FRACTIONS ET ECRITURES FRACTIONNAIRES Compétences

Compétences exigibles
FRACTIONS ET ECRITURES FRACTIONNAIRES
Commentaires
A l'école élémentaire l'écriture fractionnaire a été
Quotient de deux nombres entiers.
introduite à partir de situations de partage.
Ecriture fractionnaire.
Placer le quotient de deux entiers sur une Les activités poursuivies en sixième s'appuient sur
deux idées:
droite graduée dans des cas simples.
a
- le quotient est un nombre,
b
Savoir utiliser un quotient de deux entiers
a
dans un calcul sans effectuer la division.
- le produit de par b est égal à a.
b
4
3
comme quatre fois un tiers, le tiers de quatre ou
encore le nombre dont le produit par trois est égal à
quatre.
Dans des situations de proportionnalité, le quotient de
deux nombres est utilisé comme un opérateur. On
visera aussi à lui faire acquérir le statut de nombre au
travers de multiples activités: repérage (placement sur
une droite graduée), mesure, calcul (possibilité
d'utiliser un quotient b/a dans un calcul, sans effectuer
nécessairement la division de a par b).
Ceci permet de considérer un nombre tel que
On dégagera et on utilisera le fait qu'un quotient ne
change pas quand on multiplie son numérateur et son
Reconnaître, dans des cas simples, que deux dénominateur par un même nombre. A l’occasion de
écritures fractionnaires différentes sont celles simplifications, on pourra faire intervenir des critères
d'un même nombre.
de divisibilité, sans nécessairement les justifier.
Extension aux nombres décimaux.
Nombres décimaux en écritures décimales
et fractionnaires.
• Pour les nombres décimaux courants,
passer d’une écriture décimale à une
écriture fractionnaire et vice-versa.
• Ranger des nombres donnés en écriture
décimale.
• Sur une droite graduée :
– lire l’abscisse d’un point ou en donner un
encadrement,
– situer un point d’abscisse donnée.
On étendra le travail fait sur des entiers à des égalités
5,24
524
telles que
=
par exemple en utilisant la
2,1
210
calculatrice ou en ayant recours à des changements
d'unités. Cette extension permettra d'élargir la
division à des cas où le diviseur est décimal. Aucune
compétence n'est exigible à ce sujet.
Il s’agit de pouvoir utiliser différentes écritures
fractionnaires d’un même nombre décimal.
Les écritures fractionnaires et décimales pourront être
utilisées comme des moyens de contrôle mutuel des
opérations sur des nombres décimaux. C’est dans ce
seul cas que seront rencontrées les opérations (+, –, x)
en écriture fractionnaire telles que :
32
7
327
+
=
10 100 100
FRACTIONS ET ECRITURES FRACTIONNAIRES
Activité 1 page 70
I)
ECRITURE FRACTIONNAIRE
1) Représentation géométrique
k
Le rectangle est partagé en 8 morceaux égaux.
Les morceaux coloriés représentent les
3
du rectangle.
8
2) Vocabulaire
numérateur
3
8
est l’écriture d’une fraction.
Cela se lit « trois huitièmes » ou « trois sur huit »
dénominateur
remarque :
Lorsque le numérateur ou le dénominateur sont des nombres décimaux, on parle d’écriture
fractionnaire.
3,5 3,5
3
;
;
sont des écritures fractionnaires
4
4,2 4,5
Exercices 1,2,3 page 76
3) Exemples dans la vie courante
En cuisine : un tiers de litre de lait peut s’écrire (
Heure : 2 heures et quart, trois quarts d’heure.
Peuvent s’écrirent 2h
1 3
, d’heure
4 4
1
L de lait)
3
FRACTIONS ET ECRITURES FRACTIONNAIRES
Activité 2 page 70
II) ECRITURE FRACTIONNAIRE D’UN QUOTIENT :
1) Définition :
Tout quotient de nombres entiers s’écrit sous forme d’une fraction : a : b =
a
Le quotient
b multiplié par b donne a
2) Exemples :
3
a)
x4 = 3
4
b)
a
b
a
×b = a
b
5
x9 = 5
9
c)
2
x 11 = 2
11
3) Remarques :
48
= 48 : 6 = 8
6
7
= 7 : 2 = 3,5
2
7
= 7 : 3 ≈ 2,333....
3
c’est un nombre entier
c’est un nombre décimal
ce n’est pa un nombre décimal
On donnera donc qu’une valeur approchée du résultat.
