Table des matières

Les lois fondamentales du courant continu.
I Association d'un dipôle passif et d'un dipôle actifs
Table des matières
I.1 Point de fonctionnement :
I Association d'un dipôle passif et d'un dipôle actifs............................................................................2
I.1Point de fonctionnement :............................................................................................................2
I.2 Méthode analytique ou algébrique :............................................................................................2
I.3 Méthode graphique :...................................................................................................................4
II Association de plusieurs dipôles actifs et passifs :...........................................................................5
II.1 Comment trouver le point de fonctionnement d'un montage comportant plusieurs dipôles ?. .5
II.2 Théorème de Thévenin et de Norton :.......................................................................................6
II.2.1 Théorème :........................................................................................................................6
II.2.2 Détermination du modèle équivalent de Thévenin :..........................................................6
Détermination de la f.e.m. E du M.E.T..................................................................................7
Détermination de la résistance R0 de M.E.T. :.......................................................................8
Modèle de Thévenin équivalent M.E.T. du dipôle vue des points A et B :...........................8
Détermination du point de fonctionnement du montage UAB et I lorsque R est branchée :. .
8
II.2.3 Détermination du modèle de Norton équivalent :..............................................................9
Détermination de l'intensité de court-circuit I0 du modèle de Norton équivalent :...............9
Détermination de la résistance équivalent R0 :....................................................................10
Remarque importante concernant la résistance équivalent en utilisant les modèles de
Norton :.................................................................................................................................10
Modèle de Norton équivalent M.E.N. du dipôle vue des points A et B :.............................11
Détermination du point de fonctionnement UAB et I lorsque la charge est branchée : ......11
Intérêt des modèle de Thévenin et de Norton équivalent :...................................................11
II.3 Théorème de superposition :...................................................................................................12
II.3.1 Théorème :.......................................................................................................................12
II.3.2 Application du théorème de superposition :....................................................................12
Source E2 éteinte :................................................................................................................12
Source E1 éteinte :................................................................................................................13
Valeurs du point de fonctionnement :..................................................................................13
Soit le montage suivant :
I
Les caractéristiques du générateur sont les suivantes :
E = 25,3 V et r = 0,75 Ω.
r
R
U
La résistance R = 33 Ω.
E
Comment déterminer les valeurs des grandeurs U et I qui sont communes au générateur et
au récepteur ?
I.2 Méthode analytique ou algébrique :
On remarque que la tension U est commune au générateur et à la résistance R; de même que
l'intensité I.
Premièrement, il faut flécher toutes les tensions aux bornes de chaque dipôle du montage.
I
Ur
r
R
U
UR
E
Définissons ensuite une maille et appliquons la loi des mailles :
I
Ur
r
R
U
UR
E
Loi des mailles :
Yannick.MOREL
Association de dipôles actifs et passifs
Cours 1/13
Yannick.MOREL
E­U r­U R =0
Association de dipôles actifs et passifs
Cours 2/13
On ne perd pas de vue que les grandeurs cherchées sont la tension U et l'intensité I
(pour trouver 2 inconnues, il faut 2 équations).
I.3 Méthode graphique :
On remarque que l'équation obtenue à partir de la loi des mailles ne contient pas la grandeur
I; pour faire apparaître cette grandeur, on va utiliser la loi d'ohm pour les différentes résistance.
Nous avons vus que pour chaque type de dipôle, nous pouvons tracer sa caractéristique U(I).
Traçons sur un même graphe les caractéristiques du générateur et de la résistance R.
Pour cela, nous devons déterminer les coordonnées des deux points de chacune d'elle.
Pour le générateur, l'équation de fonctionnement est : U =E­r⋅I =25,3­0,75⋅I
I =0 A
I =2 A
Sa caractéristique U(I) passe par le point
et
U =25,3 V
U =23,8 V
Aux bornes de la résistance interne r : U r=r⋅I .
Aux bornes de la résistance R : U R =R⋅I
{
L'équation E­U r­U R =0 devient E­r⋅I ­R⋅I =0 .
