1 Coloriages 2 Un résultat utile : le théor`eme de Burnside

Université de Lorraine
année 2015-2016
Agrégation de Mathématiques
Théorème de Pólya
1
Coloriages
Soit C = {1, . . . , n} un ensemble de couleurs. On appelle coloriage de X
tout élément de C X . On dit que deux coloriages c et d sont indiscernables
sous l’action du groupe G ⊂ S(X) si il existe σ ∈ G tel que d = c ◦ σ. Il
est facile de voir qu’on définit ainsi une relation d’équivalence ∼ sur C X .
Notre but est de déterminer le nombre de classes de coloriage, c’est à dire
le nombre d’orbites de l’action de σ sur C X : σ.c = c ◦ σ.
2
Un résultat utile : le théorème de BurnsideFrobenius
Si G agit sur X, le nombre d’orbites sous l’action de G vaut
|OG (X)| =
1 ∑
|{x ∈ X; σ.x = x}|
|G|
(1)
σ∈G
Démonstration. Notons n = |OG (X)| et soit O1 , . . . , On une partition de X
en orbites. Pour x ∈ X, on note O(x) l’orbite de x (ainsi x ∈ Oi équivant à
O(x) = Oi ).
Pour tout i entre 1 et n, on a
∑
x∈Oi
Ainsi
n=
∑ 1
1
1
=
= |Oi | ×
= 1.
|O(x)|
|Oi |
|Oi |
x∈Oi
n
∑
i=1
1=
n ∑
∑
i=1 x∈Oi
∑ 1
1
=
.
|O(x)|
|O(x)|
x∈X
Mais d’après le théorème du stabilisateur, si, pour x ∈ X, on note
Sx = {σ ∈ G; σ.x = x}
1
le stabilisateur de x, on a [G : Sx ] = |O(x)|, soit |G|/|Sx | = |O(x)|, ce qui
nous donne
∑ |Sx |
1 ∑
=
|Sx |.
n=
|G|
|G|
x∈X
x∈X
Il suffit maintenant de compter de deux manières différentes le cardinal
de S = {(σ, x) ∈ G × X; σ.x
∑= x}
On a d’un côté |S| =
|{x ∈ X; σ.x = x}| et de l’autre
σ∈G
|S| =
d’où
∑
x∈X
|Sx | =
∑
∑
x∈X
σ∈G |{x
n=
∑
|{σ ∈ G; σ.x = x}| =
|Sx |,
x∈X
∈ X; σ.x = x}|, ce qui nous donne
1 ∑
|{x ∈ X; σ.x = x}|
|G|
σ∈G
3
Théorème de Polya, version simple
Théorème 1. C = {1, . . . , n} un ensemble de couleurs. On appelle coloriage
de X tout élément de C X . Soit G un groupe de permutations agissant sur
C X par σ.c = c ◦ σ. Alors, le nombre de coloriages discernables, c’est à dire
de nombre d’orbites de C X sous l’action de G est égal à
1 ∑ λ(σ)
n
,
|G|
σ∈G
où λ(σ) est le nombre de cycles de σ (éventuellement réduits à un point)
apparaissant dans la décomposition de σ en produits de cycles.
Démonstration. D’après le théorème de Burnside-Frobenius, le nombre de
coloriages discernables (le nombre d’orbites) vaut
1 ∑
|{c ∈ C X σ.c = c}|
|G|
σ∈G
Il s’agit donc de compter les coloriages c invariants par σ. Pour cela, souvenonsnous que les cycles de σ ne sont rien d’autre que les différentes orbites de
X sous l’action de ⟨σ⟩ 1 : ainsi, si i et j sont dans la même orbite, il existe
1. Cette action est bien sûr ici l’action naturelle de S(X) sur X
2
k avec j = σ k (i). Si on a σ.c = c, on a σ k .c = c, donc c(j) = c(σ k (i)) =
(σ k .c)(i) = c(i) : ainsi les coloriages invariants par g sont constants sur les
orbites (les cycles), réciproquement il est clair qu’un coloriage c constant
sur chaque orbite vérifie σ.c = c (pour tout i, on a bien c(σ(i)) = c(i) car
i et σ(i) sont dans la même orbite). Ainsi, les coloriages invariants sont des
coloriages des orbites (des cycles) de σ ; il y en a nλ(σ) .
