Equilibre Général dans une économie de production

THEME 5
Equilibre Général dans une économie
de production
Exercice n°14 :
On considère une économie de production constituée de 2 producteurs. chaque
producteur est spécialisé dans la production d’un bien et utilise pour cela deux
inputs, le travail (noté L) et le capital (noté K).
Le producteur 1 offre le bien 1 et sa fonction de production est définie par la
fonction Cobb-Douglas suivante :
1
1
Y1 = 5K14 L14
Le producteur 2 offre le bien 2 et sa fonction de production est définie par la
fonction Cobb-Douglas suivante :
1
1
Y2 = 10K22 L22
Les ressources de l’économie en facteurs de production sont les suivantes :
¯
(K, L) = (100; 150). Les dotations initiales des 2 producteurs en inputs sont :
(K̄1 , L̄1 ) = (50; 100) et (K̄2 , L̄2 ) = (50; 50).
1. Déterminez l’équilibre général de production de cette économie.
2. Déterminez l’expression de la courbe des contrats de production ParetoEfficient.
3. Déterminez l’expression de la courbe de transformation des produits. En
déduire l’expression du taux de transformation des produits.
1
Correction
On considère une économie de production constituée de 2 producteurs. chaque
producteur est spécialisé dans la production d’un bien et utilise pour cela deux
inputs, le travail (noté L) et le capital (noté K).
Le producteur 1 offre le bien 1 et sa fonction de production est définie par la
1
1
fonction Cobb-Douglas suivante : Y1 = 5K14 L14 .
Le producteur 2 offre le bien 2 et sa fonction de production est définie par la
1
1
fonction Cobb-Douglas suivante : Y2 = 10K22 L22 .
Les ressources de l’économie en facteurs de production sont les suivantes : (K,¯ L) =
(100; 150). Les dotations initiales des 2 producteurs en inputs sont : (K̄1 , L̄1 ) =
(50; 100) et (K̄2 , L̄2 ) = (50; 50).
1. Déterminez l’équilibre général de production de cette économie.
• Cherchons d’abord les équilibres individuels :
Pour le producteur 1

max
Y1 (K1 , L1 )
sc pK K1 + pL L1 ≤ 50pK + 100pL
K1 ,L1
On utilise la méthode de Lagrange :
1
1
max L = 5K14 L14 + λ(50pK + 100pL − pK K1 − pL L1 )
K1 ,L1 ,λ
Les conditions du premier ordre sont :
∂L
=0
∂K1
∂L
=0
∂L1
∂L
=0
∂λ
Soit,
5 − 34 41
K L − λpK = 0
4 1 1
5 14 − 34
K L − λpL = 0
4 1 1
50pK + 100pL = pK K1 + pL L1
2
(1)
(2)
(3)
Les équation 1 et 2 donnent TMST=rapport des prix :
L1
pK
=
K1
pL
pK K 1
L1 =
pL
T M SL/K =
(4)
On intègre 4 dans 3 :
pK K 1
pL
50pK + 100pL = 2pK K1
pL
K1 = 25 + 50
pK
50pK + 100pL = pK K1 + pL
On transfère ce résultat dans 4 :
pL
pK
pK
(25 + 50 ) = 25
+ 50
L1 =
pL
pK
pL
Pour le producteur 2

max
Y2 (K2 , L2 )
sc pK K2 + pL L2 ≤ 50pK + 50pL
K2 ,L2
On utilise la méthode de Lagrange :
1
1
max L = 10K22 L22 + λ(50pK + 50pL − pK K2 − pL L2 )
K2 ,L2 ,λ
Les conditions du premier ordre sont :
∂L
=0
∂K2
∂L
=0
∂L2
∂L
=0
∂λ
Soit,
−1
1
5K2 2 L22 − λpK = 0
1
2
− 12
5K2 L2 − λpL = 0
50pK + 50pL = pK K2 + pL L2
3
(1)
(2)
(3)
Les équation 1 et 2 donnent TMST=rapport des prix :
L2
=
K2
pK
pL
p K K2
L2 =
pL
T M SL/K =
On intègre 4 dans 3 :
50pK + 50pL =pK K2 + pL
pK K 2
pL
50pK + 50pL =2pK K2
K2 =25 + 25
pL
pK
On transfère ce résultat dans 4 :
L2 =
pK
pL
pK
(25 + 25 ) = 25
+ 25
pL
pK
pL
• On peut alors déterminer l’équilibre général :

