211 - fiabilite 1 et 2

1 FIABILITE : GENERALITES
1.1
INTRODUCTION
La qualité d’un produit est caractérisée par sa conformité aux spécifications de sa définition.
La fiabilité d’un produit est caractérisée par le maintien de sa conformité dans une période donnée
correspondant à son utilisation pour une mission.
Fiabilité intrinsèque: fiabilité ne dépendant que de la qualité du matériel.
Fiabilité extrinsèque: dépend des conditions d’exploitation du système ( production, maintenance...)
1.2
FIABILITE : GENERALITES
La fiabilité est la science des défaillances basée sur l'expérience. Elle est indissociable de la qualité.
La fiabilité d'une machine a tendance à diminuer avec le nombre de ses composants. Lorsque les composants
sont trop nombreux ou trop complexes il arrive fréquemment un moment où la maîtrise de la fiabilité n'est plus
possible et l'hypothèse d'une défaillance très probable.
Pour un ensemble, une très haute qualité pour chacun des composants n'implique pas nécessairement une
grande fiabilité, après assemblage. Les interactions qui se produisent entre les composants diminuent la capacité
de l'ensemble.
De même, une grande fiabilité sous certaines conditions n'entraîne pas forcément une grande fiabilité sous
d'autres conditions. Par exemple, une huile moteur prévue pour des climats tempérés ne conviendra pas
nécessairement sous des climats très froids.
La meilleure connaissance de la fiabilité provient de l'analyse des défaillances lorsque les produits sont en
service. Il est ainsi possible d'établir des lois statistiques sur une population importante et sur un temps long à
partir de données collectées en après- vente.
L'expérimentation en laboratoire sur des échantillons est la deuxième voie possible pour faire des analyses de
fiabilité, notamment au stade de la conception.
Remarque : la non-fiabilité d'un produit ou d'un bien augmente les coûts de l'après-vente (applications des
garanties, frais judiciaires, etc.). Construire plus fiable augmente les coûts de conception et de production. Le coût
total du produit prend en compte ces deux tendances.
1.3
DEFINITION DE LA FIABILITE (R)
La fiabilité R, c'est la probabilité qu'a un bien (produit ou système) d'accomplir, de manière satisfaisante, une
fonction requise, sous des conditions données et pendant une période de temps donné.
Remarque : dans la définition proposée de la fiabilité, les quatre points suivants sont à mettre en évidence :
"probabilité", "de manière satisfaisante", "en un temps donné" et "sous des conditions données".
Probabilité : c'est une quantité indiquant, sous forme de fraction ou de pourcentage, le nombre de fois ou de
chances qu'a un événement de se produire sur un nombre total d'essais ou de tentatives.
Remarque 1 : R est un nombre compris entre 0 et 1 (0 ≤ R≤ 1).
Par exemple, une fiabilité R = 0,92 après 1 000 heures signifie que le produit a 92 chances sur 100 (92% de
chances) de fonctionner correctement pendant les 1 000 premières heures.
Remarque 2 : pour des produits identiques, fonctionnant dans les mêmes conditions, les défaillances peuvent se
produire à des moments différents. La répartition des défaillances au cours du temps est le plus souvent décrite à
partir des lois statistiques suivantes : loi normale, loi log normale, loi de Poisson, loi exponentielle, loi de Weibull.
"De manière satisfaisante" : cette propriété suppose que des critères précis (fonctions, etc.) et spécifiques
soient établis pour définir et décrire ce qui peut être considéré comme satisfaisant.
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"En un temps donné" : dans les études de fiabilité, le temps est la mesure ou la variable de référence
permettant d'évaluer les performances et d'estimer les probabilités : probabilité ou chance de survie sans
défaillance pendant une période de temps donnée, etc.
"Sous des conditions données" : regroupe l'ensemble des paramètres décrivant l'environnement du produit et
ses conditions d'utilisation : mode opératoire, procédures de stockage et de transport, lieux géographiques, cycles
des températures, humidité, vibrations, chocs, etc.
