0 1 N N+1 2 H B

L2, Université Joseph Fourier
Séries et intégration (MAT 232)
2014-2015, Session 1.
Calculatrices, téléphones,
notes de cours, exercices
interdits
Examen
Durée : 2 heures
Note importante : toutes les réponses doivent être justifiées, et la qualité de la rédaction sera
prise en compte. Les questions autour du cours doivent en particulier faire l’objet d’une démonstration détaillée, et non pas d’un simple rappel d’énoncé.
1. Autour du cours (5 points)
PN
P∞
1. Soit z ∈ C\{1}. Donner l’expression de n=0 z n pour N fini et calculer n=0 z n si |z| < 1.
2. Soit f : [0, ∞[→ R, continue. Rappeler la définition des parties positive f + et négative f −
de f et montrer que f est intégrable sur [0, ∞[ si et seulement si f + et f − le sont.
2. Nature de séries et intégrales (10 points)
a) Déterminer la nature des séries suivantes :
1.
X (−1)n
√
;
n+1
2.
X e(1/n) − 1
√
;
n
3.
X
6.
n>1
n>0
X cos(βn)
pour β ∈ {0, 1, π} ;
4.
n
5.
sin(e−n ) ;
ln(1 + 1/nα ) en fonction de α ∈ R ;
n>1
n>0
n>1
X
X
cos(e−n ).
n>0
b) Déterminer si les intégrales suivantes sont finies :
Z
Z
1.
te−t dt ;
2.
cos(1/(t17 (1 − t)13 ))
dt ;
1+t
]0,1[
√
Z
cos( t)
√
4.
dt. Indication : Primitive.
t
[1,∞[
[1,∞[
ln(1 + t/(1 + t2 ))
dt en fonction de γ ∈ R ;
tγ
]0,∞[
3. Test d’intégrabilité (5 points)
R n+1
Soient f : [0, ∞[→ R+ continue et décroissante et la suite {vn }n>0 définie par vn = n f (t)dt.
1. Montrer que pour tout n > 1, vn−1 > f (n) et f (n) > vn .
2. Déduire de ces encadrements que
P
f est intégrable sur [0, ∞[ si et seulement si
f (n) est convergente.
1
3. Déterminer la nature de la série de terme général n ln(n)
, n > 2 en appliquant le résultat
1
ci-dessus à la fonction f (t) = t ln(t) . Indication : Primitive.
Z
3.
4. Intégrales généralisées (5 points)
Soit f : [0, ∞[→ R, continue et positive.
R
1. On suppose que limx→∞ f (x) = L existe. Montrer que si [0,∞[ f (t)dt < ∞, alors L = 0.
2. Montrer que la réciproque est fausse en exhibant un contre-exemple.
3. Exhiber
une fonction du type de celle représentée par le graphe ci-dessous pour laquelle
R
f
(t)dt
< ∞ et limx→∞ f (x) n’existe pas, pour des paramètres HN et BN convenables.
[0,∞[
BN
HN
0
1
2
N
N+1
L2, Université Joseph Fourier
Series and integration (MAT 232)
2013-2014
Calculators, telephones
and documents
prohibited
Exam
2 hours
Nota bene : All answers must be justified and the level of presentation will be taken into
account when marking. In particular, the questions from the lectures require a detailed proof, not
just the statement of a result.
1. From the lecture (5 points)
1. Prove that the general term of a converging complex series tends to zero.
2. Exhibit a function f ≥ 0, continuous, and integrable on [0, +∞[ such that f (n) = 1, ∀n ∈ N.
2. Nature of series and integrals (10 points)
a) Determine whether the following series converge or diverge :
X sin(1/n)
X 1
X (−1)n
;
2.
;
3.
(1 + 1/n) ;
1.
n+1
n
n ln n
n>1
n>1
an
4.
depending on a ∈] − 1, ∞[.
n + an
n>1
P (−1)n
Indication : One may consider the series
n+1 −
n>1
X
5.
X
n>2
(−1)n
.
n+(−1)n
(−1)n
.
n + (−1)n
b) Determine whether the following integrals converge or not :
Z
Z
e−t
ei/(t(1−t))
√ dt ;
1.
2.
dt ;
1+t
t
[1,∞[
]0,1[
Z
Z
2
sin2 (1/t)
dt depending on α ∈ R ; 4.
e− ln (u) du. Indication : set t = ln(u).
3.
α
(1
+
t)
[1,∞[
[1,∞[
3. The Γ function (5 points)
1. Show that the function Γ defined on R∗+ by
Z
Γ(x) =
tx−1 e−t dt is finite for all x > 0, and compute Γ(1).
]0,∞[
2. Show that Γ(x + 1) = xΓ(x) for all x > 0, and deduce that Γ(n + 1) = n!, for all n ∈ N.
√
√
R∞
√
2
3. Show that Γ(1/2) = π. Indication : Set u = t ; remember the equality 0 e−u du = 2π .
4. A mixture of series and integrals (5 points)
R1
For f : [0, 1] → C a continuous function and n > 0 an integer, we set In (f ) = 0 tn f (t)dt ∈ C.
1. We set un = (−1)n In (f ). Show that there exists a continuous function g : [0, 1] → C s.t.
Z 1
f (t)
u0 + u1 + · · · + un =
dt + (−1)n In (g)
1
+
t
0
PN
1−r N +1
n
Indication : n=0 r = 1−r , for r 6= 1.
2. Show that limn→∞ In (g) = 0 for every continuous function g : [0, 1] → C.
P
P+∞
3. Deduce that
un converges and determine the value of n=0 un .
P+∞
4. Give explicit formulas for In (f ), un and n=0 un in the case f (t) = 1 ∀t ∈ R. Check your
answer to question 2.a)1.