Value at Risk avec Options

Value at Risk avec Options
Daniel Herlemont
3 juin 2012
Table des matières
1 Introduction
1
2 Delta
2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Utilisation du delta dans le calcul de la Value at Risk . . . . . . . . . . . . .
2
2
4
3 Gamma
3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Utilisation du gamma dans le calcul de la Value at Risk . . . . . . . . . . . .
5
5
6
4 Simulation de Monte Carlo
7
5 Etude de cas
5.1 Vente d’un call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Le Straddle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Options multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
9
11
6 code R
13
1
Introduction
En présence d’options, les rendements d’un portefeuille ne sont plus linéaires.
Dans la suite, différentes techniques sont examinées :
1
2 DELTA
ˆ La méthode dite ”delta-normale” : le delta d’une option permet d’effectuer un approximation linéaire du payoff d’une option, les variations d’une portefeuille d’options
s’expriment alors linéairement en fonction des variations du sous jacents, il suffit alors
d’utiliser les modèles de risques (et volatilité) du sous jacent pour obtenir directement
la Value at Risk du portefeuille d’options.
ˆ La méthode dite ”Delta-Gamma”. La méthode linéaire peut s’avérer insuffisante dans
le cas de fortes variations du sous-jacent, ce qui est généralement le cas lorsqu’on
s’interesse aux queues de distribution. On peut alors utiliser, le Gamma d’une option
donnant une approximation au second ordre en fonction de la variation du sous jactent.
ˆ La méthode de Monte Carlo. Dans certains cas, plus complexes, tels que des portefeuilles contenant des options exotiques ou des stratégies complexes a base d’options,
il est nécessaire d’”effectuer une valuation ”complète” du portefeuille par des méthodes
de simulation.
2
2.1
Delta
Définition
Rappelons le prix d’une option dans le modèle de Black Scholes Merton (BSM) :
√
c = SΦ(d) − e−rT KΦ(d − σ T )
(1)
avec Φ la fonction de répartition d’une normale centrée réduite et
d=
ln(S/K) + T (r + σ 2 /2)
√
σ T
(2)
avec S le prix du sous jacent, K le strike, T la maturité, r le taux sans risque, σ la volatilité.
Le delta est défini par
∂c
δ=
∂St
Connaissant le detla, le prix de l’option peut être approché par
c(S) = c(St ) + δ(S − St )
avec St le prix courant du sous jacent et S le prix hypothétique du sous jacent.
Daniel Herlemont
2
2 DELTA
Dans le cas d’un call un calcul rapide montre que
δ = Φ(d)
Le delta est compris entre 0 et 1.
Le prix d’un put se déduit du call par la parité put/call :
p = c + Ke−rT − St
On en déduit facilement le delta :
δ put = δ call = (Φ(d) − 1) = −Φ(−d)
Résultats attendus :
20
approximation linéaire par le delta
15
10
prix du call
5
0
A faire : Représenter le payoff d’un call ainsi
que l’approximation linéaire, pour une option d’achat à la monnaie, sur un sous-jacent
de volatilité 20%, de maturité 3 mois, et taux
sans risque de 4%. Le prix du sous jacent de
100 C. Calculer le delta.
valeur de l'option
approximation par le delta
payoff a échéance
80
90
100
110
120
prix sous−jacent
delta
0.4
0.0
0.2
Représenter le delta de cette option en
fonction du prix du sous jacent.
0.6
0.8
1.0
delta d'un call
60
80
100
120
140
prix sous−jacent
δ = 0.55962
Daniel Herlemont
3
2 DELTA
delta
0.4
0.2
Hors de la monnaie
A la monnaie
Dans la monnaie
0.0
Représenter le delta pour trois options
(strikes=95,100,105) pour différentes maturités allant de 1 à 500 jours (252 jours = 1
an).
