TITRE: Partitions des arêtes d`un graphe DIRECTEURS: Mickael

TITRE: Partitions des arêtes d'un graphe
DIRECTEURS: Mickael Montassier, André Raspaud
COURRIELS: [email protected],[email protected]
MOTS­CLES: Graphes, décomposition, arboricité
DIRECTEURS HABILITES: André Raspaud
FINANCEMENT (si garantie):
DESCRIPTION du SUJET:
D'après un résultat de Nash­Williams [NW64], tout graphe planaire
admet une partition des arêtes en trois forêts, dont une est de degré
maximum au plus 4 [Gon09]. Tout graphe planaire de maille au moins 9
(resp. 7, 5) admet une partition des arêtes en une forêt et un
sous­graphe de degré maximum au plus 1 [BK+02] (resp. 2 [HH+02], 4
[HH+02]). Gonçalves a montré également que tout graphe planaire de
maille au moins 6 (resp. 7) admet une partition des arêtes en deux
forêts dont une est de degré maximum au plus 4 (resp. 2) [Gon09].
L'optimalité de ces résultats n'est pas connue :
Existe t­il k tel que tout graphe planaire de maille au moins 5
admet une partition des arêtes en deux forêts dont une est de degré
maximum au plus 5 ? Si k existe, quelle est la plus petite valeur
de k ?
Quelle est la plus petite valeur de k pour laquelle tout graphe
planaire de maille au moins 6 (resp. 7, 8) admet une partition des
arêtes en deux forêts dont une est de degré maximum au plus k ?
Également, tout graphe planaire admet une partition des arêtes en deux
graphes planaires extérieurs [Gon05]. D'autres partitions ont été
étudiées (forêts d'étoiles, forêts linéaires, caterpillar, forêts de
bi­étoiles) dans le cadre des graphes planaires et des graphes
planaires de grandes mailles.
Récemment, il a été montré que tout graphe, dont le degré moyen
maximum est borné par 4(k+1)(k+3)/(k^2+6k+6), admet une partition des
arêtes en une forêt et un sous­graphe de degré maximum au plus k
[MPRWZ09]. Il serait intéressant de poursuivre cette étude sur les
graphes peu denses (au sens faible degré moyen maximum) en prenant en
compte d'autres partitions (forêts d'étoiles, forêts linéaires,
caterpillar, forêts de bi­étoiles, ...).
Outre un intérèt structurel, ce type de décomposition est un outil
pour majorer certains invariants de graphe, comme le nombre
chromatique du jeu de marquage [Zhu99], ou comme le rayon spectral
[DM09].
[BK+02]
O.V. Borodin, A.V. Kostochka, N.N. Sheikh, and G. Yu.
Decomposing a planar graph with girth 9 into a forest and a matching.
European Journal of Combinatorics, 29(5):1235­­1241, 2008.
[DM09]
Z. Dvorak and B. Mohar.
Special radius of finite and infinite planar graphs and of
graphs of bounded genus.
University of Ljubljana, Preprint series, 47:1096, 2009. http://www.imfm.si/preprinti/PDF/01096.pdf
[Gon05]
D. Gonçalves.
Edge partition of planar graphs into two outerplanar graphs.
Annual ACM Symposium on Theory of Computing, Proceedings of the
thirty­seventh annual ACM symposium on Theory of computing, 504­­512 , 2005.
[Gon09]
D. Gonçalves.
Covering planar graphs with forests, one having bounded maximum degree.
Journal of Combinatorial Theory, Series B, 99:314­­322, 2009.
[HH+02]
W. He, X. Hou, K.­W. Lih, J. Shao, W. Wang, and X. Zhu.
Edge­partitions of planar graphs and their game coloring numbers.
Journal of Graph Theory, 41:307­­317, 2002.
[MPRWZ09]
M. Montassier, A. Pêcher, A. Raspaud, D.B. West, and X. Zhu.
Decomposition of sparse graphs, with application to game coloring number.
Manuscript, 2009.
[NW64]
C.St.J.A. Nash­Williams.
Decompositions of finite graphs into forests.
J. London Math. Soc., 39(12), 1964.
[Zhu99]
X. Zhu.
The game coloring number of planar graphs.
Journal of Combinatorial Theory, Series B, 75:245­­258, 1999.
***************************************
TITLE: Decomposition of graphs
ADVISORS: Mickael Montassier, André Raspaud
EMAILS: [email protected],[email protected]
KEYWORDS: graphs, edge­partitions
SUBJECT: A decomposition of a graph G is a set of edge­disjoint subgraphs whose
union is G.
Nash­Williams [NW64] proved that every planar graph decomposes into
three forests. Balogh et al. conjectured that one of the three
forests can be required to have maximum degree at most 4, which is
sharp infinitely often. They proved several results in this
direction, and Gonçalves proved the full conjecture [Gon09]. In
addition, he showed that planar graphs with girth at least 6 (at least
7) decompose into two forests with one having maximum degree at most 4
(at most 2).
Moreover it is known that: Let $G$ be a planar graph with girth at
least g. If g>=9, then G decomposes into a forest and a matching
[BK+02]. If g>=5, then G decomposes into a forest and a graph with
maximum degree 4 [HH+02]. The optimality of these results are not
known. Other decompositions have bee studied: outerplanar
decomposition [Gon05], star forests, caterpillar,...
Recently, it was proven that every simple graph with maximum average
degree less than 4(k+1)(k+3)/(k^2+6k+6) decomposes into a forest and a
subgraph with maximum degree at most k (furthermore, when k<=3 both
subgraphs can be required to be forests).
The aim of this thesis is a follow up of this work: prove
sufficient conditions of decomposition of a graph into simpler
subgraphs.
This kind of decomposition has some applications: game coloring [Zhu99]
number, spectral radius [DM09],...
[BK+02]
O.V. Borodin, A.V. Kostochka, N.N. Sheikh, and G. Yu.
Decomposing a planar graph with girth 9 into a forest and a matching.
European Journal of Combinatorics, 29(5):1235­­1241, 2008.
[DM09]
Z. Dvorak and B. Mohar.
Special radius of finite and infinite planar graphs and of
graphs of bounded genus.
University of Ljubljana, Preprint series, 47:1096, 2009. http://www.imfm.si/preprinti/PDF/01096.pdf
[Gon05]
D. Gonçalves.
Edge partition of planar graphs into two outerplanar graphs.
Annual ACM Symposium on Theory of Computing, Proceedings of the
thirty­seventh annual ACM symposium on Theory of computing, 504­­512 , 2005.
[Gon09]
D. Gonçalves.
Covering planar graphs with forests, one having bounded maximum degree.
Journal of Combinatorial Theory, Series B, 99:314­­322, 2009.
[HH+02]
W. He, X. Hou, K.­W. Lih, J. Shao, W. Wang, and X. Zhu.
Edge­partitions of planar graphs and their game coloring numbers.
Journal of Graph Theory, 41:307­­317, 2002.
[MPRWZ09]
M. Montassier, A. Pêcher, A. Raspaud, D.B. West, and X. Zhu.
Decomposition of sparse graphs, with application to game coloring number.
Manuscript, 2009.
[NW64]
C.St.J.A. Nash­Williams.
Decompositions of finite graphs into forests.
J. London Math. Soc., 39(12), 1964.
[Zhu99]
X. Zhu.
The game coloring number of planar graphs.
Journal of Combinatorial Theory, Series B, 75:245­­258, 1999.