Cours et exercices - LAMFA - Université de Picardie Jules Verne

S5 Info-MIAGE 2011-2012
Mathématiques Financières
Les bases de l’évaluation des investissements
Université de Picardie Jules Verne
UFR des Sciences
Année 2011-2012
Licence mention Informatique parcours MIAGE - Semestre 5
Mathématiques Financières
LES BASES DE L’EVALUATION DES INVESTISSEMENTS
Les professionnels de la finance sont quotidiennement confrontés à des problèmes d’évaluation,
concernant aussi bien des actifs financiers (actions, obligations, ...) que des actifs réels matériels (immeubles
terrains, ...) ou immatériels (brevets, marques, capital humain, ...). Ces problèmes interviennent régulièrement,
par exemple dès qu’une entreprise établit son bilan, ou ponctuellement, par exemple pour une opération
d’investissement ou d’acquisition d’une autre entreprise. La plupart des techniques d’évaluation repose sur la
technique de l’actualisation. La théorie de la finance nous apprend en effet que la valeur d’un actif est égale à
la somme des flux de profit futurs actualisés.
Ce chapitre est une introduction à l’évaluation des investissements. Il montre que la mathématique
financière est l’instrument privilégié du décideur d’une entreprise. Une connaissance claire et crtitique des
méthodes actuarielles de choix d’investissement est alors utile.
I - Les critères d’évaluation des investissements
D’un point de vue financier, l’analyse d’un investissement se réduit à l’analyse de ses conséquences
monétaires. A partir d’un ensemble de flux répartis dans le temps, il faut prendre la décision de lancer le
projet, ou au contraire d’y renoncer. Le plus souvent, on considère que la réalisation d’un projet implique un
décaissement initial en date 0, noté I 0 , et que son exploitation engendre des flux de trésorerie F 1 , F 2 , ..., F n en
date 1, ..., n. Ces flux sont généralement positifs (encaissements), mais il faudra considérer le cas où certains
d’entre eux sont négatifs (décaissements).
Pour décider, il faut disposer de méthodes permettant de mesurer l’impact du projet sur l’entreprise en
termes de création de valeur, en comparant les décaissements aux encaissements, sachant que ces flux sont
répartis dans le temps (souvent plusieurs années). Ces méthodes utilisent les procédés d’actualisation ou de
capitalisation des flux et vont permettre de comparer des montants monétaires datés. D’autres critères de
choix d’investissement existent (taux de rendement comptable, délai de récupération), qui ne reposent pas sur
ces techniques et qui peuvent conduire à des décisions discutables.
1) La valeur actuelle nette (VAN)
Pour actualiser des flux, il faut disposer d’un taux, appelé taux d’actualisation, et non plus taux d’intérêt,
dans la mesure où les opérations d’investissement ne donnent pas lieu au versement d’un intérêt contractuel.
Supposons dans un premier temps que ce taux est connu afin de définir la VAN.
Définition
Considérons un taux d’actualisation, noté r, exprimé en base annuelle et supposons que les flux
d’exploitation sont aussi annuels, en date 1 an, ..., n ans. La VAN est définie comme la valeur actualisée en
date 0 de l’ensemble des encaissements et des décaissements, soit
F1
F2
Fn
I0
V0 r
2
1 r
1
r n
1 r
La décision d’investissement dépend du signe de la VAN. Si V 0 est positif, l’investissement crée de la
valeur pour l’entreprise, et est donc intéressant. Lorsque la VAN est négative, il doit être rejeté.
La formule précédente s’applique à des flux annuels avec un taux annuel, mais aussi des flux de
périodicité quelconque pourvu que le taux retenu soit exprimé en taux équivalent et dans la même base que la
durée séparant les flux.
Exemple
Calcul de la VAN d’un investissement de coût initial I 0
Stéphane Ducay
1000 rapportant sur cinq ans les flux suivants :
1
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F1
F2
F3
F4
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F5
200 300 350 350 150
On a V 0 0. 12
1000
200
1 0.12
300
1 0.12
2
350
1 0.12
3
350
1 0.12
4
150
1 0.12
5
25. 60 , et de même,
V 0 0. 10
24. 91. Avec un taux de 12 %, la VAN est négative et le projet n’est pas intéressant. Si le taux
d’actualisation à retenir est de 10 %, alors le projet crée de la valeur.