Commentaire
0.6
0.8
1.0
delta en fonction de la maturité
0
100
200
300
400
500
maturite
2.2
Utilisation du delta dans le calcul de la Value at Risk
Considérons un portefeuille composé d’une seule option sur une action. La variation du
portefeuille en euros entre deux dates t et t + 1 est DV (Dollar Value)
DVt+1 = ct+1 − ct
Pour de failes variations et en utilisant le delta
ct+1 − ct ≈ δ(St+1 − St ) = δSt Rt+1
avec Rt+1 le rendement du sous jacent. D’ou
DVt+1 ≈ δSt Rt+1
Nota : détenir un portefeuille d’une option d’achat est équivalent à détenir un portefeuille
contenant δSt actions (principe de réplication).
En utilisant la méthode du delta, la variance (en euros) du portefeuille est
2
2
σDV
= δ 2 St2 σt+1
On peut alors en déduire la VaR pour le niveau de confiance p (p = 0.01, par exemple)
V aR(p) = σDV Φ−1 (1 − p) = abs(δ)St σt+1 Φ−1 (1 − p)
avec Φ−1 la fonction quantile de la normale.
Daniel Herlemont
4
3 GAMMA
Dans le cas de plusieurs actifs et options, la variation du portefeuille est
X
DVt+1 ≈
δi Si,t Ri,t+1
i=1,n
et
2
=
σDV,t+1
X X
abs(δi )abs(δj )Si,t Sj,t σij,t+1
i=1,n j=1,n
3
Gamma
3.1
Définition
Dans le cas de fortes variations, l’approximation linéaire par le delta n’est plus suffisante. On
peut alors faire intervenir la dérivée seconde du prix de l’option par rapport au sous jacent,
le gamma de l’option :
∂ 2c
∂δ
=
(3)
γ=
∂St
∂St2
Dans ce cas, la variation de l’option pour la valeur S du sous jacent est approchée par
1
c(S) − c(St ) = δ(S − St ) + γ(S − st )2
2
(4)
Pour un call (ou un put) européen, le gamma se calcule facilement :
γ = γ call = γ put =
φ(d)
√
St σ T
(5)
avec
ln(S/K) + T (r + σ 2 /2)
√
σ T
et φ la densité d’une loi normale standard.
d=
1
2
φ(x) = √ e−x /2
2π
A faire :
ˆ Représenter le payoff d’un call ainsi que l’approximation quadratique, pour une option
d’achat à la monnaie, sur un sous-jacent de volatilité 20%, de maturité 3 mois, et taux
sans risque de 4%. Le prix du sous jacent de 100 C. Calculer le gamma.
Commentaires ?
Daniel Herlemont
5
3 GAMMA
ˆ Représenter le gamma de cette option en fonction du prix du sous jacent.
Commentaires ...
Résultats attendus :
approximation delta−gamma
gamma d'un call
80
90
100
prix sous−jacent
110
120
0.00
0
0.01
0.02
gamma
10
5
prix du call
15
0.03
20
0.04
call
delta−gamma
60
80
100
120
140
prix sous−jacent
γ = 0.039448
3.2
Utilisation du gamma dans le calcul de la Value at Risk
Considérons a nouveau un portefeuille composé d’options sur un même sous jacent, pour
differents strike et/ou maturités. En faisant intervenir le gamma, la variation en euros est :
1
2
(6)
DVP F,t+1 = δSt Rt+1 + γSt2 Rt+1
2
P
P
avec δ =
mj δj et γ = mj γj , mj le nombre d’options j dans le portefeuille.
Nota : même si on suppose que les rendement sont normalement distribué, l’expression
précédente montre que les rendements du portefeuille en tenant du gamma ne sont plus
normalement distribués.
On peut alors utiliser l’approximation de Cornish Fisher en faisant intervenir le moment
d’ordre 3.
