utilisation du cercle trigonométrique - MS.LP

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UTILISATION DU CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE
FICHE DE PRÉSENTATION
OBJECTIF(S)
Utiliser le cercle trigonométrique.
EXPLICITATION
Être capable à l'issue des travaux d'utiliser le cercle trigonométrique pour déterminer :
la valeur du sinus et du cosinus d'un angle ;
la mesure des angles connaissant la valeur de leur sinus ou cosinus.
PRÉ-REQUIS
Savoir utiliser le rapporteur.
Maîtriser la proportionnalité, l'interprétation d'un intervalle et la relation de Pythagore.
Savoir projeter un point sur un axe et utiliser un repère.
CONDITIONS
Traiter les exercices dans l'ordre proposé.
Traiter l'exercice 3 après la correction de l'exercice 2.
Traiter l'exercice 6 après la correction de l'exercice 5.
Prévoir une calculatrice, un rapporteur, un compas et une règle.
CRITÈRES DE RÉUSSITE
Exercice 1 : toutes les réponses justes (pour la formulation voir le professeur).
Exercice 2 : 1er tableau, trois bonnes réponses sur quatre ;
2e tableau, toutes les réponses exactes.
Exercice 3 : six valeurs exactes sur huit ;
et huit valeurs arrondies sur huit en lien avec les réponses trouvées.
Exercice 4 : six valeurs exactes sur huit.
Exercice 5 : douze valeurs exactes sur seize.
Exercices 6 et 7 : Toutes les réponses justes.
Exercice 8 : quatre valeurs exactes sur six dont les deux premières.
CONSEILS
Faire les tracés avec soin.
Présenter clairement les réponses plus particulièrement pour les exercices 5 et 8.
1/1
FICHE DE FORMATION
FICHE DE FORMATION
FICHE DE FORMATION
1. Définition du cercle trigonométrique :
1.1. Son sens :
Short-Track
Sens giratoire
Écoulement de l'eau dans l'évier
Manège
Vélodrome
Roues à aubes
y Dans toutes ces situations les déplacements se font dans le même sens.
y Ce sens a été choisi comme sens trigonométrique.
Sens direct
1.2. Son rayon :
y Tous les cercles ont un rayon égal à "1".
1.3. Définition :
Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon "1" sur lequel le sens de déplacement est le
sens direct.
1/7
FICHE DE FORMATION
FICHE DE FORMATION
FICHE DE FORMATION
2. Angle orienté :
2.1. Radian :
2.1.1. La grande roue :
Elle est munie de nacelles.
Étude du déplacement de l'une d'elles.
1re Position
2e Position
y La nacelle se déplace de A en B en parcourant l'arc p
AB .
1re Position
2e Position
2.1.2. Définition :
L'angle α, qui intercepte un arc de cercle de longueur égale au rayon, a pour mesure un radian (1 rad).
2/7
FICHE DE FORMATION
FICHE DE FORMATION
FICHE DE FORMATION
2.1.3. Correspondance radian/degré :
¾ Un tour de roue :
Position initiale
Nombre de tours
1
Position finale
α (radian)
2π
Distance parcourue
2πR
α (degré)
360
¾ Radian/Degré :
α (en degré)
α (en radian)
30
45
π
π
6
4
60
π
3
Calcul de α, en radian, connaissant sa mesure en degré :
90
π
2
180
360
π
2π
Exemple :
360 60
=
α
2π
2π × 60
α=
360
α=
2.2. Angle orienté :
2.2.1. La roue tourne :
y Les touristes accèdent à la grande roue par la
plate-forme d'embarquement : E.
y La position de la nacelle 1 sur la roue se repère
par rapport à l'embarquement par un angle α.
y La nacelle 1 est à la plate-forme d'embarquement :
α = 0 rad
3/7
π
3
FICHE DE FORMATION
FICHE DE FORMATION
Texte
Schéma
y La nacelle 2 est à la plate-forme
d'embarquement.