3.1
Coloriages d’un tétraèdre régulier
Combien y a-t-il de manières discernables de colorier un tétraèdre régulier
à l’aide d’une palette de n couleurs ?
Ici X est l’ensemble des faces du tétraèdre et G le groupe des isométries
positives du tétraèdre.
G est un groupe d’ordre 12. Ces éléments sont
— L’identité
— Les 2 × 4 = 8 rotations d’angle 2π/3 ou 4π/3 d’axe orthogonal à une
base et passant par le sommet opposé.
— Les 3 demi-tours laissant stables les milieux de 2 arêtes opposées
L’identité à 4 cycles, les 8 rotations 2 cycles, et les 3 demi-tours 2 cycles,
1
(n4 + 11n2 ) coloriages.
ce qui donne exactement 12
Note : Comtet traite le cube.
3.2
Coloriage d’une roulette
Un autre exemple classique est le coloriage d’une roulette : ici les cases de
la roulette sont repérées par les éléments de X = Z/N Z. Une action naturelle
sur la roulette est formée par le groupe G des rotations ry : ry (x) = x + y.
L’application y 7→ ry est un morphisme injectif de Z/N Z dans son groupe
de permutations dont l’image est G. Ainsi, G s’identifie à Z/N Z.
Pour g ∈ G, λ(g) est le nombre d’orbites de G sous l’action de ⟨g⟩, soit,
en utilisant encore le théorème de Burnside-Frobenius, on a
1 ∑
1 ∑
N
λ(g) =
|{x ∈ G; h(x) = x}| =
|G|δ0,g =
.
|⟨g⟩|
|⟨g⟩|
|⟨g⟩|
h∈⟨g⟩
h∈⟨g⟩
Mais dans Z/N Z, le nombre d’éléments d’ordre d est ϕ(d) si d divise N , 0
sinon, d’où finalement
1 ∑ N/|⟨g⟩|
1 ∑
n
=
ϕ(d)nn/d
N
N
g∈G
d|N
coloriages.
3
4
Théorème de Polya, version forte
4.1
Polynôme indicateur de cycles d’un groupe
Soit G un sous-groupe de S(X), avec |X| = N .
On appelle polynôme indicateur de cycles du groupe G le polynôme
ZG ∈ Z[X1 , . . . , XN ] défini par
ZG =
N
1 ∑ ∏ nσ (j)
Xj
,
|G|
(2)
σ∈G j=1
où nσ (j) est le nombre d’orbites de longueur j sous l’action de σ.
4.2
Énoncé et preuve du théorème
On définit
W : CX
f
→ Z[X1 , . . . , Xn ]
n
∏
7→
Xf (i)
i=1
et
WG =
∑
W (f )
f ∈RX \∼
La définition est correcte car W (f ) = W (g) si f ∼ g.
Si on arrive à calculer WG , on aura le nombre de classes de coloriages,
car |RX \ ∼ | = WG (1, . . . , 1).
On va démontrer le théorème de Polya, qui dit que
Théorème 2.
WG = ZG (X1 + · · · + Xn , X12 + · · · + Xn2 , . . . , X1N + · · · + XnN )
Un corollaire immédiat sera l’identité
Comme λ(σ) =
∑N
|RX \ ∼ | = ZG (n, . . . , n).
j=1 nσ (j),
on a
ZG (n, . . . , n) =
1 ∑ λ(σ)
n
,
|G|
σ∈G
4
(3)
ce qui redonne le résultat du théorème 1.
On va commencer par un lemme, qui peut être vu comme une étape de
la preuve, mais a également d’autres applications.
G
Lemme 1. Soit
∑ F ⊂ R tel que ∀f ∈ F
pose WG,F = f ∈F\∼ W (f ). Alors
WG,F =
∀σ ∈ G
σ.f = f ◦ σ ∈ F. On
1 ∑ ∑
W (f )
|G|
σ∈G f ∈F
σ.f =f
Démonstration. Pour tout A dans l’image de W , on pose
XA = {f ∈ F ; W (f ) = A}
(4)
Il n’est pas difficile de voir que G opère sur XA par
σ.f = f ◦ σ
et que les orbites de XA sous l’action de G sont exactement les classes
d’éléments f de RX \ ∼ qui sont telles que W (f ) = A
On a donc
∑
WG =
|OG (XA )|A
(5)
A
D’après le théorème de Burnside-Frobenius, on a donc
WG =
∑
|OG (XA )|A
A
∑ 1 ∑
|{f ∈ XA ; σ.f = f }|A
|G|
A
σ∈G
1 ∑∑
=
|{f ∈ XA ; σ.f = f }|A
|G|
σ∈G A
1 ∑ ∑
=
W (f )
|G|
=
σ∈G f ∈F
σ.f =f
Preuve du théorème. On prend maintenant F = RX . Intéressons nous maintenant, à σ fixé, à la somme
∑
W (f ).