K ∗
∗
1 + K2 = 100
L∗ + L∗ = 150
2
1

25 + 50 pL
⇔
⇔
25 ppKL

75 pL
pK
50 pK
pL
+ 25 + 25 ppKL = 100
+ 50 + 25 ppKL + 25 = 150
pK
= 50
= 75
2
3
⇔ ppK
3

K


=
pL
2

pL



=
Les quantités d’inputs sont alors :
K1∗ = 58.33, K2∗ = 41.67 et L∗1 = 87.5, L∗2 = 62.5.
Les quantités offertes et demandées par chaque producteur sont :
• Producteur 1 :
K1∗ − K̄1 = 8.33. Il est demandeur de capital.
L∗1 − L̄1 = −12.5. Il est offreur de travail.
4
(4)
• Producteur 2 :
K2∗ − K̄2 = −8.33. Il est offreur de capital.
L∗2 − L̄2 = 12.5. Il est demandeur de travail.
2. Déterminez l’expression de la courbe des contrats de production
Pareto-efficient.
La courbe des contrats de production pareto-efficient représente l’ensemble
des allocations de facteurs pareto-efficient.
Calculons d’abord les TMST :
T M STK1 /L1 =
T M STK2 /L2 =
∂Y1
∂L1
∂Y1
∂K1
∂Y2
∂L2
∂Y2
∂K2
=
K1
L1
=
K2
L2
En tenant compte des contraintes de marché :
(
K1 + K2 = 100
L1 + L2 = 150
(
K2 = 100 − K1
L2 = 150 − L1
La courbe des contrats pareto efficients correspond à une situation où
les TMST des deux entreprises s’égalisent (personne n’a intérêt à dévier de
cette position).
T M ST1 = T M ST2
K1
K2
⇔
=
L1
L2
100 − K1
K1
=
⇔
L1
150 − L1
⇔ 100L1 − K1 L1 = 150K1 − K1 L1
⇔ 100L1 = 150K1
La courbe des contrats dans l’espace (O1 , L1 , K1 ) est alors définie par:
2
K1 = L1
3
5
La courbe des contrats dans l’espace (O2 , L2 , K2 ) est telle que :
3
L2 = K2
2
3. Déterminez l’expression de la courbe de transformation des produits. En déduire l’expression du taux de transformation des produits.
La courbe de transformation des produits représente l’ensemble des combinaisons de production (Y1∗ , Y2∗ ) correspondant aux contrats de production
pareto-efficients, dans le plan (Y1 , Y2 ).
Les correspondances entre courbe des contrats et courbes de transformation :
la courbe des contrats de production pareto-efficient représente l’ensemble
des allocations de facteurs pareto-efficient (dans la boite d’Edgeworth, c’est
le plan des facteurs),
Cherchons la demande d’input en fonction de l’output pour chaque producteur:
Producteur 1:
1
1
2
K1 = L1 et Y1 = 5K14 L14 , on obtient :
3
1
1
2 1 1
2
Y1 = 5( L1 ) 4 L14 = 5( ) 4 L12
3
√3
2
Y1
Y 3
L1 = ( 2 1 )2 = 1 √
25 2
5( 3 ) 4
Producteur 2:
1
1
2
K2 = L2 et Y2 = 10K22 L22 , on obtient :
3
1
1
2
2 1
Y2 = 10( L2 ) 2 L22 = 10( ) 2 L2
3
3
√
Y2
Y2 3
√
L2 =
1 =
10 2
10( 23 ) 2
6
En prenant maintenant en compte les contraintes de rareté :
L1 + L2 =150
√
√
Y12 3 Y2 3
⇔ √ + √ =150
25 2
10 2
√
√
Y2 3
Y12 3
⇔ √ =150 − √
10 2
25 2
La courbe de transformation des produits est ainsi définie par :
√
2 10Y12
Y2 = 1500 √ −
25
3
Le taux de transformation des produits (TTP) correspond à la pente
de la courbe de transformation des produits.
TTP =
∂Y2
−4Y1
=
∂Y1
5
L’augmentation d’une unité de Y1 entraîne une diminution de 45 Y1 unités de
Y2 pour que la situation soit toujours pareto efficiente.
7
Exercice n°15 : L’économie de Robinson Crusoë...
Soit un consommateur qui possède la fonction d’utilité suivante : U = ln(x1 ) +
ln(x2 ) + ln(l), où x1 et x2 sont les quantités de biens consommés et l représente le
loisir.
Tout revenu provient uniquement du travail. Ce dernier est contraint par le temps
total disponible T , qui est constant. Le temps T est affecté au travail et au loisir.
Soit un producteur qui produit deux biensqen utilisant comme seul input le
travail (L). Sa fonction de production est L = 8(x1 )2 + 2(x2 )2 .
1. Déterminez les fonctions de demande de biens et l’offre de travail du consommateur.
2. Déduire des résultats précédents les fonctions d’offre de biens du producteur
si l’économie se résume à ces deux agents, le marché du travail étant en
équilibre.
3. Calculez les prix de l’équilibre général.
8
Correction
Soit un consommateur qui possède la fonction d’utilité suivante : U = ln(x1 ) +
ln(x2 ) + ln(l) où x1 et x2 sont les quantités de biens consommés et l représente le
loisir.
Tout revenu provient uniquement du travail. Ce dernier est contraint par le temps
total disponible T qui est constant. Le temps T est affecté au travil et au loisir.
Soit un producteur qui produit deux biensqen utilisant comme seul input le
travail (L). Sa fonction de production est L = 8(x1 )2 + 2(x2 )2 .
1. Déterminez les fonctions de demande de biens et l’offre de travail
du consommateur.

