Baccalauréat Blanc 2006 Mathématiques - lycée Descartes

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Bac Blanc 2006 : épreuve de mathématiques - Rabat
Baccalauréat Blanc 2006
Mathématiques - lycée Descartes - Rabat
Durée de l'épreuve : 4 heures
Coefficient : 7 ou 9
L'utilisation de la calculatrice est autorisée. La présentation et la qualité
de la rédaction entreront pour une part importante dans l'appréciation
des copies.
Exercice 1
(6 points)
→ →
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct (O; u , v ).
L'unité graphique est 2 cm.
1. (a) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation :
z 2 − 4z + 8 = 0
(b) Écrire les solutions z1 et z2 de cette équation sous forme exponentielle (z1 sera la
solution dont la partie imaginaire est positive).
Placer dans P les points A et B d'axes respectives z1 et z2 .
2. On considère l'application f qui, à tout point M d'axe z non nulle, associe le point M 0
d'axe
z0 =
1
z
où z désigne le conjugué de z .
(a) Calculer les axes des points A0 et B 0 images de A et B par f .
Placer ces points sur la gure.
(b) Montrer que pour tout point M distinct de O, les points O, M et M 0 sont alignés
−−→ −−−→
et que OM .OM 0 = 1
3. (a) Montrer que
1
0
|z − 2| = 2 ⇐⇒ − z = |z 0 |
2
(b) Soit C le cercle de centre I , d'axe 2, et de rayon 2.
Soit M un point de C distinct de O.
Montrer que M 0 est situé sur une droite d que l'on caractérisera.
Placer C et d sur la gure.
(c) Soit M un point quelconque du cercle C , distinct de O, A et B .
Construire M 0 , l'image de M par f .
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Exercice 2
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(5 points)
Réservé aux candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité.
Dans cet exercice, on pourra utiliser les résultats suivants :
• Pour tous réels a et b,
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b ;
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
• Si une fonction h, dérivable sur R, a une dérivée constante égale à λ, alors h est une
fonction ane dénie par h(x) = λ x + µ (où µ est une constante réelle).
On se propose de résoudre l'équation diérentielle (E) :
y 00 + 4y 0 + 4y = 5 sin x
On note (E0 ) l'équation diérentielle :
y 00 + 4y 0 + 4y = 0
4
πh
déni par tan θ =
2
3
3
Vérier que cos θ = . En déduire la valeur de sin θ.
5
(b) Soit ϕ la fonction dénie sur R par : ϕ(x) = sin(x − θ)
Montrer que ϕ est une solution particulière de (E).
i
1. (a) Soit θ le nombre réel de 0 ;
2. Démontrer qu'une fonction f est solution de (E) si, et seulement si, la fonction f − ϕ est
solution de (E0 ).
3. On suppose qu'il existe une fonction g solution de l'équation diérentielle (E0 ).
On pose pour tout réel x, h(x) = g(x) e2x
(a) Prouver que la dérivée seconde de h est nulle sur R.
(b) En déduire h0 (x) puis h(x) en fonction de x.
(c) Donner toutes les solutions de l'équation (E0 ).
4. Résoudre l'équation diérentielle (E).
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Exercice 2
(5 points)
Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité mathématiques.
On rappelle le (petit) théorème de Fermat :
si p est un nombre premier qui ne divise pas l'entier naturel a, alors on a la congruence
ap−1 ≡ 1 mod p
Partie A
1. (a) Prouver que 29 est un nombre premier.
(b) Soit x ∈ N et n un entier naturel tel que n ≡ 1 mod 28.
En utilisant le théorème de Fermat, prouver que xn ≡ x mod 29.
2. On considère l'équation (E) :
17x − 28y = 1 où (x, y) ∈ Z2 .
(a) Quel théorème permet d'armer que l'équation (E) admet au moins un couple
solution d'entiers relatifs ?
(b) En utilisant l'algorithme d'Euclide, trouver un tel couple solution.
Partie B
Soit A = {x ∈ N, x < 29} = {0, 1, 2, · · · , 28} .
Pour x ∈ A, on note f (x) le reste de la division euclidienne de x17 par 29 et g (x) le reste
de la division euclidienne de x5 par 29.
3. (a) Prouver que f (x) ∈ A et x17 ≡ f (x) mod 29.
