Application du principe de Hamilton en mécanique des fluid

L’application
du principe
de Hamilton
en mécanique des fluides
Implementation
of the Hamilton’s principle
in fluid mechanics
Jean de Climont associates Ltd
Montreal, Paris, Staufenberg, May 2008
1 Introduction
Plusieurs sites Internet exposent le problème de la rotation des cyclones de
manière enfin conforme à la réalité. L’accélération de Coriolis, dont le caractère
mystérieux a le don de plaire, selon le célèbre jugement d’Erasme, ne joue, au
mieux, qu’un rôle marginal dans la rotation des cyclones, et ce d’autant plus
qu’à proximité de l’équateur son effet est nul.
La rotation des écoulements de condensation n’est pas le résultat du hasard ou
d’une quelconque « loi de la Nature ». C’est un problème d’énergie minimale
comme dans la théorie de l’élasticité, ou, si l’on préfère les visions plus
mathématiques de la physique, une conséquence directe du principe de
Hamilton.
2 Cas des fluides parfaits et visqueux (3 dimensions).
2.1 Applications du principe de Hamilton
NOTA : Dans ces équations, v est la vitesse du fluide en un point donné, p la
pression, g la gravité, ρ la masse volumique. Dans la suite µ est la viscosité.
2.1.1 Continuité
div v = 0
(1)
2.1.2 Equation d’Euler (fluide parfait) :
(v ∇) v = - 1 grad p + g
(2)
r
2.1.3 Bernoulli (le long d’un filet fluide)
1 v2 + g z + p = Cte
2
r
2.1.4 Conservation de l’énergie (Equation de Lagrange)
2
L’équation est identique à l’équation de Bernoulli, mais elle est valable dans
toute la masse du fluide.
2.1.5 Application au puits-tourbillon.
De (1) on tire :
vr = - k
r2
et de (2) :
1 ∂ p = 2 k2+ vθ2
ρ ∂r
r5
(3)
r
1 ∂ p = k ( ∂vθ + vθ )
ρ r∂θ
r2
∂r
(4)
r
Si l’écoulement spatial des puits est à symétrie sphérique, il n’en va pas de
même de l’écoulement tourbillon qui est axial. L’axe permet de définir le plan
principal ou équatorial de l’ensemble des deux écoulements. Le théorème de
Poincaré entraîne la formation d’un tourbillon concentré dans la zone principale
ou équatoriale ainsi définie
puis de l’équation de Bernoulli :
1 ∂ p = 1 ∂vθ2 + 2 k2
ρ ∂r
2 ∂r
(5)
r5
Les équations (3) et (4) donnent :
vθ = - k’
r
3
L’écoulement puits-tourbillon est irrotationnel. Mais le laplacien étant nul, les
équations en fluides visqueux sont exactement identiques. Ce genre
d’écoulement dérive d’un potentiel.
f(z) = A Log(z) + i B Log (z)
où a et b sont des constantes. On prendra B = - b² pour définir un sens de
rotation
et
A = - a² pour définir le sens d’écoulement du puits par opposition à la source.
Le Hamiltonien doit être un extremum. Le principe de Hamilton s’écrit :
t2
∂H = 0
avec
∂c
H=
∫ dt Σmv²
t
1
dans l’expression de l’action, c représente le paramètre d’une famille de
solutions possibles. Dans le cas du puits tourbillon, c’est le rapport des
constantes des deux écoulements. La généralité de la démonstration n’est pas
affectée en choisissant pour intervalle de temps celui qui correspond à une seule
rotation des particules fluides dans le tourbillon, donc la variation de θ de 0 à 2
π. On obtient :
H=2π
a4+b4
b²
Le hamiltonien est représenté par la courbe ci-après. On remarque que la
solution puits intégral, sans tourbilon, est théoriquement possible, mais
hautement instable. Les équations des écoulements puits tourbillon étant
exactement identiques pour les fluides parfaits et les fluides réels, il apparaît que
la théorie n’est nullement conforme à la réalité puisque, d’une part,
l’écoulement puits pur peut se maintenir en eau très calme et que, d’autre part,
le rapport entre les constantes du puits et du tourbillon n’est pas de un. Ces deux
faits viennent confirmer qualitativement l’extension de la conception même des
écoulements de Gennes, posant la mise en rotation de la couche pariétale des
huiles lourdes dans les canalisations de faible diamètre, à tous les écoulements
4
laminaires, extension objet de la note des ingénieurs associés de 1994.
