SERIES CHRONOLOGIQUES

SERIES CHRONOLOGIQUES
Cours Semestre 2
DUT STID – IUT Paris 5
PARTIE I : VOCABULAIRE DES SERIES CHRONOLOGIQUES
1. Définitions
Une série chronologique
T ={t 1, t 2, ... , t n } .
{ y t }t  T est une suite d'observations indexées par un ensemble ordonné
Remarque 1 : Une série chronologique se définit aussi comme une série statistique bidimensionnelle
t , y t  avec t  T , où la première composante du couple t est le temps et la deuxième composante
est une variable numérique
y t prenant ses valeurs aux instants t .
Les valeurs de la première
t sont rangées dans l'ordre chronologique, ce qui confère à la série statistique t , y t  des
propriétés particulières. Pour indiquer cette chronologie, les points du nuage de points t , y t  sont reliés
composante
entre eux par des segments de droite.
Remarque 2 : Une série chronologique est encore appelée chronique ou série temporelle.
Quelques exemples de séries évoluant en fonction du temps :
En Economie : Evolution d'indices (INSEE, chambre de commerce, bourse, ...), consommation d'un bien, ...
En Démographie : Population urbaine, rurale, d'un pays, comportement des familles : mariages, naissance.
Naissances et Décès en Russie depuis 1959
En Epidémiologie : Syndromes grippaux, testsVIH.
Météorologie : Pluie, température, débit des cours d'eaux, ...
Activité humaine : Trafic routier, trafic téléphonique.
On supposera dans toute la suite que les dates sont équidistantes (sauf mention du contraire) et donc nous
adopterons la notation simplifiée pour l'ensemble d'indice T ={1, 2 , ... , n } et donc pour la série
 y t ={ y t }t=1, ... , n . En pratique, la série chronologique  y t  est donnée sous forme d'un tableau bidimensionnel où la date peut être remplacée par le numéro d'observation t :
Nombre mensuel de tests VIH pratiqués en 1998 :
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
date
01/98
02/98
03/98
04/98
05/98
06/98
07/98
08/98
09/98
10/98
11/98
12/98
yt
53888
41835
44224
51768
68655
71641
57772
73634
46192
51288
49238
36121
 y t  est la résultante de différentes composantes fondamentales :
● La tendance (ou trend)  f t  représente l'évolution à long terme de la série  y t  étudiée : elle
On considère qu'une série
traduit le comportement "moyen" de la série.
● La composante saisonnière ou saisonnalité  st  correspond à un phénomène qui se répète à
intervalles de temps réguliers (périodique). En général, c'est un phénomène saisonnier d'où le terme de
variations saisonnières. La composante saisonnière est donc périodique de période p et il suffit de
connaître ses p premières valeurs s 1, s 2, ... , s p (par périodicité, on a s t =s t p pour tout t ).
e t  : ce sont des fluctuations irrégulières,
en général de faible intensité mais de nature aléatoire. On parle aussi des aléas e t  .
● La composante résiduelle ou bruit ou résidu
2. Modélisations
2.1. Modèles de Décomposition Déterministes
2.1.1. Additif
(A)
y t = f t s t e t avec
t=1, ... , n.
Dans le modèle additif, l'amplitude de la composante saisonnière et du bruit reste constante au cours du
temps. Ceci se traduit graphiquement par des fluctuations autour de la tendance d'amplitude constante.
Hypothèses : pour des raisons d'unicité d'écriture de la décomposition (A), on suppose que :
p
∑ s j =0 et
j=1
n
∑ e t =0
.
t=1
ainsi, on est assuré que les composantes  s t  et e t  sont centrées et donc toute l'information
concernant la tendance c'.-à-d. le comportement "moyen" est uniquement contenu dans la composante
 f t .
Modèle Additif : Ventes d'un produit P
120
110
Ventes (en milliers)
100
90
80
70
60
50
40
30
20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Trimestres de 1995 à 1999
11
12
13
14
15
16
2.1.2. Multiplicatif
(B)
y t = f t ×st ×e t avec
t=1, ... , n.
Dans ce modèle, l'amplitude de la composante saisonnière et du bruit n'est plus constante au cours du
temps : elles varient au cours du temps proportionnellement à la tendance  f t  .
