1 Exercices

Calcul Formel et Sciences de la Matière — Feuille de TD numéro 3
1 Exercices
1.1 Intégration numérique
Question 1. Écrire une fonction paramétrée par une fonction f : R → R, deux réels a et b et un
nombre n de pas, qui retourne l’intégrale de f entre a et b, calculée par la méthode des rectangles.
graphe de y = f (x)
graphe de y = f (x)
y
y
a
a
b
x
b
intégrale de f de a à b calculée par la méthode des rectangles (5 pas)
x
méthode des trapèzes
Question 2. Même question avec la méthode des trapèzes.
La méthode de Simpson
La méthode de Simpson est une méthode numérique de calcul d’intégrale sur un intervalle [a, b] :
Z b
f (x) dx
a
Soit N un nombre pair. La méthode consiste à subdiviser l’intervalle [a, b] en N sous–intervalles
définis par
b−a
xi = a + i h,
h=
N
et à approximer la courbe y = f (x) par des morceaux de paraboles. Des calculs théoriques
conduisent à la formule (de Simpson) suivante :
Z b
1
4
2
4
2
4
1
f (x) dx ≃ h
f (x0 ) + f (x1 ) + f (x2 ) + f (x3 ) + · · · + f (xN −2 ) + f (xN −1 ) + f (xN ) .
3
3
3
3
3
3
3
a
1
Tous les coefficients valent 4/3 ou 2/3 alternativement sauf le premier et le dernier qui valent 1/3.
La formule n’est valable que si N est un nombre pair.
Les questions qui suivent sont destinées à construire progressivement une fonction simpson en
MAPLE qui implante la méthode de Simpson. L’entier N fera partie des paramètres de la fonction.
Question 3. Quels autres paramètres donneriez–vous à la fonction simpson ?
Question 4. Implanter en MAPLE une fonction pair_suivant paramétrée par un entier n et qui
retourne le plus petit nombre pair supérieur ou égal à n (on peut tester en MAPLE si un nombre n
est pair en testant si le reste de la division de n par 2 est nul ; ce reste s’obtient en MAPLE par
l’appel de fonction irem (n, 2)).
Question 5. Implanter en MAPLE la fonction simpson. Si l’entier N est un nombre impair, votre
fonction peut le remplacer par le plus petit nombre pair qui lui est supérieur ou égal. Vous pouvez
pour cela réutiliser le résultat de la question précédente.
Question 6. Donner un appel de fonction qui calcule une approximation de l’intégrale suivante
par la méthode de Simpson, pour N = 4 :
Z 3
x2 dx.
1
1.2 Graphisme
Question 7. Écrire une fonction paramétrée par une liste de points [[x1 , y1 ], . . . , [xn , yn ]] et qui
retourne le graphique obtenu en joignant chaque point à chaque autre par un segment de droite.
1.3 Évaluation
Question 8. Écrire une fonction paramétrée par la liste des coefficients d’un polynôme, une
valeur pour l’indéterminée et qui retourne le polynôme évalué en la valeur.
> evalue_polynome ([2, 3, 5], x);
2
5 x + 3 x + 2
Question 9. Même question que la précédente en utilisant le schéma de Hörner, qui repose sur
l’égalité suivante (qui se généralise à un degré quelconque) :
a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = ((a3 x + a2 ) x + a1 ) x + a0 .
2
1.4 Développement limité de fonctions
Question 10. Écrire une fonction exponentielle, paramétrée par un ordre o et qui retourne le
développement limité de la fonction ex tronqué à l’ordre o.
ex = 1 + x +
x2 x3
+
+···
2!
3!
Question 11. Écrire une fonction sinus, paramétrée par un ordre o et qui retourne le développement limité de la fonction sin(x) tronqué à l’ordre o.
sin(x) = x −
x3 x5
+
−···
3!
5!
1.5 Le triangle de Pascal
Le « triangle de Pascal » est une construction qui permet d’obtenir facilement les coefficients
du binôme. En voici le début.
0 1 2 3 4
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
À l’intersection de la ligne ℓ et de la colonne c on trouve Cℓc . Le triangle se construit ligne par
c−1
c
ligne. Chaque ligne commence et se termine par 1. Pour 0 < c < ℓ on a Cℓc = Cℓ−1
+ Cℓ−1
.
Question 12. Ecrire une fonction paramétrée par une liste d’entiers représentant une ligne du
triangle de Pascal et qui retourne la ligne suivante.
> ligne_suivante ([1, 2, 1]);
[1, 3, 3, 1]
Question 13. Ecrire une fonction paramétrée par un entier ℓ, qui retourne le triangle de Pascal,
jusqu’à la ligne ℓ. Réutilisez la fonction précédente.
> Pascal (3);
[[1], [1, 1], [1, 2, 1], [1, 3, 3, 1]]
3