour
atteindre l’origine du plan de phase comme montré sur la figure 4.3.
Figure 4.3 – Les deux phases de la commande en mode glissant.
83
Chapitre 4
4.2.3.1
Choix de la surface de glissement
Le choix de la surface de glissement concerne le nombre et la forme des fonctions
nécessaires. Ces deux facteurs dépendent de l’application et de l’objectif visé.
Si l’on considère le système donné par l’équation (4.4), le vecteur de surface S à la même
dimension que le vecteur de commande u
ẋ = A(x, t) + B(x, t) u
(4.4)
La surface de glissement est une fonction scalaire telle que la variable à régler glisse sur
cette surface et tend vers l’origine du plan de phase.
La forme non linéaire est une fonction de l’erreur sur la variable à régler x, elle donnée
par [90] :
r−1
∂
S(x) =
+λ
e(x)
(4.5)
∂t
e(x) est l’écart entre la variable à régler et sa référence. λ est une constante positive. Il est
a noter qu’en général, on donne une grande valeur a λ pour assurer l’attractivité ainsi que
le maintien du système sur cette surface. r est un degré relatif, il présente le nombre de fois
qu’il faut dériver la surface pour faire apparaître la commande [70], [60]. L’objectif de la
commande est de maintenir la surface à zéro. Cette dernière est une équation différentielle
linéaire dont l’unique solution est e(x) = 0 pour un choix convenable du paramètre, ceci
revient à un problème de poursuite de trajectoire qui est équivalent à une linéarisation
exacte de l’écart tout en respectant la condition de convergence.
4.2.3.2
Condition de convergence et d’existence
Les conditions de convergence et d’existence sont les critères qui permettent aux différentes dynamiques du système de converger vers la surface de glissement et d’y rester
indépendamment de la perturbation. Il existe deux considérations pour assurer le mode
de convergence.
1. La fonction discrète de commutation
C’est la première condition de convergence, elle est proposée et étudiée par Emillyapunov et Utkin. Il s’agit de donner à la surface une dynamique convergente vers
zéro. Elle est donnée par :
Ṡ(x) > 0 si S(x) < 0
Ṡ(x) < 0 si S(x) > 0
(4.6)
Cette condition peut être formullée comme suit :
Ṡ(x).S(x) < 0
84
(4.7)
Chapitre 4
2. La fonction de Lyapunov
La fonction de Lyapunov est une fonction scalaire positive (V (x) > 0) pour les
variables d’état du système. L’idée est de choisir une fonction scalaire S(x) pour
garantir l’attraction de la variable à contrôler vers sa valeur de référence et de
concevoir une commande u tel que le carré de surface correspond à une fonction de
Lyapunov. Nous définissons la fonction de Lyapunov comme suit :
1
V (x) = S 2 (x)
2
(4.8)
V̇ (x) = S(x)Ṡ(x)
(4.9)
La dérivée de cette fonction est :
Pour que la fonction V (x) puisse décroître, il suffit d’assurer que sa dérivée soit
négative. Ceci n’est vérifiée que si la condition (4.7) est vérifiée.
L’équation (4.8) explique que le carré de la distance entre un point donné du plan de
phase et la surface de glissement exprimé par S 2 (x) diminue tout le temps, contraignant la trajectoire du système à se diriger vers la surface à partir des deux cotés
de cette dernière. Cette condition suppose un régime glissant idéal ou la fréquence
de commutation est infinie [98]
3. Calcul de la commande
Lorsque le régime glissant est atteint, la dynamique du système est indépendante
de la loi de commande qui n’a pour but de maintenir les conditions de glissement
(l’attractivité de la surface), c’est pour cette raison que la surface est déterminée
indépendamment de la commande. Maintenant il reste à déterminer la commande
nécessaire pour attirer la trajectoire d’état vers la surface et vers son point d’équilibre en maintenant les conditions d’existence du mode de glissement.
L’obtention d’un régime de glissement suppose une commande discontinue. La surface de glissement devrait être attractive des deux cotés. De ce fait, si cette commande discontinue est indispensable, il n’empêche nullement qu’une partie continue
lui soit ajoutée, cette partie est amener à réduire l’amplitude de la partie discontinue. En présence de perturbation, la partie discontinue a pour but de de vérifier les
conditions d’attractivité.
La structure d’un contrôleur par mode glissant est constituée de deux parties, une
concernant la linéarisation exacte (Ueq ) et l’autre stabilisante (Un ) :
U = Ueq + Un
(4.10)
Ueq est la commande équivalente proposée par Filipov, elle sert à maintenir la variable contrôler sur la surface de glissement S(x) = 0.
85
Chapitre 4
Un est déterminée pour vérifier la condition de convergence.
La commande équivalente est déduite en considérant que la dérivée de la surface
demeure nulle. Supposons que le comportement en mode glissant existe sur la surface de glissement S(x, t) et essayons de trouver la commande continue telle que, à
partir de la position initiale du vecteur d’état sur la région (S(x(t0 ), t0 ), la dérivée
du vecteur S(x, t) demeure nulle :
Ṡ(x, t) =
∂S
∂S
ẋ +
∂x
∂t
(4.11)
En remplaçant (4.4) et (4.10) dans (4.11) nous trouvons
Ṡ(x, t) =
∂S
∂S
∂S
(A(x, t) + B(x, t)Ueq ) +
B(x, t)Un +
∂x
∂x
∂t
(4.12)
Durant le mode de glissement et le régime permanent, la surface est nulle, et par
conséquent, sa dérivée et la partie discontinue sont aussi nulles. D’ou nous déduisons
l’expression de la commande équivalente :
−1 ∂S
∂S
∂S
Ueq = −
B(x, t)
A(x, t) +
∂x
∂x
∂t
(4.13)
Pour que la commande équivalente puisse prendre une valeur finie, il faut que
∂S
B(x, t) 6= 0. Durant le mode de convergence, et en remplaçant la commande
∂x
équivalente par son expression dans (4.13), nous trouvons la nouvelle expression de
la dérivée de la surface :
∂S
B(x, t) Un
∂x
Et la condition d’attractivité exprimée par (4.7) devient
Ṡ(x, t) =
S(x, t)
∂S
B(x, t)Un < 0
∂x
(4.14)
(4.15)
∂S
B(x, t),
∂x
la forme la plus simple que peut prendre la commande discrète est celle d’un relais
Afin de satisfaire cette condition, le signe de Un doit être opposé a celui de S(x, t)
de la figure 4.4 :
Un = K Sign(S(x, t))
∂S
le signe de K doit être différent de celui de
B(x, t),
∂x
4.2.4
(4.16)
Phénomène de réticence ou broutement ’Chattering’.
Un régime glissant idéal requiert une commande pouvant commuter à une fréquence
infinie. Évidemment, pour une utilisation pratique, seule une commutation à une fréquence finie est possible, ce qui cause un retard entre la mesure de la sortie et le calcul
86
Chapitre 4
u
k
S(x,t)
-k
Figure 4.4 – Représentation de la commande discontinue.
de la commande, qui peut être amplifié si le système présente naturellement des retards
ou des dynamiques négligées. Cela conduit le système à quitter la surface de glissement
sans que la commande ne puisse réagir, puis, une fois le signe de la commande inversé, à
revenir sur cette surface et passer de l’autre côté, et ainsi de suite.
Ainsi, durant le régime glissant, les discontinuités appliquées à la commande peuvent entraîner des oscillations à haute fréquence de la trajectoire du système autour de la surface
de glissement, un phénomène appelé broutement ou chattering en anglais. Les principales
raisons à l’origine de ce phénomène sont : Les retards purs en série avec le système en
boucle ouverte (retards inhérents au Système, échantillonnage,...).
les dynamiques non modélisées des capteurs et observateurs, qui retardent le moment
où le régulateur prend conscience qu’il faut inverser la commande, les dynamiques non
modélisées des actionneurs et autres dynamiques rapides du système, qui retardent le
moment où la commande est suffisamment forte pour Rapprocher le système de la surface
de glissement.
Tous ces phénomènes ont globalement l’effet de retarder l’application effective de la commande, car cette dernière croit à tort que le système se trouve de l’autre côté de la Surface.
