Oscillateur de Van der Pol - RISC-E

Oscillateur de Van der Pol
Histoire
• Balthasar van der Pol, ingénieur hollandais, en
électro-technique, a découvert un mode
d’oscillation stable, appelé cycle limite, dans des
circuits électriques employant des tubes à vide.
• Van der Pol er son collègue van der Mark ont
observé en 1927 qu’à certaines fréquences un
bruit irrégulier, très inhabituel apparaissait.
• La description de ce système l’a amené à écrire
une équation qui porte son nom et qui a été
utilisée largement en physique, en biologie et en
géologie (modèles de failles).
Le pendule simple
• Pour une liaison est parfaite, s'il n'y a
aucun frottement
• Pour rendre compte de la puissance
dissipée par frottements on peut
ajouter un terme dépendant de 
• Cet oscillateur n'est pas linéaire sauf pour les petits angles où l'on
peut faire l'approximation :
avec
L’oscillateur de Van der Pol
• pour que les oscillations prennent naissance au niveau du
système, il faut que le coefficient devant le terme du premier
ordre soit négatif.
• Pour que ces mêmes oscillations soient limitées en
amplitudes il faut que ce coefficient change de signe,
• Le système évolue alors sur un cercle limite.
où
sont des constantes caractéristiques du système.
• La forme du coefficient de  (le facteur d'amortissement)
permet d'atteindre le but cherché. S’il est positif, il y a
amortissement ; quand il est négatif, il y a amplification
• L'équation différentielle de Van der Pol n'est pas linéaire et
n'a pas de solution analytique. Elle doit être intégrée
numériquement.
•Pour des amplitudes faibles
le rapport est négligeable devant 1.
L'équation se ramène à une équation différentielle linéaire correspondant à
la naissance d'oscillations dont l'amplitude croît exponentiellement.
• Lorsque l'amplitude des oscillations est importante le rapport devient
supérieur à 1 et le terme change de signe. L'amplitude des oscillations
décroît exponentiellement.
•Le système évolue alors entre deux états limites infiniment proches qui
définissent l'amplitude et la forme des oscillations.
•Le terme en sera responsable de la valeur de l'amplitude des
oscillations alors que
va agir sur le caractère plus ou moins sinusoïdal
de celles-ci.
si l’on veut tenir compte d’un forçage extérieur sur l’oscillateur, il faut
introduire dans l’équation un second membre de la forme :
Exemple de trajectoire dans
l’espace des phases
• x représente  et y  x  
• On voit apparaître un cercle limite stable dû à la limitation
d’amplitude introduite par le terme de frottement quadratique