(Les nacelles se remplissent ainsi
l'une après l'autre)
FICHE DE FORMATION
Angle (en rad)
α=
α=
π
4
π
4
9π
α=
4
y Un tour après dans le sens direct
α=
y Un tour après dans le sens indirect
π
4
α=−
+2π
−2π
7π
4
, Remarque : Dans les trois situations, la nacelle 1 occupe la même position. Cette position est
repérée par trois mesures différentes, exprimées en radian, du même angle α :
π
9π
7π
;
; −
4
4
4
4/7
FICHE DE FORMATION
FICHE DE FORMATION
FICHE DE FORMATION
2.2.2. Cas général :
¾ Un angle orienté possède plusieurs mesures :
α rad ;
(α + 2 π) rad ;
(α − 2 π) rad ;
(α + 4 π) rad ;
(α − 4 π) rad ;
…
…
¾ Mesure principale :
La mesure principale d'un angle orienté est la mesure qui appartient à l'intervalle ] −π ; π ].
Dans l'exemple de la page précédente, la mesure principale de α est
car
π
4
est compris entre − π et π alors que
3. Équations trigonométriques :
3.1. Situation : nacelle en position α =
π
4
rad :
9π
7π
est plus grand que π et −
est plus petit que − π.
4
4
π
3
L'occupant de la nacelle lâche son porte-monnaie qui tombe
verticalement au niveau de la plate-forme en C.
) Quel outil mathématique utiliser pour trouver exactement
la mesure de OC connaissant la valeur de l'angle α ?
3.2. Axe des sinus et des cosinus :
3.2.1. Interprétation mathématique :
On considère le cercle trigonométrique muni d'un repère
orthonormal.
OM = 1 (cercle trigonométrique)
Le point M est projeté sur les deux axes en C et S.
L'abscisse de M est égale à 0,5 ;
l'ordonnée de M est égale à 0,9.
cos α =
OC
OM
cos α = OC
sin α =
(car OM = 1)
OS
OM
sin α = OS
(car OM = 1)
La mesure de OC correspond à cos α.
La mesure de OS correspond à sin α.
Pour obtenir le cosinus d'un angle, il suffit de
projeter sur l'axe des abscisses.
Pour obtenir le sinus d'un angle, il suffit de
projeter sur l'axe des ordonnées.
On appelle cet axe, l'axe des cosinus.
On appelle cet axe, l'axe des sinus.
Remarque : En vérifiant à l'aide de la calculatrice, on trouve :
cos
π
3
= 0,5
sin
π
3
0,9
arrondi à 0,1
) Le porte-monnaie tombe en C qui se trouve au milieu du segment [OE].
5/7
FICHE DE FORMATION
FICHE DE FORMATION
FICHE DE FORMATION
3.2.2. Conclusion :
Dans un cercle trigonométrique, de centre O, muni d'un repère orthonormal, d'origine O, l'axe des
abscisses est l'axe des cosinus, l'axe des ordonnées est l'axe des sinus.
L'observation du cercle trigonométrique permet
de voir que les valeurs de sin α et de cos α sont
comprises entre −1 et 1.
−1 ≤ sin α ≤ 1
−1 ≤ cos α ≤ 1
3.3. Résolution d'équations trigonométriques :
3.3.1. Résolution d'équations du type : cos α = a :
Exemple : cos α = 0,5
Méthode de résolution :
) Placer le point C d'abscisse
0,5 sur l'axe des cosinus.
) Tracer le cercle trigonométrique et le repère.
) Tracer en C la droite parallèle à l'axe des
sinus ; elle coupe le cercle en deux points M et
P.
) Mesurer, en degré, les angles α 1 et α 2.
L'équation "cos α = 0,5" admet deux solutions sur l'intervalle ] −180° ; 180° ].
S = {−60° ; 60°}
6/7
FICHE DE FORMATION
FICHE DE FORMATION
FICHE DE FORMATION
3.3.2. Résolution d'équations du type : sin α = a :
Exemple : sin α = −0,6
Méthode de résolution :
) Placer le point S d'abscisse
−0,6 sur l'axe des sinus.