L’application de cette conception était d’ailleurs basée sur les écoulements puits
tourbillons. L’extension ne pourrait être justifiée mathématiquement ici que par
l’application du principe de Hamilton à cette conception des écoulements
laminaires. C’est ce que les ingénieurs associés n’ont pas réussi à ce jour.
HAMILT ONIEN DE L'ECOULEMENT PUIT S-T OURBILLON
H = a2/b2+b2
10
9
8
7
6
5a
4
3
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
coefficient de rotation b/a
La pression s’annule pour la distance rc telle que :
p0 = r ( k’ - k )
r2c r4c
Dans un domaine très proche de la mécanique des fluides sur le plan purement
mathématique, l’élasticité, l’habitude est plutôt d’appliquer le principe de
l’énergie minimum, conséquence du Principe de Hamilton, mais beaucoup plus
intuitif. On obtient, bien évidemment le même résultat.
2.2 Applications du principe de l’énergie minimum
5
Entre l’instant - ∞ relatif à l’écoulement à l’infini et l’instant tc où la pression
s’annule, la variation d’énergie cinétique, représentant le travail des forces
résultant de la pression, est représentée pour une particule fluide dm par :
δ Ec
= 1 δm ( vr2 + vθ2 )
2
δ Ec dt = 1 δm ( k2 +k’2 ) dt
r4c r2c
2
Sur un cercle de rayon r : dt = rc dθ
k’
δ Ec t =
δm 2 π 1
rc
( k2 +k’2 )
rc2
k’
k est le paramètre du débit, et sa valeur ne peut donc être une condition de
l’énergie minimum. Il doit y avoir au moins une solution pour chaque valeur de
k. La dérivation doit donc être faite par rapport à k’ :
∂(δ Ec t ) =
∂k’
δm 2 π 1
rc
( k’2 - k2 )
k’2
rc2
Le minimum est obtenu pour k’ = + k .
Rc
6
3 CAS DES FLUIDES A MOMENTS CINETIQUES
Les équations de la mécanique des fluides ont été établies sur la base de
plusieurs hypothèses fondamentales. Il a été principalement supposé que les
molécules, ou atomes, n’ont pas de moment cinétique. Ce n’est pas le cas le plus
général.
Il convient d’abord de modifier les lois des chocs élastiques, en ajoutant la
transmission des moments cinétiques. Cette transmission ne peut se faire que
dans le cadre de la théorie de l’élasticité. Les déformations élastiques doivent
comporter une dissymétrie induite par les moments cinétiques des corps lors du
choc. La surface de rencontre est gauche au lieu d’être plane. C’est la condition
de la transmission d’un moment cinétique transversal : le gauchiment contribue,
avec l’aplatissement, à empêcher le glissement. La restitution de l’énergie de
déformation suit le processus inverse. Les particules d’un fluide, douées d’un
moment cinétique, ont, dès lors, six degrés de liberté. Dans le cadre de la théorie
cinétique des gaz, les particules ne rentrent pas dans le concept utilisé dans la
mécanique des fluides, mais s’applique aux atomes ou molécules du fluides. Le
principe d’équipartition de l’énergie permet une modification radicale des
équations fondamentales de la mécanique des fluides, qui conduit
principalement à une solution puits-tourbillon à vitesse tangentielle en
1/SQRT(R), au lieu de la forme bien connue en 1/R. Si, malheureusement,
l’écoulement n’est plus irrotationnel, il peut trouver des applications
intéressantes. Le caractère rotationnel n’est justement pas sans remarquables
conséquences comme on le verra dans le dernier paragraphe.
Chaque particule du fluide est donc supposé avoir 6 degrés de liberté
3.1 Continuité
div v = 0
(1)
qui donne comme dans les fluides parfaits sans moments cinétiques :
7
vr = - k
r2
Cette relation est la loi des flux fluides. Elle exprime qu’en l’absence de
condensations et d’évaporations internes autres qu’au centre du puits, le flux
massique se conserve. Tant que le fluide peut-être considéré comme
incompressible, le flux volumique se conserve également.
