Sur l`Analyse indéterminée du troisième degré.— Demon

S u r l ’ A n a l y s e i n d é t e rm i n é e d u t r o i s i èm e d e g r é . — D em o n s t r a t i o n d e p l u s i e u r s t h é o r èm e s d e M . S y l v e s t e r .
P AR E D O U A R D L U C AS .
SECTION 1.
L' A R I T H M E T I Q U E D E D I O P H A N TE renfer me le premier exemple connu
d’Anal yse indéter minée du troisème degré ; l 'i mmortel auteur y pose, en ef fet, le problème de trouver deux nombres entiers ou fractionnaires, dont la
somme ou la différence de leurs cubes soit égale à la somme ou à la différence des cubes de deux nombres donnés .
FERM AT a indiqué, le premier, un procédé qui per met de déduire, d'une
solution initiale, une série indéfinie de solutions nouvelles. Pour résoudre en
nombres entiers ou fractionnaires, l 'équation
x3 + y3 = a3 + b3 ,
dans laquelle a et b sont donnés , il suffit de poser
x = a + zu,
y = b + u ,
et de disposer de z , de manière à faire disparaître, après la substitution, la
première puissance de u. On trouve alors une relation de la for me
Au 3 + Bu 2 = 0 ,
qui per met de déter miner u par une équation du premier degré ; F E R M A T
calcule ainsi x et y, et fait servir ces valeurs à la recherche de nouvelles solutions, en nombre indéfini.
Nous remplacerons, dans ce qui suit, les inconnues rationnelles, par des
inconnues entières. Désignons par (x, y, z) une première solution, en nombres, entiers, de l’équation
x 3 + y 3 = Az 3
(1)
nous obtiendrons une autre solution, par le procédé indiqué plus haut, au
moyen des for mules
(2)
X = x(x 3 + 2y 3 ),
Y = – y(y 3 + 2x 3 ),
Z = z( x 3 – y 3 ).
L U C A S , Sur l’Analyse indéterminée du troisi ème degré.
179
On trouve ainsi, successivement, pour A = 9,
x1 = 2,
y1 = 1,
z1 = 1,
x2 =
2 0 , x 3 = 1 8 8 4 7 9 , x 4 = 1 2 4 3 6 1 7 7 3 3 9 9 0 0 9 4 8 3 64 8 1 ,
y 2 = – 1 7 , y 3 = – 3 6 5 2 0 , y 4 = 4 8 7 2 6 7 1 71 7 1 4 3 5 2 3 3 65 6 0 ,
z2 =
7 ; z 3 = + 9 0 3 9 1 ; z 4 = 6 0 9 6 2 3 8 35 6 7 6 1 3 7 2 9 74 4 9 ;
Et, pour A = 28,
x1 = 3,
y1 = 1,
z1 = 1,
x2 =
87,
y2 = – 55,
z2 =
26;
x3 = 632 84705,
y3 = 283 40511,
z3 = 214 46828;
x4 =
1 8 9 2 0 7 1 2 2 0 4 7 0 2 0 10 9 7 1 7 6 90 32 3 5 0 3 3 5 ,
y 4 = – 1 5 0 1 1 0 4 . 2 2 6 8 2 0 5 4 92 0 3 6 8 7 05 69 8 2 9 3 9 1 ,
z4 =
4 9 4 7 5 6 1 5 5 1 8 2 7 39 2 9 3 2 62 1 67 7 7 5 8 4 3 2 .
On obser vera que ces solutions croissent t rès -rapidement, et contiennent à
peu près quatre fois plus de chiffres, que la s olution précédente.
On peut encore remplacer les formules (2) par les suivantes, qui n’en
diffèrent que par la for me. Dési gnons par (x, y, z) des nombres entiers qui
vérifient l ' équation
x 3 + y 3 = Az 3 ,
nous obtiendrons des nombres entiers (X, Y, Z), tels que l’on ait
X 3 + Y 3 x3 + y3
=
= A,
Z3
z3
X Y Z
par les for mules
+ + =0 ,
Xx 2 + Yy 2 = AZz 2 .
x
y z
SECTION 2.
