Solutions_TS_chapitre_12

Corrigés
Chapitre 12 Échantillonnage et estimation
Avant de commencer
Réponses A et D.
p – 0,5  p – 0,4  p + 0,4  p + 0,5 donc l’intervalle [p – 0,4 ; p + 0,4]
est inclus dans l’intervalle [p – 0,5 ; p + 0,5].
De même, p – 0,8  p – 0,4  p + 0,4  p + 0,8 donc l’intervalle
[p – 0,4 ; p + 0,4] est inclus dans l’intervalle [p – 0,8 ; p + 0,8].
Les deux autres intervalles sont inclus dans [p – 0,4 ; p + 0,4].
1
2 Réponse D.
L’amplitude de cet intervalle est :
f+ 1 − f− 1 = 2 =1.
10
10
10 5
3 Réponse D.
1
1
 0,005 équivaut à n  0,005 soit n  200, soit encore
n
n  2002, soit n  40 000.
Puisque n est entier, les solutions sont les entiers de l’intervalle
[40 001 ; + [.
(
) (
)
4 Réponse C.
La calculatrice fournit :
P (X  14) ≈ 0,021 et P (X  15) ≈ 0,039.
Le plus petit entier a tel que P (X  a)  0,025 est donc 15.
Réponse D.
P (–a  X  a) = 2P (X  a) – 1 = 2φ (a) – 1.
P (–a  X  a) = 0,80 ⇔ 2φ (a) – 1 = 0,8 ⇔ φ (a) = 0,9.
La calculatrice donne a ≈ 1,28 (commande InvN pour Casio, ou
FracNormale pour Texas).
5
6 Réponse C.
P (µ – 1,96σ  X  µ + 1,96σ) ≈ 0,95, d’après le chapitre précédent
(cours sur les intervalles « un, deux, trois sigma », page 332).
7 Réponse B.
C’est un résultat du cours du chapitre 11 (page 332).
8 L’inéquation équivaut à n . 2 × 10 3, soit n  160 000.
5
Les solutions sont tous les entiers au moins égaux à 160 001.
9 Soit X la variable aléatoire égale au nombre de fois où on obtient la
face numéro 1 : X suit la loi binomiale de paramètres n = 60 et p = 1
6
car l’expérience aléatoire « on lance un dé » se répète 60 fois de façon
identique et indépendante, le succès étant le fait d’obtenir le 1.
Alors : P (X  10) ≈ 0,58 (avec la calculatrice).
On trouve I = [0,352 ; 0,448], en arrondissant à 10–3 près. Alors :
P X [ I = P (140,7  X  179,2)
400
= P (141  X  179)
10
(
)
= P (X  179) – P (X  140) ≈ 0,95.
11 P(–α  X  α) = 0,999 ⇔ 2 P (X  α) – 1 = 0,999,
soit P (X  α) = 0,9995. Avec la calculatrice, on obtient, à 10–3 près :
α ≈ 3,291.
Pour faire le point
54 Réponse C.
La probabilité d’obtenir une fille est : p = 880 .
1 530
Un intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence des
filles dans les groupes de taille 50 est :
⎡
p (1 − p)
p (1 − p) ⎤ .
; p + 1,96
⎢ p − 1,96
50
50 ⎥⎦
⎣
p (1 − p)
p (1 − p)
≈ 0,438 et p + 1,96
≈ 0,712.
50
50
La réponse est donc, après arrondis : [0,43 ; 0,72].
p – 1,96
55 Réponse A.
La probabilité d’obtenir un garçon est : p’ = 650 .
1 530
Un intervalle de fluctuation asymptotique à 99 % de la fréquence des
garçons dans les groupes de taille 100 est :
⎡
p’ (1 − p’)
p’ (1 − p’) ⎤
.
; p’ + 2,58
⎢ p’ − 2,58
100
100 ⎥⎦
⎣
p’ (1 − p’)
p’ (1 − p’)
≈ 0,297 et p’ + 2,58
≈ 0,553.
100
100
La réponse est donc, après arrondis : [0,29 ; 0,56].
p’ – 2,58
56 Réponse D.
On détermine d’abord u0,001 : cette valeur est définie par l’égalité
P (–u0,001  X  u0,001) = 0,999, où X suit la loi normale centrée réduite.
On a : 2φ (u0,001) – 1 = 0,999 , soit φ (u0,001) = 0,9995.
Avec la calculatrice : u0,0001 ≈ 3,29.
Un intervalle de fluctuation asymptotique à 99,9 % de la fréquence des
filles dans les groupes de taille 200 est :
⎡
p (1 − p)
p (1 − p) ⎤
; p + 3,29
, où p = 880 .
⎢ p − 3,29
1 530
200
200 ⎥⎦
⎣
p (1 − p)
p (1 − p)
≈ 0,460 et p + 3,29
≈ 0,691.