Ce phénomène est amplifié par la nécessité d’avoir des observateurs ou dérivateurs rapides,
donc filtrant peu la mesure. Les phénomènes de chattering peuvent être si pénalisant que
l’utilisation d’une loi de commande par modes glissants peut, dans certaines applications,
être à proscrire, vu que son utilisation peut dégrader les performances, voire conduire à
l’instabilité à cause du chattering sur la sortie. Le chattering de la commande, quant à lui,
peut entraîner une usure prématurée des actionneurs ou de certaines parties du système
à cause de trop fortes sollicitations. En excitant les modes propres des dynamiques non
modélisées ou des fréquences de résonance du système correspondant aux retards de commutation, cette commande peut provoquer sur les systèmes mécaniques un bruit haute
fréquence 10 et des oscillations préjudiciables à leur structure. Sur des systèmes autres que
mécaniques, les oscillations engendrées peuvent poser d’autres problèmes (réduction de
87
Chapitre 4
précision, créations d’ondes électromagnétiques néfastes, ou autres ondes amplifiées par
le système,...). Remplacement de la fonction sign par une fonction continue De
nombreuses solutions ont été proposées dans le but de réduire ou d’éliminer ce phénomène.
Il existe des méthodes comme celle de la couche limite (boundary layer ) qui consiste à
remplacer la fonction ’sign’ de la loi de commande par une approximation continue à gain
élevé dans un proche voisinage de δ [100], et saturée en dehors de ce voisinage. Le régime
glissant qui en résulte n’est plus confiné dans S, mais dans un proche voisinage de celui-ci.
Dans ce cas, le système est dit en régime pseudo-glissant.
Ces méthodes réduisent la robustesse de la commande. Elles sont paramétrées par une
constante positive δ réglée pour avoir un bon compromis entre réduction du chattering
et conservation de la robustesse. Dans les méthodes présentées ici, plus δ est petit, plus
l’approximation tend vers la fonction ’sign’, et donc meilleure est la robustesse, au détriment de la réduction du chattering.
Les 2 fonctions les plus utilisées sont :
1. La fonction saturation. Cela consiste à remplacer la fonction sign(σ) par la droite
de pente
1
δ
à l’intérieur d’une bande de largeur 2δ située de part et d’autre de la
surface de glissement, la discontinuité étant conservée à l’extérieur de cette bande.
Son expression est donnée par :
sat(σ, δ) =
(
sign(σ) si |σ| > δ
σ
si |σ| ≤ δ
δ
(4.17)
2. La fonction sign + saturation. On peut combiner fonction saturation précédente
avec la fonction sign.
sat(σ, δ) =
(
(a + b)sign(σ) si |σ| > δ
σ
a +b
si |σ| ≤ δ
δ
(4.18)
Avec a > 0,b > 0 et a + b ne dépassant pas l’amplitude maximale de la commande.
Elle est représentée avec δ = 1, a + b = 1 et b = 0 : 3 sur la figure ci contre.
Cela permet de conserver toute la robustesse des modes glissants pour des perturbations d’amplitude inférieure à b tout en diminuant le chattering par rapport à
une commande d’amplitude a + b. Si l’amplitude de la perturbation est supérieure à
b, la robustesse alors est dégradée comme dans le cas précédent. Cette solution est
appropriée si l’on s’attend à des perturbations généralement faibles, mais pouvant
être ponctuellement très fortes. Il existe d’autres approximations moins utilisées, car
plus coûteuses en temps de calcul.
88
Chapitre 4
4.3
Application a la machine asynchrone
4.3.1
Modèle cinq paramètres
Pour un cas plus général, considérons le système décrit par l’équation suivante :
ẋ = f (x, u)
y = h(x)
où x ∈ IRn est le vecteur d’état, u ∈ IRm la commande, y ∈ IRr le vecteur de sortie. Supposons que notre système est commandable et observable. L’objectif de la commande par
mode glissement est de, premièrement, synthétiser une variété (surface) S(x, t) ∈ IRm telle
que toutes les trajectoires du système obéissent à un comportement désiré de poursuite,
régulation et stabilité. Deuxièmement, déterminer une loi de commande (commutation),
u(x, t), qui est capable d’attirer toutes les trajectoires d’état vers la surface de glissement
et les maintenir sur cette surface. On étudiera l’applicabilité de cette méthode dans le cas
du moteur asynchrone. Les avantages de cette approche sont :
– Le processus de glissement est d’ordre réduit en comparaison au système original.
– Le mode de glissement présente des propriétés de robustesse vis à vis de la variation
de certains types de paramètres.
Cependant, une question se pose : comment synthétiser des surfaces de glissement pour
différentes classes de système ?
On suppose que tous les états sont mesurés. Notre objectif est de construire une loi de
T
pour forcer les états du moteur, qui sont la vitesse et le flux
commande U = ua ub
T
rotorique, à rejoindre la surface de glissement S = S1 S2 . Cette surface est calculée
par application de la formule (4.5) donnée par [90] :
calcul de S1 (Ω) :
S1 (Ω) = (
d
+ k1 )(Ω − Ωref )
dt
(4.19)
dΩ
− dtref + k1 (Ω − Ωref )
S1 (Ω) = dΩ
dt
= µ(ϕrα isβ − ϕrβ isα ) + fJv Ω
− τJl − Ω̇ref + k1 (Ω − Ωref )
(4.20)
Ce qui donne après calculs :
S1 (Ω) = µ[ kµ1 (Ω − Ωref ) + (ϕrα isβ − ϕrβ isα ) −
−
Ω̇ref
]
µ
+
fv
JΩ
τL
µJm
(4.21)
Calcul de S2 (Ω) :
S2 (ϕ) = (
d
+ k2 )(ϕ − ϕref )
dt
89
(4.22)
Chapitre 4
dϕ
S2 (ϕ) = dϕ
− dtref + k1 (ϕ − ϕref )
dt
= 2ϕrα [ TMr isα − T1r ϕrα − P Ωϕrβ ]
+ 2ϕrβ [ TMr isβ + P Ωϕrα − T1r ϕrβ ]
− ϕ̇ref + k(ϕ − ϕref )
(4.23)
Nous aurons après les calculs :
S2 (ϕ) = 2M
(ϕrα isα + ϕrβ isβ ) − T2r (ϕ2rα + ϕ2rβ )
Tr
− 2pΩϕrα ϕrβ + 2pΩϕrβ ϕrα − ϕref + k2 (ϕ − ϕref )
(4.24)
les deux surfaces seront définit de la sorte :


 S1 = k1 (Ω − Ωref ) + (isβ ϕrα − isα ϕrβ ) − τL − Ω̇ref
µ
Dm µ
µ

 S = Tr k (ϕ − ϕ ) + [L (i ϕ + i ϕ ) − ϕ] − ϕ̇ Tr
2
ref
m sα rα
sβ rβ
ref
2
2
2
(4.25)
pLm
, k1 , k2 > 0, Ω̇ref et ϕ̇ref les dérivées par rapport au temps de Ωref et ϕref
Dm L r
(norme du flux désiré), respectivement.
Ou µ =
Proposition 1 Considérons la surface de glissement S = [ S1 S2 ]T définie dans (4.25)
et la loi de commande par mode de glissement U = Ui + Ue , avec

sign(S1 )
u01 0

−1
Ui = −D
sign(S2 )
0 u02

−1
Ue = −D F
(4.26)
et
où
F =
A
B
,
u01 > |A|
u02 > |B|
D=
−αϕrβ
αϕrα
αLm ϕrα αLm ϕrβ
(4.27)
1
.
