6ème COLLOQUE NATIONAL EN CALCUL DES

6ème COLLOQUE NATIONAL EN CALCUL DES STRUCTURES
20-23 Mai 2003, Giens (Var)
organisé par
l' Association Calcul des Structures et Modélisation
l' Association Française de Mécanique
et
le Laboratoire de Mécanique des Solides (CNRS UMR 7649)
Eléments continus de plaques Assemblages tridimensionnels
J.B. Casimira , S. Kevorkianb , P. Lamarya
a LISMMA, Institut Supérieur des Matériaux et de la Construction Mécanique, F-93407
Saint-Ouen cedex
[email protected]
b LMM, Université Pierre et Marie Curie, F-75005 Paris
Résumé
Un élément de plaque de Kirchhoff est développé selon la formulation dite ”Elément
Continu”. Cet élément inclut les raideurs de membrane relatives aux mouvements dans
le plan ce qui permet de l’utiliser au sein d’un assemblage tridimensionnel. Cette communication présente la procédure mise en oeuvre pour construire la matrice de raideur
dynamique de l’élément. La réponse harmonique d’un assemblage de deux plaques non
coplanaires est présentée pour évaluer les performances de la méthode.
1 Méthode des éléments continus
La Méthode des Eléments Continus [7][9] est une alternative intéressante aux éléments
finis pour l’étude de la réponse harmonique des structures. Egalement connue sous l’expression ”Méthode de la Raideur Dynamique”, cette technique consiste à utiliser un maillage
minimal de la structure, exploitable sur la totalité de l’intervalle de fréquence couvert par
la théorie élastodynamique mise en oeuvre. Cette méthode trouve aujourd’hui son principal
champ d’application dans la modélisation d’assemblages de poutres droites ou courbes [2].
Pour de telles structures, le maillage retenu est celui imposé par la topologie même de l’assemblage. Aucun élément de poutre n’est discrétisé. La formulation élémentaire, basée sur
la solution de la forme forte du problème dynamique, permet d’accéder théoriquement à une
infinité de modes. Il s’agit de construire, pour chaque élément, la matrice de raideur dynamique, fonction de la pulsation ! du régime établi puis d’assembler ces matrices. Ces matrices, notées [ e (! )], relient de manière exacte les efforts externes exercés aux extrémités
d’un l’élément aux déplacements de ces extrémités pour des conditions aux limites ”librelibre” selon (1) :
[ e (!)] e = e
(1)
K
K
U
F
Des codes de calcul industriels implémentant cette méthode sont d’ores et déjà disponibles.
Le code ETAPE [3], développé par la Direction des Constructions Navales (D.C.N.), est
largement utilisé par cet établissement pour évaluer la réponse harmonique de structures embarquées de type assemblage poutres : berceaux, matures, lignes de tuyauterie ... L’essor de
tels codes passe aujourd’hui par le développement d’autres types d’éléments et, sans doute
dans un premier temps, d’éléments de plaques [6] et de coques [8]. L’objet de cette comunication est de présenter le principe de développement d’éléments continus de plaques de
Kirchhoff intégrant les mouvements dans le plan de manière à pouvoir réaliser des assemblages non-coplanaires.
2 Eléments continus de plaques
2.1 Formulation élémentaire
Comme précisé ci-dessus, la formulation ”éléments continus” est fondée sur la solution
de la forme forte du problème élastodynamique élémentaire pour des conditions aux limites
libres. Dans le cadre d’une théorie de plaque donnée et pour un régime harmonique établi de
pulsation ! , cette forme forte est constituée d’un système d’équations aux dérivées partielles
(2) satisfaites par les composantes des déplacements définissant complètement le mouvement
de la plaque de domaine . Le nombre de composantes p du vecteur déplacement dépend
de la théorie de l’élastodynamique retenue. Cette forme forte est également constituée de l’expression des conditions aux limites (3) définies sur le contour @ de la plaque. Les conditions
aux limites, dites libres, fixent la répartition de certaines composantes d’efforts internes sur le
contour. Ces composantes peuvent être exprimées en fonction des dérivées des composantes
des déplacements à partir des relations efforts-déplacements.
u
f
:::;
L! (u) = q
@ku
; :::
@xi @y j
sur = Fext
(2)
sur @ (3)
avec :
L! : opérateur différentiel.
q : chagement réparti sur le domaine .
f : fonction vectorielle issue des relations efforts-déplacements.