f :σ.f =f
5
Comment reconnaitre les fonctions f qui sont telles que σ.f = f ? Ce sont
exactement les fonctions qui sont constantes sur les orbites de X sous l’action
de σ.
Notons O1 , . . . , Ok ces orbites : les fonctions f qui sont telles que σ.f = f
sont les fonctions f = g ◦ r, où r(x) est le numéro de l’orbite à laquelle
appartient x et g ∈ C k . Si f = g ◦ r, alors
W (f ) =
k
∏
|O |
Xg(i)i
i=1
Ainsi
∑
W (f ) =
k
∑ ∏
|O |
Xg(i)i
g∈C k i=1
f :σ.f =f
=
=
k
∏
(∑
i=1
x∈C
n
∏
(∑
j=1
x∈C
n
∏ (∑
) ∏
)
Xx|Oi | =
Xx|Oi |
j=1 i:|Oi |=j
Xxj
x∈C
)nσ (j)
On remarquera que le passage de la première à la deuxième ligne consiste à
reconnaitre une somme de produits comme le développement d’un produit
de sommes. On a donc
n
1 ∑ ∏ ( ∑ j )nσ (j)
Xx
|G|
j=1
σ∈G
x∈C
∑
∑
∑
)
= ZG (
Xx ,
Xx2 , . . . ,
XxN
WG =
x∈C
4.3
x∈C
x∈C
Application 1 : Coloriages d’un tétraèdre régulier
Combien y a-t-il de manières discernables de colorier un tétraèdre régulier
à l’aide d’une palette de n couleurs ?
Ici X est l’ensemble des faces du tétraèdre et G le groupe des isométries
positives du tétraèdre.
G est un groupe d’ordre 12. Ces éléments sont
6
— L’identité
— Les 2 × 4 = 8 rotations d’angle 2π/3 ou 4π/3 d’axe orthogonal à une
base et passant par le sommet opposé.
— Les 3 demi-tours laissant stables les milieux de 2 arêtes opposées
On a donc
1
(X 4 + 8X1 X3 + 3X22 )
12 1
Et donc le nombre de classes de coloriages à n couleurs est
ZG (X1 , X2 , X3 , X4 ) =
ZG (n, n, n, n) =
4.4
1 4
1
(n + 8n2 + 3n2 ) = (n4 + 11 n2 ).
12
12
Application 2 : un coloriage de damier
Le problème qui suit a été donné dans les exercices de sélection de 1/4
de finale du Championnat 2015-2016 de la Fédération Française des Jeux
Mathématiques.
Sur un damier 3 × 3, on colorie 7 cases en rouge et 2 cases en bleu.
Combien de coloriages différents peut-on obtenir ? On considèrera comme
semblables deux coloriages qui se déduisent l’un de l’autre par une symétrie
ou une rotation.
Cet exercice était notamment proposé aux élèves de la catégorie 6e/5e.
Évidemment, ce qui suit n’est pas la solution attendue des candidates.
La case centrale étant invariante par les symétries et les rotations, il est
naturel de compter séparément
— Les coloriages où la case centrale est bleue : ce sont des coloriages
des 8 autres cases qui utilisent une fois le bleu, sept fois le rouge
— Les coloriages où la case centrale est rouge : ce sont des coloriages
des 8 autres cases qui utilisent deux fois le bleu, six fois le rouge
Le groupe gouvernant les classes d’équivalence des coloriages
le sous
( est )
0 −1
et la
groupe du groupe orthogonal engendré par la rotation R =
1 0
(
)
−1 0
symétrie S =
. Il est isomorphe au groupe diédral D4 , mais on va
0 −1
le regarder ici comme un sous-groupe de S(X), où X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
représente les 8 cases du bord du carré. G est le sous-groupe de S(X)
engendré par la rotation R = (1 6 8 3)(2 4 7 5)) et la symétrie
S = (1 6)(3 8)(2 7).