σLs
Calcul de la matrice F et la matrice D
1
Soit la fonction de Lyapunov suivante V = S T S ; alors, sa dérivée par rapport au temps
2
Ṡ
1
est V̇ = S T Ṡ avec Ṡ =
= F + DUi , où
Ṡ2
Sign(S1 )
u01 0
Ui1
−1
Ui =
= −D
Sign(S2 )
0 u02
Ui2
avec α =
On peut reécrire Ṡ sous la forme suivante :
u01 0
Sign(S)
Ṡ = F −
0 u02
90
Chapitre 4
La variété S est attractive si S T Ṡ < 0 c’est à dire
u01 0
T
Sign(S) < 0
F−
S
0 u02
alors
u01 > |A|
u02 > |B|
Calcul de Ṡ(Ω) :
Dérivons d’abord l’équation (4.21) :
1
˙
S (Ω)
µ 1
=
k1
[(Ω̇
µ
˙ ) + ϕ˙rα isβ + ϕrα isβ
˙
− Ωref
− ϕ˙rβ isβ − ϕrβ isβ −
fv
]Ω̇
+ [ µJ
˙
Ωref
]
µJ
(4.28)
Après les calculs nous aurons :
1 ˙
S
µ 1
k1
= (k1 − Ω − T1r )f2 − µJ
τ − P Ω(f1 + kϕ)
Ω̇ref
fv
k1 ˙
+ [k1 Ω + µf2 + ϕm τ ]
Ωref −
−
+
D’ou
µ
µ
1
(µ
ϕ
−
sβ
rβ
τ Ls
µJ
J J
(4.29)
µsα ϕrβ )
f2 = ϕrα isβ − ϕrβ isα
f1 = ϕrα isα − ϕrβ isβ
La dérivé de l’équation (4.24) est la suivante :
Tr
Ṡ
2 2
= k22Tr (ϕ̇ − ϕ̇ref )
+ M (ϕ̇rα isα + ϕrα i̇sα
+ ϕ̇rβ isβ + ϕrβ i̇sβ ) − ϕ̇ −
(4.30)
Tr
ϕ̇
2 ref
Après les calculs on obtient :
Ṡ2 = ( k22Tr − 1)ϕ̇ − k22Tr ϕ̇ref − T2r ϕ̇ref
+ M [ TMr mi − (γ + T1r )f1 + pΩf2 +
M
+ JL
(µsα ϕrα + µsβ ϕrβ )
s
k
ϕ]
Tr
(4.31)
d’ou mi = i2sα + i2sβ
Nous aurons alors :
1
k1
τL
1
A =
k1 −
− γ f2 − k1
− pΩ (f1 + Kϕ) − Ω̇ref − Ω̈ref
Tr µ
µ
µDm Tr
K
Tr
1
M
Tr k2
− 1 ϕ̇ + Lm
mi −
+ γ f1 + ϕ + pΩf2 − k2 ϕ̇ref − ϕ̈ref
B =
2
Tr
Tr
Tr
2
2
Alors, S est attractive et invariante.
91
Chapitre 4
On peut choisir u01 = Ā, telle que
1
τL
k1
1
Ā = k1 −
− γ f2 − k1
− pΩ (f1 + Kϕ) − Ω̇ref − Ω̈ref + k1 max
Tr
µDm
µ
µ
µDm
où τLmax = max(Tl ).
Alors, la condition d’existence du glissement ne nécessite que la connaissance de la valeur
maximum du couple de charge que le moteur peut supporter. Cependant, S = 0 est
invariante si Ṡ = 0, c’est à dire
0
= F + DUe ,
0
ou bien Ue = −D−1 F
Il faut noter que cette loi de commande est différente de celle proposée par [101], dans
cette dernière l’auteur donne les concepts de base pour la synthèse d’une commande à
structure variable pour les actionneurs électriques.
Par ailleurs, la force du mode de glissement est sa robustesse vis à vis de la variation de
paramètres. Il est facile de montrer que cette loi de commande est robuste par rapport
aux erreurs de modélisation et à la variation de certains paramètres. Ceci est possible en
prenant les gains du régulateur u01 et u02 suffisamment grands.
Il est aussi très connu que la technique du mode de glissement pose le problème indésirable
du broutement, mais on peut remédier à cela en remplaçant la fonction Sign par une
fonction continue au voisinage de l’origine.

1 si Si >
λi


−1 si Si < −λi
Sign(Si ) =

 Si si |Si | <
λi
λi
(4.32)
où λi > 0.
Dans la conception de la commande, nous avons supposé que tous les états étaient mesurés ; étant donné que seuls les mesures du courant et de la vitesse sont disponibles, nous
aurons besoin d’estimer le flux rotorique en vue d’une application en temps réel.
4.3.2
4.3.2.1
Résultats de simulation de la commande en boucle ouverte
Dans le but juger la commande en mode glissant, on propose la poursuite de la trajectoire présentée par la figure (figure4.5). Le bloc Simulink de la commande en boucle
ouverte est donné en Annex B. Afin de tester la robustesse de cette lois de commande
nous avons varier la résistance rotorique et statorique de la machine.
92
Chapitre 4
200
100
Rad/s
a
0
−100
−200
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
10
N.m
5
b
0
−5
−10
0
1
2
3
4
2
Wb
1.5
c
1
0.5
0
0
1
2
3
4
Temps(s)
Figure 4.5 – Trajectoire de la commande : a- Vitesse de référence, b- Couple de charge,
c- Flux de référence.
test 1 : variation de Rr
les figures 4.6 et 4.7 montrent les résultats de simulation de la commande en boucle ouverte pour les variations de 50%, 150% et 180% sur la résistance rotorique. En terme de
suivi de trajectoire la vitesse suit sa trajecoire et le rejet du couple est bon . En analysant
la courbe de l’erreur de poursuite (figure (b)4.6), nous puvons constater que celle ci tend
vers zero pour les trois variations sur Rr et elle est égale à 0.2rad/s au moment de l’application du couple. La conclussion est la même pour le flux de la machine (figure (a)4.7),
l’application du couple et le changement de consigne engendre des erreurs de poursuite
ne dépassant pas 0.015W b quand il ya une variation de 150% sur Rr. L’ereur de 0.02W b
à la variation de 180% sur Rr (figure (b)4.7)
Remarque 4.7 Nous notons que la vitesse réelle c’est la vitesse simulée et le flux réel
c’est le flux simulé.
93
Chapitre 4
0.05
200
0.04
50%Rs
150
0.03
50%Rr
Vitesse(rad/s)
100
50
0
a
−50
0.02
0.01
0
−0.01
−0.02
−100
−0.03
−150
−200
−0.04
b
0
1
2
3
4
5
6
7
8
−0.05
9
0
1
2
3
4
Temp (s)
5
6
7
8
9
6
7
8
9
6
7
8
9
Temps(s)
(a)
(b)
0.05
200
réele
Vitesse de référence
150%Rr
0.04
150
150%Rr
0.03
Vitesse(rad/s)
100
50
0
−50
0.02
0.01
0
−0.01
−0.02
−100
−0.03
−150
−200
−0.04
0
1
2
3
4
5
6
7
8
−0.05
9
0
1
2
3
4
Temps(s)
5
Temps(s)
(c)
(d)
0.05
200
réele
0.04
150
180%Rr
0.03
100
180%Rr
Vitesse(rad/s)
50
0
−50
0.02
0.01
0
−0.01
−0.02
−100
−0.03
−150
−200
−0.04
0
1
2
3
4
5
6
7
8
−0.05
9
Temps(s)
0
1
2
3
4
5
Temps(s)
(e)
(f)
Figure 4.6 – Le comportement de la vitesse lors de la variation de Rr :(a, c, e)- Comportement de la vitesse,(b, d, f)- L’erreur de sur la vitesse .
94
Chapitre 4
−3
x 10
1.05
Flux réel
Flux de référence
50%Rr
5
1.04
50%Rr
4
Erreur du flux(Wb)
Norme du flux(Wb)
1.03
1.02
1.01
1
0.99
0.98
3
2
1
0
−1
0.97
−2
1
2
3
4
5
6
7
3.5
8
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
Temps(s)
Temps(s)
(a)
(b)
−3
x 10
6
Flux réel
flux de référence
150%Rr
1.004
150%Rr
4
1.003
Erreur du flux(Wb)
1.002
1.001
1
0.999
2
0
−2
0.998
0.997
−4
0.996
0
1
2
3
4
5
6
7
8
3
9
3.5
4
4.5
Temps(s)
(c)
5.5
6
(d)
1.005
Flux réel
Flux de référence
180%Rr
1.004
5
Temps(s)
0.02
180%Rr
0.015
1.003
0.01
Erreur du flux(Wb)
1.002
1.001
1
0.999
0.998
0.997
0.005
0
−0.005
−0.01
0.996
−0.015
0.995
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Temps(s)
Temps(s)
(e)
(f)
Figure 4.7 – Le comportement de la norme du flux lors de la variation de Rr :(a, c, e)Zoom sur le comportement de la norme du flux,(b, d, f)- Zoom sur l’erreur du le flux .
