CHAMP DES MARÉES

CHAMP DES MARÉES
1) Référentiel géocentrique .
Soit T le centre de masse de la Terre, origine du référentiel géocentrique RG  dont les axes sont parallèles à
ceux du référentiel de Copernic RC .
Le référentiel R G  est en translation elliptique par rapport à R C donc n'est pas un référentiel galiléen.
Le mouvement de T résulte des forces de gravitation exercées par les astres du système solaire créant en un
point M de la Terre un champ de gravitation 
g A M.
Dans R C , l'accélération de T est donnée par la relation fondamentale: M T 
a T = ∭Terre 
g A Mdm.
Les distances des astres étant grandes par rapport au rayon terrestre, on montre qu'au second ordre près
l 'intégrale est égale à MT g A T. D 'où a T = g A T.
L'accélération relative d'un point matériel M de masse m dans RG  est donnée par m 
a r = m g A M f e 
f autres .
La force d 'inertie d 'entraînement f e =−m a T tient compte du caractère non−galiléen de R G  et le terme

f autres est la résultante de toutes les interactions subies par M, autres que l'interaction de gravitation due aux
astres, l'attraction terrestre étant incluse dans ce terme.
On a donc m a r = m  
g A M−
g A T 
f autres .
Le terme 
g A M−
g A T s 'appelle champ des marées en M et son intensité est faible devant celle de 
g A M.
2) Expression du champ des marées .
M
L'astre étudié de masse M A étant supposé à
symétrie sphérique, le champ de gravitation créé à
N
l'extérieur de l'astre est le même que celui d'une
masse M A ponctuelle située au centre A de l'astre.
G MA 
G MA 
g A M  = −

3 AM ; g A T  = −
3 AT
AM
AT
∆ g = g A M−
g A T = G M A


TA = d >> r
Z
T
A
cercle d'illumination

 




AT 
AM
AT 
AT
TM
1
1
TM

−
=
G
M
−
=
G
M
AT
−
−
A
A
3
3
3
3
3
3
AT AM
AT
AM
AT AM
AM3

AM = 
AT
TM  AM2 = d 2 r 2 −2 d r cosθ et

r
θ
2 −3
2

1
1
2r
r
= 3 1− cosθ 2
3
d
AM
d
d

≈




1
3r
1 cos θ .
3
d
d
 
GMA 3 r
3r
cos θ
AT 1 cos θ 
TM
3
d
d
d
Dans la base  e r , e θ : 
TM = r 
e r et 
AT = −d cosθ e rd sin θ e θ .
GMA
GMA
3r
∆ g = −
1−3 cos2 θ cos θ r e r3 r cos θsin θ e θ ≈ −
 1−3 cos2 θ  r e r 3 r cosθsin θ e θ
3
d
d
d3
3 G MA
La composante orthoradiale ∆ gθ = −
r sin 2 θ a une intensité nulle en θ = 0  point Z: zénith,
2 d3
θ = 180° point N : nadir , θ = 90° (cercle d'illumination) et une intensité maximale en θ = 45° et θ = 135 °.
Agissant sur un fluide, la force de marée orthoradiale tend donc à accumuler le fluide aux points Z et N (marée
haute) à partir des points situés sur un cercle perpendiculaire à ZN (marées basses sur le cercle d'illumination).
G MA
La composante radiale ∆ g r = −
r 1−3 cos2 θ a une intensité maximale en Z et N où elle est centrifuge
3
d
alors que sur le cercle d'illumination elle est centripète.
∆ g = −






Agissant sur un corps déformable, la force de marée radiale tend à étirer le corps dans la direction ZN et peut
même provoquer sa dislocation (comète Shoemaker-Lévy en 1994, au voisinage de Jupiter).
 Montrer que le champ des marées dérive du potentiel des marées Um = 12 G M3 A r 2 1−3 cos2 θcste.
d
1
3) Périodicité et amplitude des marées .
Sur Terre le champ des marées est dû principalement à la lune et au soleil, la contribution du soleil étant environ
la moitié de celle de la lune.
GM R
22
Lune : M L = 7,35 10 kg
TL = 384 000 km
 ∆ g r L, max = 2 L 3 T = 1,11 10−6 N kg−1
TL
G
M R
Soleil : MS = 1,99 1030 kg
TS = 150 106 km
 ∆ g r S ,max = 2 T SS 3 T = 0,502 10−6 N kg −1
Dans RG  un point de la Terre met 12 heures environ pour faire un demi-tour, on observe donc deux marées
par jour, la durée séparant deux marées hautes successives étant un peu plus grande que 12 h à cause du
mouvement de la lune autour de la Terre.
La période sidérale de la lune est égale à T L = 27,3215 jours.
Soit ∆ t la durée entre le passage d'un point M de la Terre au zénith
de la lune point Z 1  et le passage suivant au nadir  point N 2 .
Pendant la durée ∆ t , exprimée en jours, la lune a tourné de l'angle
α
α tel que ∆ t =
T L.
2π
Le point M doit tourner de l'angle πα pendant cette même durée.
Z2
N1
N2
L2
α
Z1
T
L1
πα
T .
2π T
1 TT TL
1 27,3×0,997
et ∆ t =
≈
= 0,517 j = 12 h 25 min.
2 T L −T T 2 27,3−0,997
Sa période sidérale valant TT = 86164 s ≈ 0,997 jour , on a aussi ∆ t =
D' où α T L = παT T ⇒ α = π
TT
T L −T T
L'amplitude de la marée dépend des positions relatives de la lune et du soleil par rapport à la Terre.
DQ
Soleil
NL
T
PL
PQ
Les champs des marées solaire et lunaire s'ajoutent lorsque les centres des trois astres sont alignés lors de la
nouvelle lune et de la pleine lune (marées de vives eaux ou grandes marées).
La lune revenant dans la même position relative par rapport au soleil tous les 29,5 jours (période synodique),
les grandes marées se produisent deux fois par mois environ.
Lors du premier ou du dernier quartier de la lune, les champs des marées solaire et lunaire sont orthogonaux et
l'amplitude de la marée est plus faible (marées de mortes eaux).
 Calculer la période synodique de la lune.
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