Devoir Surveillé n˚6A - Nathalie Daval

1re ST I
Ch06/07 : PROBABILITES, DERIVATION
Mardi 20 mars 2007
Devoir Surveillé n˚6A
La rédaction compte pour une part importante. Tous les résultats de probabilité seront donnés
sous forme de fractions irréductibles, puis sous forme décimale à 10−2 près.
EXERCICE no 1
On tire au hasard une carte d’un jeu de 32 cartes.
1. Combien y a-t-il d’événements élémentaires ? En citer 3.
2. Soit A l’événement « tirer un as » et B l’événement « tirer un trèfle ».
Donner la probabilié de A, de B.
3. Les événements A et B sont-ils disjoints ? justifier ?
4. Déterminer un événement E tel que les événements B et E soient incompatibles.
5. Calculer la probabilité de l’événement « tirer un as ou un trèfle ».
EXERCICE no 2
Voici les résultats d’un sondage effectué au début de l’année 1998 auprès de 3000 personnes, à
propos d’Internet :
• 40% des personnes interrogées déclarent être intéressées par Internet ;
• 35% des personnes interrogées ont moins de 25 ans et, parmi celles-ci, quatre cinquièmes
déclarent être intéressées par Internet ;
• 30% des personnes interrogées ont plus de 50 ans et, parmi celles-ci, 85% ne sont pas
intéressées par Internet.
1. Reproduire et compléter le tableau suivant :
Intéressés par
Internet
Non intéressés
par Internet
Total
Moins de 25 ans
De 25 à 50 ans
Plus de 50 ans
Total
3 000
2. On choisit au hasard une personne parmi les 3000 interrogées. On suppose que toutes les
personnes ont la même probabilité d’être choisies.
On considère les événements :
A : « la personne interrogée est intéressée par Internet »,
B : « la personne interrogée a moins de 25 ans ».
(a) Calculer les probabilités p(A) et p(B).
(b) Définir par une phrase l’événement B , puis calculer p(B).
(c) Définir par une phrase l’événement A ∩ B , puis calculer p(A ∩ B).
En déduire p(A ∪ B).
3. On sait maintenant que la personne interrogée n’est pas intéressée par Internet.
Quelle est la probabilité qu’elle ait moins de 50 ans ?
EXERCICE no 3
x2
On considère Cf , la courbe représentative de la fonction f définie sur R par f (x) = − + 3x − 1
2
1. Dresser, en le justifiant, le tableau de variations de la fonction f .
−ı ; →
− ).
2. Tracer Cf dans le plan muni d’un repère orthonormé (O; →
http://nathalie.daval.free.fr
-1-
1re ST I
Ch06/07 : PROBABILITES, DERIVATION
Mardi 20 mars 2007
Devoir Surveillé n˚6B
La rédaction compte pour une part importante. Tous les résultats de probabilité seront donnés
sous forme de fractions irréductibles, puis sous forme décimale à 10−2 près.
EXERCICE no 1
x2
On considère Cf , la courbe représentative de la fonction f définie sur R par f (x) =
− 4x − 2
2
1. Dresser, en le justifiant, le tableau de variations de la fonction f .
−ı ; →
− ).
2. Tracer Cf dans le plan muni d’un repère orthonormé (O; →
EXERCICE no 2
On tire au hasard une carte d’un jeu de 32 cartes.
1. Combien y a-t-il d’éventualités ? En citer 3.
2. Soit A l’événement « tirer un coeur » et B l’événement « tirer un as ».
Donner la probabilié de A, de B.
3. Les événements A et B sont-ils incompatibles ? justifier ?
4. Déterminer un événement E tel que les événements A et E soient disjoints.
5. Calculer la probabilité de l’événement « tirer un coeur ou un as ».
EXERCICE no 3
Voici les résultats d’un sondage effectué au début de l’année 1999 auprès de 2000 personnes, à
propos d’Internet :
• 40% des personnes interrogées déclarent être intéressées par Internet ;
• 35% des personnes interrogées ont moins de 30 ans et, parmi celles-ci, quatre cinquièmes
déclarent être intéressées par Internet ;
• 30% des personnes interrogées ont plus de 60 ans et, parmi celles-ci, 85% ne sont pas
intéressées par Internet.
1. Reproduire et compléter le tableau suivant :
Intéressés par
Internet
Non intéressés
par Internet
Total
Moins de 30 ans
De 30 à 60 ans
Plus de 60 ans
Total
2 000
2. On choisit au hasard une personne parmi les 2000 interrogées. On suppose que toutes les
personnes ont la même probabilité d’être choisies.
On considère les événements :
A : « la personne interrogée a moins de 30 ans »,
B : « la personne interrogée est intéressée par Internet ».
(a) Calculer les probabilités p(A) et p(B).
(b) Définir par une phrase l’événement A , puis calculer p(A).