Voir aussi l’exercice 1.
Taux d’actualisation et taux d’intérêt psychologique
Le taux d’actualisation peut être interprété comme permettant de quantifier le rapport d’échange entre des
revenus monétaires survenant à des dates différentes. Considérant la date 0 et une date future T, et supposons
qu’un agent économique soit disposer à échanger un capital C 0 versé en date 0 contre un capital C T versé en
date T. On suppose C T C 0 0. on peut donc toujours écrire
CT
1
, avec
0.
C0
présente les propriétés d’un taux d’intérêt. Cette variable caractérise la façon dont un agent économique
déprécie le futur. On appelle donc un taux d’intérêt psychologique. Il peut varier en fonction des individus,
des durées ou encore des montants engagés. Il permet aussi de prendre en compte le risque du projet ou
l’inflation anticipée. Lorsque la décision d’investir se fait en dehors de toute contrainte concurrentielle, le taux
d’actualisation et le taux d’intérêt psychologique sont égaux. On analyse également le taux d’actualisation
comme une mesure du degré de préférence pour le présent (ou de dépréciation du futur). Plus le taux est
élevé, plus les flux futurs sont dépréciés, et donc plus grande est la préférence pour le présent.
L’expérience montre que le taux est souvent une fonction du terme annoncé (illustration dans l’exercice
4). On peut donc considérer que l’expression de la VAN est réservée au cas particulier d’un taux
d’actualisation constant quelle que soit l’échéance. Une expression plus générale de la VAN serait donc
F1
F2
Fn
V0 r1, r2, . . . , rn
I0
2
1 r1
1
rn n
1 r2
Dans cette expression, chaque flux est actualisé à un taux dépendant de la date d’occurence de ce flux. Cette
méthode d’évaluation est similaire à celle retenue pour calculer la valeur de marché d’une obligation dans
laquelle les flux sont actualisés à l’aide des taux zéro-coupon (non abordé dans ce cours).
Cette dernière expression est plus précise, mais moins facile à mettre en oeuvre car il faut déterminer
autant de taux d’actualisation qu’il y a de flux.
2) Le taux de rendement interne (TRI)
Dans sa définition financière, un projet d’investissement se réduit à un échéancier d’encaissements et de
décaissements. Dans le chapitre précédent, nous avons travaillé sur des chroniques de flux afin de déterminer
des taux effectifs. Appliquée à un projet d’investissement, cette méthode permet de définir le TRI, encore
appelé TIR (taux interne de rentabilité).
Définition
Le TRI est un taux effectif. Il est défini comme le taux actuariel qui égalise la valeur actuelle des
encaissements et des décaissements. En le notant x, on a donc
F1
F2
Fn
I0
1 x
1 x n
1 x 2
En considérant la VAN, on a donc V 0 x
0. Le TRI se définit donc également comme le taux
d’actualisation qui annule la VAN.
Le problème de la détermination du TRI x est analogue à celle d’un taux effectif (voir chapitre précédent).
Le TRI et la décision d’investir
Il n’est pas nécessaire de disposer d’un taux d’actualisation pour calculer un TRI. Cependant, la décision
d’investir ou de ne pas investir nécessite que l’on connaisse le taux d’actualisation requis par l’investisseur,
afin de le comparer au TRI obtenu. Pour montrer cela, partons du critère de la VAN et considérons deux taux
d’actualisation r a et r b différents et tels que
V0 ra
0 et V 0 r b
0
Stéphane Ducay
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Les bases de l’évaluation des investissements
Si la VAN est une fonction strictement décroissante du taux d’actualisation, le TRI se situe à l’intersection
de la courbe de la VAN et de l’axe des abscisses. Notons r le taux d’actualisation retenu par l’investisseur. Si
la VAN est positive, alors r
x ; si la VAN est négative, alors r
x.