L A G R A N GE E T C A U C H Y ont étendu la méthode que nous venons
d’indiquer, à des équations du troi sième degré beaucoup plus générales. Soit
l’équ ation
(3)
Ax 3 + By 3 + Cz 3 + 3Dxyz = 0 ;
On déduit d' une première solution x,
( y, z), en nombres entiers, une autre
solution (X, Y, Z) , par les for mules
X = x( By 3 – Cz 3 ),
(4)
Y = y( Cz 3 – Ax 3 ),
Z = z( Ax 3 – By 3 ),
Ainsi l’équation
x 3 + 2y 3 + 3z 3 = 6xyz,
qui a pour solution i mmédiate
x0 = y0 = z0 = 1
donne ensuite les solutions
x 1 = 1,
x 2 = 19,
x 3 = 2 82473, . . .
y 1 = – 2,
y2 =
4,
y 3 = – 86392, . . .
z1 = 1 ;
z 2 = – 17 ;
z 3 = – 1 14427 ; . . .
L U C A S , Sur l’Analyse indéterminée du troisi ème degré.
180
Nous obs er verons que les for mules (4) peuvent être remplacées par celles -ci
(5)
X Y Z
+ + = 0,
x
y z
AXx 2 + BYy 2 + CZz 2 = 0 ,
et conduisent à l’ident ité
Ax 3 (Ax 3 +2By 3 ) 3 +By 3 (By 3 +2Ax 3 ) 3 +27A 2 B 2 x 6 y 6 = [A 2 x 6 +7Abx 3 y 3 +B 2 y 6 ] 2 .
Cette identité fournit ainsi une série indéfinie de solutions de l’équation i ndéter minée
Au 3 + Bv 3 + A 2 B 2 w 3 = t 2 .
On doit encore à C AU C H Y , l’indication suivante. 1 Si (x 0 , y 0 , z 0 ) et ( x 1 , y 1 ,
z 1 ) désignent deux sol utions distinctes de l’équation (3), on obtient une sol ution nouvelle au moyen des for mules
X = By 0 y 1 (x 0 y 1 –x 1 y 0 ) + Cz 0 z 1 (x 0 z 1 –z 0 x 1 ) + D( x 02 y 1 z 1 – x12 y 0 z 0 ) ,
Y = Cz 0 z 1 (y 0 z 1 –y 1 z 0 ) + Ax 0 x 1 (y 0 x 1 –x 0 y 1 ) + D( y 02 z 1 x 1 – y12 z 0 x 0 ) ,
Z = Ax 0 x 1 (z 0 x 1 –z 1 x 0 ) + By 0 y 1 (z 0 y 1 –y 0 z 1 ) + D( z 02 x 1 y 1 – z12 x 0 y 0 ) ,
On peut remplacer ces for mules par celles -ci :
(6)
X 1 , Y1 , Z 1 ,
x0 , y 0 , z 0 , = 0 ,
x1 , y1 , z1 ,
A X x 0 x1 + B Y y 0 y1 + C Z z 0 z1 = 0 .
Ainsi, par exemple, les solutions (x 0 , y 0 , z 0 ) et (x 2 , y 2 , z 2 ) de l’équation n umérique, que nous venons de considérer, donnent
X = 143,
Y = 113,
Z = 71.
SECTION 3.
Les résultats précédents sont des cas particuliers de ceux que nous al lons indiquer. Soit l’équation du troisième degré
(7)
f (x, y, z) = 0 ,
d’une courbe en coordonnées rectilignes et homogènes ; désignons par m 1 un
point dont les coordonnées (x 1 , y 1 , z 1 ) ont rationnelles, et qu' il est facile de
rendre entières ; on a ainsi un première solution, en nombre entiers, de
l’équation proposée. On obtient de nouvel les solutions, par l’un des trois
procédés sui vants :
1
C AUCHY .– Sur la résolution de quelques équations indéterminées – en nombres entiers. – Exercices de Mathématiques, 1826, t. 1, pag. 256.