3.2 Théorème du moment cinétique.
Le théorème du moment cinétique pour un élément de volume dv = rdθ ds avec
ds = dr dz, s’écrit :
−
d ( IΩ) d (Σiω )
∂p
r∂θ × ds × r − Mt ( Forces de frottement ) =
+
r∂θ
dt
dt
I étant le moment d’inertie de l’élément de volume par rapport à l’axe
perpendiculaire au plan de l’écoulement passant par l’origine des coordonnées
cylindriques, Ω la vitesse angulaire locale de l’écoulement plan.
i est le moment d’inertie des composants du fluide par rapport à l’axe
perpendiculaire au plan de l’écoulement passant par leur centre de gravité et ω
la vitesse de rotation des composants de l’élément de volume autour de cet axe,
le produit de ces deux quantités étant sommés dans l’élément de volume.
Le moment cinétique principal peut se mettre sous une forme plus habituelle :
d ( ρdvr 2
d ( IΩ)
=
dt
avec :
dθ
r
= Vθ
dt
dθ
)
dt
dt
8
On peut donc écrire :
∂p
d ( ρdvrVθ ) d (Σiω )
r∂θ × ds × r − Mt ( Fft ) =
+
r∂θ
dt
dt
dV  d (Σiω )
∂p
 dr
−
r∂θ × ds × r − Mt ( Fft ) = ρdv Vθ + r θ  +
r∂θ
dt 
dt
 dt
dV  d (Σiω )
∂p

−
r∂θ × ds × r − Mt ( Fft ) = ρdvVrVθ + r θ  +
r∂θ
dt 
dt

1 ∂p Mt ( Fft ) VrVθ
∂V
∂V
1 d ( Σ iω )
−
−
=
+ Vr θ + Vθ θ +
ρ r∂θ
ρrdv
r
∂r
r∂θ ρrdv dt
−
Les frottements seront négligés dans la suite. Dans le cas du puits-tourbillon
cette dernière équation devient :
VrVθ
∂V
1 d (Σiω )
+ Vr θ +
r
∂r ρrdv dt
0=
3.3 Principe d’équipartition.
L’équipartition de l’énergie dans l’éther a pour conséquence que la moyenne
des moments cinétiques des gravitons n’est pas nulle. Dans les fluides à 6
degrés de liberté, l’énergie cinétique de rotation qui apparaît en raison de la
rotation du fluide doit être compensée par un apport d’énergie qui ne peut
provenir que des particules elles-mêmes. En l’absence de toute force extérieure,
l’équipartition de l’énergie se ramène à l’égalité des variations instantanées des
moments cinétiques :
rρdv
∂Vθ dr d (Σiω )
=
∂r dt
dt
soit :
Vr
∂Vθ
1 d (Σiω )
=
∂r
ρrdv dt
L’équation du § 2.2 devient :
0=
VrVθ
∂V
+ 2Vr θ
r
∂r
9
et donc :
Vθ = - k’
toujours avec Vr = - k
√r
r2
La pression s’annule pour la distance rc telle que :
p0 = ρ ( k’ - k )
rc rc4
Il faut noter que si l’écoulement puits lui-même est toujours irrotationnel,
l’écoulement tangentiel, le tourbillon, ne l’est pas. Les frottements devraient
donc être pris en compte dans les équations. La solution exposée n’est donc
valable que pour les vitesses tangentielles suffisamment faibles par rapport à la
vitesse quadratique moyenne d’agitation des composants du fluide, c’est-à-dire
par rapport à la célérité des ondes dans le fluide.
Les fluides à moments cinétiques sont composés de particules dotées d’un
moment cinétique brownien dont l’énergie de rotation correspondante est égale
à l’énergie cinétique d’agitation. Dans ces fluides, la notion de température est
exclue, et, puisque les frottements doivent être considérés comme négligeables
aux vitesses extrêmement faibles envisagées, les échanges d’énergie que
nécessitent les déplacements forcés se produisent par pompage ou apport
d’énergie cinétique de rotation à l’énergie cinétique de rotation brownienne.