95
Chapitre 4
test 2 : variation de Rs
Les figures 4.8 et 4.9 montrent respectivement qu’une variation de 50%, 150% et 180% sur
la résistance statorique influe peu ou pas sur les performances du controleur aussi bien en
haute vitesse qu’en basse vitesse. Il apparaît un écart statique au moment de l’application
du couple de charge et l’erreur de poursuite est de 0.21rad/s quand il ya la variation de
180% sur Rs. La conclusion est la même pour le flux simulé(reél) que l’essais précédent
(figure ((a)4.9), l’erreur d’estimation est de 7 × 10−3 rad/s à la variation de 50% sur la
résistance statorique (figure (b)4.9).
200
0.3
Ref
50% Rs
150% Rs
180% Rs
150
Vitesse(rad/s)
100
50% Rs
150% Rs
180% Rs
0.25
50
0
−50
−100
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−0.05
−150
−0.1
−200
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5
5.2
5.4
Temps(s)
(a)La vitesse lors de la variation de Rs
5.6
Temps(s)
5.8
6
(b)Zoom sur l’erreur de vitesse
Figure 4.8 – Le comportement de la vitesse lors de la variation de Rs.
x 10
6
50% Rs
150% Rs
180% Rs
10
8
Erreur de flux(wb)
Norme de flux(wb)
5
−3
12
Ref
100% Rs
150% Rs
180% Rs
4
3
2
6
4
2
0
−2
1
0
0
−4
−6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4
Temps(s)
(a)La norme du flux lors de la variation de Rs
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
Figure 4.9 – Le comportement de la norme du flux lors de la variation de Rs.
4.3.2.2
Résultats de simulation de la commande associée à l’observateur
grand gain
Les résultats de simulation de la commande par modes glissant associée à l’observateur
à grand gain sont présentés ci-dessous. Ces résultats ont été obtenus suivant le schémas
96
Chapitre 4
Simulink représenter dans l’Annexe 2. La motivation principale de cette simulation est
d’analyser les performances de l’ensemble "commande+observateur" sur les trajectoires
présentées par la figure 4.11. Plus précisément, les valeurs initiales de la vitesse mécanique
du couple de charge sont à zéro. A t = 1s la vitesse de la machine est portée à 150rad/s
est reste constants jusqu’a t = 3s. Puis le couple de charge est appliqué entre 1.5s et 2.5s.
Cette première phase permet de tester les performances de la lois de commande en haute
vitesse avec charge. On décélère ensuite rapidement la machine pour atteindre t = 5.5s
une vitesse faible négative qui reste constante jus’a 9s. Nous appliquons un nouveau couple
de charge entre 6s et 7s. Cette dernière phase permet de tester la machine à vitesse faible.
200
100
Rad/s
a
0
−100
−200
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
10
N.m
5
b
0
−5
−10
0
1
2
3
4
2
Wb
1.5
c
1
0.5
0
0
1
2
3
4
Temps(s)
Figure 4.10 – Trajectoire de l’ensemble " commande+observateur" : a- Vitesse de référence, b- Couple de charge, c- Flux de référence.
Test 1 : Cas nominal
La figure 4.11 donne les résultats de simulation dans le cas dit "nominal" c’est à dire
en utilisant les paramètres nominaux de la machine. Nous pouvant remarquer la bonne
performance de l’ensemble "commande + observateur " en boucle fermée en terme de
suivi de trajectoire et rejet de perturbation. En terme de suivi de trajectoire la vitesse de
la machine (réelle) converge presque parfaitement vers la vitesse de référence (figure 4.11)
puisque l’erreur d’observation ne dépasse pas 0.24rad/s au moment de l’application de
la charge (figure 4.12) même ou la machine subi un changement de consigne à t = 3.5s,
97
Chapitre 4
t = 5.5s et à t = 9s. La conclusion est la même pour le flux observé et le flux de référence
(figure 4.11) en terme de rejet de perturbation nous remarquons que le couple est bien
rejeté en haute vitesse comme en basse vitesse. Néanmoins il existe un petit écart aux
instants d’application du couple, l’erreur entre les deux flux (de référence et observé) est
maximum de 2 × 10−3 W b (figure 4.13).
Remarque 4.8 Nous considérons ici les paramètre nominaux sont ceux que nous avons
identifiés avec l’estimateur neuronale.
200
100
Rad/s
a
0
−100
−200
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
10
N.m
5
b
0
−5
−10
0
1
2
3
4
2
Wb
1.5
c
1
0.5
0
0
1
2
3
4
Temps(s)
Figure 4.11 – Résultat de simulation dans le cas nominal : a- Vitesse commandée , bCouple de charge, c- Norme du flux observée .
98
Chapitre 4
0.25
0.2
Erreur de vitesse (s)
0.15
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
−0.15
−0.2
−0.25
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Temps(s)
Figure 4.12 – L’erreur de vitesse dans le cas nominal.
Erreur de la norme du flux(Wb)
1
0.5
0
−0.5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Temps(s)
Figure 4.13 – L’erreur sur la norme du flux dans le cas nominal.
99
Chapitre 4
Test2 : Variation de Rr
Un test de robustesse est effectuer avec une variation de la résistance rotorique dans les
paramètres de la commande suivant la trajectoire montrée dans la figure (a)4.14. Plus
précisément de t = 0s à t = 1s la résistance rotorique est à sa valeur nominale, à t = 1s
nous avons effectué une variation de +80% sur Rr et elle est maintenue jusqu’a t = 2s
ou elle est réduite à -80% sur sa valeur nominale. puis le couple de charge est appliqué
entre t = 1.5s et t = 2.5s, à t = 3s il ya une variation de +20% sur Rr qui est maintenue jusqu’a t = 4s. Cette première partie permet de tester la robustesse de l’ensemble
"commande+observateur" en haute vitesse. Ensuite en décélère la vitesse de la machine
rapidement tout en reprenant la valeur nominale de la résistance rotorique à t = 4s.
A t = 5s Rr varie de +50% sur sa valeur nominale, à t = 6s Rr est réduite à -70%
sur sa valeur nominal tout en appliquant le couple de charge dans l’intervalle 6s et 7s,
entre t = 7s ett = 8sRr est de -70% sur sa valeur nominale et entre 8s et 9s la résistance rotorique est à sa valeur nominale. Cette dernière phase permet de tester l’ensemble
"commande+observateur" en basse vitesse. En analysants la figure 4.14, nous pouvons
constater que la vitesse simulée suit sa référence, mais il apparaît une légère oscillation
quand on décélère la machine. l’erreur entre la vitesse simulée et sa référence portée à
la variation de la résistance rotorique est de 0.252rad/s (figure 4.15). La variation de
la résistance rotorique influe peu ou pas sur le flux observé (figure (d)4.16. Néanmoins
Il existe un petit écart statique aux instants d’application du couple. L’erreur entre les
deux flux (de référence et observé) ne dépasse pas 0.03W b (figure 4.17). Nous remarquons
sur Les figures 4.18 qu’il ya des modulations d’emplitude des trois courants statoriques
augmentées quand la résitance rotorique est augmentée de sa valeur nominale ( cela reflète l’état de la machine ainsi nous pouvant distinguer le défaut physique qui modifi le
fonctionnement de la machine)(figure 4.19).
100
Chapitre 4
Ohms
10
a
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
6
7
8
9
10
N.m
b
0
−10
0
1
2
3
Rad/s
200
c
0
−200
0
1
2
3
4
5
Temps(s)
Figure 4.14 – Comportement de la vitesse lors de la variation de Rr : a- Trajectoire de
la variation de Rr, b- Couple de charge, c- Vitesse commandée.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Temps(s)
Figure 4.15 – Erreur de la vitesse lors de la variation de Rr.
