Les vecteurs-v2
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2. CONCEPTION MÉCANIQUE DES SYSTÈMES ITEC Innovation Technologique et EcoConception Fichier : Les vecteurs-v2.doc 2.2 Comportement d’un mécanisme et/ou d’une pièce Niveau : 3 1ère Page:1/7 LES VECTEURS - GÉNÉRALITÉS Objectifs du COURS : Ce cours sur les vecteurs traitera essentiellement les points suivants : - Définitions des notions de scalaire et de vecteur - Description des principales opérations réalisées sur les vecteurs, et les coordonnées cartésiennes d’un vecteur - Définitions du produit scalaire de deux vecteurs - Exercices d’application. Comment représenter la direction et l’intensité d’une force agissant sur un objet ? Comment définir l’action résultante de plusieurs forces agissant sur une même structure ? Comment décrire la position d’un avion par rapport à un aéroport et définir sa vitesse ? Réponse : les vecteurs. SCALAIRES Les scalaires sont des nombres positifs, négatifs ou nuls, utilisés pour représenter des quantités diverses : temps, température, masse, énergie, volume, … Par exemple, les nombres 20, 18, 50 sont les scalaires des grandeurs suivantes : hauteur de 20 m, volume de 18 m3, force de 50 N. VECTEURS Un vecteur est une grandeur définie par une direction, un sens et une norme. La direction est la droite qui porte le vecteur. Elle est définie par l’angle θ. Le sens représente l’orientation origineextrémité du vecteur et est symbolisé par une flèche. Sens V θ (direction) V La norme ou module, représente la valeur de la grandeur mesurée par le vecteur. Graphiquement, elle correspond à la longueur de celui-ci. Notation : || ||. Norme Caractéristiques d’un vecteur ITEC Innovation Technologique et EcoConception 2. CONCEPTION MÉCANIQUE DES SYSTÈMES Fichier : Les vecteurs-v2.doc 2.2 Comportement d’un mécanisme et/ou d’une pièce Niveau : 3 1ère Page:2/7 Le point d’application est le point qui sert d’origine à un représentant (ou image) du vecteur. V V Vecteur et son opposé (- ) OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS ADDITION Des vecteurs de même nature peuvent être additionnés pour former un troisième vecteur appelé vecteur-somme. et Exemple : des deux vecteurs Échelle : 1 mm ∼ 1N B A R - déterminer graphiquement la somme + ci-dessous : Triangle de construction B A A R B α A + B R = R || || = 81 N + B des deux vecteurs A R - déterminer par le calcul la somme ci-dessus : 75 , 6539 R2 = A2 + B2 + 2AB cos α = 462 + 392 + 2x46x39 cos 36 = 2116 + 1521 + 3588 cos 36 = 6539,75 R= = 80,86 N B A B A Remarque : l’addition peut être réalisée à partir d’un triangle de construction (conditions : triangle doivent être parallèles et de mêmes longueurs que les vecteurs et d’origine). du ITEC 2. CONCEPTION MÉCANIQUE DES SYSTÈMES Innovation Technologique et EcoConception Fichier : Les vecteurs-v2.doc Niveau : 3 1ère 2.2 Comportement d’un mécanisme et/ou d’une pièce Page:3/7 SOUSTRACTION La différence entre deux vecteurs se ramène à une addition en ajoutant le vecteur opposé. Exemple : des deux vecteurs - B A R - déterminer graphiquement la soustraction ci-dessous : R A B Échelle : 1 mm ∼ 1N - A B + (- R = B B A A - )= R || || = 22 N COMMUTATIVITÉ L’opération d’addition sur les vecteurs est commutative. B B A = + = ASSOCIATIVITÉ L’opération d’addition sur les vecteurs est associative. R A + 2. CONCEPTION