Le quotient par excés au dixième de 7 par trois est 2,3
Le quotient par défaut au centième de 7 par trois est 2,33
Exercices 10, 11, 12 page 77
Activité (voir transparent)
III) FRACTIONS D’ UNE DEMI-DROITE GRADUEE
4
Pour placer la fraction : on partage le segment unité en neuf morceaux. On place la fraction à
9
la quatrième graduation :
0
1
9
4
9
1
Exemple
les
3
de ce segment :
5
Exercices 19, 20 page 78
FRACTIONS ET ECRITURES FRACTIONNAIRES
Activité 3 page 71
IV) FRACTIONS EQUIVALENTES ET QUOTIENTS EGAUX
1) Propriété
On ne change pas la valeur d'un quotient si l'on multiplie (ou si l'on divise) le dividende et
le diviseur par un même nombre.
÷3
:
×3
Il y a 3 morceaux sur 12, donc
3
12
Il y a 1 morceau sur 4, donc
1
4
Dans le deuxième cas, il y a trois fois moins de morceaux, mais ils sont trois fois plus grands.
2) Règle de transformation des fractions
La valeur d'une fraction ne change pas lorsque l'on multiplie (ou l'on divise) le
numérateur et le dénominateur par un même nombre
3) Exemples :
•
2 4 6
8
10 12
= = =
=
=
3 6 9 12 15 18
•
16
8
4 2
=
= =
24 12 6 3
4) Fractions irréductibles :
Une fraction que l'on ne peut pas ou plus simplifier est dite "irréductible".
Exemples :
3
2
et sont deux fractions irréductibles
4
3
Exercices 40, 42 page 80
Activité 4 page 71
V)
MULTIPLIER Un NOMBRE PAR UNE FRACTION
1) Définition :
Prendre une fraction d’un nombre, c’est multiplier cette fraction par ce nombre.
Ainsi prendre les
3
3
de 15, c’est multiplier par15.
5
5
Multiplier par 3
15 ×
3
5
Diviser par 5
45
Diviser par 5
3
9
Multiplier par 3
FRACTIONS ET ECRITURES FRACTIONNAIRES
Fractions inférieures à l’unité
3
sur un axe gradué, il faut partager le segment limité par les deux valeurs
7
(abscisses) 0 et 1 en 7 parties. Chaque morceau limité par deux graduations correspond à un septième.
2
1
La première graduation correspond donc à , la deuxième graduation a pour abscisse , et la troisième
7
7
3
graduation a pour abscisse
7
5
6
1
2
3
4
0
1
7
7
7
7
7
7
Pour placer une fraction comme
D’autres exemples :
Pour placer la fraction
5
: on partage le segment unité en huit morceaux. On place la fraction à la cinquième
8
graduation :
0
1
8
5
8
1
Fractions supérieurs à l’unité
Pour placer une fraction supérieure à l’unité, on commence par exprimer cette fraction comme la somme d’une
partie entière et d’une partie fractionnaire.
13
13
1
Par exemple, si on veut placer la fraction
. On décompose :
=2+ .
6
6
6
Cette fraction va donc se placer entre les deux valeurs entières 2 et 3. On dit que 2 et 3 encadrent la fraction.
Et c’est le segment compris entre 2 et 3 que l’on partage en 6. La fraction se trouvant à la première
graduation.
13
0
1
2
3
6
FRACTIONS ET ECRITURES FRACTIONNAIRES
Représenter en couleur
1°) les
3
de ce segment
5
2°) les
5
de ce rectangle
12
3°) les
3
de ce segment
7
4°) les
3
de ce rectangle
4
5°) les
5
de ce segment
8
6°) les
4
de ce rectangle
15
7°) les
3
de ce disque
4
8°) les
5
de ce segment
3
9°) les
11
de ce rectangle
6
FRACTIONS ET ECRITURES FRACTIONNAIRES
Exercice 1
Compléter les égalités suivantes :
24
264
=
=
5
10
7 14
=
=
2
30
126 14 70
=
=
63
20 1
= =
60
27
25
24
=
3
=
12
84
=
=
52 13 39
55 5 105
= =
88
8=
=
76
2
= =
190
75
5
4
29
290
=
=
10 40
= 12 =
36
54
=K =
27
2
Exercice 2
Les fractions suivantes sont-elles égales?
1
3
et
2
6
12
4
et
15
5
4
16
et
13
51
4
20
et
5
35
15
3
;
et
45
9
13
52
;
et
5
20
;
Exercice 3
Donner l'écriture en fraction irréductible
des fractions suivantes :
25
;
50
16
;
12
14
;
21
54
;
45
46
;
23
121
;
33
75
;
125
52
;
65
480
;
120
140
;
105
51
;
68