3.4 Application du principe de l’énergie minimum
Entre l’instant - ∞ relatif à l’écoulement à l’infini et l’instant t, la variation
d’énergie cinétique, représentant le travail des forces résultant de la pression, est
représentée pour une particule fluide dm par :
δ Ec
=
δm ( Vr2 + Vθ2 )
10
δ Ec dt = δm ( k2 + k’2 ) dt
avec dt = rc √ rc dθ
r’4c r’c
δ Ec t =
k’
δm 2 π √ r’c ( k2 + k’2 )
r’3c
k’
k est le paramètre du débit, et sa valeur ne peut donc être une condition de
l’énergie minimum. Il doit y avoir au moins une solution pour chaque valeur de
k. La dérivation doit donc être faite par rapport à k’ :
∂(δ Ec t ) =
∂k’
δm
π √r’c
( 2 k’2 - k2 )
k’2
r’3c
Le minimum est obtenu pour
k
k’ = _______
r’c √r’c
Il n’existe donc qu’un seul écoulement puits-tourbillon conforme au principe de
l’énergie minimale, mais il faut noter que cet écoulement dépend de rc , et donc
de la manière dont s’établit le débit du puits, représenté par k. En particulier,
l’écoulement puits seul est exclu n’étant pas stable.
3.5 Transfert d’énergie
Il faut noter qu’une particule fluide située à une distance r du puits, dans un
fluide parfait, est animée de deux mouvements de rotation opposés : le premier
dû à la rotation d’ensemble dans le tourbillon, le second dû à la variation de la
vitesse tangentielle du tourbillon entre les extrémités de la particule fluide la
plus proche et la plus éloignée du puits.
11
Or, dans le puits-tourbillon en fluide parfait, les vitesses angulaires de ces deux
rotations sont égales et opposées :
ω1 = Vθ
=
r
k’
ω’1 = 1∂Vθ dr /dr
r2
2 ∂r
2
= - k’
r2
Il n’y a donc aucune rotation des particules du fluide. Toutefois, il en résulte une
rotation différentielle de particules du fluide qui ne correspond pas au modèle
classique puisque le Laplacien est nul et qu’en conséquence il n’y a pas de
frottements au sens classique. Cet écoulement est dit irrotationnel. Par contre, il
existe des frottements qualifiés de cinétiques, car provenant de rotations
relatives qui permettent d’ailleurs d’expliquer l’anomalie liée au soulèvement de
la surface libre près de la bonde par rapport à la surface théorique obtenue en ne
considérant pas les frottements cinétiques, donc dans ce cas, en l’absence de
tout frottement. On peut noter au passage, que l’approche cinétique des
frottements dans les fluides permet également d’expliquer le comportement des
fluides dans leur écoulement autour d’un cylindre et, beaucoup plus
fondamentalement, le comportement de l’hélium superfluide dans un cylindre
en rotation sans faire appel, en aucune manière, à des considérations
probabilistes, entièrement étrangères à la mécanique des fluides, et de résoudre
les paradoxes du bi-fluide de Landau. Ce qui résulte, aussi bien, du concept de
mise en rotation pariétale des écoulements de Gennes, étendu à tous les
écoulements laminaires.
Par contre, dans l’écoulement puits-tourbillon en fluide à moments cinétiques, la
vitesse angulaire de la rotation d’ensemble est l’opposé du double de celle de la
rotation due à la variation de vitesse tangentielle :
ω2 = Vθ
r
=
k’
ω’2 = 1∂Vθ dr /dr
r√r
2 ∂r
2
=-1
k’
2 r √r
Il y a donc bien transfert d’énergie. Il en a été tenu compte dans les équations.