L U C A S , Sur l’Analyse indéterminée du troisi ème degré.
181
1°. Si l’on mène la tangente à la cubique en m 1 , cette droite rencontre la
courbe en un autre point m dont les coordonnées sont rationnelles ; par
conséquent, d' une première solution de l’équation (7) on déduit, en général
une autre solution, par les for mules
f (x, y, z) = 0 ,
x
df
df
df
+y
+z
=0 .
dx1
dy1
dz1
Cependant, lorsque la tangente est parallèl e à l ' une des as ympt otes de la
cubique, ou lorsque la tangente est menée par un point d’inflexion, on
n’obtient pas de soluti ons nouve lles.
2°. Si m 1 et m 2 , dési gnent deux points de l a cubique dont les coordonnées (x 1 , y 1 , z 1 ) et (x 2 , y 2 , z 2 ) sont entières, on obtient, en général, une nouvelle solution de l ' équation (7), en prenant l’intersection de la courbe avec la
sécante m 1 m 2 ; on a donc à résoudre les deux équations
f ( x1 , y1 , z1 ) = 0,
x,
x1 ,
x2 ,
y, z,
y1 , z1 , = 0 ,
y2 , z 2 ,
en tenant compte des r elations
f (x 1 , y 1 , z 1 ) = 0,
f (x 2 , y 2 , z 2 ) = 0
3°. Lorsque l’on connait cinq solutions de l’équation (7), on obtient, en
général, une sixième s olution, en prenant le point d’intersection avec la cu bi que, de la conique pas sant par les cinq points qui correspondent aux solutions
données. D’ailleurs, on peut supposer plusi eurs de ces points réunis en un
seul, et en particulier tous les cinq réunis en un seul, à la condition d’établir
entre les deux courbes le contact correspondant.
Nous obser verons que les méthodes de F E R M A T , L A G R A N G E , et C A U C H Y
reviennent aux deux premiers procédés.
SECTION 4.
Nous considérerons , plus particulièrement, dans ce qui suit l ' équation
(1). E U L E R et L E GE N D R E ont démontré que l’équati on
x 3 + y 3 = Az 3 ,
est impossible, lorsque A est égal à 1, 2, 3, 4 on 5 ; mais L E G E N D R E s’est
trompé, pour le cas de A = 6, ainsi que nous montrerons plus loin. M. S Y LV E S TE R est venu aj outer une importante contribution à la théorie de cette
équation, en donnant un certain nombre de formes générales de A pour les quelles, l’équation (1) est i mpossible. Les divers théorèmes indiqués par M.
S Y LV E S TE R sont enfer més dans l’énoncé su i vant :
L U C A S , Sur l’Analyse indéterminée du troisi ème degré.
182
Si p et q désignent des nombres premiers des formes respectives 18n + 5
et 18n + 11, il est i mpossible de décomposer en deux cubes , soit entiers, soit
fractionnaires, aucun des nombres A suivants :
p, 2p, 4p 2 ;
q 2 , 2q 2 , 4q .
P R E M I E R C A S . – En ef fet, soit d’abord à résoudre l ' équation indét er minée
(1)
x 3 + y 3 = Az 3 ,
dans 1aquelle A désigne un nombre premi er p de Ia for me 18n + 5, ou le
carré q 2 d’un nombre premier de la for me 18 n + 11 ; nous pouvons supposer
les entiers x, y, z, premiers entre eux. Mais le cube d' un nombre entier divisé
par 9 donne pour res te 0, ou + 1 ou – 1 ; donc, pour que l’équat ion (1) soit
possible, il faut que z 2 soit divisible par 9 ; par suite z = 3z 1 , et z 1 est
entier. Cela posé, nous ferons deux hypothèses, selon que z est impair ou
pair.
