Théorie de la ruine

Modèle classique
Extensions
Modèle multi-branches
Théorie de la ruine
Esterina Masiello
Institut de Science Financière et d’Assurances
Université Lyon 1
Premières Journées Actuarielles de Strasbourg
6-7 octobre 2010
Esterina Masiello (ISFA)
Théorie de la ruine
Modèle classique
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Modèle multi-branches
En résumé...
Modèle classique de la théorie de la ruine
Quelques possibles extensions du modèle classique
Théorie du risque en multivarié
Esterina Masiello (ISFA)
Théorie de la ruine
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Qu’est-ce que c’est que la théorie de la ruine ?
La théorie de la ruine (également appelée théorie du risque)
concerne :
l’évaluation de probabilités de réalisations d’événements
défavorables pour une compagnie d’assurance;
différents problèmes d’optimisation:
allocation de réserve
stratégie de versement de dividendes ou d’imposition (au sens
de la fiscalité)
investissement dans des actifs risqués
programme de réassurance
...
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Comment décrire les richesses de la compagnie ?
INFLOW=premiums
− deterministic
− steady
− can be forecasted
LEVEL at time t
= initial reserves
+ accumulated premiums
− accumulated claims
OUTFLOW=claims
− stochastic, i. e. of random nature
− subject to fluctuations
− cannot be forecasted
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Modèle classique de la théorie du risque
N (t)
Rt = u + ct −
X
Xi
t≥0
i=1
u ≥ 0 montant initial des réserves de l’assureur
c > 0 taux instantané de prime
Xi montant du i-ème sinistre (v.a. i.i.d. de f.d.r. F )
N (t) processus de Poisson homogène (λ)
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Probabilité de ruine
Probabilité de ruine en temps infini:
ψ(u) = P inf Rt < 0|R0 = u
t≥0
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Probabilité de ruine (ctd.)
Probabilité de ruine en temps fini:
ψ(u, T ) = P
inf Rt < 0|R0 = u
0≤t≤T
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Mesures de risque
a) l’instant de ruine Tu = inf{t > 0, u + Xt < 0}, avec
Xt = ct − St ,
b) la sévérité de la ruine |u + XTu |, ou le couple (Tu , |u + XTu |),
c) le temps passé en-dessous de zéro entre la première ruine et le
0
0
rétablissement Tu − Tu , où Tu = inf{t > Tu , u + Xt = 0},
d) la sévérité de la ruine maximale (inf t>0 u + Xt )
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Mesures de risque
a) l’instant de ruine Tu = inf{t > 0, u + Xt < 0},avec
Xt = ct − St ,
b) la sévérité de la ruine |u + XTu |, ou le couple (Tu , |u + XTu |),
c) le temps passé en-dessous de zéro entre la première ruine et le
0
0
rétablissement Tu − Tu , où Tu = inf{t > Tu , u + Xt = 0},
d) la sévérité de la ruine maximale (inf t>0 u + Xt ),
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Mesures de risque
a) l’instant de ruine Tu = inf{t > 0, u + Xt < 0}, avec
Xt = ct − St ,
b) la sévérité de la ruine |u + XTu |, ou le couple (Tu , |u + XTu |),
c) le temps passé en-dessous de zéro entre la première ruine et le
0
0
rétablissement Tu − Tu , où Tu = inf{t > Tu , u + Xt = 0},
d) la sévérité de la ruine maximale (inf t>0 u + Xt ),
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Mesures de risque
a) l’instant de ruine Tu = inf{t > 0, u + Xt < 0}, avec
Xt = ct − St ,
b) la sévérité de la ruine |u + XTu |, ou le couple (Tu , |u + XTu |),
c) le temps passé en-dessous de zéro entre la première ruine et le
0
0
rétablissement Tu − Tu , où Tu = inf{t > Tu , u + Xt = 0},
d) la sévérité de la ruine maximale (inf t>0 u + Xt ),
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Mesures de risque
a) l’instant de ruine Tu = inf{t > 0, u + Xt < 0}, avec
Xt = ct − St ,
b) la sévérité de la ruine |u + XTu |, ou le couple (Tu , |u + XTu |),
c) le temps passé en-dessous de zéro entre la première ruine et le
0
0
rétablissement Tu − Tu , où Tu = inf{t > Tu , u + Xt = 0},
d) la sévérité de la ruine maximale (inf t>0 u + Xt ),
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Mesures de risque (ctd.)
e) la sévérité agrégée de la ruine jusqu’au rétablissement
R T0
J(u) = Tuu |u + Xt |dt
f) le tempsR total passé en-dessous de zéro
+∞
τ (u) = 0 1{u+Xt <0} dt
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Mesures de risque (ctd.)
e) la sévérité agrégée de la ruine jusqu’au rétablissement
R T0
J(u) = Tuu |u + Xt |dt
f) le tempsR total passé en-dessous de zéro
+∞
τ (u) = 0 1{u+Xt <0} dt
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Pour calculer ψ...