1 2 2
µDV =
γS σ
(7)
2 t
1
2
σDV
= δ 2 St2 σ 2 + γ 2 St4 σ 4
(8)
2
9 2
δ γSt4 σ 4 + 15
γ 3 St6 σ 6 − 3(δ 2 St2 σ 2 + 34 γ 2 St4 σ 4 )µDV + 2µ3DV
8
ξDV = 2
(9)
3
σDV
(10)
Daniel Herlemont
6
5 ETUDE DE CAS
La VaR du portefeuille utilisant l’approximation delta gamma et de Cornish Fischer
s’ecrit sous la forme
1
V aR(p) = −µDV + (z − (z 2 − 1)ξDV )σDV
6
(11)
avec z = Φ−1 (1 − p) par exemple, z = 2.33 pour p = 0.99, (nota : Φ−1 (p) = −Φ−1 (1 − p) < 0)
Si on ne tient pas compte de l’asymétrie, la VaR se réduit à la VaR normale, avec µDV
et σDV
V aR(p) = −µDV + zσDV
(12)
4
Simulation de Monte Carlo
L’approximation delta gamma peut s’avérer insuffisante (par exemple dans le cas d’options
exotiques complexes avec des discontinuités) ou difficile a mettre en oeuvre (par exemple dans
le cas de plusieurs actifs). Dans ce cas, on peut utiliser la méthode dite d’évaluation globale
ou méthode de Monté Carlo. Dans cette méthode, on génère un échantillon suffisamment
grand (10 000 valeurs par exemple) pour le prix du sous jacent. On fait alors l’hypothèse
d’un modèle pour ces prix : modèle normal, etc ... on peut aussi utiliser des prix historiques
... Soient St+1,k le k ième prix. On calcule la valeur du portefeuille en utilisant ce prix du sous
jacent, on en deduit une variation DVt+1,k . Pour calculer la VaR avec le niveau de confiance
p, il suffit alors de prendre le quantile empirique des variations du portefeuille ainsi générées.
Cette méthode peut être généralisée dans le cas de plusieurs actifs. Elle devient rapidement
explosive en terme de calcul ...
5
Etude de cas
5.1
Vente d’un call
Afin d’illustrer ces différentes approches considérer un portefeuille d’une position courte
(vente) dans une option d’achat sur le SP500 en 2002.
Les données sont les suivantes :
ˆ prix du sous jacent St = 917.8
ˆ strike K = 925
ˆ maturité en jour T = 51
Daniel Herlemont
7
5 ETUDE DE CAS
ˆ taux d’intérêt journalier r = 0.0045205%
ˆ volatilité journalière σ = 1.5%
a faire : calculer la Value at Risk à 99% sur 10 jours de trading (soit 10 ∗ 365/252 = 14
jours calendaires) , en utilisant les différentes méthodes
ˆ delta normale
ˆ delta gamma (avec et sans l’approximation de cornish fisher)
ˆ Monté Carlo. On représentera également l’histogramme des variations du portefeuille
que l’on comparera a l’histogramme (gaussien) des variations du sous jacent.
Conclusions ?
Résultats attendus
ˆ prix du call c = 36.829
ˆ d = 0.0021351
ˆ δ = 0.50085 du call, et pour le portefeuille : −1 ∗ δ = −0.50085
ˆ γ = 0.0040577 du call et pour le portefeuille −1.γ = −0.0040577
Différentes estimations de la VaR à 99% à 10 jours de trading
ˆ Var Delta Normale = 61.048
2
ˆ Var Delta Gamma = 69.308 avec µDV = −5.5696 et σDV
= 750.68
ˆ Var Delta Gamma Cornish Fisher = 93.204 avec ξDV = −1.1861
ˆ Var Monte Carlo (la plus précise) = 91.817
Daniel Herlemont
8
5 ETUDE DE CAS
histogramme P&L
0.015
0.000
−80
0.005
0.010
Density
−40
−60
payoff
−20
0
0.020
payoff portefeuille
700
750
800
850
900
950
1000
−200
−150
S
−100
−50
0
P&L
Dans le cas présent, on pourrait exploiter le fait que la valeur du portefeuille est une
fonction décroissante du prix du sous jacent.