101
Chapitre 4
8
a
Ohms
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
b
N.M
5
0
−5
−10
0
1
2
3
1.5
d
Wb
1
flux−ref
Flux−observé
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Temps(s)
Figure 4.16 – La Norme de flux observée lors de la variation de Rr : a- Trajectoire de la
variation de Rr, b- Couple de charge, c- Norme du flux observée.
1.2
1
Erreur de flux(Wb)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Temps(s)
Figure 4.17 – Erreur de la norme du flux lors de la variation de Rr.
102
Chapitre 4
Ohms
10
5
0
isa(A)
a
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
2.5
3
3.5
4
4.5
b
4
2
0
−2
−4
isb(A)
isc(A)
0
4
2
0
−2
−4
4
2
0
−2
−4
−6
−8
0.5
1
1.5
c
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
d
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Temps(s)
Figure 4.18 – Zoom sur le comportement des courants statoriques lors de la variation de
Rr : a- Trajectoire de la variation de Rr, b- courant statorique suivant l’axe a, c- courant
statorique suivant l’axe b, d- courant statorique suivant l’axe d
103
Chapitre 4
8
Rr(Ohms)
a
6
4
2
Norme du courant(A)
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
10
8
b
6
4
2
0
1
2
3
4
Temps(s)
Figure 4.19 – La norme du courant statorique lors de la variation de Rr :a- Trajectoire
de la variation de Rr, b- Norme du courant statorique simulé.
Test : variation de Rs :
Pour ce qui est de la variation de la résistance statorique nous avons adopté la même
trajectoire que celle utilisée lors de la variation de la résistance rotorique (figure (a)??. La
figure (e)4.20 montre que la variation sur la résistance statorique influe peu ou pas sur la
performance de l’ensemble "commande+observateur". En terme de suivi de trajectoire la
vitesse simulée converge correctement vers la vitesse de référence, l’erreur entre les deux
vitesses portées à la variation de la résistance statorique est de 0.277rad/s au moment
de l’application de charge (figure 4.21). Il existe un écart statique entre le flux observé et
celui de référence à l’application du couple de charge ou l’erreur ne dépasse pas 0.19W b
(figure 4.23).
104
Chapitre 4
Ohms
20
a
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
N.m
b
0
−10
0
1
2
3
200
Rad/s
e
Vitesse réele
0
−200
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Temps(s)
Figure 4.20 – Comportement de la vitesse lors de la variation de Rs : a- Trajectoire de
la variation de Rs, b- Couple de charge, c- Vitesse commandée
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Temps(s)
Figure 4.21 – Erreur de la vitesse lors de la variation de Rs
105
Chapitre 4
Ohms
20
a
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
b
N.m
5
0
−5
−10
0
1
2
3
Wb
1.5
d
1
Flux−ref
Flux−observé
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Temps(s)
Figure 4.22 – La Norme de flux observée lors de la variation de Rs : a- Trajectoire de la
variation de Rs, b- Couple de charge, c- Norme du flux observée
1.2
1
Erreur de flux(Wb)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Temps(s)
Figure 4.23 – Erreur de la norme du flux lors de la variation de Rs
106
Chapitre 4
Ohms
10
5
0
isa(A)
a
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
2.5
3
3.5
4
4.5
b
4
2
0
−2
−4
isb(A)
isc(A)
0
4
2
0
−2
−4
4
2
0
−2
−4
−6
−8
0.5
1
1.5
c
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
d
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Temps(s)
Figure 4.24 – Zoom sur le comportement des courants statoriques lors de la variation de
Rs : a- Trajectoire de la variation de Rs, b- courant statorique suivant l’axe a, c- courant
statorique suivant l’axe b, d- courant statorique suivant l’axe d
8
Rr(Ohms)
a
6
4
2
Norme du courant(A)
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
10
8
b
6
4
2
0
1
2
3
4
Temps(s)
Figure 4.25 – La norme du courant statorique lors de la variation de Rs.
107
Chapitre 4
4.4
Comparaison entre la commande en mode glissant
et la commande vectorielle.
La commande en mode glissant :
– c’est une commande non linéaire,
– elle est très simple à mettre en oeuvre,
– très bonne dynamique de la vitesse est du couple,
– le temps de calcule très réduit,
– robuste à la variation des paramètres dans le rotor et le stator.
La commande vectorielle :
– commande linéaire entrée /sortie
– imposeϕrd constant et ϕrq nul
– bonne dynamique de la vitesse est du couple,
– plus de temps de calcul,(transformations des repères et découplage),
– Sensible aux variations paramétriques du rotor ( nous n’avons pas pu accéder à une
variation plus de 110% sur la résistance rotorique.
4.5
Conclusion
Dans ce chapitre nous nous sommes intéressés à la commande en modes glissants.
notre première démarche à été d’en donner les fondement théoriques sans essayer d’en
couvrir tout le domaine. Nous nous somme donc attaché à exposé leurs notions essentielles
telle que l’attractivité des surfaces, la commande équivalente, la dynamique en régime
de glissement ou encore le chattering . Après avoir présenté l’état d’art de la théorie
de la commande en mode glissant modes glissants, nous avons d’abord défini la lois de
commande appliquée à la machine asynchrone afin assurer l’asservissement de la vitesse
et du flux. Ensuite nous avons proposé d’associer à la lois de commande l’observateur de
flux (a grand gain ) pour réaliser une commande non linéaire à structure variable. Des
simulations sur deux trajectoires proposées, le premier celui de la vitesse et le deuxième
celui de la variation des résistances : rotorique et statorique. les résultats de simulation
obtenus avec des tests significatifs vis à vis des variations paramétriques de la machine
on montré la qualité de la lois de commande associé à l’observateur tant en basse vitesse
qu’en haute vitesse.
108
Conclusion générale
La machine asynchrone est un actionneur électrique d’un grand intérêt industriel à
cause de sa robustesse et de ses coûts d’investissements et de maintenance réduits. Cependant, cette machine fonctionne sous diverses contraintes de différentes natures qui
risquent de provoquer certaines défaillances qui peuvent aller jusqu’à l’endommagement
total du moteur paralysant ainsi le processus industriel ce qui se répercute sur sur la
production. Pour toutes ces raisons il nous a semblé judicieux dans un premier temps
de définir les techniques d’identification paramétrique de la machine asynchrone, utilisables pour le diagnostic Après avoir présenté quelques rappels sur la constitution de la
machine asynchrone ainsi que sur sa commande vectorielle directe. Nous nous somme
attardé volontairement sur le modèle triphasé et le modèle de Park dédié à l’identification et la commande de la machine asynchrone. Il nous a semblé judicieux de définir des
étapes intermédiaires pour la mise au point d’une méthodologie générale d’identification
en boucle fermée de la machine asynchrone utilisable pour le diagnostic. Notre choix à
été porté sur les réseaux de neurones qui ont connu ces dernières années une large utilisation en commande et surveillance de systèmes industriels. Le suivi de la résistance
rotorique, statorique et du courant statorique à été effectué en simulation sous le logiciel
Matlab Simulink par l’estimateur neuronal il peut ainsi constituer une alarme indicatrice
de dysfonctionnement, mais ne permet pas d’établir un diagnostic de l’état de la machine.
Toutefois Les résultats obtenus par cette technique d’identification paramétrique de la machine asynchrone ont satisfaits les considérations théoriques imposées et les estimations
pratiques souhaitées. L’estimation de la résistance rotorique et statorique effectuée avec
l’estimateur neuronale peut constituer une alarme indicatrice de dysfonctionnement de la
machine. Ce travail à été porté aussi sur l’observation et la commande de la machine asynchrone, nous avons commencé par balayer les différentes définitions de l’observabilité des
systèmes linéaires et non linéaires, ensuite, nous avons abordé dans le détail les problèmes
d’observabilité auxquels la machine asynchrone est confrontée. Nous avons vu que dans
le cas ou l’information sur la vitesse mécanique est disponible, la machine asynchrone
est localement observable. Dans le cas où la mesure de la vitesse n’est pas disponible
(commande sans capteur mécanique) l’étude de l’observabilité a montré que la machine
Conclusion générale
asynchrone est inobservable à très basse vitesse en particulier lorsque la pulsation statorique est nulle et la vitesse est constante. La conception d’une technique d’observation du
flux de la machine asynchrone à été notre suivante problématique abordée. Notre objectif
été ici de proposer une synthèse d’observateur à grand gain. Les résultats que nous avons
obtenus ont montré que l’observateur à grand gain est robustesse vis-à-vis des variations
paramétriques (résistance rotorique et résistance statorique) et ont montré les performances de l’observateur en boucle ouverte en haute vitesse et en basse vitesse. Dans la
suite, nous avons proposé une loi de commande basée sur les modes glissants d’ordre un.
