Les réseaux de diffraction - Le site de Julien Hillairet

Les réseaux de diffraction
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Généralités
α
λd
Un réseau est un objet diffractant dont la transparence
est périodique. La période p s’appelle le pas du réseau. L’inverse du pas est la fréquence spatiale du réseau ; celle-ci
s’exprime souvent en ”traits par millimètre”, ce qui correspond à l’unité : mm−1 . L’objet étant de largeur finie L, la
périodicité n’éxiste qu à l’intérieur d’une ”fenêtre” de largeur L. On appelle motif la description de la transparence
de l’objet sur une longueur égale au pas. La transparence
t(x) du réseau est donc la répétition périodique du motif,
tronquée par une fonction rectangle de largeur L :
x
x
1
(1)
·u
t(x) = m(x) ∗
p
p
L
Ø
m(x) est nulle en dehors d’une intervalle de largeur p.
Le motif peut être plus étroit que p. Par exemple :
Fentes fines de largeur a < p : m(x) = u xa
h
i
Profil sinusoı̈dal : m(x) = 12 1 + cos 2π xp · u xp
2π
Profil miroitant (blazé) : m(x) = ei λ (n−1)ψx · u xp
(si (n − 1)ψ = kλ
p , alors quasiment toute k’intensité
est concentrée dans le seul ordre d’interf. k)
si le réseau est éclairé en lumière convergente et qu’on
observe au niveau du point de convergence situé à la
distance d.
L’intensité diffractée est le carré du module de l’amplitude. En faisant l’hypothèse que les amplitudes des
différents ordres ne se recouvrent pas (en négligeant au voisinage de l’odre k les amplitudes des ordres k 0 6= k) :
2
|f (ν)| ∝ |m̂(ν)|2 ·
Ø(pν) ∗ L sinc (Lν)
2
2
Caractéristiques de la figure de diffraction
– La périodicité du réseau génère une périodicité au niveau du spectre, décrite par la fonction
(pν). Les
différents maximas d’amplitude que l’on oberserve
sont appelés les ordres. L’écart entre les ordres est
∆k = 1/p ;
– La répartition de l’amplitude dans les différents ordres
dépend de la fonction m̂(ν), donc du profil du motif
m(x). En jouant sur la fonction m(x), il est possible
de jouer sur cette répartition ;
– Au niveau de chaque ordre, la figure diffraction observée est celle du diphragme limitant du réseau
sinc(Lν). C’est cette figure de diffraction qui va
déterminer principalement le pouvoit de résolution
d’un spectromètre à réseau.
Ø
Pouvoir de résolution Si la lumière incidente est composée de deux radiations λ et λ0 = λ + ∆λ, les maximas
kλ0
du k eme ordre se trouvent en kλ
p et p . Selon le critère de
Rayleigh, on considère que deux raies de long. d’onde λ et
λ0 sont séparées l’une de l’autre dans l’odre k si le maximum
de l’une des taches de diffraction de l’une coı̈ncide avec le
minimum de l’autre. Le plus petit écart en long. d’onde corpλ
respond à la limite de résolution : (λ − λ0 )min = Lk
. D’où
le pouvoir de résolution :
Le motif peut modifier l’amplitude (réseau d’amplitude ;
t(x) ∈ R), la phase (réseau de phase ; t(x) ∈ C) ou les deux.
Le nombre de motifs par milimètre est de l’odre de 100 à
1000 (5000 pour les réseaux holographiques UV).
Amplitude et intensité diffractée Dans les conditions
de Fraunhofer, l’amplitude diffractée f (ν) est la transformée de Fourier de la transparence de l’objet diffractant. Dans le cas d’un réseau dont la transparence est
décrite comme l’équation (1) :
f (ν) ∝ t̂(ν) = [m̂(ν) ·
Ø(pν)] ∗ Lsinc(Lν)
où ν est la variable de Fourier conjuguée à x (fréquence
spatiale) qui peut être :
α
λ
α
λf
si l’on fait une obervation à l’infini dans la direction
repérée par l’angle α par rapport à l’axe du faisceau
d’éclairage du réseau ;
si l’on fait une observation au foyer d’une lentille de distance focale f , le réseau étant placé dans le faisceau
de lumière parallèle avant la lentille ;
R=
λ
= kN
(λ − λ0 )min
avec N le nombre total de motifs du réseau.
Relation des réseaux La résolution d’un réseau de longueur L ne peut pas être augmentée infiniment en diminuant le pas p. En effet, pour un réseau éclairé par une
onde plane d’incidence αi , la relation entre l’angle d’incidence αi et l’angle diffracté αd est (− pour les réseaux en
transmission, + pour les réseaux en réflexion) :
sin αi ∓ sin αd = k
λ
p
L’onde n’est pas déphasée en sortie du réseau ssi la
différence de phase entre les deux faisceaux vaut 2kπ, k
étant l’ordre du réseau :
2π
∆φ = φi − φd =
p(sin αi − sin αd ) = 2kπ
λ
La différence des sinus étant au plus égale à 2, la relation
est bornée et :
2L
Rmax =
λ
Avec un réseau donné, il suffirait de choisir un ordre d’interférence k élevé mais dans ce cas l’intensité de la lumière
analysée chute très rapidement. Le compromis consiste à
utiliser des réseaux miroitant (”blazés”) où pratiquement
toute l’énergie lumineuse diffractée est concentrée dans un
seul ordre. Ce sont des réseaux de phase. (Pour un réseau
d’amplitude, l’intensité diffractée ne peut être maximum
qu’en ν = 0).