MÉCANIQUE DES SYSTÈMES ITEC Innovation Technologique et EcoConception Fichier : Les vecteurs-v2.doc Niveau : 3 1ère 2.2 Comportement d’un mécanisme et/ou d’une pièce Page:4/7 MULTIPLICATION D’UN VECTEUR PAR UN SCALAIRE B A B B B A A B A Les sommes ( + ) et ( + + ) s’écrivent simplement sous la forme 2 et 3 , produit des scalaires 2 et . et 3 par les vecteurs Si a pour intensité 100 N, les intensités de 0,5 , 2,5 et de -2 seront respectivement de 50 N, 250 N et 200 N. A A A A VECTEUR NUL B + + C= 0 A C A B COORDONNÉES CARTÉSIENNES D’UN VECTEUR VECTEURS UNITAIRES k j i k j i Les vecteurs , et sont des vecteurs unitaires d’intensité égale à 1. , et sont les vecteurs de base du repère orthonormé (O, x, y, z). Remarque : z y x Les vecteurs unitaires des axes x, y, z sont parfois notés , et . ITEC Innovation Technologique et EcoConception 2. CONCEPTION MÉCANIQUE DES SYSTÈMES Fichier : Les vecteurs-v2.doc Niveau : 3 1ère 2.2 Comportement d’un mécanisme et/ou d’une pièce Page:5/7 COORDONNÉES DANS LE PLAN V V 2 2 Vy + Vx V || = VyVx Direction : tan θ = Norme : || a deux coordonnées j Vi V VVV Dans le plan, le vecteur x et y. = x+ y =Vx . +Vy . EXERCICE D’APPLICATION F Déterminer la norme et la direction du vecteur suivant y. ayant pour coordonnées cartésiennes 4 suivant x et 3 Direction : tan θ = FyFx +3 = j 3 4 i F =4 = 0,75 F a un angle de θ=36,87° par rapport à (O, x). Norme : 2 3 + 2 4 F || || = =5 PRODUIT SCALAIRE DE DEUX VECTEURS B A B A Le produit scalaire du vecteur par le vecteur , noté . , est égal au produit des modules des deux vecteurs multiplié par le cosinus de l’angle (θ θ) entre leurs directions respectives. 2. CONCEPTION MÉCANIQUE DES SYSTÈMES ITEC Innovation Technologique et EcoConception = || 2.2 Comportement d’un mécanisme et/ou d’une pièce B A B A . Fichier : Les vecteurs-v2.doc || . || || . cos θ A Remarques : θ B B BA AB A Le produit des deux vecteurs est un nombre ou un scalaire et pas un autre vecteur. Si et sont perpendiculaires (θ=90°), alors . = || || . || || . cos 90° = 0. A B B A Le produit scalaire est commutatif : . = . EXERCICE D’APPLICATION et B A Déterminer le produit scalaire des vecteurs ci-dessous. . +4 j j =7 i i B A B A =4 -3 = (4x7) - (4x3) = 16 Remarques : || = 2 2 4 7 + + 2 2 4 3 A B || = 5,66 B A || || = = 7,62 θ = 45° + 23,2° = 68,2° . = 5,66 x 7,66 cos 68,2° = 16 QCM - EXERCICES D’APPLICATIONS Question 1 (encadrer la ou les bonnes affirmations) Un vecteur est défini par : - une direction et une norme une direction, une norme et un sens une direction, une norme, un module et un sens une direction, une norme, un module, un sens et un poit d’application Niveau : 3 1ère Page:6/7 ITEC Innovation Technologique et EcoConception 2. CONCEPTION MÉCANIQUE DES SYSTÈMES Fichier : Les vecteurs-v2.doc Niveau : 3 1ère 2.2 Comportement d’un mécanisme et/ou d’une pièce Page:7/7 Question 2 (encadrer la ou les bonnes affirmations) Un vecteur unitaire est un vecteur : - d’intensité égale à l’unité ou 1 de norme ou de module égale à 1 unique devant rester seul Question 3 (encadrer la ou les bonnes affirmations) Un scalaire est : - un nombre arithmétique ou algébrique représentant une quantité un vecteur particulier un poisson plat Question 4 V1 Rechercher ci-dessous les projections de sur x et y. y V1 10 mm 1 mm ∼ 1 N x 10 mm || || = 2 3 + 2 3 V1y= 3 V1 V1x= 3 = 4,24 N