(c) Définir par une phrase l’événement A ∩ B , puis calculer p(A ∩ B).
En déduire p(A ∪ B).
3. On sait maintenant que la personne interrogée est intéressée par Internet.
Quelle est la probabilité qu’elle ait plus de 30 ans ?
http://nathalie.daval.free.fr
-2-
1re ST I
Ch06/07 : PROBABILITES, DERIVATION
Mardi 20 mars 2007
Correction DS n˚6A
EXERCICE no 1
1. Il y a 32 événements élémentaires : par exemple "obtenir un 8 de carreau, obtenir un as de coeur,
obtenir un roi de pique"
cardA
4
1
2. p(A) =
=
= = 0, 13
cardΩ
32
8
cardB
8
1
p(B) =
=
= = 0, 25
cardΩ
32
4
3. Les événements A et B ne sont pas disjoints car A ∩ B 6= 0
4. Par exemple, l’événement E : "tirer un coeur"
4
8
1
11
5. p(A ∪ B) = P (A) + p(B) − p(A ∩ B) =
+
−
=
= 0, 34
32 32 32
32
EXERCICE no 2
1.
2.
Intéressés par
Internet
Non intéressés
par Internet
Total
Moins de 25 ans
840
210
1050
De 25 à 50 ans
225
825
1050
Plus de 50 ans
135
765
900
Total
1200
1800
3 000
1200
2
= = 0, 4
3000
5
1050
7
p(B) =
=
= 0, 35
3000
20
(a) p(A) =
7
13
=
= 0, 65.
20
20
(c) A ∩ B : "La personne intérrogée à moins de 25 ans et est intéressée par Internet"
840
7
p(A ∩ B) =
=
= 0, 28
3000
25
1200 1050
840
1410
47
p(A ∪ B) = P (A) + p(B) − p(A ∩ B) =
+
−
=
=
= 0, 47
3000 3000 3000
3000
100
210 + 825
1035
23
3. p =
=
=
= 0, 58
1800
1800
40
(b) B : "La personne intérrogée à 25 ans ou plus" donc : p(B) = 1 − p(B) = 1 −
EXERCICE no 3
1. f ′ (x) = −x + 3. Pour établir les variations de
f , il faut étudier le signe de la dérivée :
Si f ′ (x) est positive sur I, la fonction f est
croissante sur I et si f ′ (x) est négative sur I,
la fonction f est décroissante sur I
x
3
−∞
f ′ (x)
+
0
+∞
−
7
2
f
ր
ց
−∞
http://nathalie.daval.free.fr
−∞
3
2
1
−2−1
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
2. −9
1 2 3 4 5 6 7
Cf
-3-
1re ST I
Ch06/07 : PROBABILITES, DERIVATION
Mardi 20 mars 2007
Correction DS n˚6B
EXERCICE no 1
1. f ′ (x) = x − 4. Pour établir les variations de
f , il faut étudier le signe de la dérivée :
Si f ′ (x) est positive sur I, la fonction f est
croissante sur I et si f ′ (x) est négative sur I,
la fonction f est décroissante sur I
x
4
−∞
f ′ (x)
−
4
2
+∞
0
+
+∞
f
6
−2−1
−2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−4
Cf
+∞
ց
ր
−6
−10
−8
2.
−10
EXERCICE no 2
1. Il y a 32 éventualités : par exemple "obtenir un 8 de pique, obtenir un as de carreau, obtenir un roi
de coeur"
cardA
8
1
2. p(A) =
=
= = 0, 25
cardΩ
32
4
cardB
4
1
p(B) =
=
= = 0, 13
cardΩ
32
8
3. Les événements A et B ne sont pas incompatibles car A ∩ B 6= 0
4. Par exemple, l’événement E : "tirer un pique"
4
1
11
8
+
−
=
= 0, 34
5. p(A ∪ B) = P (A) + p(B) − p(A ∩ B) =
32 32 32
32
EXERCICE no 3
1.
2.
Intéressés par
Internet
Non intéressés
par Internet
Total
Moins de 30 ans
560
140
700
De 30 à 60 ans
150
550
700
Plus de 60 ans
90
510
600
Total
800
1200
2 000
700
7
=
= 0, 35
2000
20
800
2
p(B) =
= = 0, 40
2000
5
(a) p(A) =
7
13
=
= 0, 65.
20
20
(c) A ∩ B : "La personne intérrogée à moins de 30 ans et est intéressée par Internet"
560
7
p(A ∩ B) =
=
= 0, 28
2000
25
700
800
560
940
47
p(A ∪ B) = P (A) + p(B) − p(A ∩ B) =
+
−
=
=
= 0, 47
2000 2000 2000
2000
100
240
3
150 + 90
3. p =
=
=
= 0, 30
800
800
10
(b) A : "La personne intérrogée à 30 ans ou plus" donc : p(A) = 1 − p(A) = 1 −
http://nathalie.daval.free.fr
-4-