7
Ainsi le nombre de classes de coloriage qui utilisent une fois le bleu, sept
fois le rouge est le coefficient en x7 y de WG (x, y), tandis que le nombre de
classes de coloriage qui utilisent deux fois le bleu, six fois le rouge est le
coefficient en x6 y 2 de WG (x, y).
Comme |G| = 8, on peut faire les calculs à la main, mais je préfère les
laisser à Sage.
sage: G=PermutationGroup([[(1,6,8,3),(2,4,7,5)],[(1,6),(2,7),(3,8)]])
sage: G
Permutation Group with generators [(1,6,8,3)(2,4,7,5), (1,6)(2,7)(3,8)]
sage: P=G.cycle_index()
sage: P*8
p[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] + 4*p[2, 2, 2, 1, 1] + p[2, 2, 2, 2] + 2*p[4, 4]
sage: w(x,y)=((x+y)^8+4*(x^2+y^2)^3*(x+y)^2+(x^2+y^2)^4+2*(x^4+y^4)^2)/8
sage: expand(w)
(x, y) |--> x^8 + 2*x^7*y + 6*x^6*y^2 + 10*x^5*y^3 + 13*x^4*y^4
+ 10*x^3*y^5 + 6*x^2*y^6 + 2*x*y^7 + y^8
Ainsi, on a 2 coloriages avec la case centrale
centrale en rouge, d’où un total de 8.
× ◦ ◦
Avec la case centrale en bleu : ◦ × ◦ et
◦ ◦ ◦
Les autres :
× × ◦
◦ × ◦
◦ ◦ ◦ , × ◦ ◦
◦ ◦ ◦
◦ ◦ ◦
en bleu, et 6 avec la case
◦ × ◦
◦ × ◦
◦ ◦ ◦
× ◦ × × ◦ ◦
◦ ◦ ◦
× ◦ ◦
◦ ◦ ◦ , ◦ ◦ × , × ◦ × , ◦ ◦ ◦ .
◦ ◦ ◦
◦ ◦ ◦
◦ ◦ ◦
◦ ◦ ×
Remarque : G est isomorphe au groupe diédral D4 , mais ici, l’action qui
lui est associée n’est pas son action “naturelle” : on ne le fait pas agir sur
les sommets d’un carré, mais sur les 8 cases du bord du damier.
Références :
— Aigner, Combinatorial theory, section V.3
— Bories-Longet–Ramı́rez Alfonsin, Graphes et combinatoire, chapitre
12.
— Comtet, analyse combinatoire, tome 2, p 86-96 ou Comtet, Advanced
Combinatorics, p. 247-253
Pour Sage :
— Groupes engendrés par des éléments : http://doc.sagemath.org/
html/en/reference/groups/sage/groups/perm_gps/permgroup.html
8
— Polynôme indicateur de cycle : http://doc.sagemath.org/html/
en/reference/categories/sage/categories/finite_permutation_
groups.html
5
5.1
Le théorème de Polya : une preuve orientée théorie
de la mesure
Lemme de Burnside-Frobenius
Théorème 3 (Super lemme de Burnside-Frobenius). Soit G un groupe
opérant sur un ensemble X. Pour x ∈ G, on note G.x l’orbite de x sous
l’action de G. On note µ la mesure sur G × X de densité
(σ, x) 7→
1
11
|G| {σ.x=x}
par rapport à la mesure de comptage sur G × X. Alors, la mesure image de
µ par F : (σ, x) 7→ G.x est la mesure de comptage sur l’ensemble OG (X)
formé des orbites de X sous l’action de G.
Démonstration. On peut écrire F = P ◦ R, où R(σ, x) = x et P (x) = G.x.
Ainsi µF , la mesure image de µ par F est la mesure image de µR par P .
Commençons par calculer µR : on a
µR ({x}) =
1
1
1 |G|
1
|{σ ∈ G; σ.x = x}| =
||Sx | =
=
,
|G|
|G|
|G| |G.x|
|G.x|
avec le théorème du stabilisateur. Maintenant, si y est une orbite donnée
∑
µF (y) = µR (P −1 (y)) =
µR ({x})
=
∑
x:G.x=y
x∈P −1 (y)
1
=
|G.x|
∑
x:G.x=y
1
= 1.
|y|
Corollaire 1 (lemme de Burnside-Frobenius usuel).
|OG (X)| =
1 ∑
|{x ∈ X; σ.x = x}|
|G|
σ∈G
9
Démonstration. Par définition de la mesure image, µF (OG (X)) = µ(G×X).