1.4
INDICATEURS DE FIABILITE λ et MTBF
λ et le MTBF sont les deux principaux indicateurs de la fiabilité utilisés industriellement
Dispositif réparable:
Possibilité de remplacer un ou plusieurs constituants.
la fiabilité est caractérisée par:
λ le taux de défaillance
t le temps de fonctionnement
M.T.B.F. Mean time between failure, moyenne des temps de bon
fonctionnement
M.T.F.F. Mean time to first failure, moyenne des temps jusqu’à la
première défaillance.
Dispositif non réparable:
La rupture de l’une des pièces entraîne l’échange de l’ensemble du système.
la fiabilité est caractérisée par:
λ le taux de défaillance
t le temps de fonctionnement
M.T.B.F. Mean time between failure ==> Paramètre inexistant.
M.T.F.F. Mean time to first failure, durée de vie du système.
1.4.1 Taux de défaillance λ
Définition : λ représente le taux de défaillance ou le taux d'avarie. Il caractérise la vitesse de variation de la
fiabilité au cours du temps.
Pour une période de travail donnée, durée totale en service actif :
λ =
nombre total de défaillances pendant le service
durée totale de bon fonctionnement
Remarques : la durée de bon fonctionnement est égale à la durée totale en service moins la durée des
défaillances.
Les unités utilisées sont : le nombre de défaillances par heure, le pourcentage de défaillances pour 1 000 heures,
etc.
-7
-5
-4
-2
Par exemple, un produit ayant 10 < λ < 10 pour 1 000 heures (ou 10 < λ < 10 par heure) présente un bon
niveau commercial de fiabilité.
1.4.2 MTBF ou moyenne des temps de bon fonctionnement
Définition : la (le) MTBF (qui vient de l'anglais : Mean Time Between Failure) représente la moyenne des temps
de bon fonctionnement entre deux défaillances d'un système réparable ou le temps moyen entre défaillances.
MTBF =
Somme des temps de bon fonctionnement entre les n défaillances
nombre des temps de bon fonctionnement
Remarque : si λ est constant le MTBF est égal à 1/λ
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Exemple : un compresseur industriel a fonctionné pendant 8 000 heures en service continu avec 5 pannes dont
les durées respectives sont : 7 ; 22 ; 8,5 ; 3,5 et 9 heures. Déterminons son MTBF.
MTBF =
8000 - (7 + 22 + 8,5 + 3,5 + 9)
8000 - 50
=
=
5
5
7950
= 1590 heures
5
Si λ est supposé constant :
λ=
1
1
= 0,0006289 = 6,289x10-4 défaillances / heure
=
MTBF
1590
Soit environ 0,0007 défaillance par heure ou 0,7 défaillance pour 1 000 heures.
1.5
FIABILITE D'UN SYSTEME CONSTITUE DE PLUSIEURS COMPOSANTS MONTES EN SERIE
Exemple : pour le circuit électrique proposé, la défaillance de n'importe quel composant (A, B, C, D, E ou F)
entraîne la défaillance du système. Les probabilités de défaillance des composants sont indépendantes les unes
des autres.
Théorème : La fiabilité RS d'un ensemble de n composants A, B,..., N montés ou connectés en série est égal au
produit des fiabilités respectives RA, RB,..., RN de chacun des composants. Autrement dit :
R S = (R A ).( R B )...( R N )
Remarque 1 : d'une manière générale, la procédure en série est utilisée lorsque chaque bloc, composant ou
sous-système appartenant à un même système doit fonctionner pour que l'ensemble "fonctionne" correctement.
Remarque 2 :
Si les n composants sont identiques avec une même fiabilité R alors
RS = Rn
Remarque 3 :
Si, pour les composants précédents, les taux de défaillances sont constants au cours du temps et notés λA, λB, ...,
λN alors la fiabilité s'écrit :
R S = (e - λA .t ).(e − λB .t )...(e − λN .t )
avec :
MTBFS =
1
λA + λB + ... + λN
Si de plus les n composants sont identiques λA = λB = ...= λN = λ alors :
RS = e
- n.λ .t
et
MTBFS =
1
n.λ
Exemple 1 : soit un poste de radio constitué de quatre composants connectés en série ; une alimentation RA =
0,95 ; une partie récepteur RB = 0,92 ; un amplificateur RC = 0,97 et un haut-parleur RD = 0,89. Déterminons la
fiabilité RS de l'appareil :
RS = RA.RB.RC.RD = 0,95.0,92.0,97.0.89 = 0,7545 (soit une fiabilité de 75% environ)
Exemple 2 : soit une imprimante constituée de 2 000 composants montés en série supposés tous de même
fiabilité, très élevée, R = 0,9999. Déterminons la fiabilité de l'appareil.