Fext : Efforts extérieurs répartis sur le contour @ .
2.2 Solution générale
A l’inverse de la solution du problème élémentaire relatif aux poutres, la solution du
problème de plaque n’est en général pas exprimable en termes finis par des fonctions élémentaires.
Les p composantes ui de la solution générale f g de (2) pourront, par exemple, être exprimées par des séries de fonctions (4).
u
ui (x; y ) =
1
X
n=1
Cin hin (x; y ) i 2 [1; :::; p]
(4)
Cin : constantes d’intégrations dont les valeurs seront fixées par l’exploitation des conditions aux limites (3).
Le traitement numérique du problème nécessite par ailleurs une troncature de la série, et
donc le choix d’un entier N telle que la solution générale puisse être approchée convenablement par (5). Le choix des fonctions de base h in n’étant pas unique, leur détermination est
l’opération principale à mener ici. Elles devront permettre d’approcher au mieux la solution
cherchée pour un choix de N aussi faible que possible.
ui (x; y ) N
X
n=1
Cin hin (x; y )
(5)
En regroupant les constantes d’intégration C in dans un même vecteur-colonne f
écrit, sous forme matricielle :
Cg, on
fu(x; y)g [H! (x; y)] fCg
(6)
2.3 Conditions aux limites
La seconde différence avec les éléments de type poutre est la dimension de la frontière
@ du domaine élémentaire. Ici, il s’agit d’une ligne géométrique plane, et donc d’un espace
de dimension 1. Dans le cas des éléments poutres, la frontière du domaine étant réduite à
deux points, efforts et déplacements aux limites s’exprimaient par une grandeur vectorielle
de R6 . Dans le cas des éléments plaques, les efforts et déplacements définis sur le contour
sont éléments d’un espace de fonctions vectorielles à une variable. La relation de la forme (1)
liant ces grandeurs concernera les composantes de ces fonctions dans une base de cet espace.
B
On suppose le contour de la plaque défini par la donnée d’une fonction vectorielle (s), s
abscisse curviligne de contour. L’expression (6) permet d’obtenir les champs de déplacements
f@ (s)g = f [ (s)]g sur ce contour en fonction des constantes d’intégration f g. On a :
u
uB
C
f@ u(s)g [H! [B(s)]] fCg = [@ H! (s)] fCg
(7)
Les relations efforts-déplacements donnent, à partir des dérivées du champ de déplacement,
l’expression des fonctions efforts le long du contour @ , soit f@ (s)g le vecteur constitué de
ces fonctions : f@ (s)g = f [ (s)]g. Le vecteur f (x; y )g, fonction des dérivées des fonctions déplacements, peut s’exprimer à l’aide des mêmes constantes d’intégration C in , on
obtient donc, pour sa restriction au contour :
f
fB
f
f@ f (s)g = [@ G! (s)] fCg
G
f
(8)
Les fonctions composantes de la matrice [@ ! (s)] sont obtenues par dérivation des fonctions composantes de [ ! (x; y )] selon (3), dérivées ensuite exprimées sur @ .
H
2.4 Matrice de raideur dynamique
La relation (1) reliant composantes d’efforts et de déplacements sur la frontière du domaine est établie après projection des p composantes de f@ (s)g et de f@ (s)g sur une
base de fonctions. La matrice de raideur dynamique est alors définie par la relation linéaire
liant ces projections. Si l’on note (e k (s))k2N une base de Hilbert définie sur le contour @ .
On écrit, pour les p composantes de f@ (s)g et de f@ (s)g :
u
@ui (s) =
@fi (s) =
1
X
k=1
1
X
k=1
u
f
f
h@ui ; ek i ek (s)
i 2 [1; :::; p]
(9)
h@fi ; ek i ek (s)
i 2 [1; :::; p]
(10)
Les projections de fonctions sont définies à partir du produit scalaire :
< f; g >=
Z
@
f (s)g (s)ds
Pour établir une relation similaire à (1), les series (9) et (10) sont tronquées au rang M , et
les p M projections de chaque série regroupées dans deux vecteurs
f e g = fh@ui ; ek ig(i;k)2[1;:::;p][1;:::;M ] et f e g = fh@fi ; ek ig(i;k)2[1;:::;p][1;:::;M ].