Dans le cas des fluides à moments cinétiques, on peut avoir l’ordre de grandeur
de l’énergie pompée dans l’énergie cinétique de rotation brownienne du fluide,
12
en intégrant l’énergie cinétique de rotation de l’écart entre les deux vitesses de
rotation ci-dessus depuis l’infini jusqu’à la distance R du puits :
R
R
∫ Σ ½ i ω22 /4 = ∫ ½ (2 π r dr dz λ) i (1/4) k’2/r3
∞
= (π/4) λ dz i k’2/R
∞
λ étant le nombre de particules du fluide par unité de volume, i le moment
d’inertie de ces particules et dz la hauteur de la zone considérée
4 Conclusion
L’approche des ingénieurs associés pour les fluides réels, par opposition aux
fluides parfaits, ne serait pleinement validée que par la détermination du
hamiltonien des écoulements à frottements cinétiques c’est-à-dire par rotations
différentielles des particules du fluide selon le concept des écoulements de
Gennes et non par déplacements différentiels selon le modèle actuel emprunté à
la mécanique des solides. Quant aux fluides à moments cinétiques internes, c’est
un tout autre problème qui n’a été ajouté à la présente note que pour être
formalisé.
13
1 Introduction
Condensation or well flows rotation are not occurring as a result of some
“law of Nature” or by chance. It is a direct consequence of Hamilton’s
principle. It can be considered as well as an implementation of the minimum
energy as used within Elasticity theory.
2 Perfect and viscous fluids (3D).
2.1 Hamilton’s principle implementation
Note : within the following equations, v is the speed of the fluid at a given
point, p the pressure, g gravity, ρ volume mass. µ is the fluid viscosity.
2.1.1 Continuity
div v = 0
(1)
2.1.2 Euler’s equation (perfect fluid):
(v ∇) v = - 1 grad p + g
(2)
r
2.1.3 Bernoulli (along a fluid thread)
2
1 v + g z + p = Cte
2
r
2.1.4 Energy Conservation (Lagrange’s Equation)
This equation is the same as Bernoulli, but it is valid within the whole fluid.
2.1.5 Implementation to the whirl well flow.
From (1) it comes:
vr = - k
2
r
14
and from (2):
2
2
1 ∂ p = 2 k + vθ
5
ρ ∂r
r
(3)
r
1 ∂ p = k ( ∂vθ + vθ )
ρ r∂θ
2
r
∂r
(4)
r
The 3D well flows have a spherical symmetry although the whirl flows are
axial. The axis defines the main or equatorial plane of the combined flow.
The Poincare’s theorem entails the whirl to concentrate in the main plan of
the combined flow. Bernoulli’s equation gives:
2
2
1 ∂ p = 1 ∂vθ + 2 k
ρ ∂r
2 ∂r
(5)
5
r
Equations (3) et (4) give:
vθ = - k’
r
The whirl-well flow is irrotationnal. As the Laplacian is null, viscous fluids
are the same as for perfect fluids. The flow is deriving from a potential.
f(z) = A Log(z) + i B Log (z)
where A and B are constants. It may be assumed that B = - b² in order to
define the rotation direction and A = - a² for the condensation flow.
The Hamiltonian shall be an extremum. Hamilton’s principle writes:
15
WHIRL-WELL FLOWS HAMILTONIAN
H = a2/b2+b2
10
9
8
7
6
5a
4
3
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
rotation coefficient b/a
t2
∂H = 0
avec
∂c
H=
∫ dt Σmv²
t
1
Within the “action”, c is the parameter of the possible flows family. For
Whirl-well combine flows, it is the ratio of the constants. The demonstration
remains fully general when assuming the time interval to be limited to one
turn i.e. for θ increasing from 0 to 2 π. Then it comes:
4
4
H = 2 π a +b
b²
The Hamiltonian variation is given by the curve hereafter. It appears that the
sole well flow is highly unstable. Viscous and perfect flows are identical in
that case. Thus the theoretical approach is not complying with reality, for a
pure well may occur within initially motionless water. Moreover, the
theoretical ratio is not complying with observation. This is qualitatively
confirming the extension of de Gennes’ flows involving a rotation of the
parietal layer of heavy oil flows within small pipes to all laminar flows as
proposed by the associated engineers report dated 1994. This can be
confirmed fully only by implementing the Hamilton’s principle to the
associated engineers’ approach of kinetic angular friction within laminar
flows. The associated engineers failed to obtain such a proof up to now.
