representations graphiques

REPRESENTATIONS GRAPHIQUES
Statistiques : Dossier N°2
Février 1996
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CDR
Apprentissage
REPRESENTATIONS GRAPHIQUES
AGRIMEDIA
et
Evaluation
Objectif :
- Représenter graphiquement une série de données
statistiques.
Contenu :
- Explications concernant la construction :
* de diagrammes en bâtons
* d’histogrammes
* de diagrammes cumulatifs
* de diagrammes circulaires
- Exercices d’application avec corrections.
Pré-requis :
- Connaître la règle de trois
- Connaître le langage statistique (dossier 1)
- Etre capable d’utiliser un repère
- Etre capable d’utiliser un rapporteur.
Matériel nécessaire :
- compas ; rapporteur ; calculatrice.
Public concerné :
- Toute personne désirant maîtriser les représentations
graphiques de données statistiques.
2
REPRESENTATIONS GRAPHIQUES
LES DIAGRAMMES
I - DIAGRAMME EN BATONS
Exemple : On a relevé la marque de 100 tracteurs dans des exploitations
agricoles du Pas-de-Calais. Les résultats sont les suivants :
Marque des tracteurs
FENDT
RENAULT
MASSEY. FERGUSON
JOHN DEERE
FORD
CASE IH
FIAT
Nombre de tracteurs
6
24
30
16
12
7
5
a) Construisons le « repère » :
- l’axe des abscisses en indiquant sa légende
«Marque des tracteurs» (variable xi)
- l’axe des ordonnées en indiquant sa légende
«Effectifs» (ni) et ses graduations.
nombre de
tracteurs
32
(ni )
28
24
20
16
12
8
4
0
FENDT
RENAULT MASSEY.F
J.D
FORD
CASE IH
FIAT
marque des
tracteurs
(xi )
3
b) Construction du diagramme (marque des tracteurs) :
Pour chaque marque de tracteurs on trace un trait vertical (appelé bâton) partant de
l’axe des abscisses jusqu’à la hauteur de la graduation correspondante sur l’axe des
ordonnées.
Exemple : tracteur FENDT : l’effectif est de 6
Pour chaque marque de tracteur, nous effectuons la même démarche, ce qui donne
le schéma suivant :
35
nombre de
tracteurs
30
25
20
15
10
5
FIAT
CASE IH
FORD
J.D.
M.F.
RENAULT
FENDT
0
marque des
tracteurs
A RETENIR
Cette représentation graphique s’appelle :
un DIAGRAMME EN BATONS.
4
EXERCICE
Parmi les 160 petites exploitations de la région Nord - Pas-de-Calais,
on a recensé la surface plantée en pommiers.
Le résultat de l’enquête est donné dans le tableau suivant :
Surface en ha (xi)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Nombre d’exploitations
8
9
12
14
22
26
18
19
12
10
10
Construire le diagramme en bâtons de cette série.
Nombre
d’exploitations
(ni )
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
Surface en ha
(xi )
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5
REPONSE
Nombre
d’exploitations
(ni )
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
Surface en ha
(xi )
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6
II - HISTOGRAMME
A partir d’un exemple construisons un histogramme.
Exemple n°1 : d’après le tableau reprenant la fabrication de
camemberts (dossier N°1 p 12 ), nous allons faire la représentation
graphique correspondante :
Poids des camemberts (g)
Nombre de camemberts
[260 ; 270[
1
[270 ; 280[
1
[280 ; 290[
4
[290 ; 300[
3
[300 ; 310[
8
[310 ; 320[
12
[320 ; 330[
7
[330 ; 340[
4
a) Construction du « repère »
Nombre de
camemberts
(ni )
12
10
8
6
4
2
0
250
260
270
280
290
300
310
320
330
340
Poids des
camemberts
(xi )
350
b) Construction des rectangles.
7
Pour chaque classe nous construisons un rectangle dont la hauteur correspond à
l’effectif de la classe .
Exemple : pour la classe [280 ; 290[ l’effectif est de 4.
Nombre de
camemberts (ni )
12
10
8
6
4
2
0
250
260
270
280
290
300
310
320
330
340
Poids des
camemberts (xi )
A RETENIR
Cette représentation graphique s’appelle un HISTOGRAMME.
Un histogramme est constitué de plusieurs rectangles.
8
EXERCICE
La série suivante donne le pourcentage en matières grasses (% M.G)
dans la fabrication de fromage.
Pourcentage de M.G.
[36 ; 37[
[37 ; 38[
[38 ; 39[
[39 ; 40[
[40 ; 41[
[41 ; 42[
[42 ; 43[
[43 ; 44[
Nombre de fromages
3
10
22
40
51
44
20
10
Construire l’histogramme de cette série
Nombre de
fromages
52
48
44
40
36
32
28
24
20
16
12
8
4
0
35
36
37
38
39
40
41
42
43
Pourcentage
de M.G.