U
F
Si l’on note @Hij (s) les composantes de [@ H ! (s)], les composantes de fU e g sont données
par :
U(i 1)M +k = h@ui ; ek i = h@Hij ; ek i Cj
(11)
de même, en notant @G ij (s) les composantes de [@ G ! (s)], les composantes de fF e g
sont :
F(i 1)M +k
= h@fi ; ek i = h@Gij ; ek i Cj
(12)
soit, sous forme matricielle :
avec : A(i
avec : B(i
fUe g = [A(!)] fCg
1)M +k;j (! ) = h@Hij ; ek i et :
fFe g = [B(!)] fCg
1)M +k;j (! ) = h@Gij ; ek i.
(13)
(14)
A
En choisissant M et N tels que la matrice [ (! )] soit carrée et inversible, et en combinant
les relations (13) et (14), on obtient la relation de la forme (1) cherchée, avec :
[Ke (!)] = [B(!)] : [A(!)]
1
(15)
2.5 Post-traitement
Après assemblage des matrices de raideur dynamique élémentaires et résolution numérique
du système linéaire à pulsation ! fixée, le post-traitement consiste à obtenir l’ensemble des
champs inconnus sur les domaines élémentaires. Cette opération est réalisée, pour chaque
élément, à partir de l’expression (5) après détermination des constantes d’intégration composantes de f g. Ces constantes sont obtenues par inversion de (13), à partir des déplacements
f e g solutions du système linéaire.
C
U
3 Eléments de plaque de Kirchhoff avec prise en compte
des effets de membrane
3.1 Formulation forte
La méthode présentée est appliquée ici à un élément de plaque rectangulaire dans le cadre
des hypothèses de Kirchhoff. Le matériau constitutif est homogène et isotrope, les effets de
membrane (mouvements dans le plan) sont pris en compte.
Les composantes du vecteur déplacement
u sont :
- Les déplacements dans le plan U (x; y ) et V (x; y )
- Le déplacement vertical W (x; y )
- Les rotations de section x (x; y ) et y (x; y )
En l’absence de chargements répartis sur le domaine , la forme forte du problème
élastodynamique, pour un régime harmonique de pulsation ! établi, s’écrit :
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
avec r4
E @2U
E
@ 2 U + ! 2 U
E @2U
1 2 @x22 + 2(1+ ) @y2 2 + 2(1 ) @x@y
E @ V
E @ V
E @2V
2
2(1+ ) @x2 + 1 2 @y2 + 2(1 ) @x@y + ! V
4
2
Dr W h! W = 0
x = @W
@x
y = @W
@y
4
= @x@ 44 + @y@ 44 + 2 @x@2 @y
2 : opérateur biharmonique.
les caractéristiques matériaux et géométriques étant :
E : module d’Young.
: coefficient de Poisson.
: masse volumique.
h : épaisseur constante.
Eh3 .
D = 12(1
2)
=0
=0
(16)
Les conditions aux limites ”libres” s’écrivent, sur le contour @ de la plaque [1] :
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
Nn = Fn
Nns = Fs
@ Ms
ns
Tn + @M
@s = Fz + @s
Mn = Mn
Mns = Ms
(17)
avec :
2 Eh @U + @V nx ny + Eh2 @U + @V n2
+ @V
y
@y nx + 1+ @y @x
1 @x
@y
Eh
@U + @V
2
2
+
@U
n
n
+
n
n
x
y
@x x y
2(1+
3
3 ) @y 3 @x
3W
@
W
@
@
W
@
W
Tn = D @x3 + @x@y2 nx D @y3 + @x2 @y ny
2
@2W n n
@2W
2
2
Mns = D(1 ) @@xW2
2
x y D(1 ) @x@y nx ny
@y
2
2
2
2
@2W n n
Mn = D @@xW2 + @@yW2 n2x D @@yW2 + @@xW2 n2y 2D(1 ) @x@y
x y
Nn = 1Eh 2 @U
@x
Eh @V
Nns = 1+
@y
(18)
Fn , Fs , Fz , Mn et Ms sont les efforts extérieurs répartis sur le contour @ de la plaque
de normale dont les composantes dans le repère cartésien (O; x; y; z ) sont n x et ny .
n
3.2 Solution générale pour une plaque rectangulaire
Dans le cas des plaques rectangulaires, les séries de fonctions à utiliser pour exprimer
la solution générale (x; y ) selon (4) peuvent être déterminées par une décomposition en
quatre contributions respectivement symétrique-symétrique, antisymétrique-antisymétrique,
symétrique-antisymétrique et antisymétrique-symétrique par rapport aux variables d’espace
x et y. Chacune de ces contributions peut être approchée par un développement en série obtenu par la méthode de superposition proposée par D.J. Gorman [4], [5]. A titre d’exemple,
cette méthode permet d’obtenir le développement de la contribution symétrique-symétrique
WSS (x; y ) du déplacement vertical. Le développement en série est déterminé par la décomposition
représentée (Figure 1).