V (s) = f (Ss , T − s, ...)
avec f = −call
f étant décroissante, la VaR est atteinte pour la valeur du sous jacent correspondant au
quantile opSposé, c’est à dire, S ∗ tel que
P [S <= S ∗ ] = 99%
√
2
d’ou S ∗ = 917.8 ∗ e(r−σ /2)∗14+σ∗ (14)∗2.33 = 1045
et la VaR exacte s’en déduit comme étant
V aR = f (S0 , t) − f (S ∗ , t + 14)
Soit
V aR = −36.83 − −125 = 88.18
5.2
Le Straddle
Un straddle est une stratégie qui consiste à acheter un put et un call de même strike et
maturité. On peut aussi vendre un straddle. La vente d’un straddle vise a profiter des faibles
variations du marché, en revanche en cas de fortes variations (à la hausse ou à la baisse) les
pertes peuvent être tres élevées. Cette stratégie etait utilisée par Nick Leason sur le marché
future du Nikkei, un trader qui a conduit la Baring (la plus vieille banque d’Angleterre) a
une faillite retentissante.
Daniel Herlemont
9
5 ETUDE DE CAS
La vente d’un straddle possède un delta très faible voire nul. Il est donc clair que l’approche linéaire ne sera pas suffisante, contrairement au cas d’un positon simple. C’est ce que
nous nous proposons d’étudier dans l’exemple suivant.
Soit un portefeuille composé de 2 options, sur le même sous jacent. Les données sont les
suivantes :
ˆ prix du sous jacent St = 100
ˆ maturité en jour T = 28
ˆ taux d’intérêt annuel r = 2%
ˆ volatilité journalière σ = 1.5%
positions :
ˆ vente d’un à call au prix d’exercice de 100
ˆ vente d’un put au meme prix d’exercice de 100
a faire :
ˆ Calculer les prix, delta et gamma des différentes options ainsi que du portefeuille.
ˆ Représenter graphiquement
– le payoff du portefeuille en fonction du sous jacent.
– Superposer l’approximation linéaire en delta et l’approximation quadratique en
delta gamma
ˆ calculer la Value at Risk à 99% sur 10 jours de trading (soit 10 ∗ 365/252 = 14 jours
calendaires) , en utilisant les différentes méthodes
– Linéaire (delta normale)
– Quadratique (delta gamma simple et n tenant compte de l’asymétrie)
– Simulation de Monté Carlo
Conclusions ?
Résultats attendus
Daniel Herlemont
10
5 ETUDE DE CAS
type
strike position prix delta gamma
CALL
100
-1 3.27 0.527 0.0501
PUT
100
-1 3.05 -0.473 0.0501
et pour le portefeuille à la date t
ˆ la valeur du portefeuille est V P Ft = −6.3268
ˆ δ = −0.053963
ˆ γ = −0.10029
Différentes estimations de la VaR à 99% à 10 jours de trading
ˆ Var Delta Normale = 0.71665
2
= 5.4365
ˆ Var Delta Gamma = 7.0584 avec µDV = −1.6343 et σDV
ˆ Var Delta Gamma Cornish Fisher = 11.907 avec ξDV = −2.8281
ˆ Var Monte Carlo (la plus précise) = 8.6072
histogramme P&L
0.5
1.0
Density
−15
−20
Evaluation globale
Delta approx
Delta−Gamma approx
0.0
−25
Valeur portefeuille
−10
1.5
−5
payoff du portefeuille
80
90
100
110
Spot price
5.3
120
−20
−15
−10
−5
0
P&L
Options multiples
L’exemple précédent suggère que l’approximation quadratique fournit une précision suffisante. Nous allons considérer ici un portefeuille légèrement plus complexe qui illustre l’insuffisance de cette approximation.