9
REPONSE
Nombre de
fromages
52
48
44
40
36
32
28
24
20
16
12
8
4
0
36
37
38
39
40
41
42
43
44
Pourcentage
de M.G.
10
Exemple n°2 : le tableau ci-dessous représente le nombre d’enfants en
fonction de leurs poids (kg).
Poids (kg)
[35 ; 45[
[45 ; 50[
[50 ; 55[
[55 ; 60[
[60 ; 80[
Nombre
d’enfants
4
6
10
8
12
Remarque : toutes les classes n’ont pas les mêmes amplitudes (voir dossier stat N°1
p 12), il faut en tenir compte pour tracer l’histogramme de cette série.
De nouvelles classes sont créées ; ce qui donne le tableau suivant :
Poids (kg)
Amplitude
[35 ; 40[
[40 ; 45[
[45 ; 50[
[50 ; 55[
[55 ; 60[
[60 ; 65[
[65 ; 70[
[70 ; 75[
[75 ; 80[
5
5
5
5
5
5
5
5
5
Nombre
d’enfants
2
2
6
10
8
3
3
3
3
⎬
⎬
2+2=4
3 + 3 + 3 + 3 = 12
EXPLICATION
Ce nouveau tableau permet de construire un histogramme dont les surfaces de
chaque rectangle sont proportionnelles aux effectifs.
Pour tracer l’histogramme de cette série, il faut tenir compte de l’amplitude de
chaque classe.
La classe [35 ; 45[ d’amplitude 10 sera décomposée en 2 nouvelles classes [35 ; 40[
et [40 ; 45[ d’amplitudes 5. Ces 2 nouvelles classes doivent conserver un effectif total
de 4 (effectif du départ). Cet effectif est réparti de façon égale dans les 2 classes.
On fait de même pour la classe [60 ; 80[ d’effectif 12...
11
Construction de l’histogramme.
Nombre
d’enfants ni
12
10
8
6
4
2
Poids (kg) xi
0
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
12
EXERCICE
On a relevé le poids en kg de 100 porcs
Poids en kg
Nombre de porcs
[115 ; 125[
[125 ; 135[
[135 ; 140[
[140 ; 145[
[145 ; 150[
[150 ; 155[
[155 ; 160[
[160 ; 170[
8
10
18
22
16
10
8
8
Construire l’histogramme de cette série.
Nombre
de porcs (ni
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Poids en kg
(xi )
13
REPONSE
Nouveau tableau avec des classes d’amplitudes égales.
Poids en kg
Nombre de porcs
Nouvelles amplitudes
⎫
⎬8
⎭
5
⎫
⎬10
⎭
5
[115 ; 120[
4
[120 ; 125[
4
[125 ; 130[
5
[130 ; 135[
5
[135 ; 140[
18
5
[140 ; 145[
22
5
[145 ; 150[
16
5
[150 ; 155[
10
5
[155 ; 160[
8
5
[160 ; 165[
4
[165 ; 170[
4
Total
5
5
⎫
⎬8
⎭
5
5
100
Nombre
de porcs (ni
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
Poids kg
(xi )
0
115
120
125
130
135
140
145
150
155
160
165
170
14
III - DIAGRAMME EN SECTEURS
Exercice : Etude de la répartition des camemberts suivant leur poids
Reprenons le tableau sur les camemberts
Poids des camemberts (g)
Nombre de camemberts
1
1
4
3
8
12
7
4
[260 ; 270[
[270 ; 280[
[280 ; 290[
[290 ; 300[
[300 ; 310[
[310 ; 320[
[320 ; 330[
[330 ; 340[
a) Construction d’un cercle :
b) Correspondance entre les effectifs et les angles :
Rappel : un cercle complet représente 360°
90°
0°
360°
180°
270°
L’effectif total de 40 est représenté par 360°.
360
Un effectif de 1 est représenté par
= 9°
40
Chaque classe sera représentée par une partie du disque appelée : « SECTEUR ».
15
c) Complétons le tableau :
Poids des
camemberts (g)
Nombre de
camemberts
Angle
Degrés cumulés*
(somme des angles)
[260 ; 270[
1
9° x 1 =
9°
9
[270 ; 280[
1
9° x 1 =
9°
18
[280 ; 290[
4
9° x 4 =
36°
54
[290 ; 300[
3
9° x 3 =
27°
81
[300 ; 310[
8
9° x 8 =
72°
153
[310 ; 320[
12
9° x 12 = 108°
261
[320 ; 330[
7
9° x 7 =
63°
324
[330 ; 340[
TOTAL
4
40
9° x 4 =
36°
360°
360
* Pour faciliter la représentation graphique on peut utiliser les degrés cumulés.
d) Construisons le diagramme en secteurs :
A l’aide d’un rapporteur, on trace chaque secteur.