max
sc
U (x1 , x2 ) = ln(x1 ) + ln(x2 ) + ln(l)
:p1 x1 + p2 x2 ≤ R
x1 ,x2
On peut poser que :
T = t + l, Le temps total (la dotation initiale) se décompose entre travail et loisir,
l = T − t, Le temps de loisir est le temps que Robinson ne passe pas à travailler,
t = T − l, Le temps de travail est le temps que Robinson ne passe pas devant la Tv...
L’expression du revenu s’écrit également : R = wt, avec w le salaire.
Donc on peut écrire :

max
sc
U (x1 , x2 ) = ln(x1 ) + ln(x2 ) + ln(l)
:p1 x1 + p2 x2 ≤ wt
x1 ,x2
Or, nous pouvons également poser que :
l =T −t=T −
p 1 x1 + p 2 x2
w
Donc on peut poser une équation avec deux variables, x1 et x2 et une constante T :
max
U (x1 , x2 ) = ln(x1 ) + ln(x2 ) + ln(T −
x ,x
1
2
9
p 1 x1 + p 2 x2
)
w
Les conditions du premier ordre sont :
∂U
=0
∂x1
∂U
=0
∂x2
Soit,
1
p1
1
−
p1 x1 +p2 x2 = 0
x1
wT−
w
1
p2
1
−
=0
2 x2
x2
w T − p1 x1 +p
w
(1)
(2)
L’équation 1 se réécrit :
p 1 x1 + p 2 x2
w
(T −
)
p1
w
wT
p2
x1 =
− x1 − x2
p1
p1
p2
wT
−
x2
x1 =
2p1 2p1
x1 =
L’équation 2 se réécrit :
w
p 1 x1 + p 2 x2
)
(T −
p2
w
wT
p1
x2 =
− x2 − x1
p2
p2
wT
p1
x2 =
−
x1
2p2 2p2
x2 =
On remplace dans l’équation 4 :
wT
p2 wT
p1
−
[
−
x1 ]
2p1 2p1 2p2 2p2
wT
wT
1
x1 =
−
+ x1
2p1
4p1 4
3
2wT
wT
wT
x1 =
−
=
4
4p1
4p1
4p1
wT
x∗1 =
3p1
x1 =
10
(4)
Qui représente la demande optimale du consommateur en bien 1.
p1 wT
wT
−
2p2 2p2 3p1
wT
wT
2wT
x2 =
−
=
2p2
6p2
6p2
wT
x∗2 =
3p2
x2 =
Qui représente la demande optimale du consommateur en bien 2.
Pour trouver la fonction d’offre de travail :
wt =p1 x∗1 + p2 x∗2
wT
wT
wt =p1
+ p2
3p1
3p2
2wT
wt =
3
2T
t∗ =
3
La fonction d’offre optimale de travail.
2. En déduire les fonctions d’offre de biens du producteur si l’économie
