Fiche Élève - Gradus ad Mathematicam

Le problème du
collectionneur
Collection de 3 objets
Fiche Élève
TS
Spé
Math
Chaque semaine, la petite Anna reçoit une tablette de chocolat Cébon. Chaque
tablette contient un autocollant représentant soit une étoile, soit un cœur, soit un
trèfle à quatre feuilles. Anna collectionne ces autocollants.
En supposant que les 3 sortes d’autocollants sont équiréparties, combien Anna doitelle recevoir de tablettes de chocolat pour être sûre d’obtenir la collection complète
d’autocollants avec une probabilité d’au moins 0.95 ?
Première partie : modélisation du problème
Recevoir une tablette de chocolat et regarder quelle sorte d’autocollant elle contient revient à
choisir un nombre au hasard dans l’ensemble {1, 2, 3}. On utilisera les variables aléatoires X1 ,
X2 , . . . égales respectivement au nombre de chiffres différents obtenus à l’issue du 1er tirage,
du 2ème tirage, etc.
1 - Quelles sont les valeurs prises par les variables aléatoires X1 , X2 , X3 , X4 , . . . ?
2 - On suppose que P (Xn = i) > 0. Expliquer pourquoi il est normal de donner à la probabilité
conditionnelle P(Xn =i) (Xn+1 = j) la valeur suivante :
- si 1 6 i < 3,

i

si j = i

 3
P(Xn =i) (Xn+1 = j) =











3−i
3
0
si j = i + 1
(1)
dans les autres cas.
- si i = 3,
(
P(Xn =3) (Xn+1 = j) =
1 si j = 3
0 sinon.
(2)
On admettra, ce qui, intuitivement, est évident, que si Xn prend une valeur, celle-ci est prise
avec probabilité > 0.
Deuxième partie : loi de Xn , limite
3 - Posons xn = P (Xn = 1) , yn = P (Xn = 2) , zn = P (Xn = 3). Ln = (xn , yn , zn ) est la loi de
Xn .
3.a - Préciser les valeurs de x1 , y1 , z1 , z2 ; calculer x2 , en déduire y2 ; calculer x3 et z3 , en
déduire y3 . Indiquer L1 , L2 et L3 .
3.b - À partir de l’égalité ensembliste suivante (réunion d’événements deux à deux disjoints
dans le second membre),
(Xn+1 = j) = (Xn+1 = j, Xn = 1) ∪ (Xn+1 = j, Xn = 2) ∪ (Xn+1 = j, Xn = 3)
(3)
démontrer que les suites (xn ), (yn ) et (zn ) vérifient les égalités :
∀n > 3,
1
xn+1 = · xn ,
3
2
2
yn+1 = · xn + · yn ,
3
3
Indications :
1
1
zn+1 = · yn + zn
3
(4)
- Vérifier que ces relations sont satisfaites pour n = 1 et n = 2 puis supposer n > 3.
- Partant de (3), utiliser l’additivité de la probabilité et les probabilités conditionnelles.
3.c - En déduire que la suite (zn , n ≥ 1) est croissante et convergente.
3.d - En déduire que yn −−−−→ 0, xn −−−−→ 0 et que zn −−−−→ 1.
n→+∞
n→+∞
n→+∞
Indication : combien vaut xn + yn + zn ?
3.e - On appelle E l’événement : « On achète indéfiniment des tablettes de chocolat et on
n’obtient jamais les 3 autocollants ». Comparer les événements E et (Xn < 3). En déduire que
P (E) = 0. Qu’est-ce que cela signifie ?
Troisième partie : calcul de la solution
4.a - Exprimer le problème posé à l’aide de la suite (zn , n ≥ 1). En déduire qu’il existe un
plus petit nombre nmin de tablettes de chocolat qu’Anna doit recevoir pour avoir la collection
complète avec une probabilité au moins égale à 0.95.
4.b - Écrire Ln sous la forme Ln = Ln−1 · T où T est une matrice (3 × 3) à préciser.
5 - À l’aide d’un logiciel de calcul, trouver nmin ; calculer la probabilité qu’Anna ait la collection
complète avec les nmin premières tablettes.