200
200
La réponse est donc, après arrondis : [0,46 ; 0,70].
p – 3,29
57 Réponses C et D.
Un intervalle de fluctuation asymptotique à 99 % de la proportion des
ménages français possédant Internet dans les échantillons de taille 500
est :
⎡
0,8 × 0,2
0,8 × 0,2 ⎤
I1 = ⎢0,8 − 2,58
; 0,8 + 2,58
500
500 ⎥⎦
⎣
I1 ≈ [0,753 ; 0,847].
On calcule u0,03, avec la relation 2φ (u0,03) – 1 = 0,97, soit φ (u0,03) = 0,985,
donc u0,03 ≈ 2,17. Un intervalle de fluctuation asymptotique à 97 % de
la proportion des ménages français possédant Internet dans les échantillons de taille 500 est :
⎡
0,8 × 0,2
0,8 × 0,2 ⎤
I2 = ⎢0,8 − 2,17
; 0,8 + 2,17
500
500 ⎥⎦
⎣
I2 ≈ [0,761 ; 0,839].
Un intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la proportion des
ménages français possédant Internet dans les échantillons de taille 500
est :
⎡
0,8 × 0,2
0,8 × 0,2 ⎤
I3 = ⎢0,8 − 1,96
; 0,8 + 1,96
500
500 ⎥⎦
⎣
I3 ≈ [0,7649 ; 0,8351].
On calcule u0,10, avec la relation 2φ (u0,10) – 1 = 0,90, soit φ (u0,10) ≈ 0,95,
donc u0,10 ≈ 1,645. Un intervalle de fluctuation asymptotique à 90 % de
la proportion des ménages français possédant Internet dans les échantillons de taille 500 est :
⎡
0,06 × 0,94
0,06 × 0,94 ⎤
I4 = ⎢0,8 − 1,645
; 0,8 + 1,645
⎥
500
500
⎣
⎦
I4 ≈ [0,770 ; 0,830].
La fréquence observée des ménages ayant une connexion internet est :
f = 418 = 0,836.
500
f n’appartient pas aux intervalles I3 et I4, donc on rejette cette hypothèse
aux seuils de confiance 90 % et 95 %, et on l’accepte aux autres seuils.
Mathématiques Indice T erm S spécifique © Bordas 2012
Corrigés
58 Réponse A.
Un intervalle de fluctuation asymptotique à 99 % de la proportion des
ménages français ayant une tablette tactile dans les échantillons de
taille 500 est :
⎡
0,07 × 0,93
0,07 × 0,93 ⎤
I1 = ⎢0,07 − 2,58
; 0,07 + 2,58
⎥
500
500
⎣
⎦
I1 ≈ [0,040 ; 0,100].
Un intervalle de fluctuation asymptotique à 97 % de la proportion des
ménages français ayant une tablette tactile dans les échantillons de
taille 500 est :
⎡
0,07 × 0,93
0,07 × 0,93 ⎤
I2 = ⎢0,07 − 2,17
; 0,07 + 2,17
⎥
500
500
⎣
⎦
I2 ≈ [0,045 ; 0,095].
Un intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la proportion des
ménages français ayant une tablette tactile dans les échantillons de
taille 500 est :
⎡
0,07 × 0,93
0,07 × 0,93 ⎤
I3 = ⎢0,07 − 1,96
; 0,07 + 1,96
⎥
500
500
⎣
⎦
I3 ≈ [0,047 ; 0,093].
Un intervalle de fluctuation asymptotique à 90 % de la proportion des
ménages français ayant une tablette tactile dans les échantillons de
taille 500 est :
⎡
0,07 × 0,93
0,07 × 0,93 ⎤
I4 = ⎢0,07 − 1,645
; 0,07 + 1,645
⎥
500
500
⎣
⎦
I4 ≈ [0,051 ; 0,089].
Mathématiques Indice T erm S spécifique © Bordas 2012
La fréquence observée des ménages ayant une tablette tactile est :
f ’ = 22 = 0,044.
500
f ’ appartient seulement à I1, donc on accepte l’hypothèse au seuil de
confiance 99 %, et on la rejette aux autres seuils.
59 Réponse B.
Puisque f = 0,36, un intervalle de confiance au niveau 0,95 de la proportion des personnes ne changeant leur brosse à dents qu’une fois
par an est :
⎡0,36 − 1 ; 0,36 + 1 ⎤ ≈ [0,28 ; 0,44].
⎢⎣
200
200 ⎥⎦
60 Réponse C.
Si on interroge n personnes, un intervalle de confiance au niveau 0,95
est ⎡⎢0,36 − 1 ; 0,36 + 1 ⎤⎥ : l’amplitude de cet intervalle est 2 .
n
n
n⎦
⎣
2
 0,05, c’est-à-dire 0,05 n  2, soit
Celle-ci ne dépasse pas 0,05 si
n
2
n  0,05 , soit n  40, et ainsi n  402, soit n  1 600.
61 Réponse D.
On peut donner un intervalle de confiance de p au seuil 0,95, mais on ne
peut pas donner un intervalle dans lequel on est certain que p se trouve.
La seule réponse correcte est donc : p  1.