En mettant I en facteur, on obtient : E­I rR=0 soit :
E
I=
rR
E
25,3
I=
=
=750 mA
Application numérique (A.N.) :
rR 0,7533
}
Pour la résistance R, l'équation de fonctionnement est : U =R⋅I =33⋅I
I =0 A
I =2 A
Sa caractéristique U(I) passe par le point
et
U =0 V
U =66V
{
}
{
}
Traçons dans un même repère ces deux caractéristiques :
Remarque : Toutes les grandeurs doivent-être exprimée dans les unités légales [V] , [A] , [Ω]
Point de fonctionnement
U(V)
Maintenant qu'on connait I, on peut déterminer la tension U soit en utilisant :
• L'équation de fonctionnement du générateur : U =E­r⋅I .
A.N. : U =25,3­0,75×750⋅10­3=24,7 V
•
} {
70
65
U = R.I
60
55
La loi d'ohm aux bornes de R : U R =U=R⋅I
A.N. : U =33×750⋅10 3=24,7 V
Point de fonctionnement
50
45
Les deux résultats doivent-être identiques.
40
35
Les valeurs obtenues sont les coordonnées du point de fonctionnement
(I = 750 mA, U = 24,7 V) .
Ces valeurs sont uniques.
30
On aurait pu aussi utiliser, pour trouver les grandeurs U et I les équations de fonctionnement
de chaque dipôle et résoudre le système :
Pour le générateur : U =E­r⋅I
Pour la résistance R : U =R⋅I
Ce qui revient à résoudre le système d'équations :
{
U =E­R⋅I
U =R⋅I
Association de dipôles actifs et passifs
U = 24,7
20 V
15
10
5
0
}
0
0,25
0,5 I = 750
0,75mA
1
1,25
1,5
1,75
2
I(A)
Les résultats sont les mêmes que précédemment :
E
I=
et
rR
E
U =R⋅
rR
Yannick.MOREL
U = E - r.I
25
On remarque que les deux caractéristiques se coupent en un unique point : c'est le point de
fonctionnement du montage.
I = 750 mA
Graphiquement, nous trouvons
U = 24,7 V
Cours 3/13
Yannick.MOREL
Association de dipôles actifs et passifs
Cours 4/13
II Association de plusieurs dipôles actifs et passifs :
II.2 Théorème de Thévenin et de Norton :
II.1 Comment trouver le point de fonctionnement d'un montage comportant
plusieurs dipôles ?
II.2.1 Théorème :
Étudions le montage suivant :
I
Tout circuit ne comportant que des dipôles actifs et passifs linéaires peut-être remplacé par
un dipôle actifs linéaire qui peut-être un modèle équivalent de Thévenin (M.E.T.) ou un modèle
équivalent de Norton (M.E.N.).
A
E1 = 15 V ; R1 = 10 Ω
R1
Dans notre exemple, nous allons chercher le M.E.T. du dipôle vu des points A et B :
R = 30 Ω
UAB
E1
II.2.2 Détermination du modèle équivalent de Thévenin :
E2 = 5 V ; R2 = 20 Ω
R2
R
1èrement : On isole le dipôle AB.
E2
I1
B
R1.I1
Comment déterminer les valeurs de UAB et de I ?
I1
I
A
R1
R2.I2
R1
R2
R2.I2
R2
E1
E2
La tension UAB.
R
E2
R
UAB
les intensités I, I1 et I2.
UAB
E1
A
Dans le montage, il y a plusieurs inconnues :
I2
R1.I1
I
I2
B
Au total, il y a 4 inconnues donc il nous faut
au moins 4 équations pour résoudre le
système.
2ièmement : On cherche le M.E.T. du dipôle AB, c'est-à-dire la f.e.m. E et la résistance interne
R0 du modèle :
I1
B
I
A
I
A
I2
R1.I1
Nous pouvons déjà établir les équations des différentes mailles :
R1
E1
Maille rouge :
E1 – R1.I1 – R2.I2 – E2 = 0
E2
R0
↔
UAB
E
B
B
M.E.T.