Hypothèses : pour assurer la cohérence de l'écriture de la décomposition (B), on suppose que :
p
∑ s j= p
j=1
et
n
1
∑ e =1 .
n t=1 t
Par analogie avec le modèle additif, ces hypothèses induisent une autre écriture du modèle par un simple
changement de variable :
En posant s j =1 s j et e t =1 et , le modèle multiplicatif peut également être défini par :
(B')
y t = f t ×1 st ×1 et  avec
t=1, ... , n.
avec les hypothèses
p
∑ sj =0
et
j=1
n
∑ et =0
.
t=1
Ventes (en milliers)
Modèle Multiplicatif : Ventes d'un produit Q
120
115
110
105
100
95
90
85
80
75
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Trimestres de 1995 à 1999
2.2 Modèles Stochastiques
Ils ne seront pas envisagés dans ce cours, mais il est possible de modéliser la série des résidus e t  par
des modèles aléatoires. Une partie importante de l'analyse des séries chronologiques est consacrée aux
modèles linéaires ARMA (Auto-Regressive Moving-Average) et de nombreux logiciels de statistique
proposent des procédures basées sur ces méthodes (SAS, SPSS). Dans toute la suite de ce cours nous ne
nous intéresserons pas à la modélisation des aléas.
3. Objectifs
3.1. La description
Analyser, décrire un phénomène au cours du temps et en tirer les conséquences par exemple pour des
prises de décision (marketing, ...).
3.2. Le contrôle pour la gestion de stocks, contrôle d'un processus chimique.
3.3. La détection de rupture
Il arrive souvent qu'une série chronologique soit affectée par la survenue d'événements accidentels (grèves,
changement de législation, catastrophe climatique). Ces «interventions » vont parfois modifier brutalement la
tendance de la série se traduisant par des données aberrantes.
3.4. La prévision
y 1, y 2, ... , y n , on veut prédire les valeurs futures y n1 , y n2 , ... Nous utiliserons
Ayant observé
essentiellement les modèles de décomposition pour faire de la prévision. Les méthodes de ce cours visent à
faire des prévisions à court terme et à proposer des modélisations pour la tendance  f t  et la
composante saisonnière
 st  .
On appelle alors prévision à l'horizon
série à la date t=nh .
h
la valeur
y nh qui fournit une évaluation de la valeur de la
TP 1 : Simulations de modèles, décompositions additives et multiplicatives : à effectuer à partir du
Mercredi 30/03/05.
PARTIE II : AJUSTEMENT DE LA TENDANCE
1. Lissages Moyenne-Mobile
Les moyennes mobiles permettent de lisser directement la série sans hypothèse a priori sur la forme du
modèle sous-jacent. La méthode est donc valable quel que soit le modèle de décomposition. Pour cette
raison, on peut classer ce type de lissage dans les méthodes non-paramétriques (par opposition aux
méthodes paramétriques qui seront abordées dans la partie suivante).
Avantages : Outil simple à mettre en oeuvre qui met en évidence l'allure de la tendance en supprimant la
composante saisonnière et en atténuant le bruit.
1.1 Moyennes Mobiles Simples
La série des moyennes mobiles d'ordre k , notée MM k t , est la série des moyennes de k
observations consécutives et elle prend ses valeurs aux dates moyennes correspondantes. Plus
précisément, on calcule les moyennes de k termes consécutifs pour les dates :
t 1t 2...t k
k
puis
t 2t 3...t k1
... jusqu'à
k
t n−k t n−k1...t n
.
k
et pour la variable d'intérêt :
y 1 y 2... y k
y 2 y 3... y k 1
y n−k  y n−k 1... y n
puis
...jusqu'à
.
k
k
k
Remarque 1 : Si k est impair : k =2 m1 , la série moyenne mobile est calculée aux mêmes instants
que les observations initiales t=2,3 ,4 ,5 . En revanche, lorsque k est pair k =2 m , la moyenne
mobile est calculée
entre les dates d'observations t=1,5 ; 2,5 ; 3,5 ; 4,5 ;5,5 .
Remarque 2 : On perd k −1 observations avec une moyenne mobile d'ordre
k .
Pour la simplicité de la présentation, on considérera que les observations sont équidistantes. Ainsi,
il est toujours possible de « recoder » les dates d'observations par t=1,2 ,... , n . Alors on a :
Pour k =2 m1 :
MM k t ' =MM k t =
Pour
y t−m... y t ... y tm avec t ' =t=m1, ... , n−m.
2 m1
k =2 m :
y
... y t ... y tm avec t ' =
MM k t ' = t−m1
2m
tt1
2.