Autrement dit, sous l’hypothèse d’une VAN strictement décroissante, la règle de selection d’un projet
d’investissement, compte tenu du taux d’actualisation r retenu par l’investisseur, est :
- si x r , alors la VAN est positive et le projet est intéressant ;
- si x r , alors la VAN est négative et le projet est à rejeter.
II - Analyse critique de la VAN et du TRI
Les deux critères de la VAN et du TRI reposent sur des définitions simples et ne présentent, à première
vue, pas de difficultés d’application particulières. En fait, ce n’est pas tout à fait le cas.
1) Divergence possible entre VAN et TRI
Malgré la proximité de leur définition, il peut arriver que l’application du critère de la VAN et du critère
du TRI ne conduisent pas à la même décision lors de la comparaison de deux projets alternatifs.
Considérons par exemple deux projets mutuellement exclusifs A et B dont les courbes d’évolution de la
VAN en fonction du taux d’actualisation sont représentées ci-dessous.
Le taux d’actualisation requis sur ces projets est noté r Compte tenu de la définition du TRI (valeur qui
annuel la VAN), r a et r b sont les TRI respectifs des projets A et B. Ils ont tous les deux supérieurs à r , ce qui
signifie que les deux projets sont créateurs de valeur. Le fait qu’ils soient mutuellement exclusifs oblige
l’entreprise à choisir. Puisque r a r b , le projet B doit être préféré au projet A selon ce critère. Si l’on se réfère
au calcul de la VAN au taux r , on s’aperçoit que la VAN du projet A est supérieure à celle du projet B, et
donc A doit être préféré à B.
Les deux critères conduisent donc à des choix différents, et les mathématiques financières ne permettent
pas de choisir. C’est la théorie microéconomique qui permet de le faire en disant que pour maximiser la
satisfaction des actionnaire, il faut maximiser la VAN plutôt que le TRI.
Stéphane Ducay
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2) L’impact de flux négatifs
Dans le chapitre précédent, on a déjà évoqué l’existence et l’unicité d’une solution à l’équation du taux
effectif. Le cas du TRI de projets d’investissement est plus complexe dans la mesure où la série de flux à
actualiser peut prendre des formes variées, et en particulier faire apparaître des alternances d’encaissements et
de décaissements.
Exemple
Considérons un projet d’investissement dans un complexe d’exploitation minier. L’acquisition de ce
complexe se ferait à 1 500 et permettrait de produire des flux annuels d’exploitation constants sur vingt ans,
d’un montant de 800. Dans la détermination des flux, il convient de prendre également en compte les coûts
d’entretien, qui se montent à 3 000 tous les cinq ans. Enfin, au bout de vingt ans, le gisement sera épuisé et le
contrat prévoit la restauration du site dont le coût est évalué à 8 000.
Calcul de la VAN au taux d’actualisation de 6%
Notons x le taux d’actualisation. La VAN de ce projet peut être décomposée en plusieurs parties :
- la valeur actuelle des flux d’exploitation qui forme une rente constante sur 20 ans :
1 1 x 20
A 800
x
- la valeur actuelle des décaissements d’entretien du site qui forme une rente des trois flux constants
espacés de 5 ans ; en notant X
1 x 5 1 le taux équivalent de période 5 ans, on obtient :
1 1 X 3
1 1 x 15
B
3 000
3 000
X
1 x 5 1
- la valeur actuelle des autres flux (décaissement initial et frais de remise en état du site) :
8 000
C
1 500 8 000 1 x 20
1 500
1 x 20
L’expression de la VAN du projet en fonction du taux x est donnée par A B C, soit :
8 000
1 1 x 20
1 1 x 15
V0 x
1 500 800
3
000
x
5
1 x
1
1 x 20
Pour un taux d’actualisation de 6 %, nous avons une VAN de 12. 75 0. Plus généralement, la forme de
cette courbe pour des taux d’actualisation positifs est représentée sur le graphique ci-dessous.