1°. Supposons z i mpai r. Alors x – y et x + y sont i mpairs ; on a
x 3 + y 3 = (x + y)(x 2 – xy – y 2 ) = (x + y) M ,
et
4M = (x + y) 2 + 3(x – y) 2 ;
par conséquent, puisque x +y est divisible par 3, M est aussi divisible par
3, mais non par une puissance supérieure ; par conséquent, en désignant par
a et b des nombres i mpairs, premiers entre eux, on doit poser
x + y = 3 2 Aa 3 ,
z 1 = ab ,
M = 3b 3 ,
et, par suite
x+ y
4b = ( x − y ) + 3 

 3 
3
2
2
D’ailleurs, b, di viseur de M, doit être de l a for me f
premiers entre eux ; on a ainsi
b = f 2 +3g 2 ,
b 2 =F 2 + 3G 2 ,
2
+ 3 2 g , f et g étant
4b 3 = (F – 3G) 2 + 3(F + G) 2 ;
et en identifiant les deux expressions de 4b 3 ,
x+ y
= 3 Aa 3 .
3
F +G=
f + g − 3 donne
Mais le développement du cube de
F = f ( f
2
2
– 9g ) ,
G = 3g( f
2
– g2) ;
par suite
f ( f
2
– 9g 2 ) + 3g ( f
2
– g 2 ) = 3Aa 3 ;
donc f serait divisible par 3, par suite b, et aussi x et y, que nous supposés premiers entre eux. Par conséquent, z ne petit être i mpair.
L U C A S , Sur l’Analyse indéterminée du troisi ème degré.
183
2°. Supposons z pair ; en aurait
2
2
x+ y
x− y
M =
 + 3
 ,
 2 
 2 
et, puique x et y sont i mpairs, il en est de même de M. On doit donc poser
z 1 = 2ab , x + y = 3 2 .2 3 .Aa 3 , M =3b 3 ,
et, par suite
2
2
x− y
x+ y
3

 + 3
 =b .
2
6




soient encore
b = f
2
+ 3g 2 ,
b 3 = F 2 + 3G 2 ;
on en déduira
x+ y
, ou g( f 2 – g 2 ) = 4Aa 3 .
6
D’ailleurs f 2 + 3g 2 et f 2 + 3g 2 – 4g 2 = f 2 – g 2 sont i mpairs ; donc g est
pair, et en désignant par !"#$%&'()"*+",*dont le produit égale a, on doit poser
g = 4 .0/ 3 , f + g = 3 , f – g = 3 ;
ou
g = 4/ 3, f + g = . 3, f – g = 3 ;
On déduit de ces deux décompositions
G=
3
–
3
= A
132 4 3 ,
3 5 31 2 4
3
=
. 3
;
ces deux équations sont semblables à l’equation (1) ; on ramène donc
l’équation proposée, dans laquelle l’une des inc onnues contient le facteur 3 6 ,
à une autre semblable, dans laquelle l' une des incon nues ne contient plus que
le facteur 3 6 – 1 ; en continuant de même, on ramènera l’équation pr oposée à
une autre de la même for me dans laquelle une des inconnues ne pas divisible
par 3. Donc l’équation proposée est i mpossi ble lorsque A est égal à un nombre premier p = 18n + 5 ; ou au carré q 2 d’un nombre premier q = 18n+11.
S E C O N D C AS . Considér ons maintenant l’équation
x 3 + y 3 = 2 n Aa 3 ,
dans laquelle A étant i mpair, le coefficient 2 n A représente l ' un des qua tre
nombres 2p, 2q 2 , 4p 2 , 4q. Nous supposerons x, y, z entiers et premiers entre
eux ; x et y étant impairs. De plus, nous ferons deux hypothèses suivant que
z est ou n’est pas di vi sible par 3.
