TABLE OF INTEGRALS

TABLE OF INTEGRALS
Fundamental Forms
1.
u dv = uv −
v du
2.
un du =
3.
du
= ln |u| + C
u
4.
eu du = eu + C
5.
au du =
6.
sin u du = − cos u + C
7.
cos u du = sin u + C
8.
sec2 u du = tan u + C
9.
csc2 u du = − cot u + C
un+1
+ C, n 6= −1
n+1
au
+C
ln a
1
1
u + sin 2u + C
2
4
20.
cos2 u du =
21.
tan2 u du = tan u − u + C
22.
cot2 u du = − cot u − u + C
23.
sinn u du = −
24.
cosn u du =
1
n−1
cosn−1 u sin u +
n
n
25.
tann u du =
1
tann−1 u −
n−1
26.
cotn u du = −
27.
secn u du =
28.
cscn u du = −
29.
sin au sin bu du =
30.
sin au cos bu du = −
cos(a − b)u
cos(a + b)u
−
+C
2(a − b)
2(a + b)
sin(a + b)u
sin(a − b)u
+
+C
2(a − b)
2(a + b)
1
n−1
sinn−1 u cos u +
n
n
1
cotn−1 u −
n−1
1
n−2
cscn−2 u cot u +
n−1
n−1
csc u cot u du = − csc u + C
31.
cos au cos bu du = −
tan u du = ln |sec u| + C
32.
u sin u du = sin u − u cos u + C
cot u du = ln |sin u| + C
33.
u cos u du = cos u + u sin u + C
sec u du = ln |sec u + tan u| + C
34.
un sin u du = −un cos u + n
csc u du = ln |csc u − cot u| + C
35.
un cos u du = un sin u − n
15.
16.
17.
18.
⎧
u
⎪
⎨ arcsin a + C, or
du
√
=
⎪
a2 − u2
⎩ − arccos u + C
a
a2
a2
un−1 sin u du
Inverse Trigonometric Forms
√
1 − u2 + C
36.
sin−1 u du = u sin−1 u +
u+a
1
du
+C
ln
=
− u2
2a
u−a
37.
cos−1 u du = u cos−1 u +
38.
tan−1 u du = u tan−1 u −
39.
sec−1 u du = u sec−1 u − ln u +
√
1 − u2 + C
1
ln(1 + u2 ) + C
2
Trigonometric Forms
19.
cscn−2 u du
un−1 cos u du
u
1
du
= arctan + C
+ u2
a
a
1
1
sin2 u du = u − sin 2u + C
2
4
secn−2 u du
sin(a − b)u
sin(a + b)u
−
+C
2(a − b)
2(a + b)
11.
14.
cotn−2 u du
1
n−2
secn−2 u tan u +
n−1
n−1
sec u tan u du = sec u + C
13.
cosn−2 u du
tann−2 u du
10.
12.
sinn−2 u du
40.
−1
u sin
√
u2 − 1 + C
√
2u2 − 1
u 1 − u2
−1
sin u +
+C
u du =
4
4
41.
u cos−1 u du =
√
2u2 − 1
u 1 − u2
cos−1 u −
+C
4
4
57.
cosh u du = sinh u + C
42.
u tan−1 u du =
u2 + 1
u
tan−1 u − + C
2
2
58.
tanh u du = ln(cosh u) + C
43.
u sec−1 u du =
1 2
1√ 2
u sec−1 u −
u −1+C
2
2
59.
coth u du = ln |sinh u| + C
44.
un sin−1 u du =
un+1
1
sin−1 u −
n+1
n+1
un+1
√
du
1 − u2
60.
sech2 u du = tanh u + C
45.
un cos−1 u du =
un+1
1
cos−1 u +
n+1
n+1
un+1
√
du
1 − u2
61.
csch2 u du = − coth u + C
46.
un tan−1 u du =
un+1
1
tan−1 u −
n+1
n+1
un+1
du
1 + u2
62.
sech u tanh u du = −sech u + C
un sec−1 u du =
un+1
1
sec−1 u +
n+1
n+1
un+1
√
du
u2 − 1
63.
47.
csch u coth u du = −csch u + C
Irrational Algebraic Forms
Exponential and Logarithmic Forms
1
(au − 1)eau + C
a2
48.
ueau du =
49.
1
n
un eau du = un eau −
a
a
50.
eau sin bu du =
51.
eau cos bu du =
52.
ln u du = u ln u − u + C
53.
1
du = ln |ln u| + C
u ln u
un−1 eau du
65.
√
u
u√ 2
a2
arcsin + C
a2 − u2 du =
a − u2 ±
2
2
a
66.
eau
(a cos bu + b sin bu) + C
+ b2
a2
69.
n+1
u
u
ln u −
+C
n+1
(n + 1)2
54.
un ln u du =
55.
m
un+1 lnm u
−
u ln u du =
n+1
n+1
56.
sinh u du = cosh u + C
n
√
√
u√ 2
a2
ln u + u2 ± a2 + C
u2 ± a2 du =
u ± a2 ±
2
2
√
√
u
u2 u2 ± a2 du = (2u2 + a2 ) u2 ± a2 ±
8
√
a2
ln u + u2 ± a2 + C
8
√
√
a
u2 − a2
du = u2 − a2 − a arccos + C
67.
u
u
√
√
√
a + a2 ± u2
a2 ± u2
+C
68.
du = a2 ± u2 − a ln
u
u
eau
(a sin bu − b cos bu) + C
2
a + b2
n+1
64.
m
70.
n
m−1
u ln
u du + C
71.
√
du
√
= ln u + u2 ± a2 + C
2
2
u ±a
√
a + a2 ± u2
1
du
√
+C
= − ln
a
u
u a2 ± u2
√
du
u2 ± a2
√
=∓
+C
a2 u
u2 u2 ± a2
TRIGONOMETRIC IDENTITIES
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
cos(α ± β)
p= cos α cos β ∓ sin α sin β p
sin 12 α = (1 − cos α)/2; cos 12 α = (1 + cos α)/2
sin α ± sin β = 2 sin 12 (α ± β) cos 12 (α ∓ β)
cos α + cos β = 2 cos 12 (α + β) cos 12 (α − β)
cos α − cos β = −2 sin 12 (α + β) sin 12 (α − β)
sin(α − β) + sin(α + β) = 2 sin α cos β
sin(α + β) + sin(α + β) = −2 cos α sin β
cos(α − β) + cos(α + β) = 2 cos α cos β
cos(α − β) − cos(α + β) = 2 sin α sin β
sin2 α − sin2 β = sin(α + β) sin(α − β)
cos2 α − cos2 β = − sin(α + β) sin(α − β)
cos2 α − sin2 β = cos(α + β) cos(α − β)
a
b
c
=
=
(law of sines)
sin A
sin B
sin C
c2 = a2 + b2 − 2ac cos C (law of cosines)