L’association de cette commande avec l’observateur à grand gain nous a permis d’obtenir
les performances souhaitées vis-à-vis des variations paramétriques de la machine comparativement à la commande vectorielle directe du type PI. Nous avons testé et simulé ces
lois de commande associées à l’observateur et l’estimateur neuronale sur la trajectoire
défini au chapitre 4. Les résultats obtenus avec des tests de robustesse significatifs vis avis
de variations paramétriques de la machine ont montré la qualité de la loi de commande
tant en basse vitesse qu’en haute vitesse. les suites envisageable à donner à ces travaux
que soit du point de vue synthèse des observateurs ou des lois de commande non linéaire
sont :
– l’implantation des lois de commande et observateur dans un variateur industriel
– modification des observateurs de la commande pour inclure le diagnostic en ligne.
Cette technique permettra donc de prendre en compte les défauts possibles de la
machine lors de sa commande,
– La preuve de stabilité globale de la loi de commande proposée à l’observateur grand
gain pour la machine asynchrone reste encore une question ouverte.
110
Bibliographie
111
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Bibliographie
121
Annexe A
Rappel de la stabilité de Lyapunov
A.1
Théorie de Lyapunov
A.1.1
Introduction
Dans cette partie nous allons voir quelques définitions et théorèmes nécessaires pour
l’étude de la stabilité des systèmes dynamiques. Nous donnons des résultats de la seconde
méthode où méthode directe développée par Lyapunov. Cette méthode est parmi les
techniques les plus utilisées pour étudier la stabilité des systèmes non linéaires. Elle est
utilisée pour la méthode du petit gain, la passivité des systèmes dynamiques, la positivité
où l’hyperstabilité.
L’idée de la méthode directe de Lyapunov est basée sur l’énergie totale du système à
étudier. Ainsi l’idée suivante est retenue : Si l’énergie totale d’un système physique est
continûment dissipée, alors le système, qu’il soit linéaire où non, doit éventuellement
atteindre un point d’équilibre. Donc les propriétés de la stabilité d’un système physique
peuvent être étudiées à partir des variations de son énergie totale.
Dans ce qui suit nous allons utiliser la notation et la terminologie unifiées suivante :
– IR+ désigne l’ensemble des nombres réels non négatifs.
– IRn désigne l’espace des vecteurs de dimensions n sur IR dotés de la norme Euclidéenne :
kxk =
n
X
j=1
|xj |2
! 21
– Le domaine sphérique de rayon R et de centre O est noté par :
∆
BR = {x ∈ tel quekxk < R}
– La sphère de rayon R et de centre O est notée par :
∆
SR = {x ∈ IRn tel quekxk = R}
(A.1)
Annexe
On considère un système dynamique non linéaire représenté par :
ẋ = f (x, t)
(A.2)
où f est un vecteur de fonctions non linéaires et x ∈ IRn est le vecteur d’état.
A.1.2
Systèmes autonomes
Le système non linéaire donné par la relation (A.2) est dit autonome (où à temps
invariant) si f ne dépend pas explicitement du temps, c’est à dire :
ẋ = f (x)
(A.3)
autrement le système est appelé non-autonome (où à temps variant). Dans cette partie,
nous allons examiner brièvement les résultats de la théorie de Lyapunov pour les systèmes
autonomes.
A.1.2.1
Définitions
Définition A.13 Équilibre : Un état x∗ est un point d’équilibre du système autonome
(A.3) si f (x∗ ) = 0.
Définition A.14 Stabilité :Le point d’équilibre x = 0 est stable au sens de Lyapunov, si
pour tout R > 0, il existe r(R) > 0 tel que si kx(0)k < r(R) alors kx(t)| < R ∀t > 0,
autrement le point d’équilibre est instable. On peut aussi reformuler cette définition comme
suit :
∀R > 0 ∃r(R) > 0 tel que x(0) ∈ Br =⇒ x(t) ∈ BR ∀t ∈ IR
Définition A.15 Stabilité asymptotique :Le point d’équilibre x = 0 est asymptotiquement
stable au sens de Lyapunov si :
1. Il est stable au sens de Lyapunov.
2. Il existe r > 0 tel que x(0) ∈ Br implique x(t) → 0 quand t → ∞.
Le domaine Br est dit domaine d’attraction de l’état d’équilibre.
Il faut remarquer que la deuxième condition précédente n’implique pas la stabilité du
point d’équilibre.
123
Annexe
Définition A.16 Stabilité marginale :Un point d’équilibre qui est stable au sens de Lyapunov mais qui n’est pas asymptotiquement stable est dit marginalement stable.
Définition A.17 Stabilité exponentielle : Un point d’équilibre est dit exponentiellement
stable s’il existe deux nombres strictement positifs α et λ indépendants du temps et les
conditions initiales tel que :
kx(t)k ≤ αkx(0)ke−λt ,
∀t ∈ IR
(A.4)
pour x(0) ∈ Br . Le scalaire λ représente le taux de convergence de la solution x(t).
Remarque A.9 La stabilité exponentielle implique la stabilité asymptotique, l’inverse
n’est pas vraie ; mais pour les systèmes invariants donnés sous la forme ẋ = Ax, alors la
stabilité asymptotique implique la stabilité exponentielle.
Définition A.18 Stabilité globale : Le point d’équilibre est asymptotiquement (exponentiellement) globalement stable s’il est asymptotiquement (exponentiellement) stable pour
tout état initial, soit : limt→∞ x(t) → 0 kx(t)k ≤ αkx(0)e−λt
∀x(0) ∈ IRn
(c’est ce type de stabilité qui intéresse les ingénieurs)
A.1.2.2
Méthode de linéarisation de Lyapunov
On suppose que f (x) du système autonome donné par la relation (A.3) est continuellement différentiable, et que x = 0 est un point d’équilibre. Alors, en utilisant le développement de Taylor autour du point d’équilibre, le système dynamique peut se mettre sous
la forme :
δf ẋ =
x + fs (x)
δx x=0
(A.5)
où fs (x) représente les termes d’ordre supérieurs en x.
Donc la linéarisation du système non linéaire original au point d’équilibre est donnée par :
ẋ = Ax
(A.6)
où A désigne la matrice Jacobienne de la fonction f par rapport à x au point d’équilibre
x = 0 c’est à dire :
δf A=
δx x=0
124
(A.7)
Annexe
qui est appelée approximation linéaire du système autonome donné par la relation (A.3)
autour de l’origine.
Le système linéaire à temps invariant de la forme (A.6) est (asymptotiquement) stable si
A est une matrice (strictement) stable, c’est à dire, si toutes les valeurs propres de A ont
des parties réelles (négatives) non positives.
Résultats déduits de la Méthode indirecte de Lyapunov :
1. Si le système linéarisé donné par la relation (A.6) est asymptotiquement stable alors
le point d’équilibre du système original donné par la relation (A.3) est asymptotiquement stable.
2. Si le système donné par la relation (A.6) n’est pas stable alors le point d’équilibre
du système original donné par la relation (A.3) est instable.
3. Notons aussi, que si le système linéarisé donné par la relation (A.6) est marginalement stable, alors le point d’équilibre du système original donné par la relation
(A.3) peut être stable comme il peut être instable.