1°. Supposons z non divisible par 3. On arr ive facilement à l’équation
f (f
mais f
ou bien
2
2
– 9g 2 ) = 2 n – 1 Aa 3 ;
– 9g 2 est i mpair, en même temps que b = f 2 + 3g 2 et l’on a
f = 2 n – 1 .0/ 3 , f + 3g = 3 , f – 3g 7 3 ;
L U C A S , Sur l’Analyse indéterminée du troisi ème degré.
f = 2 n – 1 3 , f + 3g = 3 , f – 3g
Ces deux décomposition conduisent aux deux équations
3
184
;
= 2 , ou = 2 ;
celles -ci sont i mpossi
bles suivant
lemodule
q,
puisque,
pour la première, les
"!
#
$
&
(
%
*
'
)
indéterminées 3
3
3
n
3
3
n
3
2°. Supposons z divisi ble par 3. En posant z = 3ab, on arrive, comme
plus haut à l’équation
g (f
et, puisque f
2
2
–g 2 ) = 2 n – 1 Aa 3 ,
– g 2 es t i mpair, à l ' une des décompositions
3
g = 2n–1 3, f + g = 3, f – g
;
+
f – g ou bien
3
3
g = 2n–1 3, f + g =
,
.
La seconde décomposi tion conduit à une équations déj à reconnue impossible ;
la première conduit à l' équation
3
– 3 = 2n 3 .
Celle-ci est de même for me que la proposée ; mais l ' indéter minée du second
membre contiendra un facteur 3 en moins. On conclura, comme précédemment, que l ' équation proposée est i mpossible à résou dre en nombres entiers.
SECTION 5.
Les six valeurs génér ales de A données par M. S Y LV E S TE R sont, j usqu’à présent, les seules valeurs connues qui rendent insoluble l’équation
donnée en aj outant toutefois les valeurs
A = 1, 2, 3, 4, 18, 36,
données par F E R M A T , E U LE R et L E G E N D R E . On a encore le théorème sui vant :
Pour que l’équation
X 3 + Y 3 = AZ 3 ,
soit vérifiée par des valeurs entières de X, Y, Z, A, il faut et suffit que A
appartienne à la forme
xy(x + y)
préalablement débaras sée des facteurs cubiques qu' elle peut contenir.
En effet, on a l ' identité
[x 3 – y 3 + 6x 2 y + 3xy 2 ] 3 + [y 3 – x 3 + 6y 2 x +3yx 2 ] 3
= xy(x +y).3 3 [x 2 + xy + y 2 ] 3 ,
et l’on résout l’équation proposée, par les valeurs
L U C A S , Sur l’Analyse indéterminée du troisi ème degré .
X
Y
Z
A
=
=
=
=
185
x 3 – y 3 + 6x 2 y + 3xy 2 ,
y 3 – x 3 + 6y 2 x + 3yx 2 ,
3(x 2 + xy +y 2 ),
xy(x + y).
Réciproquement, si l’équation est vérifiée pour les valeurs
riables, et si l’on pose
x = x 03 ,
x 0 , y 0 , z 0 des va-
y = y 03 ,
on a
xy(x + y) = A(x 0 y 0 z 0 ) 3 .
C’est ce qu’il fallait démon trer. Il résulte encore de l’identité précédente que
toute solution de l’équation proposée conduit à une série indéfi nie d’autres
solutions, en posant A constant. Il faut excepter le cas de x = ± y .
E X E M P LE : Pour x = 1, y = 2, on a la s olution
17 3 + 37 3 = 6.21 3 ;
de laquelle on déduit une série indéfinie d’autres solutions. Ainsi l’équ ation
x 3 + y 3 = 6z 3 ,
est résoluble en nombres entiers, et d’une infinité de manières, bien que L E G E N D R E ait affirmé le contraire.
P ARIS , Mai, 1879.