Les doubles cercles correspondent à une condition aux limites dite ”fictive” constituée
d’une réaction effective nulle et d’une rotation de section nulle. Les conditions aux limites
relatives à chacun des blocs de la décomposition sont suffisamment simples pour induire une
solution développable en série de Lévy (19) :
u
WSS (x; y ) =
+1
X
1 Wk (x) cos ky
SS
b
k=0
+
+1
X
2 W (y ) cos kx
SS k
a
k=0
(19)
Les fonctions 1SS Wk (x) et 2SS Wk (y ) sont ensuite déterminées par résolution analytique
de (16) satisfaite par W SS (x; y ). On obtient, par exemple :
1 W (x) = A ek x + e k x + B ek x + e k x k
k
SS k
Figure 1 – Décomposition de contribution (Gorman).
Les paramètres k et k sont des quantités éventuellement complexes dépendant de la pulsation ! , données par :
2
k2 = k
+!
b
q
2
k2 = k
b
h
D
!
q
h
D
Ak , Bk sont les constantes d’intégration, composantes de fCg. Les fonctions de base h in (x; y ) de l’expression (4) mises en jeu pour cette contribution sont donc ici de la forme cosh ( k x) cos ky
b
et cos (k x) cos ky
ou cosh (k x) cos ky
selon les valeurs respectives de ! et k .
b
b
Cette opération est réalisée pour chacune des contributions et pour chacun des champs de
déplacement inconnus. La suite des opérations de construction de la matrice de raideur est
réalisée avec l’appui d’un code de calcul formel.
3.3 Expression des conditions aux limites sous code de calcul formel
A
B
L’expression analytique des matrices [ (! )] et [ (! )] est obtenue à l’aide du code de
calcul formel Maple pour chacune des contributions selon la procédure suivante.
u
Les expressions analytiques (19) des composantes de la solution générale (x; y ) sont
introduites dans le code qui construit les expressions analytiques des efforts internes à partir
des relations efforts-déplacements données (18). Ces expressions dépendent d’un même jeu
de N constantes d’intégration.
Le code de calcul formel se charge ensuite d’évaluer les expressions de déplacement
et d’effort sur chacun des deux bords libres du quart de plaque puis par factorisation des
constantes d’intégration construit les matrices [@ ! (s)] et [@ ! (s)] des expressions (7,8).
H
G
A
B
Le code de calcul construit ensuite les matrices [ (! )] et [ (! )] terme à terme par
évaluation analytique des projections < @H ij ; ek > et < @Gij ; ek >. Pour permettre l’assemblage non coplanaire des plaques, il est important ici d’utiliser la même base hilbertienne
(ek ) pour toutes les composantes d’effort et de déplacement. Cette base est ici constituée par
les fonctions :
(2k 1) y
cos
2b
(2
k 1) x
kx
cos a ; sin
2a
ky
; sin
b
sur le coté x = a
(20)
=b
(21)
sur le coté y
3.4 Construction numérique des matrices de raideur et assemblage
Maple
La suite des opérations de construction est réalisée numériquement. Le code
génère,
pour chaque contribution, un fichier C ou FORTRAN, codage des expressions formelles
des matrices [ (! )] et [ (! )]. Pour chaque pulsation ! , il est alors possible d’évaluer
numériquement ces matrices puis d’obtenir la matrice de raideur dynamique de chaque contribution par l’expression (15). Les matrices de raideur dynamique de flexion et de membrane
sont obtenues numériquement par expansion à la plaque entière puis superposition des contributions. L’assemblage est ensuite réalisé de la même manière que dans la méthode des
éléments finis par changement de base et addition des termes relatifs à deux cotés adjacents.