Or µF (OG (x)) = |OG (X)|, tandis que
µ(G × X) =
∑∑ 1
1 ∑
11{σ.x=x} =
|Sx |,
|G|
|G|
x∈X g∈G
x∈X
ce qui donne le résultat voulu.
5.2
Preuve du théorème de Polya
Théorème 4. Soit X = {1, . . . , N } et C = {1, . . . , n}. Soit G un sousgroupe de S(X). G opère sur C X par σ.f = f ◦ σ. On pose
W (f )(X1 , . . . , Xn ) =
N
∏
Xf (i) =
i=1
N
∏
|f −1 (i)|
Xi
.
i=1
Si g = σ.f , on a pour tout i, g −1 (i) = σ −1 (f −1 (i)), or σ est une bijection
donc |g −1 (i)| = |f −1 (i)| et on a W (f ) = W (g). Ainsi, on peut définir une
application W de OG (C X ) dans Z[X1 , . . . , Xn ] telle que
W (f ) = W(G.f ).
On pose alors WG =
∑
y∈OG (C X ) W(y).
On a alors
∑
∑
∑
WG (X1 , . . . , Xn ) = ZG (
Xt ,
Xt2 , . . . ,
XtN ).
t∈C
t∈C
t∈C
Comme R est infini, il suffit de montrer que quels que soient x1 , . . . , xn
réels, on a
∑
∑
∑
WG (x1 , . . . , xn ) = ZG (
xt ,
x2t , . . . ,
xN
t ).
t∈C
t∈C
t∈C
On se fixe donc x1 , . . . , xn et, jusqu’à la fin de la preuve, les dépendances de
W , WG , W en x1 , . . . , xn ne seront pas rappelées afin d’alléger les écritures.
La quantité WG est l’intégrale de W par rapport à la mesure de comptage
sur OG (C X ). D’après le super-lemme de Burnside-Frobenius, cette mesure
est la mesure image de la mesure sur G × C X telle que
µ({σ, f }) =
1
11
|G| {σ.f =f }
par l’application F : (f, x) 7→ G.x. On a ainsi
10
∫
WG =
OG (C X )
W(f ) dµF (f )
∫
=
G×C X
W(G.f ) dµ(σ, f )
(théorème de transfert)
∫
=
W (f ) dµ(σ, f )
G×C X
=
∑ ∑
σ∈G f ∈C X
1
1 ∑ ∑
11{σ.f =f } W (f ) =
W (f )
|G|
|G|
X
σ∈G f ∈C
σ.f =f
À σ fixé, considérons la somme
∑
f ∈C X
σ.f =f
W (f ). Comment reconnaitre les
fonctions f qui sont telles que σ.f = f ? Si on note O1 , . . . , Ok les orbites
de X sous l’action de ⟨σ⟩, les fonctions invariantes par σ sont celles qui sont
constantes sur chaque orbite : ce sont exactement les fonctions qui s’écrivent
(de manière unique) sous la forme f = t ◦ r, où t ∈ C k et r(x) est le numéro
de l’orbite à laquelle appartient x et t ∈ C k . Si f = t ◦ r, alors
W (f ) =
k
∏
|O |
xt(i)i
i=1
Ainsi
∑
W (f ) =
k
∑ ∏
|O |
xt(i)i
g∈C k i=1
f :σ.f =f
∫
=
=
=
C k i=1
k (∫
∏
|O |
xt(i)i dCC⊗k (t(1), . . . , t(k))
|O |
xt i
C
i=1
(
k
∏
∑
i=1
=
k
∏
j=1
)
|Oi |
xt
t∈C
(
N
∏
∑
)
dCC (t)
=
)nσ (j)
xjt
t∈C
11
(Fubini)
N
∏
∏
j=1 i:|Oi |=j
(
∑
t∈C
)
xjt
Alors
(
)nσ (j)
N
∑
∑
∑
1 ∑∏ ∑ j
WG =
xt
= ZG (
xt ,
x2t , . . . ,
xN
t )
|G|
σ∈G j=1
t∈C
t∈C
12
x∈C
t∈C