On admettra (la démonstration est analogue) que g (x) ∈ A et x5 ≡ g (x) mod 29.
(b) Pour x ∈ A, prouver que g (f (x)) = x.
4.
:
On attribue à chaque lettre de l'alphabet et aux deux signes + et -, l'entier donné
par le tableau ci-dessous :
Applications
a
1
o
15
b
2
p
16
c
3
q
17
d
4
r
18
e
5
s
19
f
6
t
20
g
7
u
21
h
8
v
22
i
9
w
23
j
10
x
24
k
11
y
25
l
12
z
26
m
13
+
27
n
14
28
(a) Bob code le mot GAUSS à l'aide de la fonction f et envoie le message codé à
Alice.
Voici le codage des deux premières lettres G et A :
Message initial
Entier associé
Utilisation de f
Message codé
G
7
A
1
X
A
717 ≡ 24 mod 29 117 ≡ 1 mod 29
Compléter son message.
(b) Alice reçoit le message suivant, codé par Bob, à l'aide de la fonction f :
J I L L R
Décrypter ce message à la place d'Alice.
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Exercice 3
(9 points)
Partie A
Soit f la fonction dénie sur R par : f (x) = ln 1 + e−x
Sur la feuille annexe, à remettre avec la copie, on a représenté la courbe représentative C de la
→ →
fonction f dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O ; i , j )
1. (a)
Question de cours (sur 0,5 point)
: démontrer que
lim ln x = +∞
x→+∞
(b) Déterminer les limites de f en −∞ et +∞.
(c) Montrer que pour tout réel x, f (x) = −x + ln (1 + ex )
(d) En déduire que C admet en −∞ une asymptote oblique, notée d, d'équation y = −x.
Préciser la position de d par rapport à C .
2. Étudier les variations de f . Dresser son tableau de variations.
3. Sur la feuille annexe, tracer d ainsi que la droite ∆, tangente à C au point d'abscisse 0.
Partie B
Soit g et h les fonctions dénies sur [ 0 ; +∞[ par
g(t) = ln(1 + t) − t
h(t) = ln(1 + t) − t +
et
t2
2
1. Étudier les variations des fonctions g et h.
2. Montrer que pour tout réel t positif,
3. En déduire que pour tout réel x,
t2
t − ≤ ln(1 + t) ≤ t
2
e−x −
e−2x
≤ f (x) ≤ e−x
2
(1)
Partie C
1. Soit a un nombre réel strictement supérieur à 1 et n un entier naturel non nul.
1
1
1
On pose An = + 2 + · · · + n
a
a
a
(a) Exprimer An en fonction de n et montrer que la suite (An )n∈N∗ est majorée par
1
a−1
(b) Justier la convergence de la suite (An )n∈N∗ et déterminer sa limite.
2. On dénit les suites (Sn )n∈N∗ et (Tn )n∈N∗ par :
Sn =
1
1
1
+ 2 + ··· + n
e e
e
et Tn =
1
1
1
+
+
·
·
·
+
e2 e4
e2n
Déterminer la limite des suites (Sn )n∈N∗ et (Tn )n∈N∗ .
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Partie D
Soit (un )n∈N∗ la suite dénie par :
1
u1 = 1 +
e
et pour tout entier naturel n non nul, un+1 = 1 +
1
en+1
un
1. Démontrer par récurrence que pour tout naturel n non nul, un > 0.
2. Soit (vn )n∈N∗ la suite dénie par vn = ln(un ) pour tout entier naturel n non nul.
(a) Montrer que pour tout entier naturel n non nul ,
vn = f (1) + f (2) + · · · + f (n)
(2)
(b) Montrer que la suite (vn ) est croissante.
(c) À l'aide des relations (1) et (2), montrer que pour tout entier naturel n non nul,
Sn −
1
Tn ≤ vn ≤ Sn
2
(d) Montrer que la suite (vn )n∈N∗ est majorée et qu'elle converge.
(e) On note ` la limite de la suite (vn )n∈N∗ . Prouver que
1
2e + 1
≤`≤
2
2(e − 1)
e−1
3. Montrer que la suite (un )n∈N∗ converge.
À l'aide de la calculatrice, proposer un encadrement de sa limite.
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Annexe à rendre avec la copie
Nom : .............................................. Prénom : ................................
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