Exemple : Calcul d'une Moyenne Mobile d'ordre 2 :
Date
yt
t
1
5
2
3
3
4
4
5
5
4
6
4
Date de la moyenne
mobile t '
MM 2t
(1+2)/2=1,5
(5+3)/2=4
(2+3)/2=2,5
(3+4)/2=3,5
(3+4)/2=3,5
(4+3,5)/2=3,75
(4+5)/2=4,5
(3,5+4)/2=3,75
(5+6)/2=5,5
(4+4)/2=4
Exemple : Calcul d'une Moyenne Mobile d'ordre 3 :
t
Date
1
5
2
3
3
MM 3t
Date de la moyenne
mobile t '
yt
(1+2+3)/3=2
(5+3+4)/3=3
(2+3+4)/3=3
(3+4+3,5)/3=3,5
(3+4+5)/3=4
(4+3,5+4)/3=3,83
(4+5+6)/3=5
(3,5+4+4)/3=3,83
4
4
3,5
5
4
6
4
 yt 
Exercice 1 : Calculer les séries des moyennes-mobiles d'ordre 2, 3 et 4 de la série initiale
suivante :
t
yt
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
30
15
5
30
36
18
9
36
45
15
10
60
48
16
8
72
1.2. Moyennes Mobiles Centrées
On a vu qu'une moyenne mobile d'ordre pair se calcule à des dates qui ne coïncident pas avec les dates des
observations. Si l'on veut comparer la série lissée avec la série initiale, on a besoin d'avoir les valeurs pour
les mêmes dates d'observations. On définit les moyennes mobiles centrées pour pallier cet inconvénient des
moyennes mobiles d'ordre pair.
Avec les notations du paragraphe précédent, on définit la série des moyennes mobiles centrées d'ordre
k =2 m , notée MMC k t , à partir de la moyenne mobile d'ordre pair MM k t par :
MM k t ' MM k t ' 1 0,5 × y t−m... y t ...0,5 × y tm avec
=
2
2m
t=m1, ... , n−m.
MMC k t =
Exercice 2 : Reprendre la série
centrées d'ordre 2 et 4.
 y t  de l'exercice 1 et calculer les séries des moyennes-mobiles
1.3. Moyennes Mobiles Pondérées
Les moyennes mobiles simples sont des moyennes équipondérées (chaque observation a le même poids).
Les moyennes mobiles centrées accordent 2 fois moins de poids aux 2 valeurs extrêmes. De façon générale,
on peut définir des moyennes mobiles pondérées par des poids i . Par exemple, si l'on veut accorder
plus d'importance aux observations centrales.
La série des moyennes mobiles pondérées est définie par :
m
MMP k t = ∑ i y ti avec
i=−m
m
∑ i =1
i=−m
Notation : On adopte souvent la notation suivante pour désigner le type de moyenne mobile considéré où la
valeur des pondérations apparaît entre crochet :
MMC 4=[1/8 ;1/ 4 ; 1/ 4 ;1/ 4 ;1/8] ou MMC 12=[1/ 24 ; 11 ∗1/12 ;1/ 24]
1.4. Propriétés d'un lissage par moyennes mobiles
● Suppression de la composante saisonnière
 y t  possède une composante saisonnière de période p alors l'application d'une
moyenne mobile d'ordre p supprime cette saisonnalité . La série MM  pt ou MMC  pt ne
possède plus de composante saisonnière de période p .
Propriété : Si la série
Elimination de la composante saisonnière de période p=12
par lissage moyenne mobile
130
Indice CA
120
CA
MMC(12)
MMC(6)
110
100
90
80
1
3
2
5
4
7
6
9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 56 58 60 62 64 66 68 70 72
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 57 59 61 63 65 67 69 71 73
Mois
● Atténuation de la composante résiduelle
Par construction, une moyenne mobile consiste à faire des moyennes partielles de proche en proche. On
obtient donc un "lissage" de la série. L'effet de la composante irrégulière est d'autant atténué que l'ordre de la
moyenne mobile est grand.
Atténuation des fluctuations irrégulières par application
de Moyennes Mobiles d'ordre élevé
125
120
115
110
105
100
95
90
Série initiale (Yt)
MM(3)
MM(5)
MM(9)
MM(15)
MM(25)
85
Série
80
75
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
1
3
2
5
4
7
6
9
8
11
10
13
12
15
14
17
16
19
18
21
20
23
22
25
24
27
26
Mois
29
28
31
30
33
32
35
34
37
36
39
38
41
40
43
42
45
44
47
46
49
48
50
● Conservation de la tendance
Nous considérons des moyennes mobiles simples ou centrées.