VAN
400
200
0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
-200
On peut vérifier que la VAN maximum 433.88 est obtenue pour un taux d’actualisation 12.89 %, qu’elle
est croissante sur l’intervalle 0 , 0. 1289 et décroissante sur l’intervalle 0. 1289 ,
.
Calcul du ou des TRI du projet
En résolvant l’équation V 0 x
0, on trouve deux solutions : 5.92 % et 31.06 %. Il y a donc deux TRI.
Cet exemple montre que la VAN peut prendre des formes variées, entraînant l’existence de TRI multiples,
qui de ce fait deviennent difficilement interprétables. Il met en doute la possibilité d’appliquer ces critères à
tout type de projets. Une amélioration des méthodes d’évaluation financière de projets d’investissement est
possible. Nous n’en abordons que quelques aspects dans la suite.
3) La prise en compte d’un taux de placement
Rappelons que l’emploi des techniques actuarielles suppose qu’il est possible de réinvestir les revenus au
taux d’actualisation. Cette hypothèse affecte autant le TRI que la VAN. On peut contourner ce biais en
modifiant la définition de ces deux critères afin de prendre en compte des possibilités futures de
réinvestissement des flux positifs. Retenons le taux d’actualisation noté r et analysons un projet de coût initial
I 0 dont l’exploitation est prévue sur n années.
Stéphane Ducay
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Tous les flux d’exploitation sont positifs
On suppose que les flux F i sont positifs pour i 1, . . . , n. On estime que ces flux pourront être réinvestis
sur le marché financier au taux t. Chaque flux va donc pouvoir être capitalisé à ce taux t jusqu’à l’échéance.
On obtient donc en date n la valeur capitalisée :
F1 1 t n 1 F2 1 t n 2
Fn
On peut alors calculer la VAN et le TRI par rapprochement de la valeur acquise de ces flux et du
décaissement initial I 0 . On obtient pour la VAN :
V 0 r, t
I0
F1 1 t n 1 F2 1 t n 2
Fn
1 r n
formule que l’on simplifie en notant F la valeur capitalisée des flux en date n (expression entre crochets)
F
I0 F 1 r n
I0
V 0 r, t
1 r n
F
Pour le taux de rendement, noté y, l’équation à résoudre est V 0 y, t
0, soit I 0
0, ce qui
1 y n
donne
1
F n 1
I0
Le taux y ainsi calculé est appelé taux de rendement à l’échéance (TRE). Voir exercice 5.
y
Cas flux d’exploitation négatifs
Il se peut que certains flux d’exploitation soient négatifs ; ceux-ci ne peuvent donc pas être placés et
doivent être financés. On retient comme taux de financement le coût moyen pondéré du capital (CMPC, non
défini dans ce cours). Dans ce cas, la démarche d’évaluation consiste à constater à chaque fin de période si les
flux cumulés et capitalisés sont positifs ou négatifs. Le taux de capitalisation à retenir est le taux de
financement pour les flux négatifs et le taux de placement pour les flux positifs. On obtient ainsi une valeur
acquise en fin de vie que l’on pourrait appeler valeur acquise nette.
Exemple
Un investissement exploitable sur cinq ans donne lieu à la séquence de flux suivants
Dates (années)
Flux
0
1
10 000 1 000
2
3
4
5
2 000 7 000 7 000 5 000
Le taux de financement de l’entreprise est de 6 %. Les excédents de trésorerie peuvent être placés à 4 %.
En date 1, ayant financé son décaissement initial au taux de 6 %, l’entreprise présente une dette de
10 000 1. 06 10 600
Elle affecte le flux 1 à ce remboursement et ne doit plus que 9 600, montant qui doit être financé jusqu’en
date 2. Le solde à cette date de l’opération de financement et du flux 2 (négatif) donne une dette de
9 600 1. 06 2 000 12 176
En date 3, la dette devient : 12 176 1. 06 7 000 5 906. 56
En date 4, l’entreprise se retrouve pour la première fois avec un excédant de trésorerie. En effet, sa dette
s’élève à 5 906. 56 1. 06 6 260. 95, qui peut être remboursé par le flux 4 de 7 000. Le solde de trésorerie
est positif, égal à 7 000 6 260. 95 739. 05, et peut être placé à 4 %.