16
The pressure is null for the value of rc giving:
p0 = r ( k’ - k )
2
4
rc rc
Instead of implementing the Hamilton’s principle, the intuitive principle of
minimum energy, well known in Elasticity theory, may be used as well.
2.2 Minimum energy principle implementation
Between t = - ∞ at an infinite distance and t = tc where the pressure is
null, the kinetic energy variation is equal to the work of pressure forces for a
fluid particle dm:
δ Ec
2
2
= 1 δm ( vr + vθ )
2
2
2
δ Ec dt = 1 δm ( k +k’ ) dt
4
2
2
rc rc
Along a circle with r radius: dt = rc dθ
k’
δ Ec t =
2
δm 2 π 1
rc
2
(k
+k’ )
2
k’
rc
k is the flow parameter and cannot be a condition of the minimum energy.
There shall be only one very single value for each value of K. The derivation
shall be perform on k’:
∂(δ Ec t ) =
∂k’
2
δm 2 π 1
rc
( k’
2
- k )
2
2
k’
rc
The minimum is obtained forr k’ = + k .
Rc
17
3 FLUIDS WITH ANGULAR MOMENTUM OF PARTICLES
Fluids mechanics equations have been issued with some fundamental
hypotheses. Mainly, it is assumed that the atoms or molecules of the fluid
don’t own any angular momentum. The general case shall include such an
angular momentum although this is definitely not the case neither for perfect
fluids nor for viscous fluids nor for superfluids.
The first point is to change the elastic impact laws. The angular momentum
shall be added. The angular momentum exchange is only possible within the
elasticity theory. Elastic buckles are not symmetrical. This is a result of the
angular momentum. The impact zone is then buckled. The buckling combine
with the flattening is preventing the fluid particles to slip on one another.
Then the fluid particles have six degrees of freedom. The equipartition
principle applies. The fluid mechanics equations are dramatically changes
accordingly. The tangential speed law is 1/SQRT(R), instead of 1/R.
Unfortunately the flow is no more irrotationnal. This is involving in fact
some interesting consequences as underlined within the last paragraph.
3.1 Continuity
div v = 0
(1)
the relation gives the same result as for perfect fluids:
vr = - k
2
r
This is, of course, the fluxes law.
3.2 Angular momentum theorem
The angular momentum theorem writes for a fluid volume element dv = rdθ
ds with ds = dr dz:
18
−
d ( IΩ) d (Σiω )
∂p
r∂θ × ds × r − Mt ( friction forces) =
+
r∂θ
dt
dt
I is the inertia angular momentum of the fluid volume element related to the
axis perpendicular to the flow and including the cylindrical co-ordinates
origin; Ω is local angular speed of the plane flow; i is the inertia angular
momentum of the fluid particles related to the axis perpendicular to the flow
plane and including the gravity centre of the particles and ω the revolution
speed of the fluid particles around this axis. The product of those two
quantities is summed up within the fluid volume element.
The main angular momentum may writes:
d ( IΩ)
=
dt
with :
r
d ( ρdvr 2
dθ
)
dt
dt
dθ
= Vθ
dt
So that it may be written now:
∂p
d ( ρdvrVθ ) d (Σiω )
r∂θ × ds × r − Mt ( Fft ) =
+
r∂θ
dt
dt
dV  d (Σiω )
∂p
 dr
−
r∂θ × ds × r − Mt ( Fft ) = ρdv Vθ + r θ  +
r∂θ
dt 
dt
 dt
∂p
dV  d (Σiω )

−
r∂θ × ds × r − Mt ( Fft ) = ρdvVrVθ + r θ  +
r∂θ
dt 
dt

1 ∂p Mt ( Fft ) VrVθ
∂V
∂V
1 d ( Σ iω )
−
−
=
+ Vr θ + Vθ θ +
ρ r∂θ
ρrdv
r
∂r
r∂θ ρrdv dt
−
Friction are nor taken into account hereafter. In this case, the whirl well flow
equation hereunder becomes:
0=
VrVθ
∂V
1 d (Σiω )