est composée uniquement de ces deux agents et le marché de travail est en équilibre.
On note yi , l’offre de bien i. A l’équilibre les quantités produites par le
producteur sont intégralement consommées par le consommateur, de telle
sorte que yi =xi . On peut donc réécrire la fonction de demande de travail L
en substituant les quantités consommées par les quantités produites, comme
ci-dessous..
On peut ainsi établir qu’à l’équilibre l’offre de travail = demande travail :
⇔t=L
⇔L=
q
8(y1 )2 + 2(y2 )2 =
⇔ 8(y1 )2 + 2(y2 )2 =
s
⇔ y2 =
4T 2
9
2T 2
− 4(y1 )2
9
11
2T
3
(5)
Le producteur maximise son profit :
max Π = p1 y1 + p2 y2 −
y1 ,y2
2T
w
3
Avec l’équation 5 :
1
2T
2T 2
− 4(y1 )2 ) 2 −
w
1
9
3
−1
∂Π
p2
2T 2
⇔
= p1 − 8y1 (
− 4(y1 )2 ) 2 = 0
∂y1
2
9
2
−1
2T
− 4(y1 )2 ) 2 = 0
⇔ p1 − 4p2 y1 (
9
1
2T 2
− 4(y1 )2 ) 2 = 4p2 y1
⇔ p1 (
9
2T 2
− 4(y1 )2 ) = 16p22 y12
⇔ p21 (
9
2T 2
⇔ p21 (
− 4(y1 )2 ) − 16p22 y12 = 0
9
2T 2
− 4p21 (y1 )2 − 16p22 y12 = 0
⇔ p21
9
2
T
⇔ p21
= y12 (2p21 + 8x22 )
9
p21 T 2
⇔
= y12
2
2
9(2p1 + 8x2 )
max
Π = p1 y1 + p2 (
y
On obtient alors l’offre optimale de 1 :
p1 T
y1∗ = q
3 2p21 + 8x22
A l’aide de (5), il vient ensuite pour 2 :
y2∗ =(
1
2T 2
p21 T 2
− 4(
)2 ) 2
2
2
9
9(2p1 + 8x2 )
1
y2∗
2
T
4p2
= (2 − 2 1 2
3
2p1 + 8x2
y2∗
T 4p2 + 16p2 − 4p2 2
= ( 1 2 2 2 1 )
3
2p1 + 8x2
1
12
On obtient alors l’offre optimale de 2 :
y2∗ =
T
4p2
3 (2p21 + 8x22 ) 12
3. Calculez les prix de l’équilibre général.
A l’équilibre générale, on a pour le bien 1:
x∗1 =y1∗
p1 T
wT
= q
3p1 3 2p21 + 8x22
w
p1
=q
p1
2p21 + 8x22
w =q
p21
2p21 + 8x22
et pour le bien 2:
x∗2 =y2∗
4p2
wT T
=
2
3p2 3 (2p1 + 8x22 ) 21
w
4p2
= 2
p2 (2p1 + 8x22 ) 21
4p2
w= 2 2 2 1
(2p1 + 8x2 ) 2
On obtient donc :
w=q
p21
2p21 + 8x22
=
4p22
p21 =4p22
p1
=2
p2
13
1
(2p21 + 8x22 ) 2