En date 5, la valeur acquise nette du projet est
739. 05 1. 04 5 000 5 768. 61
Elle est positive ; le projet est donc intéressant.
On voit donc sur cet exemple que le calcul se fait période après période en capitalisant le solde de
trésorerie de l’investissemnt à un taux de financement ou de placement, selon qu’il est négatif ou positif.
Appliquée à l’exemple précédent (voir paragraphe II-2)), cette technique aurait conduit (avec des taux de 6 %
et 4 %) à une valeur acquise nette de 1 073 et donc à rejeter le projet.
Remarquons que le taux de placement futur est normalement inconnu au moment de l’analyse du projet.
En faisant l’hypothèse que les taux à terme implicites à la structure des taux (non définis dans ce cours)
constituent des estimateurs des taux futurs, il est possible de les utiliser comme taux de placement pour le
calcul de la valeur acquise des flux.
Stéphane Ducay
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III - Exercices
Exercice 1
Un particulier étudie la possibilité d’investir dans l’achat d’un appartement à usage locatif. Le prix d’achat
est de 120 000 €. Les loyers sont versés trimestriellement à raison de 2 340 € pendant les trois premières
années et 2 460 € les années suivantes. Le particulier envisage de revendre l’appartement au bout de six ans
en réalisant une plus-value de 10 %.
Cet investissement est-il intéressant si le taux d’actualisation requis pour cette opération est de 8 % en
base annuelle ?
Exercice 2 - QCM
Une entreprise envisage d’investir un million d’euros afin de rendre plus performante l’une de ses chaînes
de production. On estime que les flux d’exploitation supplémentaires générés par cet investissement,
comptabilisés à la fin de chaque année, seront de 130 000 € par an pendant dix ans, puis nuls ensuite. Pour un
taux d’actualisation de 4%, la valeur actuelle nette (VAN) de cet investissement est, à 100 € près :
a) 52 000 €
b) 54 400 €
c) 300 000 €
d) 560 800 €
Exercice 3 - QCM
Un investissement de 90 000 € est réglé à la date 0. Les flux annuels d’exploitation prévus sont les
suivants :
Dates
1
2
3
4
5
6
Revenus 15 000 20 000 30 000 20 000 10 000 5 000
Le taux de rendement interne (TRI) de cet investissement est :
a) 6 %
b) 17 %
c) 3, 4 %
d) 3, 55 %
Exercice 4
1) Un particulier est disposé à échanger 10 000 € aujourd’hui contre 15 000 € dans trois ans ou 25 000 €
dans cinq ans. Quel est son taux d’intérêt psychologique à trois ans ? à cinq ans ? Les résultats seront
exprimés en taux annuels équivalents.
2) Serait-il disposé à engager un projet d’investissement qui le conduirait à investir 5 000 € en date 0,
sachant que cet investissement lui rapporterait 4 000 € dans trois ans et 5 800 € dans cinq ans ?
Exercice 5
1) Un projet d’investissement de coût initial 600 rapporte des flux d’exploitation annuels constants égaux
à 100 pendant dix ans. Ce projet est analysé en retenant un taux d’actualisation de 8 %. Calculer la VAN. Le
projet est-il intéressant ?
2) On suppose que les flux d’exploitation peuvent être réinvestis sur le marché financier au taux de 5 %.
Calculer dans ces conditions la VAN et le TRE.
Exercice 6
On considère deux projets d’investissement immobiliers A et B de même durée de vie : dix ans. Les
données projetées sur dix ans sont les suivantes :
A
B
Loyers annuels constants
13
10
Prix d’achat de l’immeuble
100
90
Prix de revente en fin de période 120 135
1) Calculer le TRI de ces deux projets. Quel projet doit être retenu ?
2) Calculer les TRE des deux projets en supposant que le taux de réinvestissement des loyers perçus reste
constant sur les dix ans, à 4 %. Commenter.
Stéphane Ducay
6