Justifier que deux vecteurs sont colinéaires par calcul vectoriel

VECTEURS
Justifier que deux vecteurs sont colinéaires par calcul vectoriel
Pour faire une telle démonstration par calcul vectoriel il faut savoir décomposer en utilisant la
relation de Chasles.
Exemple :
ABC sont trois points non alignés. On a construit le
A
C
point D tel que : AD = 2 CA + 3 AB
On veut Démontrer
colinéaires.
que
CB CD et
CD
sont
B
Partons de CD
CD
D
= CA + AD
= CA +2 CA + 3 AB
= 3 CA + 3 AB
= 3( CA + AB )
On utilise la relation de
Chasles avec le point A
parce qu’on a dans l’énoncé
des informations sur AD .
= 3 CB
Donc CD et CB sont colinéaires.
On aurait pu partir de CB aussi, mais le calcul aurait été plus compliqué car faire apparaître
AD est moins naturel :
CB
= CA + AD + DC + CB
(Comme précédemment on trouve que CA + AD = 3 CB )
CB
= 3 CB + DC + CB
(on peut simplifier par CB )
CD
= 3 CB
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Fiche originale réalisée par Thierry Loof
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Exercice 1
A, B et M sont trois points tels que 3 MA – 4 MB = AB
Montrer que A, B et M sont alignés.
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Exercice 2
A, B et M sont trois points tels que – MA + 5 MB = 3 AB
Montrer que A, B et M sont alignés.
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Corrigé 1
A, B et M sont trois points tels que 3 MA – 4 MB = AB
Montrer que A, B et M sont alignés.
3 MA – 4 MB = AB
3 MA – 4( MA + AB ) = AB
– MA – 4 AB = AB
AM = 5 AB
Donc les vecteurs AM et AB sont colinéaires.
Donc les points A, B et M sont alignés.
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