Exposition Mathématiques dans la nature

Mathématiques dans la nature
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Exposition
Mathématiques dans la nature
Présentation
Contenu
Infos pratiques
Contenu de l'exposition
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L'exposition est composée d'une douzaine de panneaux. Devant chaque panneau, est placée une table sur laquelle
est posé le matériel servant aux manipulations associées au panneau.
Le contenu mathématique de chacun des panneaux est plus ou moins développé par les animateurs, il est fonction
des informations connues sur les visiteurs et leur réactivité.
Ananas et pomme de pin
Le nombre de pétales d'une fleur, ou le nombre de spirales de graines dans une pomme de pin, un tournesol ou un
ananas sont des nombres de la suite de Fibonacci. Ce ne sont pas des nombres au hasard.
Expérience : nombre des spirales tournant à gauche et nombre des spirales tournant à droite chez différentes
plantes (pommes, ananas) qu'observe-t-on ? Comment se construit la suite de Fibonacci ?
L'escargot d'or
La spirale de la coquille du nautile est une spirale "d'or" c'est à dire une spirale
logarithmique. Le nautile a donc su "utiliser" les mathématiques et en
particulier le nombre d'or pour construire sa coquille.
Expérience : reconstituer une spirale à partir de carrés et faire le lien avec la
suite de Fibonacci et le nombre d'or.
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Des rayures aux moirés
Certains animaux ont un pelage à rayures et d'autres un pelage à taches. Il existe des animaux avec un corps tacheté
et une queue rayée mais pas l'inverse.
Expérience : à partir de rayures présentes sur deux feuilles transparentes, créer de nouveaux motifs
par interférence des deux premiers (fabrication de "moirés"). Faire le lien avec les équations de diffusion et leurs
résultats différents en fonction de la taille et la forme au moment de la diffusion.
Flocon de neige et crise cardiaque
La formation des flocons de neige, les fluctuations de certaines populations animales, la fréquence des éruptions
volcaniques, les variations du climat, les irrégularités des battements cardiaques ... tous ces phénomènes sont décrits
par la théorie du chaos, une théorie qui cherche l'ordre dans le désordre et le désordre dans l'ordre.
Expérience : sur un billard muni de deux boules fixes et une boule mobile, lancer celle-ci de façon à ce qu'elle passe
entre les deux boules fixes et qu'elle rebondisse. Recommencer pour que la boule refasse le même trajet. Malgré son
complet déterminisme, l'évolution du phénomène est très sensible aux conditions initiales, ce qui,comme dans le cas
du cœur, le rend chaotique (malgré l'apparente régularité du pic dans le cas du cœur) et plus adaptable aux aléas
de la vie.
Les empilements
Le problème de l'empilement maximum en dimension 3, abordé par Kepler en 1607, n'a été résolu qu'en 1998 (alors
qu'en dimension 2 le problème avait été facilement résolu)
Expérience : sur une base carrée empiler le plus de billes possible en partant d'un réseau carré ou d'un réseau
hexagonal. Qu'observe-t-on ?
Pourquoi toutes les cartes sont fausses?
Les mathématiciens ont cherché des méthodes pour représenter le globe
terrestre en conservant certaines propriétés : les angles, les rapports de surface,
la direction à partir d'un point, certains alignements, ...
Sur un globe, les lignes des plus courtes distances entre deux points sont
situées sur des "grands cercles", qu'appelle-t-on un "segment" sur le cercle ?
Expérience : Un globe et une mappemonde sont présents. En quoi peut-on dire
que la carte est fausse ?
Sur le globe, une extrémité d'une ficelle a été fixée sur la position de Paris.
Comparaison entre le plus court trajet réalisé par la corde entre Paris et
Montréal sur le globe et sur la mappemonde (problème de distance,
d'alignement : introduction à la géométrie sphérique).
Un dessin d'Escher et le Big Bang
Escher a réussi à transposer dans l'œuvre présentée une des géométries des espaces courbes qui sous-tend la théorie
de la relativité d'Einstein décrivant la naissance et l'évolution de l'univers.
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Expérience : En liaison avec la manipulation précédente, regarder la somme des angles d'un "triangle" en
géométrie sphérique, puis en géométrie hyperbolique sur le pavage hyperbolique d'Escher. Choisir une "droite"
hyperbolique sur le pavage hyperbolique et trouver une ou plusieurs autres "droites" qui lui sont parallèles.
A chacun sa fractale
Des structures auto-similaires telles que celles de la fougère, du chou Romanesco ou du chou-Fleur, des côtes de
Grande-Bretagne, les fluctuations de la bourse, ... se retrouvent un peu partout, ces structures appartiennent à la
géométrie fractale.
Expérience : manipuler des structures fractales à trois ou deux dimensions.
L'Afrique en quatre couleurs
Quatre couleurs suffisent pour colorier une carte réelle ou imaginaire tout en satisfaisant au critère des frontières :
deux pays ayant une frontière commune doivent être de couleurs différentes. La démonstration du " théorème des
quatre couleurs " faite en 1976 fut l'objet d'une forte controverse scientifique car elle faisait appel pour la première
fois à de lourds calculs informatiques, il a fallu démontrer aussi que l'ordinateur utilisé travaillait sans erreur.
Expérience : En utilisant le moins de couleurs possibles, placer un pion sur chaque pays en respectant la règle de
coloriage : deux pays qui ont une frontière commune doivent être de couleurs différentes.
L'univers des nœuds
Certaines branches des mathématiques, même les plus abstraites comme la
théorie des nœuds dont le but est de classifier tous les types de nœuds fermés,
peuvent servir aux biologistes. La théorie mathématique des nœuds permet
d'identifier la signature des différents types de virus pour nous aider à les
combattre.
Expérience : Autour de la reconnaissance des nœuds (lire en 2 dimensions un
objet à 3 dimensions ou l'inverse)
La longueur de la nouille
L'imagerie médicale permet, grâce aux probabilités, de déterminer la forme et l'emplacement qu'occupe un objet à
l'intérieur d'un corps. Pour cela on envoie un faisceau dans plusieurs directions et l'on mesure son rayonnement à
l'entrée et à la sortie du corps. On fait ainsi de très nombreuses mesures et l'on peut en déduire l'image de l'objet à
l'intérieur du corps (théorème de Crofton 19ième siècle). C'est ainsi que fonctionnement les scanneurs des hôpitaux.
Expérience : Obtenir une bonne approximation, à l'aide d'une règle non graduée, de la longueur d'une corde placée
en vrac sous une plaque transparente.