Pour le calcul de ψ, on dispose de:
Solutions exactes (modèle d’Erlang, ...)
Méthodes numeriques (Inversion de la transformée de Laplace,
équations différentielles et intégrales, ...)
Approximations (Modèle de Poisson composé, ...)
Bornes et inégalités → inégalité de Lundberg:
ψ(x) ≤ e−Rx
avec R le coefficient d’ajustement.
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Et dans le cas de distributions à queues lourdes...
Théorème. Si F s ∈ S, alors
lim
u→∞
ψ(u)
E(X)
=
s
cE(T
) − E(X)
F (u)
En particulier, lorsque la loi du montant de sinistre individuel est à
variation régulière, dans le modèle Poisson-composé, on a
ψ(u) ∼
λ
1
u−α+1
c − λµ α − 1
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Compromis pour la calculabilité
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Quelques extensions du modèle classique
Modèle de Sparre-Andersen : N(t) est un processus de
renouvellement (temps inter-sinistres i.i.d.)
processus ponctuels plus généraux
réassurance
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Quelques extensions du modèle classique (ctd)
modélisation de la composante d’investissement:
inflation
investissement sur le marché financiér
paiement de taxes
politique de versements de dividendes aux actionnaires
dépendance
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Politique de versement de dividendes
PN (t)
Soit X(t) = S(t) − ct (avec S(t) = i=1 Xi ). Le cumul des
dividendes versées jusqu’au temps t est
Lt = − inf {b − u + X(s)}−
0≤s≤t
Soit Z(t) = b − u + X(t) + L(t).
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Politique de versement de dividendes (ctd.)
Alors
Ub (t) = b − Z(t)
est le processus donné par la stratégie qui consiste à limiter
supérieurement le surplus de la compagnie à la valeur b en versant
sous forme de dividendes l’excès par rapport à b.
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Modulation par un processus d’environnement Markovien
Figure: Exemple d’un processus de risque modulé, avec deux états (rouge et
bleu) (source: Loisel (2010)).
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Probabilité de ruine et Solvabilité II
Le matelas de sécurité, appelé SCR (Solvency Capital
Requirement) devrait en théorie permettre d’atteindre un
niveau de sécurité correspondant à une probabilité de ruine à
horizon d’un an inférieure à 0.5%.
Dans une démarche (appelée ERM, Enterprise Risk
Management) de gestion globale des risques qui pésent sur
une entreprise, il est toutefois pertinent de considérer
conjointement les réserves propres à chaque branche d’activité
ou à chaque filiale. Cela conduit à s’intéresser à la fois à des
probabilités de ruine dans un cadre univarié et multivarié.
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Et en multivarié...
On considère d (d > 1) branches d’activité :
filiales différentes
secteurs d’activité différents
assurance santé
habitation
automobile
responsabilité civile
...
activités (différentes ou identiques) dans différents pays ou
régions
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Sources de corrélation entre branches
l’influence du climat, des marchés financiers, de la répression
et de la prévention routière, ou d’autres paramètres peuvent
avoir un impact sur la fréquence de sinistres. Cela correspond
à la modulation du processus d’arrivée des sinistres par un
processus représentant l’état de variables d’environnement
commun aux branches d’activité;
un événement unique peut induire des sinistres dans plusieurs
branches d’activités différentes. Le modèle le plus classique
pour prendre en compte cette éventualité est le modèle de
chocs communs de Poisson.
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Un peu de notation
Les montants des sinistres {Zk , k ≥ 1} forment une suite de
vecteurs aleatoires i.i.d. à valeurs dans IRd
Nt = #{n ≥ 1 : Tn ≤ t} est le nombre de sinistres survenus
jusqu’au temps t
T0 = 0,
Tn = W1 + · · · + Wn
où {Wk , k ≥ 1} est une suite de variables aleatoires i.i.d.