Les résultats ci-dessus forment la légitimité de la théorie de la commande linéaire qui est
généralement utilisée dans la pratique. En conséquence des résultaats ci-dessus, la stabilité
des systèmes linéaires à temps invariants peut être déterminée par le théorème suivant :
Théorème A.3 Le point d’équilibre x = 0 du système linéarisé donné pa la relation
(A.6) est asymptotiquement stable si et seulement si, pour toute matrice symétrique définie
positive Q , il existe une matrice P symétrique définie positive unique telle que :
AT P + P A = −Q
(A.8)
Si Q est seulement semi-définie positive (Q ≥ 0), alors seulement la stabilité est conclue
et non pas la stabilité asymptotique.
La stabilité locale du système non linéaire original donné par la relation (A.3) peut être
déduite de la stabilité du système linéarisé donné par la relation (A.6) comme on le précise
dans le théorème suivant :
Théorème A.4 Si le système linéarisé (A.6) est strictement stable (parties réelles des
valeurs propres de la matrice A sont strictement négatives), alors le point d’équilibre
du système non linéaire (A.3) est localement asymptotiquement stable. Autrement si le
système linéarisé est instable alors le système non linéaire est aussi instable.
125
Annexe
Remarque A.10 Ce théorème ne nous permet de rien conclure quant à la stabilité marginale du système linéarisé.
A.1.2.3
Méthode directe de Lyapunov
On considère les définitions suivantes :
Définition A.19 Fonction définie et semi définie : Une fonction scalaire continue V (x) :
IRn → IR est dite localement définie positive si :
1. V (0) = 0
2. V (x) > 0 pour x 6= 0
et elle est localement semi-définie si :
1’. V (0) = 0
2’. V (x) ≥ 0 pour x 6= 0
Similairement, V (x) est dite localement définie négative (semi-définie négative) si :
1”. V (0) = 0
2”. −V (x) > 0, (−V (x) ≥ 0)
Définition A.20 Fonction de Lyapunov : V (x) est appelée fonction de Lyapunov pour le
système autonome donné par la relation A.3 si dans une boule B on a :
1. V (x) définie positive (V (0) = 0, x 6= 0 =⇒ V (x) > 0)
δV
2. V (x) a les dérivées partielles continues
est continue
δx
3. Ladérivée par
au temps de V
(x) est semi-définie négative
rapport
δV
δV
f (x) ≤ 0
ẋ =
V̇ (x) =
δx
δx
Les théorèmes suivants, peuvent être utilisés pour l’analyse de la stabilité locale et globale.
Théorème A.5 Stabilité locale : Le point d’équilibre O du système autonome donné par
la relation (A.3) est (asymptotiquement) stable dans une boule B s’il existe une fonction
scalaire V (x) avec les dérivées continues tel que V (x) est définie positive et V̇ (x) est
(définie négative) semi définie négative dans la boucle B.
126
Annexe
Théorème A.6 Stabilité globale : Le point d’équilibre du système autonome donné par
la relation (A.3) est globalement asymptotiquement stable s’il existe une fonction scalaire
V (x) avec les dérivées du premier ordre continues tel que V (x) est définie positive, V̇ (x)
est définie négative et V (x) → ∞ quand kxk → ∞ (BR = IRn ).
Remarque A.11 Un système peut admettre plusieurs fonctions de Lyapunov ; par exemple,
soit V (x) est une fonction de Lyapunov pour un système donné, alors la fonction Vαρ (x) =
ρV α pour ρ > 0 et α > 1 est aussi une fonction de Lyapunov pour le système original.
Remarque A.12 Les conditions de la stabilité sont suffisantes. On peut toutefois dire que
le point d’équilibre est instable s’il existe une fonction définie positive V (x) pour laquelle
V̇ (x) > 0 au moins le long d’une trajectoire d’état.
A.1.2.4
Théorèmes des ensembles invariants
On peut se poser la question suivante : Le système est-il asymptotiquement stable
lorsque V̇ (x) ≤ 0 ?
Les résultats de La’Salle étend l’analyse de la stabilité des théorèmes précédents quand
V̇ (x) est seulement semi-définie négative, alors on parle de la généralisation du concept
du point d’équilibre.
Définition A.21 Ensemble invariant : Un ensemble S est un ensemble invariant pour
un système dynamique, si toute trajectoire partante de S reste en S, c’est à dire : x(0) ∈
S =⇒ x(t) ∈ S
∀t > 0
Exemples : S1 = {0}, S2 = Br , S3 = IRn
Les ensembles invariants incluent les points d’équilibres, les cycles limites, en plus de
n’importe quelle trajectoire d’un système autonome.
Théorème A.7 Théorème de LaSalle : On considère le système autonome donné par la
relation (A.3) avec f (x) continue, et soit V (x) est une fonction scalaire avec les premières
dérivées partielles continues. On considère une région Γl définie par V (x) < l pour certain
l > 0, on suppose que la région Γl est bornée et V̇ (x) ≤ 0 ∀x ∈ Γl c’est à dire :
∆
Γ = {x ∈ IRn tel que V (x) < l, V̇ (x) ≤ 0 pour l > 0}
Soit Z est l’ensemble de tous les points dans Γl où V̇ (x) = 0.
∆
Z = {x ∈ Γl tel que V̇ (x) = 0}.
Soit M est le plus grand ensemble invariant dans Z.
127
Annexe
Alors toute solution x(t) provenant de Γl tend vers M quand t → ∞. De l’autre côté, si
V̇ (x) ≤ 0∀x ∈ Γl et V (x) → ∞ quand kxk → ∞, alors toutes les solutions convergent
globalement asymptotiquement vers M quand t → ∞
A.1.3
Systèmes non-autonomes
Dans cette partie on considère les systèmes non linéaires non autonomes représentés
par la relation (A.2). Les concepts de la stabilité sont caracterisés par les définitions
suivantes :
A.1.3.1
Définitions
Définition A.22 Équilibre : Un état x∗ est un point d’équilibre de l’équation ẋ = f (x, t)
si : f (x∗ , t) = 0
∀t ≥ t0 .
Définition A.23 Stabilité : Le point d’équilibre x = 0 est stable à t = t0 si pour tout
R > 0 il existe r(R, t0 ) tel que kx(t0 )k < R ∀t ≥ t0 . Autrement, le point d’équilibre x = 0
est instable.
Définition A.24 Stabilité asymptotique : Le point d’équilibre x = 0 est asymptotiquement stable à t = t0 , s’il est stable et s’il existe r(t0 ) > 0 tel que : kx(t0 )k < r(t0 ) =⇒
x(t) → 0 quand t → ∞.
Définition A.25 Stabilité exponentielle : Le point d’équilibre x = 0 est exponentiellement
stable s’ils existent deux nombres positifs α et λ tel que kx(t)k ≤ αkx(t0 )ke−λ(t−t0 ) ∀t ≥ t0 ,
pour x(t0 ) suffisamment petit.
Définition A.26 Stabilité asymptotique globale : Le point d’équilibre x = 0 est globalement asymptotiquement stable s’il est stable et x(t) → 0 quand t → ∞ ∀x(t0 ).
Définition A.27 Stabilité uniforme : Le point d’équilibre x = 0 est uniformément stable
s’il est stable avec r = r(R) choisi indépendement du temps t0 .
Définition A.28 Stabilité asymptotique uniforme : Le point d’équilibre x = 0 est uniformément asymptotiquement stable s’il est uniformément stable et il existe une boule
d’attraction B, indépendante de t0 , tel que x(t0 ) ∈ B implique x(t) → 0 quand t → ∞.
128
Annexe
A.1.3.2
Méthode de linéarisation de Lyapunov
En utilisant le développement de Taylor le système non autonome donné par la relation
(A.2) peut être réécrit sous la forme :
(A.9)
ẋ = A(t)x + fsn (x, t)
δf .
où : A(t) =
δx x=0
Une approximation linéaire de la relation (A.2) est donnée par :
(A.10)
ẋ = A(t)x
Théorème A.8 Une condition nécéssaire est suffisante pour la stabilité asymptotique
uniforme de l’origine du système (A.9) est que la matrice P
existe telle que : V =
Z (t)
t
xT P (t)x > 0 et V̇ = xT (AT P + P A + Ṗ )x ≤ k(t)V où lim
k(τ )dτ = −∞ uniformét→∞
ment à t0 .
t0
Maintenant, on peut énnoncer le résultat suivant :
Théorème A.9 Si le système linéarisé donné par la relation (A.9) est uniformément
asymptotiquement stable, alors le point d’équilibre x = 0 du système non autonome original donné par la relation (A.2) est aussi uniformément asymptotiquement stable.