Maille verte :
E2 + R2.I2 – UAB = 0
avec :
E : tension à vide UAB déterminée lorsque l'intensité I = 0.
R0 : Résistance équivalente lorsque les sources de tensions sont éteintes.
Et pour finir, l'équation du noeuds : I1 = I + I2
Il faut maintenant de résoudre le système :
E 1­R1⋅I 1­U AB =0
On constate qu'en utilisant les lois fondamentales du
courant continu, il est difficile de déterminer les
E 1­R1⋅I 1­R2⋅I 2­E 2=0
coordonnées du point de fonctionnement UAB et I.
E 2R2⋅I 2­U AB =0
I 1= I I 2
(Calculs longs)
Yannick.MOREL
R2
UAB
Maille extérieure (non-représentée) :
E1 – R1.I1 – UAB = 0
{
R2.I2
Remarque : Une source de tension éteinte est remplacé par un court-circuit.
}
Association de dipôles actifs et passifs
Cours 5/13
Yannick.MOREL
Association de dipôles actifs et passifs
Cours 6/13
Détermination de la f.e.m. E du M.E.T.
Détermination de la résistance R0 de M.E.T. :
Nous déterminons la tension UAB lorsque I = 0 :
I1
I
D'après la loi des noeuds :
A
I2
R1.I1
R1
I1 = I2.
R1
L'équation de la maille bleue donne :
UAB
E1
A
I1 = I + I2 or, I = 0 d'où :
R2
R2.I2
On court-circuite les sources de tension et on détermine la résistance équivalente vue des
points A et B du M.E.T.
R2
↔
E1 – R1.I1 – R2.I2 – E2 = 0 et comme I1 = I2 alors :
E2
RAB
E1 – R1.I1 – R2.I1 – E2 = 0 (I)
B
de l'équation (I), on en déduit que : I 1=I 2=
B
E 1­E 2
R1R 2
On établit une relation entre la tension UAB (= E) et les éléments du montage (maille verte) :
I1
I
Maille verte :
A
I2
R1.I1
R1
R2.I2
R1⋅R2
R1R2
U AB =E1­R1⋅
E2
U AB =E=
B
Application numérique : U AB =E=
I
E1­E 2
ce qui donne, en simplifiant :
R1R2
E 1⋅R2E 2⋅R1
R1R2
I1
I
A
I
R1
R2.I2
Caractéristiques du
M.E.T. :
R1
R2.I2
R2
UAB
E1
R0
↔
E2
R2
B
B
M.E.T.
E 2R2⋅I 2­U AB=0 soit :
I
On remplace I1 par son expression trouvée précédemment :
U AB =E=
A
R0
E ­E 2
U AB =E 2R2⋅ 1
ce qui donne, en simplifiant :
R1R2
UAB R
En appliquant le diviseur de tension, on détermine la tension
R
⋅E
UAB : U AB =
RR0
A.N. : U AB =
B
U AB =R⋅I ⇒ I =
M.E.T.
Association de dipôles actifs et passifs
A.N.:
Cours 7/13
30
×11,7=9,54 V
306,67
On détermine la veleur de I en utilisant la loi d'ohm :
E
E 1⋅R2E 2⋅R1
R1R2
Nous retrouvons la même expression que précédemment.