Propriété :
● L'application d'une moyenne mobile (d'ordre quelconque) ne modifie pas une tendance constante.
● L'application d'une moyenne mobile conserve une tendance linéaire.
1.5. Choix pratique de l'ordre d'une moyenne mobile
Nous rappelons que le but d'un lissage par moyenne mobile est de faire apparaître
l'allure de la tendance.
On fait disparaître la composante saisonnière de période p avec une moyenne mobile d'ordre p .On
gomme d'autant le bruit que l'ordre de la moyenne mobile est élevé. Mais, on perd les caractéristiques de la
tendance avec une moyenne mobile d'ordre trop élevé (jusqu'à obtenir une tendance constante). En pratique
on doit trouver le meilleur compromis pour le choix de l'ordre de lissage optimal.
Remarque : Dans tout ce qui précède, on peut remplacer la moyenne par la médiane et on obtient alors un
lissage par médianes mobiles : ce procédé a pour avantage d'être moins sensible aux valeurs aberrantes.
TP 2 : Lissages Moyennes-Mobiles : à effectuer à partir du Mercredi 13/04/05.
2. Ajustements Paramétriques
Nous supposerons dans ce paragraphe que le modèle ne comporte plus de saisonnalité : la série a été au
préalable corrigée des variations saisonnières. Pour le modèle additif, on a donc y t = f t e t .
Une famille importante de méthodes d'ajustements est constituée par les modèles paramétriques. On va
f t de la série est une courbe d'équation f t = f  t  où  est un
supposer que la tendance
paramètre. Ainsi, après examen graphique de la série, on doit choisir une forme de courbe dans un
« catalogue » de fonctions données puis on ajuste la(les) courbe(s) retenue(s) aux données en cherchant
une valeur de  .
2.1. Quelques Modèles de tendance
L'analyse graphique de la série doit permettre de se déterminer en faveur d'une courbe dont l'équation
donnera un ajustement paramétrique de la tendance. Il est donc important de savoir caractériser le type de
courbe en présence (cf. graphiques).
2.1.1 Droite
On parle alors d'ajustement linéaire. La variation de
y t est proportionnelle à celle de t .
f  t =a tb avec =a , b
2.1.2. Parabole
f  t =a t 2 b tc avec =a , b , c
2.1.3. Courbe polynômiale
f  t =a p t p a p−1 t p−1...a 1 ta 0 avec =a 0 , a 1 , ... , a p 
2.1.4. Courbe exponentielle
f  t =a expbt c avec =a , b , c
2.1.5. Courbe logarithmique
f  t =a ln t b avec =a , b
2.1.6. Hyperbole
f  t =1/a tb avec =a , b
2.1.7. Courbe logistique
f  t =1/b exp−a t c avec =a , b , c
2.1.8. Courbe de Gompertz (ou Double Exponentielle)
f  t =exp {a e bt c } avec =a , b , c
Linéaire
45
Parabole
850
800
750
700
650
600
550
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
40
35
30
25
20
15
10
5
0
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
tendance polynômiale
3500
Exponentielle
55000
3250
3000
50000
2750
45000
2500
40000
2250
35000
2000
1750
30000
1500
25000
1250
20000
1000
15000
750
500
10000
250
5000
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1
2
Logarithmique
7,5
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Exponentielle négative (asymptote horizontale)
100
95
90
85
80
75
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
7
6,5
6
5,5
5
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
1 2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
0
2,5
5
7,5
10
12,5
15
Dates
17,5
20
22,5
25
27,5
30
2.2. Ajustements Linéaires
Revenons sur le modèle linéaire. On choisit d'ajuster une droite aux données.
L'équation de la tendance est donc :
f  t =a tb avec =a , b
En pratique, on cherche une méthode d'évaluation du paramètre =a , b à partir des données.
L'idée est de minimiser un critère d'erreur donné. On peut envisager de minimiser :
n
●
la somme des erreurs en valeurs absolue :
min a , b ∑ ∣ y t −at−b∣
t=1
n
● la somme des erreurs au carré :
min a , b ∑  y t −at−b
2
t=1
2.2.1 La méthode des Moindres Carrés
On démontre en minimisant la fonction de deux variables
n
 est :
ℊ a , b=∑  y t −at−b2 que le couple solution  a , b
t=1
a =Cov
 yt − a t
t ; y t  et b=
2
t
avec
n
n
1
1
Cov t ; y t = ∑ t−t  y t − yt = ∑ t y t −t × yt
n t =1
n t=1
n
n
n
et
;
;
1
1
1
t = ∑ t
yt = ∑ y t
t2=Var t = ∑ t−t 2
n t=1
n t=1
n t=1
Propriétés importantes :
t ; yt  appartient à la droite des moindres carrés.
