Modèles de tirage et estimation de proportions Exercice 1. On

Modèles de tirage et estimation de proportions
Exercice 1.
On considère un groupe de 8 étudiants. Combien existe-t-il de sous-groupes contenant un nombre
impair d’étudiants ?
Solution. C81 + C83 + C85 + C87 = 8 + 56 + 56 + 8 = 128.
Exercice 2. Pour nommer 40 jurés et 12 jurés suppléants à la cour d’assise de Dijon, un tirage
au sort est effectué parmi les 150 000 électeurs de la Côte d’Or. Le département compte 80000
femmes sur les listes électorales.
1) Expliquer pourquoi le choix des 52 jurés suit un modèle de tirage sans remise. Calculer le
coefficient d’exhaustivité. Justifier que l’on puisse se ramener aux calculs d’un modèle de tirage
avec remise.
Solution. On ne peut pas choisir deux fois le même juré, il s’agit donc d’un tirage sans remise.
Le coefficient d’exhaustivité:
r
r
N −n
150000 − 52
=
= 0, 9997
N −1
150000 − 1
Comme le coefficient d’exhaustivité est proche de 1 et l’échantillon de taille plus grande que 30,
on peut approcher la loi hypergéométrique (modèle sans remise) et la loi binomiale (modèle avec
remise) par une loi normale de même écart-type.
2) Calculer le nombre moyen de femmes parmi les 52 jurés d’assise.
Solution. Le nombre de femmes parmi les jurés est X qui suit une loi binomiale B(52, p) avec
80 000
p = 150
000 = 0, 533. La moyenne est donnée par
m(X) = np = 52 ∗ 0, 533 ≈ 27, 7
3) Quelle est la probabilité qu’il y ait plus de 30 femmes parmi les 52 jurés ?
Solution. Le nombre de femmes parmi les jurés X peut être approché par une loi normale car
n = 52 > 30, np = 27, 7 > 5 et n(1 − p) = 24, 3 > 5. Par contre, comme np(1 − p) = 3, 60 < 100,
il faut une correction de continuité. Ainsi, si G suit la loi N (27, 7; 3, 60) alors
30, 5 − 27, 7
)
3, 60
= P (Z ≥ 0, 77) = 0, 5 − φ(0, 77) = 0, 5 − 0, 2794 ≈ 0, 221
P (X > 30) = P (X ≥ 31) ≈ P (G ≥ 30, 5) = P (Z ≥
4) Parmi les 52 jurés, 32 habitent le Grand Dijon. Donnez une estimation du pourcentage
d’électeurs de Côte d’Or habitant le Grand Dijon (on choisira une confiance de 95%).
Solution. La proportion estimée est pe = 32
52 = 0, 615. Pour l’intervalle de confiance, on choisit
le loi normale car il s’agit d’un grand échantillon. La confiance est de 95% ce qui implique que
zα = 1, 96. La marge de l’estimation est donnée par:
r
r
pe (1 − pe )
0, 615 ∗ 0, 385
aα = zα
= 1, 96 ∗
= 0, 132
n
52
L’intervalle de confiance est donc
h
i
I(p) = 0, 615 − aα ; 0, 615 + aα = [0, 483; 0, 747]
La proportion d’électeurs de Côte d’Or habitant dans le Grand Dijon est comprise entre 48, 3%
et 74, 7%. Cette estimation est donnée avec une confiance de 95%.
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