Yannick.MOREL
R0 = 6,67 Ω
E
B
U AB =E 2R2⋅I 2
E2
E = 11,7 V et
UAB
Détermination du point de fonctionnement du montage UAB et I lorsque R est branchée :
Maille rouge :
UAB
E1
A
I2
R1.I1
E 1⋅R2E 2⋅R1 15×205×10
=
=11,7 V
R1R2
1020
A
I2
R1.I1
R1⋅R2 10×20
=
=6,67 
R1R2 1020
Modèle de Thévenin équivalent M.E.T. du dipôle vue des points A et B :
Remarque : On aurait aussi pu prendre la maille rouge pour déterminer la f.e.m. E :
I1
R AB=R0=
Application numérique :
On remplace I1 par son expression trouvée précédemment :
UAB
E1
R AB=R0=
E 1­R1⋅I 1­U AB =0 soit :
U AB =E1­R1⋅I 1
R2
La résistance RAB = R0 vue des points A et B est la résistance équivalente à R1 branchée en
parallèle avec R2 soit :
Yannick.MOREL
I=
U AB
R
9,54
=318 mA
30
Association de dipôles actifs et passifs
Cours 8/13
II.2.3 Détermination du modèle de Norton équivalent :
Détermination de la résistance équivalent R0 :
Nous reprenons notre exemple et nous allons chercher le M.E.N. du dipôle vue des points A et B :
De la même façon que précédemment, on éteint les sources de tensions pour déterminer la
résistance R0 :
1èrement : On isole le dipôle AB.
I1
I
A
A
I2
R1.I1
R1
R1
R2.I2
↔
R
UAB
E1
R2
R2
RAB
E2
B
B
2ièmement : On cherche le M.E.N. du dipôle AB, c'est-à-dire la source de courant I0 et la
résistance interne R0 du modèle :
I1
I
A
I
La résistance RAB = R0 vue des points A et B est la résistance équivalente à R1 branchée en
parallèle avec R2 soit :
R AB=R0=
A
R1⋅R2
R1R2
Application numérique :
R AB=R0=
R1⋅R2 10×20
=
=6,67 
R1R2 1020
I2
R1
R2.I2
I0
R2
UAB
E1
↔
Remarque importante concernant la résistance équivalent en utilisant les modèles de Norton :
R0
UAB
On aurait pu remplacé le M.E.T. de chaque source de tension par son M.E.N :
Pour déterminer la résistance vue des points A et B, on débranche les sources courant
(circuit ouvert) et alors, vu des points A et B, on voit les résistance R1 et R2 branchées en parallèle.
E2
A
ICC1 = E1/R1
B
B
avec :
I0 : Intensité de court-circuit qui circule en A et B.
R0 : Résistance équivalente lorsque les sources de courant sont éteintes.
Détermination de l'intensité de court-circuit I0 du modèle de Norton équivalent :
ICC2 = E2/R2
R1.I1
R1
A
R2
R1
R2
On détermine I0 en court-circuitant les bornes A et B et on détermine l'intensité qui traverse
cette branche.
Les points A et B sont reliés donc UAB = 0.
A
I1
La loi des noeuds donne : I1 = I0 + I2.
I2
R1.I1
R1
R2.I2
I0
R2
UAB = 0
E1
E2
B
Maille rouge :
Modèle de Norton équivalent M.E.N. du dipôle vue des points A et B :
E
E 1­R1⋅I 1=0⇒ I 1= 1
R1
I1
R1.I1
E
E 2R2⋅I 2=0⇒ I 2=­ 2
R2
Association de dipôles actifs et passifs
R1
R2.I2
I
A
I0
R2
UAB
E1
On en déduit que
E 1 ­E 2 E 1 E 2
I 0=I 1­I 2= ­{
}= 
R1
R2
R1 R2
E 1 E 2 15 5
Application numérique : I 0=  =  =1,75 A
R1 R2 10 20
Yannick.MOREL
A
I2
Maille bleue :
B
B
E2
↔
R0
B
UAB
B
Avec I0 = 1,75 A et
R0 = 6,67 Ω
Cours 9/13
Yannick.MOREL
Association de dipôles actifs et passifs
Cours 10/13
Détermination du point de fonctionnement UAB et I lorsque la charge est branchée :
A
I1
I
II.3 Théorème de superposition :
A
II.3.1 Théorème :
I2
R1.I1
R1
R2.I2
UAB
E1
Dans un circuit électrique comportant plusieurs générateurs
I0
R2
R
R0
↔
UAB
E2
B
•
La tension entre deux points A et B d'un circuit électrique est égale à la somme des
tensions obtenues entre les deux points lorsque chaque générateur fonctionne seul.