4
7
1
1
4
3
12
8
Cette représentation graphique s’appelle :
- diagramme circulaire
- ou diagramme à secteurs
- ou diagramme en « camembert » (même si on travaille avec d’autres
exemples : tracteurs, tailles ...)
EXERCICE
16
Etude de la clientèle d’un libre-service agricole selon la catégorie socioprofessionnelle des clients.
Sans profession
21 %
Cadres moyens
13 %
Employés
Agriculteurs
6%
34 %
Ouvriers
9%
Retraités
11 %
Professions libérales
Total
6%
100 %
Faites un diagramme en « camembert » pour représenter cette clientèle.
Remarque : La position du premier secteur importe peu, vous pouvez démarrer
comme vous le souhaitez. On vous propose :
17
REPONSE
a) Correspondance entre les pourcentages et les degrés :
l’effectif total de
un effectif de
100 %
1%
Sans profession
21 %
75,6°
Cadres moyens
13 %
46,8°
6%
21,6°
34 %
122,4°
Ouvriers
9%
32,4°
Retraités
11 %
39,6°
Professions libérales 6 %
21,6°
Employés
Agriculteurs
Total
est représenté par
est représenté par
100 %
360°
360/100 = 3,6°
360,0°
b) Construction du diagramme en secteurs :
Retraités
Ouvriers
Professions libérales
Sans profession
Agriculteurs
Cadres moyens
Employés
18
IV - LES DIAGRAMMES POLAIRES (ou en ETOILE)
Exemple : on a relevé la température moyenne par mois durant une année.
Janvier
Février
Mars
Avril
Mai
Juin
Juillet
Août
Septembre
Octobre
Novembre
Décembre
5,0°C
5,1°C
9,0°C
7,4°C
14,7°C
15,8°C
18,8°C
18,4°C
16,0°C
13,2°C
5,9°C
4,2°C
Pour représenter cette série chronologique on peut utiliser la représentation
graphique suivante :
Décembre
Novembre
Octobre
Janvier
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Février
Mars
Avril
Septembre
Mai
Août
Juin
Juillet
Cette représentation graphique s’appelle un DIAGRAMME POLAIRE
- On trace un axe par valeur de caractère (ici : le mois)
- L’angle entre 2 axes est constant (ici : 360° en 12 mois :
360
= 30°)
12
- Sur chaque axe on choisit une même graduation.
19
Avec ce type de diagramme il est possible de représenter les données pendant
plusieurs années.
Il faut joindre la dernière valeur de Décembre avec la première valeur de Janvier de
l’année suivante.
Pour plus de clarté il est conseillé de changer de couleur en changeant d’année et
d’indiquer la légende.
EXERCICE
Une entreprise a enregistré mensuellement son chiffre d’affaires (en
milliers de francs) pendant 2 années consécutives.
MOIS
Année 1
Année 2
1
28
31
2
22
30
3
27
33
4
33
33
5
35
38
6
32
35
7
30
32
8
20
25
9
29
35
10
40
42
11
47
50
12
45
50
Tracer le diagramme polaire correspondant à l’évolution mensuelle du chiffre
d’affaires.
20
REPONSES
1) On trace un premier axe gradué en fonction des données ; ici le chiffre
d’affaires mensuel.
Dans ce cas on prendra 3 cm pour 40 milliers de francs.
2) On fait de même pour les autres axes qui seront espacés de 30°
360°
(
= 30°)
12
Tous les axes auront la même graduation.
3) Diagramme
Décembre
Novembre
Octobre
Janvier
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Février
Mars
Avril
Septembre
Mai
Août
Juin
Juillet
Année 1
Année 2
Chiffres d’Affaires Année 1 et Année 2.
21
V - COURBES CUMULATIVES
Les courbes cumulatives sont construites à partir des effectifs cumulés ou des
fréquences cumulées.
Reprenons l’exemple des camemberts : (voir dossier I p 16)
Poids des camemberts (g) Effectifs cumulés croissants
260
0
270
1
280
2
290
6
300
9
310
17
320
29
330
36
340
40
Comme nous l’avons vu, ce tableau permet de répondre aux questions du style :
combien de camemberts pèsent moins de 290 grammes ? La réponse est : 6
fromages.
Par contre, si la question est : combien de camemberts pèsent moins de 285
grammes ? Le tableau ne suffit plus car la valeur 285 n'y est pas, il faut passer à la
représentation graphique.
1) Courbes des Effectifs Cumulés Croissants (E.C.C.)
a) Construction d’un repère :
On place sur l’axe des abscisses les valeurs du caractère (ici poids des camemberts)
et sur l’axe des ordonnées les Effectifs Cumulés Croissants.