A
B
4 Analyse modale et réponse harmonique d’un assemblage
de plaques non-coplanaires
4.1 Structure modélisée
L’élément développé est utilisé pour évaluer la réponse harmonique de deux plaques noncoplanaires. Ces plaques ont une épaisseur de 2 mm, des dimensions respectives de 0; 5 m 0; 5 m et 0; 559 m 0; 5 m, des caractéristiques matériaux E = 210000 MP a, G =
80770 MP a et = 7800 kg:m 3 . La seconde plaque est inclinée d’un angle de 26,6 Æ par
rapport à la première. Cette structure est modélisée à l’aide de 2 éléments continus puis par
plusieurs maillage éléments finis de type plaque (Figure 2). 9 termes sont retenus dans les
développements en série de la formulation continue.
Les conditions aux limites sont de type libre en tout point du contour.
4.2 Analyse modale
Une analyse modale est menée à l’aide de modèles éléments finis composés respectivement de 200, 800 et 1800 éléments. Les fréquences propres obtenues sur l’intervalle [400
Hz,500 Hz] sont comparées aux fréquences annulant le déterminant de la matrice de raideur
dynamique [ (! )] du modèle continu. Les résultats obtenus figurent dans le tableau 1.
On observe ici la convergence des résultats éléments finis vers les fréquences propres de
notre modèle.
K
2 Eléments continus à 9 termes
1800 Eléments finis plaques
Figure 2 – Structure modélisée
200 EF
800 EF
1800 EF
2 EC
403
402
402
402
410
408
408
408
441
440
441
441
453
452
452
451
454
453
453
453
464
463
463
464
470
469
469
470
477
472
472
472
491
485
484
484
Tableau 1 – Fréquences propres de la structure libre.
4.3 Réponse harmonique
La structure est soumise à un chargement ponctuel vertical unitaire en un coin de la
deuxième plaque. Ce chargement sollicite ces plaques dans et hors leurs plans.
Le chargement est introduit sur le modèle continu à l’aide du développement d’un Dirac
sur la base de fonctions (20). Les composantes non nulles du vecteur des efforts extérieurs
sont de la forme :
!
1 ; ( 1)k
2b
b
k2[1;:::;8]
La réponse de la structure est évaluée au point et dans la direction de la sollicitation. Cette
réponse est comparée à celle obtenue par le modèle éléments finis plaques à 1800 éléments
(Figure 3). On observe une excellente concordance des résultats.
5 Conclusion
L’élément continu de plaque développé ici permet de modéliser très simplement des assemblages tridimensionnels de plaques rectangulaires. Ce type de modélisation est particulièrement adapté au problème de réponse harmonique des structures. Le modèle permet
−20
−40
−60
20 Log|Uz|
−80
−100
−120
−140
−160
1800 Eléments finis plaques
2 Eléments continus plaques (N=9)
−180
−200
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Fréquence (Hz)
Figure 3 – Réponse harmonique 2 EC/1800 EF.
d’obtenir à l’aide d’un volume de données réduit des résultats d’une grande précision. La
dimension de la matrice de raideur dynamique relative à l’assemblage de plaque présenté ici
est de l’ordre de 800x800.
Les perspectives à court terme sont aujourd’hui le développement d’un élément de plaque
de Mindlin selon cette formulation.
Références
[1] BATOZ , J.L., D HATT, G. Mod élisation des structures par éléments finis, vol. 2. Hermes
(1990).
[2] C ASIMIR , J.B. Eléments continus de type poutre (Etude statique et dynamique d’assemblages de poutres planes ou gauches). Thèse de Doctorat - Conservatoire National
des Arts et Métiers (1997).
[3] D UFOR ÊT, C. Dynamic Study of an Assembling of Rods in Medium and Higher Frequency Ranges - Computer code E.T.A.P.E. Third colloqium on new trends in structure
calculations - Proceedings - Bastia (1985).
[4] G ORMAN , D.J. Free Vibration Analysis of rectangular Plates. Elsevier (1982).
[5] G ORMAN , D.J. Vibration Analysis of Plates by the Superposition Method. World
Scientific (1999).
[6] K EVORKIAN , S., PASCAL , M. An accurate Method for Free Vibration Analysis of
Structures with Application to Plates. Journal of Sound and Vibration, 246(5), 795–814
(2001).
[7] K ULLA , P.H. The Continuous Elements Method. ESA Int. Conf. on Spacecraft Structures and Mechanical Testing, ESTEC, Noodwijk, The Nederlands (1991).
[8] L E S OURNE , H. Développement d’éléments continus de coques axisym étriques et de
coudes. Thèse de Doctorat - Université de Nantes (1998).
[9] LEUNG , A.Y.T. Dynamic Stiffness and Substructures. Springer Verlag (1993).