A.1.3.3
Méthode directe de Lyapunov
On présente maintenant les théorèmes de la stabilité au sens de Lyapunov pour les
systèmes non autonomes. Pour cela, les définitions suivantes sont nécéssaires :
Définition A.29 Fonction de classe K : Une fonction K : [0, k] → IR+ est dite de classe
K si :
(i) K(0) = 0
(ii) K(x) > 0
∀x > 0
(iii) K est non décroissante.
Les déclarations (ii) et (iii) peuvent être remplacées par :
(ii)’ K est strictement croissante.
La fonction est dite de classe K∞ si k = ∞ et K(x) → ∞ quand x → ∞.
129
Annexe
En se basant sur la définition de la fonction de classe K, une définition modifiée de la
stabilité exponentielle peut être donnée.
Définition A.30 Stabilité K exponentielle : Le point d’équilibre x = 0 est K-exponentiellement
stable s’il existe une fonction K(·) de classe K et un nombre positif λ tel que kx(t)k ≤
K (kx(t0 )k) e−λ(t−t0 ) ∀t ≥ t0 pour x(t0 ) suffisamment petit.
Définition A.31 Fonction définie positive : Une fonction V (x, t) est dite localement (globalement) définie positive si et seulement si il existe une fonction α de classe K telle que
V (0, t) = 0 et V (x, t) ≥ α (kxk)
∀t ≥ 0 et ∀x ∈ B.
Définition A.32 Fonction décroissante : Une fonction V (x, t) est localement (globalement) décroissante si et seulement si il existe une fonction β de classe K telle que
V (0, t) = 0 et V (x, t) ≤ β (kxk)
∀t > 0 et x ∈ B.
Le théorème principal de la stabilité au sens de Lyapunov peut être maintenant énnoncé
comme suit :
Théorème A.10 On suppose que V (x, t) a les premières dérivées continues autour du
point d’équilibre x = 0. On considère les conditions suivantes sur V et V̇ où α, β et γ
désignent des fonctions de classe K :
(i) V (x, t) ≥ α (kxk) > 0
(ii) V̇ (x, t) ≤ 0
(iii) V (x, t) ≤ β (kxk)
(iv) V̇ ≤ −γ (kxk) < 0
(v) limx→∞ α (kxk) = ∞
Alors le point d’équilibre x = 0 est :
• Stable si les conditions (i) et (ii) sont vérifiées.
• Uniformément stable si les conditions (i) − (iii) sont vérifiées.
• Uniformément asymptotiquement stable si les conditions (i) − (iv) sont vérifiées.
• Globalement uniformément asymptotiquement stable si les conditions (i) − (v) sont
vérifiées.
130
Annexe
A.1.3.4
Théorème de Lyapunov inverse
Il existe un théorème inverse pour chaque théorème de la stabilité de Lyapunov. Soit
on présente en particulier les théorèmes suivants :
Théorème A.11 Si le point d’équilibre x = 0 du système non autonome donné par la
relation (A.2) est stable (uniformément asymptotiquement stable), alors il existe une fonction définie positive (décroissante) V (x, t) avec une dérivée définie non positive (négative).
Théorème A.12 On considère le système non autonome donné par la relation (A.2)avec
δf
δf
et
bornées dans une certaine boule B, ∀t > 0. Alors le point d’équilibre x = 0 est
δx
δt
exponentiellement stable si et seulement si il existe une fonction V (x, t) et une certaine
constante positive αi , tel que ∀x ∈ B et ∀t > 0
α1 kxk2 ≤ V (x, t) ≤ α2 kxk2
V̇ ≤ −α3 kxk2
δV ≤ α4 kxk
δx A.1.3.5
Lemme de Barbalat
Les résultats de LaSalle sont seulement applicable aux systèmes autonomes. D’un
autre côté, le Lemme de Barbalat peut être utilisé pour obtenir les résultats de la stabilité
quand la dérivée de la fonction de Lyapunov est semi définie négative.
Lemme A.1 Lemme de Barbalat : Si la fonction f différentiable a une limite finie quand
t → ∞, et si f˙ est uniformément continue, alors f˙ → 0 quand t → ∞.
Ce lemme peut être appliqué pour l’étude de la stabilité des systèmes non autonomes avec
la théorie de Lyapunov, comme énnoncé par le lemme suivant :
Lemme A.2 Si une fonction scalaire V(x,t) est bornée inférieurement et V̇ (x, t) est semi
définie négative, alors V̇ (x, t) → 0 quand t → 0 si V̇ (x, t) est uniformément continue en
temps.
131
Annexe B
Schémas de simulation de
l’identification, l’observation et la
commande.
B.1
Introduction
Le but de cet annexe et de fournir les fichiers Simulinks qui ont été utilisés pour les tests
de simulation de notre travail. Tous d’abord nous présentons les paramètres nominaux de
la machine utilisée dans le tableau suivant :
Paramètres
Résistance rotorique
Résistance statorique
L’inductance Mutuelle
L’iductance Statorique
L’iductance Rotorique
L’inertie du rotor
nombre de paire de pole
coefficient de frottement
Notation
Rr
Rs
M
Ls
Lr
J
p
fm
Valeur
4.3047Ω
9.65Ω
0.4475H
0.4718
0.4718
0.0293kg/m2
2
0.0038N.M.s/rad
Table B.1 – paramètre de la machine asynchrone.
Annexe
Figure B.1 – Schéma de principe de la machine asynchrone.
B.2
Commande vectorielle
Pour l’implantation du PI contrôleur nou avons choisi : Td = 0.03 · 10−3 et Tq = 5 · 10−3
pour la dynamique du courant isd et isq , réspectivement avec le gain unitaire statique, et
par compensation de leurs pôles avec les zéros dans leurs respectifs régulateurs, ce qui
donne : pour le courant isd on trouve kp3 = 1/Td , ki3 = γ/T d. La même procédure est
appliquée pour le courant isq on trouve kp4 = 1/Tq , ki4 = γ/T q . Pour la synthèse des deux
correcteurs du flux et de la vitesse , on remplace les deux dynamiques des composants
des courants par leurs fonctions de transfert imposée. Finalement par compensation des
deux systèmes ( flux et vitesse) par les zéro du contrôleur PI . On trouve pour le flux
kp1 = Tr /(aM Td ), ki1 = Tr /(aM Td ). De la même façon on trouve pour la vitesse kp2 =
J/(bTq ), ki2 = fm /(bTq ). On choisi a = 100 et b = 0.1
133
Annexe
Figure B.2 – Bloc de la Commande vectorielle.
134
Annexe
Figure B.3 – Bloc du FOC.
Figure B.4 – Bloc de Compensation.
135
Annexe
Figure B.5 – Bloc du PI.
B.3
L’identification par Réseaux de Neurone
La figure B.6 montre le bloc Simulink en boucle ouverte qui a été utilisé pour l’estimation de la résistance rotorique. La figure B.7 représente la couche cachée du bloc identRr ,
les blocs de l’estimation des autres paramètres sont faits de la même manière.
Figure B.6 – Bloc simulink utilisé pour l’identification.
136
Annexe
Figure B.7 – La couche cachée de l’estimateur neuronal.
137
Annexe
B.4
L’observateur à grand gain pour la machine asynchrone
La figure B.8 représente le schéma Similink de de l’observateur de flux en boucle ouverte.
Figure B.8 – Bloc Simulink de l’observateur en boucle ouverte.
138
Annexe
B.5
La commande en mode glissant + observateur à
grand gain
Figure B.9 – Bloc Simulink de la commande en boucle ouverte.
139
Annexe
Figure B.10 – Bloc Commande + Observateur.
Figure B.11 – Variation de la résistance rotorique.
140
Annexe
Figure B.12 – Bloc commande + estimateur + observateur.
141

Commande en Mode Glissant avec Observateur Robuste Associée

Transcription

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