Effectifs Cumulés
Croissants
44
40
36
32
28
24
20
16
12
8
4
Poids en
grammes
0
260
270
280
290
300
310
320
330
340
b) Construction de la courbe :
22
A l’aide du tableau on place les valeurs des effectifs cumulés sur le graphique.
Ensuite on relie les points entre eux.
Effectifs
cumulés
40
36
32
28
24
20
16
12
8
4
Poids (g)
0
260
270
280
290
300
310
320
330
340
285 s’appelle :
Cette représentation graphique
COURBE DES EFFECTIFS CUMULES CROISSANTS
A partir de cette courbe, on peut répondre à la question qu'on s'était posée :
combien de camemberts pèsent moins de 285 grammes ?
Il suffit de chercher l'ordonnée (E.C.C.) correspondant à l'abscisse (poids) : 285 g.
On trouve : 4 camemberts.
23
2) Courbe des Effectifs Cumulés Décroissants (ECD)
A partir de l’exemple précédent nous obtenons le tableau suivant :(dossier 1 page
16)
Poids des camemberts (g)
260
270
280
290
300
310
320
330
340
Effectifs Cumulés Décroissants
40
39
38
34
31
23
11
4
0
a) Construction du repère :
Effectifs Cumulés
Décroissants
44
40
36
32
28
24
20
16
12
8
4
Poids en
gramme
0
260
270
280
290
300
310
320
330
340
24
b) Construction de la courbe des ECD :
A l’aide du tableau on place les valeurs des effectifs cumulés décroissants sur le
graphique.
Ensuite on relie les points entre eux.
Effectif Cumulés
Décroissants
40
36
32
28
24
20
16
12
8
4
0
260
270
280
290
300
310
320
330
340
Poids en
gramme
Cette représentation graphique s’appelle :
COURBE DES EFFECTIFS CUMULES DECROISSANTS
Elle permet de répondre à toutes les questions du type : combien de fromages
pèsent au moins ... ?
Remarque : Il est possible de tracer les courbes ECC et ECD dans le même repère.
25
3) Courbe des fréquences
Comme pour les effectifs cumulés croissants ou décroissants, on peut construire les
courbes des fréquences cumulées croissantes ou décroissantes.
On portera toujours sur l’axe des abscisses les valeurs du caractère tandis que sur
l’axe des ordonnées on portera soit :
- les Fréquences Cumulées Croissantes (FCC)
- les Fréquences Cumulées Décroissantes (FCD)
Exemple : Mesure de la taille des élèves d’un lycée.
1) A partir du tableau ci-dessous tracer les courbes : FCC, FCD,
Tailles en cm
Nombre d’élèves
Fréquences
[158 ; 162[
25
0,05
[162 ; 166[
50
0,10
[166 ; 170[
200
0,40
[170 ; 174[
175
0,35
[174 ; 178[
50
0,10
500
1,00
Total
Tailles en cm
ECC
ECD
FCC
FCD
158
0
500
0,00
1,00
162
25
475
0,05
0,95
166
75
425
0,15
0,85
170
275
225
0,55
0,45
174
450
50
0,90
0,10
178
500
0
1,00
0,00
2) A partir des courbes répondez aux questions suivantes :
a) Quel est le pourcentage d’élèves dont la taille est inférieure à 166 cm ?
b) Quel est le pourcentage d’élèves dont la taille est supérieure à 172 cm ?
26
REPONSE
Fréquence
FCC
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
FCD
Tailles en cm
0
158
162
166
170
174
178
Courbes des fréquences cumulées
a) A partir de la courbe des FCC on lit directement sur l’axe des ordonnées la
réponse à la question car on demande une valeur INFERIEURE à une taille.
Dans ce cas il faut lire : 0,15 soit 15% des élèves ont une taille inférieure à 166 cm.
b) Pour des valeurs SUPERIEURES, on lit à partir de la courbe des FCD sur l’axe
des ordonnées la réponse à la question.
Dans ce cas il faut lire : 0,27 soit 27%. Donc 27% des élèves ont une taille
supérieure à 172 cm.
VI - Exemples d’autres représentations graphiques.
27
Diagramme en bandes
Principe : on partage un rectangle en bandes dont les aires sont proportionnelles aux
effectifs ou aux fréquences des valeurs du caractère.
Exemple 1 : enquête : nombre d’enfants par famille.
0 enfant
1 enfant
2 enfants
3 enfants
4 enfants
5 enfants
6 enfants
En disposant côte à côte des diagrammes en bandes cela permet une comparaison
rapide de deux séries statistiques.
Exemple 2 : Représentation graphique de la répartition des charges de mécanisation.
Nom de l’agriculteur
Capital
Répartition
Carburant
Tiers
REPARTITION GROUPE
DURAN
DUPONT
MECA
TRACFORT
LEPETIT
LEMEILLEUR
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
FIN
28