Statistiques

Statistiques-Estimation
Vallon
1er mars 2015
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Table :
1
Echantillonnage
2
Estimation
3
Application : Sondages
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Echantillonnage
Une expérience :
Dans une boîte il y a 100 petits cartons. 40 de ces cartons ont une
marque bleue
On tire au hasard un carton de la boîte et on le remet dans la boîte.
On répète ceci 36 fois . On dit alors que l’on a réalisé un échantillon
de taille 36
Relativement à cet échantillon on calcule la fréquence des cartons
marqués.
Qu’observe-t-on ?
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Echantillonnage
L’expérience sera faite en classe et on réalisera 10 échantillons de taille 36.
Peut on prévoir les fréquences f1 , f2 , ..., f10 de ces échantillons ?
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Echantillonnage
Dans ce document on va faire une simulation à l’aide d’un programme
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Echantillonnage
(a) 100 echantillons taille 36
(b) 100 echantillons taille 100
La fréquence fluctue dans une bande centrée sur p = 0, 4
La largeur de la bande dépend de la taille de l’échantillon
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Echantillonnage
Théorème
1
1
95 % des fréquences f vérifient : p − √ 6 f 6 p + √
n
n
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Estimation
On ne connaît pas la valeur p d’une fréquence dans une population.
Comment estimer p à partir de la fréquence d’un échantillon de taille
n?
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Estimation
Théorème
Avec un risque de se tromper de 5%, p est encadrée par :
1
1
f −√ 6p6f +√
n
n
Démonstration.
D’après le théorème d’échantillonnage 95 % des fréquences f vérifient
1
1
p−√ 6f 6p+√
n
n
1
dans ce cas si on ajoute √ à chaque membre de l ’encadrement on
n
1
obtient p 6 f + √
n
1
et si on retranche √ à chaque membre de l ’encadrement on obtient
n
1
f −√ 6p
n
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Application : Sondages
Au cours des élections présidentielles de 2002, beaucoup de personnes
prévoyaient un second tour entre Jacques Chirac et Lionel Jospin
Pourtant un sondage réalisé par l’I.P.S.O.S le 17 avril (4 jours avant le
premier tour) auprès d’un échantillon représentatif de la population
française de 18 ans et plus inscrite sur les listes électorales donnait les
résultats suivants :
20 % pour Jacques Chirac, 18 % pour Lionel Jospin et 14 % pour J-M
Le Pen
Le 21 avril les résultats sont 19,88 % pour Jacques Chirac, 16,18 %
pour Lionel Jospin et 16,86% pour J-M Le Pen
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Application : Sondages
Calculons les encadrements au risque de 5%
1
1
6 p 6 0, 20 + √
⇐⇒ p ∈ [0, 168; 0, 232]
(JC) : 0, 20 − √
989
989
1
1
6 p 6 0, 18 + √
⇐⇒ p ∈ [0, 148; 0, 212]
(LJ) : 0, 18 − √
989
989
1
1
6 p 6 0, 14 + √
⇐⇒ p ∈ [0, 108; 0, 172]
(JMLP) : 0, 14 − √
989
989
Retenir : Faire +-3% sur la valeur donnée de l’institut de sondage
pour n= 1000
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