Soit un portefeuille composé de 3 options, sur le même sous jacent. Les données sont les
suivantes :
Daniel Herlemont
11
5 ETUDE DE CAS
ˆ prix du sous jacent St = 100
ˆ maturité en jour T = 28
ˆ taux d’intérêt annuel r = 2%
ˆ volatilité journalière σ = 1.5%
positions :
ˆ vente d’un put à un prix d’exercice de 97
ˆ vente de 1.5 call à un prix d’exercice de 97
ˆ achat de 2.5 calls a un prix d’exercice de 105
a faire :
ˆ Calculer les prix, delta et gamma des différentes options ainsi que du portefeuille.
ˆ Représenter graphiquement
– le payoff du portefeuille en fonction du sous jacent.
– Superposer l’approximation linéaire en delta et l’approximation quadratique en
delta gamma
ˆ calculer la Value at Risk à 99% sur 10 jours de trading (soit 10 ∗ 365/252 = 14 jours
calendaires) , en utilisant les différentes méthodes
– Linéaire (delta normale)
– Quadratique (delta gamma simple et n tenant compte de l’asymétrie)
– Simulation de Monté Carlo
Conclusions ?
Résultats attendus
type
strike position prix delta gamma
PUT
97
-1 1.77 -0.326 0.0454
CALL
97
-1.5 4.98 0.674 0.0454
CALL
105
2.5 1.4 0.292 0.0433
et pour le portefeuille à la date t
Daniel Herlemont
12
6 CODE R
ˆ la valeur du portefeuille est V P Ft = −5.7422
ˆ δ = 0.045057
ˆ γ = −0.0052878
Différentes estimations de la VaR à 99% à 10 jours de trading
ˆ Var Delta Normale = 0.59838
2
ˆ Var Delta Gamma = 0.74829 avec µDV = −0.086163 et σDV
= 0.081009
ˆ Var Delta Gamma Cornish Fisher = 1.1052 avec ξDV = −1.7054
ˆ Var Monte Carlo (la plus précise) = 3.5893
histogramme P&L
1.5
1.0
Density
−5
Evaluation globale
Delta approx
Delta−Gamma approx
0.0
−15
0.5
−10
Valeur portefeuille
0
2.0
payoff du portefeuille
80
90
100
110
120
−10
−5
Spot price
6
>
>
>
>
+
+
>
+
+
0
5
10
15
P&L
code R
bs.CALL=1
bs.DELTA0=0
bs.PUT=-1
bs.d1=function(S,K,r,sigma,T) {
( log(S/K) + (r+sigma^2/2)*T ) / (sigma*sqrt(T))
}
bs.d2=function(S,K,r,sigma,T) {
bs.d1(S,K,r,sigma,T)-sigma*sqrt(T)
}
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13
6 CODE R
>
+
+
+
+
>
+
+
+
+
>
+
+
+
>
+
+
+
+
+
>
+
+
+
+
+
+
bs.price=function(type,S,K,r,sigma,T) {
if (type==bs.DELTA0) S
else if (type==bs.CALL) bs.call(S,K,r,sigma,T)
else bs.put(S,K,r,sigma,T)
}
bs.call=function(S,K,r,sigma,T) {
d1 = ( log(S/K) + (r+sigma^2/2)*T ) / (sigma*sqrt(T))
d2 = d1 - sigma*sqrt(T)
S*pnorm(d1)-exp(-r*T)*K*pnorm(d2)
}
bs.put=function(S,K,r,sigma,T) {
#p=c+K e^{-rT}-S_t
bs.call(S,K,r,sigma,T)+K*exp(-r*T)-S
}
bs.delta=function(type=bs.CALL, S,K,r,sigma,T) {
d1 = ( log(S/K) + (r+sigma^2/2)*T ) / (sigma*sqrt(T))
if (type==bs.DELTA0) 1
else if (type==bs.CALL) pnorm(d1)
else pnorm(-d1)
}
bs.gamma=function(type,S,K,r,sigma,T) {
if (type==bs.DELTA0) 0
else {
d1 = ( log(S/K) + (r+sigma^2/2)*T ) / (sigma*sqrt(T))
dnorm(d1)/(S*sigma*sqrt(T))
}
}
Daniel Herlemont
14