) Tracer le cercle trigonométrique et le repère.
) Tracer en S la droite parallèle à l'axe des
sinus ; elle coupe le cercle en deux points N et
R.
) Mesurer, en degré, les angles α 1 et α 2.
L'équation "sin α = −0,6" admet deux solutions sur l'intervalle ] −180° ; 180° ].
S = {−143° ; −37°}
4. Relations trigonométriques :
Dans le triangle OCM rectangle en C, on
applique la relation de Pythagore :
OM 2 = OC 2 + CM 2
OM 2 = OC 2 + OS 2
(OS = CM)
L'observation de la figure permet d'écrire :
OM = 1
OC = cos α
OS = sin α
donc
7/7
12 = (cos α)2 + (sin α)2
1 = cos2α + sin2α
FICHE D'ENTRAÎNEMENT
C2
C3
1. Parmi ces cercles :
C1
C4
C5
1.1. identifier le cercle trigonométrique : …………………………………………………………….
1.2. repérer, par une croix, "les erreurs" sur les quatre autres cercles puis les modifier pour obtenir
des cercles trigonométriques.
Le cercle
n'est pas un cercle trigonométrique car
……………… …………………………………………………………………………………….
……………… …………………………………………………………………………………….
……………… …………………………………………………………………………………….
……………… …………………………………………………………………………………….
2. Compléter les tableaux de proportionnalité :
π
Angle
−
(en radian)
3
Angle
…….
(en degré)
π
π
12
8
15
3π
10
…….
……. ……. 360
Angle exact
(en radian)
−
π
π
π
3
12
8
3π
10
…….
Angle arrondi
à 0,01
……. 0,26 ……. ……. 6,28
(en radian)
1/4
3. Donner, en radian, pour les angles suivants, la valeur exacte et la valeur arrondie à 0,1.
Angle
140
420
17
135
−30
−60
−210
−720
(en degré)
Valeur exacte
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
(en radian)
Valeur arrondie à 0,1
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
(en radian)
Écrire le calcul dans le cas suivant :
140 °
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
4. Convertir, en degré, et arrondir à l’unité :
π
π
Angle
−
1
0,25
− 0,3
−4π
− 42
5π
(en radian)
15
20
Valeur arrondie
………. ………. ………. ………. ………. ………. ………. ……….
à l'unité
(en degré)
Écrire le calcul dans les cas suivants :
π
rad
15
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
0,25 rad
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
2/4
5. Déterminer la mesure principale des angles suivants :
Angle
(en degré)
Mesure principale
(en degré)
Angle
(en radian)
Mesure principale
(en radian)
140
420
17
135
−30
−60
−210
−720
………. ………. ………. ………. ………. ………. ………. ……….
π
15
0,25
5π
1
−
π
20
− 0,3
−4π
………. ………. ………. ………. ………. ………. ……….
− 42
1,98
6. Tracer dans le cercle trigonométrique l'angle correspondant :
ϕ = −0,3 rad
α = 140 °
β=−
π
6
rad
θ = 5 π rad
7. Déterminer graphiquement le cosinus et le sinus des angles tracés, arrondir à 0,1 :
cos α = ………
sin α = ………
cos α = .…………
sin α = ..…………
cos α = ……………
sin α = ……………
3/4
cos α = ……………
sin α = ……………
8. Résoudre, en utilisant le cercle donné, les équations suivantes dans l'intervalle ] −π ; π ] :
c
cos x = − 0,2
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
e
cos ϕ = 1
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
g
cos θ = 0
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
d
sin t = 0,45
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
f
sin y = − 1
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
h
sin β = 2
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
4/4
FICHE AUTO-CORRECTIVE
C2
C3
1. Parmi ces cercles :
C1
C4
C5
1.1. identifier le cercle trigonométrique : C 5
1.2. repérer, par une croix, "les erreurs" sur les quatre autres cercles puis les modifier pour obtenir
des cercles trigonométriques.