●
Le point moyen de coordonnées
●
Le coefficient de corrélation linéaire est défini par :
r=Cov
t ; y t 
2
t
 ×Var  y t 
La corrélation linéaire entre la date
t et la variable
de 1.
La variance de
y t est d'autant plus importante que ∣r∣ est proche
 y t  se décompose de la façon suivante (formule de décomposition de la variance) :
Var
 y t =Var
 y t Var
 y t − y t 



totale
expliquée
résiduelle
La proportion de variance expliquée par le modèle linéaire est donnée par :
Var  y t /Var  y t 
2.2.2 La Méthode des 2 points
Cette méthode est empirique et ne repose sur aucun critère d'erreur à minimiser. Nous verrons cependant
qu'elle peut s'avérer efficace en présence de valeurs aberrantes (cf. TP3).
Principe : On va choisir deux points de coordonnées
par ces deux points. Leurs coordonnées
t I ; y I  et
 vérifient :
 a , b
t II ; y II  et on fait passer la droite
y I = a t I b soit
y II = at II b
y II − y I
t II −t I
y − yI
 y I − II
b=
t
t II −t I I
a =
Choix des 2 points : On constitue deux sous-séries d'observations en général d'effectifs égaux (à 1 près).
Puis on prend les points médians de chaque sous-série. On peut également prendre les points moyens ou
choisir "à la main" des points judicieux.
2.2.3. Illustration des 2 méthodes :
La série  y t  ci-dessous représente les montants rapportés par l'industrie automobile au Trésor public
belge (en milliers de francs belges) :
t
yt
1970 1971
32 38
1972
48
1973
52
1974
61
1975
73
1976
80
1977
84
1978
95
Méthode des Moindres Carrés :
a =Cov
t ; y t 

2
t
≃
et b=
 yt − a t ≃62,56 −7,92 ×1974 ≃−15 565
52,78
≃7,92
6,67
avec Cov t ; y t =52,78
et t =1974 ; yt =62,56 ; 2=Var t =6,67
t
Méthode des deux points médians :
Les points médians des deux sous-séries sont :
t I =1971,5
y I =43 d'où :
t II =1976
y II − y I
80−43
=
≃8,22
t II −t I 1976−1971,5
y − yI
80−43
b = y I − II
t =43−
×1971,5 ≃−16167
t II −t I I
1976−1971,5
y II =80
a =
Montants (en milliers de francs belges)
TP 3 : Méthode des MC et méthode des 2 points : à effectuer à partir du Mercredi 11/05/05.
Recettes de l'automobile
110
100
90
80
70
60
50
Recettes
Droite des Moindres
Carrés
Droite des 2 points
médians
40
30
20
10
0
1970
1971
1972
1973
1974
1975
Années
1976
1977
1978
1979
1980
2.3. Ajustements Non- Linéaires
2.3.1. Changement de Variable
Une façon simple consiste à se ramener à un ajustement linéaire après un changement de variable adéquat.
Evidemment, ce procédé n'est pas toujours possible et on verra en deuxième année qu'il existe des
méthodes d'ajustement non-linéaires directes. C'est la représentation graphique qui va nous guider pour le
choix d'un changement de variable. (cf. T.P.4)
y t =a t 2 b en posant z t =t 2 on se ramène à y t =a z t b et on peut faire un
ajustement linéaire entre y t et
z t . Si y t =b expat  en posant z t =ln  y t  , on obtient
z t =a tln b . On peut donc faire un ajustement linéaire entre z t et t .
Exemples : Si
2.3.2. Erreurs de Prévision
On définit la prévision paramétrique donnée par un
y th= a th b .
Exemple :
modèle à l'horizon
h par y th= f  th .
Pour juger de l'adéquation d'un modèle, on peut représenter les erreurs de prévisions et calculer la somme
des erreurs de prévision au carré appelée MSE (de l'anglais Mean Squared Error). Les erreurs de prévisions
sont définies par err t = y t − y t et on a :
n
n
MSE=∑ err t  =∑  y t − y t 
t=1
2
2
t=1
TP 4 : Changement de variables, prévisions, erreur de prévisions : à effectuer à partir du Mercredi
25/05/05.