{Zk , k ≥ 1} est independent de {Wk , k ≥ 1}
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Le processus de renouvellement multivarié
Rt = ub + tp −
Nt
X
Zk
k=1
◦ u est le capital initial
◦ b:
b ∈ (0, 1]d et b(1) + · · · + b(d) = 1
◦ ub détermine l’allocation de capital aux différentes branches
(la branche j dispose du capital initial ub(j) )
◦ p ∈ (0, ∞)d est le taux de prime constant
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La probabilité de ruine multivariée selon Cai et Li (2007)

Ψsum (u, T ) = P ∃t ∈ [0, T ],
d
X

R(j) (t) < 0
j=1
Ψor (u, T ) = P (∃j ∈ [1, d],
∃tj ∈ [0, T ],
R(j) (tj ) < 0)
Ψand (u, T ) = P (∀j ∈ [1, d],
∃tj ∈ [0, T ],
R(j) (tj ) < 0)
∀j ∈ [1, d],
R(j) (t) < 0)
Ψsim (u, T ) = P (∃t ∈ [0, T ],
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La probabilité de ruine multivariée selon Hult et Lindskog (2006)
La ruine se vérifie si le processus de risque Rt frappe un ensemble
Fβ ⊂ IRd appellé ensemble ruine
ψd,Fβ (u) = P (Rt ∈ Fβ pour un t ≥ 0)
En univarié : F = (−∞, 0)
En multivarié, diverses possibilités...
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L’ensemble Fβ
Pour β = 0, les transferts de capitaux ne sont pas autorisés et
donc Ψd,F0 = Ψor
Pour β = 1, les transferts sont autorisés sans aucune
restriction et Ψd,F1 = Ψsum
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L’approche de Hult et Lindskog (2006)
Deux hypothèses clé:
possibilité de transférer du capital entre branche d’activité
Z est à variation regulière, i.e. il existe α > 0 et une mesure
de probabilité σ sur la sphère unité
Sd−1 = {x ∈ Rd : kxk = 1} telle que
lim
t→∞
P (kZk > zt, Z/ kZk ∈ S)
= z −α σ(S)
P (kZk > t)
∀z > 0 et ensemble de Borel S ⊂ Sd−1 avec σ(∂S) = 0.
σ est appelée mesure spectrale de Z.
La ruine se vérifie lorsque, malgré le transfert de capital, on
n’arrive pas à résoudre une situation négative dans une ou
plusieures branches d’activité.
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Une approximation de la probabilité de ruine multivariée
Hult et Lindskog (2006) ont demontré que si Z ∈ RV (α, µ) avec
α > 1 et si c = E(W )p − E(Z) ∈ (0, ∞)d (chaque branche
d’activité a un chargement de securité positif) et E(W γ ) < ∞,
γ > α, alors
Z ∞
ψd,F (u) ≈
µ(vc + b − F )dv u P (|Z| > u)
0
où µ est une mesure sur Rd \{0} liée à σ par
µ(z : |z| > r, z/|z| ∈ S) = r−α σ(S)
pour r > 0 et S ⊂ Sd−1 .
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Modèle de chocs communs de Poisson
Un événement unique peut induire des sinistres dans plusieurs
branches d’activités différentes (exemple: ouragan).
La partie “pertes en commun” :
N0,t
C0,t =
X
Z0,k
k=1
où Z0,k = aZ0,k = (a(1) Z0,k , · · · , a(d) Z0,k ) et a(j) ≥ 0.
La partie “spécifique” à une branche d’activité : les sinistres
arrivent à la branche j aux temps d’arrivée d’un processus de
Poisson (Nj,t )t≥0 avec intensité λj et Zj,k = σ (j) Z,
j = 1, . . . , d.
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Le processus du montant total des sinistres
Le processus du montant total des sinistres est donné par
Ct =
N0,t
N1,t
Nd,t
X
X
X
k=1
Z0,k +
Z1,k e1 + · · · +
k=1
Zd,k ed =
k=1
Nt
X
Zk
k=1
où Nt = N0,t + · · · + Nd,t est un processus de Poisson d’intensité
λ = λ0 + · · · + λd . De plus
d
Zk = Z0,1 δ0 (ξ) + Z1,1 e1 δ1 (ξ) + · · · + Zd,1 ed δd (ξ)
où ξ est indépendant de Z0,1 , Z1,1 , · · · , Zd,1 et P (ξ = k) =
pour k ∈ {0, . . . , d}.
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λk
λ
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La probabilité de ruine
Pour le modèle de chocs communs de Poisson, la probabilité de
ruine satisfait
ψd,F (u)
λ0 dα−1
λ c(α−1)
β
limu→∞ uP (Z>u)
=
−α
β(d−1)+1
+ 1 − λλ0
d
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1
dc(α−1)
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Conclusions
La théorie du risque est un domain de recherche important
Interaction avec de nombreuses branches des mathématiques
Liens vers d’autres disciplines (théorie des files d’attente,
finance, . . .)
mais...
complexité de calcul
trop peu de formules explicites
hypothèses du modèle trop simples.
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