Le cercle
n'est pas un cercle trigonométrique car
C1
la mesure de l'angle n'est pas égale à 45° mais à (−45°)
C2
le rayon du cercle n'est pas égal à 1
C3
le sens de rotation n'est pas le sens direct
C4
Le sens de rotation n'est pas indiqué
2. Compléter les tableaux de proportionnalité :
π
Angle
−
(en radian)
3
Angle
(en degré)
−60
π
π
8
3π
10
2π
12
15
22,5
54
360
Angle exact
(en radian)
−
π
π
π
3
12
8
3π
10
2π
Angle arrondi
à 0,01
−1,05 0,26 0,39 0,94 6,28
(en radian)
1/4
3. Donner, en radian, pour les angles suivants, la valeur exacte et la valeur arrondie à 0,1.
Angle
(en degré)
Valeur exacte
(en radian)
Valeur arrondie à 0,1
(en radian)
140
420
17
135
−30
−60
7
π
9
7
π
3
17
π
180
3
π
4
1
− π
6
−
2,4
7,3
0,3
2,4
−0,5
−210
−720
1
π
3
−
7
π
6
−4π
−1
−3,7
−12,6
− 0,3
−4π
− 42
− 17
− 720
− 2406
Écrire le calcul dans le cas suivant :
140 °
360 140
=
2π
x
x × 360 = 2 π × 140
x=
2 × 140
π
360
x=
après simplification :
x=
soit
7
π
9
7
π rad (valeur exacte)
9
7 × 3,14...
2,44
9
soit
2,4 rad (valeur arrondie)
4. Convertir, en degré, et arrondir à l’unité :
Angle
(en radian)
Valeur arrondie
à l'unité
(en degré)
π
15
12
0,25
5π
1
14
900
57
−
π
20
−9
Écrire le calcul dans les cas suivants :
π
rad
15
0,25 rad
π = 180
360
x
=
0, 25
2π
π
180
=
15
15
x=
360 × 0, 25
2π
x=
= 12
90
2π
x = 14,3
soit 12 °
soit 14 °
2/4
5. Déterminer la mesure principale des angles suivants :
Angle
(en degré)
Mesure principale
(en degré)
140
420
17
135
−30
−60
−210
−720
140
60
17
135
− 30
− 60
150
0
− 0,3
−4π
− 42
− 0,3
0
1,98
−210 = −360 + x
x = −210 + 360
x = 150
Mesure principale 150°
420 = 360 + 60
Mesure principale 60°
π
Angle
(en radian)
Mesure principale
(en radian)
15
π
15
0,25
5π
1
0,25
π
1
−
π
20
π
−
20
5π=4π+π
Mesure principale π
6. Tracer dans le cercle trigonométrique l'angle correspondant :
α = 140 °
ϕ = −0,3 rad
− 17 °
− 30 °
β=−
π
6
180 °
rad
θ = 5 π rad
7. Déterminer graphiquement le cosinus et le sinus des angles tracés, arrondir à 0,1 :
cos α = 0,5
sin α = 0,8
cos α = 0,7
sin α = − 0,7
cos α = − 0,5
sin α = 0,8
3/4
cos α = − 0,5
sin α = − 0,8
8. Résoudre, en utilisant le cercle donné, les équations suivantes dans l'intervalle ] −π ; π ] :
.
c
cos x = − 0,2
x1 = 102°
S = {−
e
d
x2 = −102°
102
102
π;
π}
180
180
sin t = 0,45
t1 = 27°
S={
cos ϕ = 1
ϕ=0
f
S = {0}
t2 = 153°
27
153
π;
π}
180
180
sin y = − 1
π
y=−
2
S = {−
g
cos θ = 0
π
θ1 =
2
θ2 = −
S = {−
π π
; }
2 2
π
2
h
π
}
2
sin β = 2
sin β > 1
donc β n'existe pas
S={}
4/4

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