+ Vr θ +
r
∂r ρrdv dt
3.3 Equipartition principle.
19
As a consequence of energy equipartition within the fluid, the average value
of angular momentum of the fluid particles is not null. Within fluids with 6
degrees of freedom, the kinetic angular energy involved by the fluid rotation
shall be balanced by an energy contribution. The only possible contributors
are the particles own angular momentum. The energy equipartition is
equivalent to the equality:
rρdv
∂Vθ dr d (Σiω )
=
∂r dt
dt
then:
Vr
∂Vθ
1 d (Σiω )
=
∂r
ρrdv dt
3.2 paragraph equation becomes :
0=
VrVθ
∂V
+ 2Vr θ
r
∂r
then:
Vθ = - k’
together with Vr = - k
√r
r2
The pressure is null for rc complying with :
p0 = ρ ( k’ - k )
rc
4
rc
Although the well flow remains irrotationnal, the tangential flow, i.e. the
whirl is not irrotational. Friction should be taken into account. The solution
hereunder is only valid for very slow flows. The fluid speed shall remain
very small compared to the quadratic mean Brownian speed.
3.4 Minimum energy principle implementation
Between t = - ∞ and t, the kinetic energy variation is equal to the pressure
force work for a fluid particle dm:
20
δ Ec
2
δm ( Vr
=
2
+ Vθ )
2
2
δ Ec dt = δm ( k + k’ ) dt
4
r’ c
δ Ec t =
with dt = rc √ rc dθ
k’
r’c
δm 2 π √ r’c ( k2 + k’2 )
3
k’
r’ c
k is the flow parameter; its value cannot be a condition of the minimum
energy. It shall exist at least one solution for each value of k. Derivation
shall be performed on k’:
∂(δ Ec t ) =
δm
π √r’c
2
( 2 k’
2
- k )
2
∂k’
3
k’
r’ c
The minimum is obtained for
k
k’ = _______
r’c √r’c
There is only one whirl-well flow complying with the minimum energy
principle. This flow is depending upon rc, thus on how the well flow is
established.
3.5 Energy transfert
Within perfect fluid, a fluid particle located at the distance r from the centre
of the well has to opposite motions: the first one is linked to the overall
rotation of the fluid within the whirl, the second one is a result of the
tangential speed variation within the whirl. In perfect fluid, these two
angular speed are equal.
ω1 = Vθ
r
= k’
2
r
ω’1 = 1∂Vθ dr /dr
2 ∂r
21
2
= - k’
2
r
So that fluid particles have no rotation at all. This is why the flow is
irrotational. The discrepancy between the theoretical surface curve and the
experimental curve shows that the conventional friction approach is not
correct as it is not complying with experiment. This was the reason for
proposing a new approach taking into account the angular motion of fluid
particles. The very same approach deriving from the de Genness flows of
heavy oil in small pipes, allows not only to explain the anomaly of laminar
flows around cylinder but also the behaviour of superfluid within rotating
bucket without any reference to any kind of probabilistic approach fully
contradictory with fluid mechanics theory and to explain the paradoxes
resulting from the Landau’s bi-fluid. This would results as well directly from
the de Gennes’ flows approach.
This rationale is only applicable when there are no angular momentum
within the fluid. In the case there are such angular momentum, the angular
speed of the overall flow is the double of the rotation involved by the
tangential speed rotation within whirl-well flows, and I the opposite
direction:
ω2 = Vθ
=
r
k’
ω’2 = 1∂Vθ dr /dr
r√r
2 ∂r
2
=-1
k’
2 r √r
So that there is an energy transfer needed. This is taken into account within
the equations.
The energy pumped out from the Brownian angular speed energy my be
calculated:
R
R
2 3
2
∫ Σ ½ i ω2 /4 = ∫ ½ (2 π r dr dz λ) i (1/4) k’ /r
∞
2
= (π/4) λ dz i k’ /R
∞
λ is the number of fluid particles in the volume element, i the inertia
momentum of those particles and dz the height of the zone involved.
22
4 Conclusion
Full validation of the associated engineers approach, extending the de
Gennes’ flows, involving fluid friction within laminar flows based upon
differential angular motion friction instead of longitudinal differential
motion as for solids, requires the calculation of the related Hamiltonian.
Implementation of Hamilton’s principle to fluids with internal angular
momentum has been added to this paper for information only.
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