•
L'intensité du courant dans la branche AB est égale à la somme des intensités circulant
dans chaque branche lorsque chaque source agit seule.
R
B
M.E.N.
II.3.2 Application du théorème de superposition :
On détermine l'intensité I en utilisant le diviseur de courant :
I=
R0
⋅I A.N.:
R0R 0
I=
Reprenons le montage étudié précédemment :
I
6,67
×1,75=318 mA
6,6730
A
E1 = 15 V ; R1 = 10 Ω
La tension UAB est déterminée en utilisant la loi d'ohm :
R1
E2 = 5 V ; R2 = 20 Ω
R2
R = 30 Ω
U AB =R⋅I A.N.: U AB =30×318⋅10­3=9,54 V
UAB
E1
R
E2
Nous retrouvons bien les valeurs obtenues précédemment.
B
Intérêt des modèle de Thévenin et de Norton équivalent :
Pour connaître les valeurs du point de fonctionnement, nous allons éteindre successivement
des sources de tension et déterminer les intensités qui circulent dans la branche AB.
Nous avons remarqué que l'utilisation des modèles équivalents permet de simplifier les
montages pour déterminer les valeurs du point de fonctionnement.
Source E2 éteinte :
Tous les calculs dans cette partie seront affectés du signe « ' ».
Le schéma équivalent est :
Selon les exercices, certains modèles sont plus faciles à déterminer que d'autres; c'est
pourquoi il ne faut pas hésiter à passer d'un M.E.N à un M.E.T. et vice-versa.
A
I'1
R1
Pour déterminer la tension U'AB , on cherche la
résistance équivalente à ( R2 // R):
R2
U'AB
REQ '=
R
R2⋅R
A.N.:
R2R
I'1
R1
R EQ '
⋅E A.N.:
REQ 'R1 1
12
×15=8,18 V
U ' AB=
1210
U ' AB=
B
A
L'intensité I'1 est donnée par la loi d'ohm :
U'AB REQ'
U ' AB=R⋅I ' 1 ⇒ I ' 1=
E1
A.N.:
B
Association de dipôles actifs et passifs
Cours 11/13
20×30
=12 
2030
U'AB est déterminée en utilisant le diviseur de tension :
E1
Yannick.MOREL
REQ '=
Yannick.MOREL
I ' 1=
U ' AB
R
8,18
=273 mA
30
Association de dipôles actifs et passifs
Cours 12/13
Source E1 éteinte :
Le schéma équivalent est :
Tous les calculs dans cette partie seront affectés du signe « '' ».
A
Pour déterminer la tension U''AB , on cherche la
I''2 résistance équivalente à ( R1 // R):
R1
R2.I2
R2
REQ ' '=
U''AB R
R1⋅R
A.N.:
R1R
REQ ' ' =
10×30
=7,5 
1030
U'AB est déterminée en utilisant le diviseur de tension :
E2
R EQ ' '
⋅E A.N.:
REQ ' 'R2 2
7,5
U ' AB=
×5=1,36 V
7,520
U ' AB=
B
A
I''2
R2
L'intensité I''2 est donnée par la loi d'ohm :
U''AB
REQ''
U ' ' AB =R⋅I ' ' 2 ⇒ I ' ' 2=
E2
A.N.:
B
I ' ' 2=
U ' ' AB
R
1,36
=45 mA
30
Valeurs du point de fonctionnement :
A
A
I'1
R1
I''2
R1
R2
U'AB
+
R
R2.I2
R2
U''AB R
E2
E1
B
B
I
A
D'après nos conventions :
R1
=
UAB = U'AB + U''AB
R2
UAB
E1
R
(U'AB et U''AB sont fléchée dans le même
sens que UAB).
A.N.: UAB = U'AB + U''AB = 8,18 + 1,36
E2
UAB = 9,54 V
B
I = I'1 + I''2 (I'1 et I''2 sont fléchées dans le
même sens que I)
I = 273 + 45 = 318 mA
Yannick.MOREL
Association de dipôles actifs et passifs
Cours 13/13