L`arbre de décision séquentiel

LE CAS DES PROJETS D'INVESTISSEMENT SEQUENTIELS
Auteur : Jean-François GUEUGNON
Jusqu'à présent, nous avons envisagé, en univers certain comme en univers incertain,
des projets d'investissement nécessitant des prises de décision ponctuelles, c'est-à-dire
réalisées à une date unique (en général, à la date t=0). Le choix réalisé (entreprendre ou ne
pas entreprendre le projet) était ferme; la décision d'investissement ou de non-investissement
était pleine et entière; l'investissement n'était pas modifié ou ajusté en fonction de l'arrivée de
nouvelles informations susceptibles de modifier les flux nets de trésorerie prévisionnels (par
exemple, de nouvelles perspectives de croissance du marché).
Or, le plus souvent, le problème de l'investissement n'est pas de prendre de la manière la plus
rationnelle une décision unique, mais une suite ou une séquence de décisions rationnelles en
fonction des événements futurs prévisibles, un investissement ponctuel n'étant rien d'autre
qu'un investissement séquentiel doté d'un pas i égal à l'unité (i=1). Des prises de décisions
successives permettent à la fois de préciser la taille du projet d'investissement et de l'adapter
en fonction des événements futurs réels ou anticipés, cette faculté d'adaptation étant
intuitivement une source de réduction du risque global du projet.
Chaque problème d'investissement séquentiel peut être résolu en utilisant la méthode des
arbres de décision séquentielle qui a été adaptée au calcul économique et financier du choix
des investissements par J.F. Magee (Harward Business Review, 1964). L'usage de cette
méthode suppose le suivi des règles fondamentales et pratiques exposées ci-après.
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Section 1 : Les règles fondamentales d'utilisation de l'arbre de décision
Les règles fondamentales de construction d'un arbre de décision sont au nombre de trois
: la règle de l'alternance des noeuds, la règle de l'exhaustivité et la règle de décomposition.
Règle N°1 : La règle de l'alternance des noeuds
Chaque séquence de base i d'un arbre de décision est composé de deux types de noeuds :
- des noeuds de décision D d'où sont issues exclusivement des branches de décision
(encore appelées branches d'action) décrivant l'action à entreprendre
- des noeuds d'événement Ej (j=1 à m) d'où sortent exclusivement des branches d'événement,
branches auxquelles sont affectées des probabilités Pi,j
Règle N°2 : La règle de l'exhaustivité
Si toutes les branches d'action doivent être recensées à chaque noeud de décision D , toutes
les branches d'événement doivent également être répertoriées à chaque noeud d'événement Ej.
Règle N°3 : La règle de décomposition
Toutes les branches d'action (toutes les branches d'événement) doivent être définies de telle
sorte qu'une seule puisse être choisie finalement (1). Selon le corollaire de cette règle (appelée
encore principe d'information), le décideur doit connaître tous les éléments nécessaires
(actions et probabilités) sur le chemin qui mène de l'origine au noeud de décision qu'il étudie.
L'observation de ces trois règles fondamentales permet de décomposer un problème complexe
en une suite de problèmes simple dont les deux types de noeuds et leurs branches adjacentes
forment une séquence de base i de l'arbre de décision comme l'illustre le schéma ci-dessous.
Dans le cas général, l'arbre de décision est composé d'une suite de n séquences de base
comprenant en alternance n types de noeuds de décision et n types de noeuds d'événement.
E1
Pi,1
Pi,2
D
E2
Pi,1
Pi,2
L'étude de toutes les variantes d'un projet d'investissement permet de prendre une décision
pour chaque séquence de base (appelée encore décomposition) sur la base du critère
d'investissement (VAN, TIR, Délai de récupération ou une formulation dérivée) et du critère
statistique (moyenne, semi-écart-type, perte ...).
1
Le suivi de cette règle est facilitée lorsque d'un noeud de décision sort deux branches d'action.
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Exemple d’arbre de décision (à compléter)
Décision 2
P1
E1
P2
Décision 2
D
E2
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Section 2 : Les règles pratiques d'utilisation de l'arbre de décision
La solution au problème général de l'investissement séquentiel (2) suit d'abord une
procédure normale d'exploration puis une procédure inverse de résolution (roll-back).
A] La procédure normale d'exploration
Tous les éléments susceptibles de faciliter la procédure de résolution du problème de
l'investissement doivent être positionnés sur l'arbre de décision séquentielle selon les étapes
suivantes.
1ère étape : L'arbre de décision, suite de séquences de base constituées successivement de
noeuds de décision et de noeuds d'événements, est construit en allant d'amont en aval.
2ème étape : Un "résultat" est affecté à chaque branche terminale de l'arbre, le "résultat"
étant le produit du critère d'investissement retenu (par exemple, la Valeur Actuelle Nette
Globale).
3ème étape : Chaque probabilité est calculée puis associée d'amont en aval à sa branche
d'événement. A l'exception des probabilités affectées à la première séquence de branches
d'événement (i=1), toutes les autres probabilités affectées aux branches d'événement suivantes
sont, par nature, conditionnelles (car dépendant d'événements antérieurs).
B] La procédure inverse de résolution (ou roll-back)
La procédure inverse (encore appelée Roll-back) permet de remonter, d'aval (droite)
en amont (gauche), l'arbre de décision composé de n séquences de base. Le roll-back est une
procédure itérative qui, en partant de la séquence n (la dernière séquence), permet de
découvrir la meilleure décision retenue en s'appuyant sur la Valeur Actuelle Nette Globale
(V.A.N.G.) maximale, le semi-écart-type négatif minimal des Valeurs Actuelle Nette Globale,
le risque minimal de "perte" (V.A.N.G. négative). Le roll-back, qui commence toujours à la
dernière séquence i=n de l'arbre de décision, se déroule en deux étapes successives pour
chaque séquence de base i (i=n à 1).
1ère étape : Sur la base du critère d'investissement et du critère statistique retenus, on calcule
la valeur obtenue (par exemple, la moyenne pondérée des valeurs actuelles nettes globales) au
niveau du noeud d'événement i.
2ème étape : Sur la base des différentes valeurs obtenues lors de la première étape, on prend
la meilleure décision possible au niveau du noeud de décision i (par exemple, la valeur
actuelle nette globale maximale, le semi-écart-type négatif des V.A.N.G. minimal, le risque
de perte minimal).
A la fin de la seconde étape, deux situations peuvent alors apparaître :
- soit, des séquences n'ont pas encore été analysées (on a alors i>1) et on pose i=i-1 avant de
retourner à la première étape du processus,
- soit, toutes les séquences de l'arbre de décision ont été analysées (on a alors i=1) et la
meilleure décision correspond au chemin défini par les meilleurs noeuds de décision.
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dont fait partie le problème de l'investissement ponctuel.