La géométrie non euclidienne

Titre : La géométrie non euclidienne: réception et renouvellement de l'historiographie
Directeur de thèse : Rossana Tazzioli
E-mail : [email protected]
Laboratoire : Paul PAINLEVE
Equipe de recherche : Géométrie-Topologie
Descriptif : Les ouvrages portant sur l'histoire de la géométrie non euclidienne publiés ces cent dernières
années présentent cette histoire de la manière suivante : on part des critiques du « postulat des parallèles »
d’Euclide qui remontent à la période grecque, on poursuit par une analyse des travaux des « précurseurs » de la
nouvelle géométrie (Saccheri, Lambert,...), et on finit par la présentation des ouvrages (publiés ou inédits) des
fondateurs de la géométrie non euclidienne Lobachevskij et Bolyai, auxquels les historiens ajoutent normalement
les noms de Gauss et de quelques autres. Après cela, ces histoires exposent les différents approches
développés par les mathématiciens qui ont abordé l’étude de cette théorie pendant le XIXe siècle – les
approches logique, géométrique-différentielle, géométrique-projective, à travers les groupes de transformations.
Il s'agit de l’histoire officielle sur laquelle le candidat devra apporter un regard critique nouveau, en essayant de
comprendre quand l’histoire de la géométrie non euclidienne s’est cristallisée de cette manière et pour quelles
raisons. En relation avec ces questions, il y en a une autre centrale dans l’histoire de cette discipline et qui n’a
pas encore eu une véritable réponse : comment les mathématiciens qui n’appartenaient pas à l’élite
mathématique de l’époque ont perçu et jugé la nouvelle géométrie et, en particulier, quand et comment ont-ils
compris l’importance du modèle (dit de Beltrami-Klein-Poincaré) du plan hyperbolique et sa connexion avec le
problème de la cohérence de la théorie. Pour répondre à ces différentes questions il serait souhaitable que le
candidat analyse non seulement les travaux de recherche mais aussi les traités universitaires, la presse non
spécialisée et les livres de vulgarisation sur la géométrie non euclidienne parus à partir de la seconde moitié du
ème
19
siècle. Finalement, le candidat devra essayer de comprendre le statut de la géométrie non euclidienne
e
d’aujourd’hui dans les textes de mathématiques et de physique, et comment il a évolué de- puis le XIX siècle.
Pour sa recherche le candidat pourra aussi utiliser du matériel inédit, comme les lettres contenues dans
l’Académie Royale de Belgique à Bruxelles concernant la géométrie non euclidienne et la « démonstration » du
Vème postulat d’Euclide, les documents contenus dans l’archive Paul Mansion de la Bibliothèque de l’Université
de Gand et d’autres matériaux d’archive gardés dans l’Académie des Sciences de Paris et dans la Bibliothèque
de l’Ecole Normale Supérieure de Pise.
Références
L. Boi, L. Giacardi, R. Tazzioli, La découverte de la géométrie non euclidienne sur la pseudosphère, Paris,
Blanchard, 1998
R. Bonola, Non Euclidean Geometry, Carslaw, 1912
J. Gray, Ideas of Space: Euclidean, non-Euclidean and Relativistic, Clarendon, 1979
J.-C. Pont, L'aventure des parallèles. Histoire de la géométrie non euclidienne: précurseurs et attardés, 1989
B.A. Rozenfeld, A history of non-Euclidean geometry. Evolution of the concept of a geometrical space, 1988
R. Torretti, Philosophy of Geometry from Riemann to Poincaré, Reidel, 1978