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n
2000
RS = R = 0,9999
= 0,8187 (soit une fiabilité globale de 82% environ)
Si on divise par deux le nombre des composants, la fiabilité devient :
RS = 0,99991000 = 0,9048 (environ 90,5%)
Si on souhaite obtenir une fiabilité de 90% pour l'ensemble des 2 000 composants montés en série, déterminons
la fiabilité R que devrait avoir chaque composant :
RS = 0,9000 = R2000
Expression que l'on peut encore écrire, à partir des logarithmes népériens, sous la forme :
Ln RS = Ln 0,9 = 2 000.Ln R
d'où, R = 0,999945
Exemple 3 : une machine de production, dont la durée totale de fonctionnement est de 1 500 heures, se
compose de quatre sous-systèmes A, B, C et D montés en série et ayant les MTBF respectifs suivants : MTBFA =
4 500 heures ; MTBFB = 3 200 heures ; MTBFC = 6 000 heures et MTFD = 10 500 heures. Déterminons les taux
de pannes et le MTBF global (MTBFS).
a)
Taux de panne et fiabilité de l'ensemble
λA = 1/MTBFA = 1/4500 = 0,000222 défaillance par heure = 0,222 défaillance pour 1 000 heures.
λB = 1/MTBFB = 1/3200 = 0,000313 défaillance par heure = 0,313 défaillance pour 1 000 heures.
λC = 1/MTBFC = 1/6000 = 0, 000167 défaillance par heure = 0,167 défaillance pour 1 000 heures.
λD = 1/MTBFD = 1/10500 = 0,000095 défaillance par heure = 0,095 défaillance pour 1 000 heures.
Taux de défaillance global : λS = λA +λB + λC + λD = 0,000797 (par heure).
La fiabilité globale RS de la machine pour les 1 500 heures s'écrit :
R S = e − λS .t
RS = e - 0,000797.t = e - 0,000797.(1500) = e - 1,196 = 0,303 (30,3%)
Remarque : si on divise par deux la durée de fonctionnement de la machine (750 heures) :
RS(750) = e- 0,000797.750 = 0,550 (55%)
b)
MTBF de l'ensemble
MTBFS = 1/λS = 1/ 0,000797 = 1 255
Soit un temps de 1255 heures entre deux défaillances.
c)
Quelle est la probabilité pour que le système parvienne sans panne jusqu'à 5 000 heures ?
RS(5000) = e - 0,000797.5000 = 0,0186 (environ 2%)
1.6
FIABILITE D'UN SYSTEME DE COMPOSANTS MONTES EN PARALLELE
La fiabilité d'un système peut être augmentée en plaçant des composants, identiques ou non, en parallèle. Un
dispositif constitué de n composants en parallèle ne peut tomber en panne que si les n composants tombent tous
en panne au même moment.
Lorsque les composants sont identiques les systèmes sont également dits redondants.
D'une manière générale, la procédure en parallèle s'utilise lorsque la défaillance d'un, ou de plusieurs blocs,
composants ou sous-systèmes, d'un même système doit rester sans conséquence sur le fonctionnement ou la
mission de l'ensemble.
Exemples :
•
structure administrative fonctionnant avec trois micro-ordinateurs travaillant en parallèle.
•
dispositif de ventilation utilisant quatre ventilateurs identiques qui tournent en permanence alors que deux
ventilateurs sont nécessaires pour assurer une ventilation suffisante.
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1.6.1 Cas général : n composants différents en parallèle
Soit n composants A, B, ..., N (voir figure) connectés en parallèle, si la probabilité de panne pour chaque
composant repéré (i) est notée Fi alors :
Fi = 1 - R i
avec Ri la fiabilité associée.
La probabilité de pannes FS de l'ensemble des n composants en parallèle est égal au produit des Fi entre eux :
FS = (F1 ).( F2 )...( Fn ) = (1 - R 1 ).(1 - R 2 )...(1 - R n )
La fiabilité RS de l'ensemble est donnée par la relation :
R S = 1 - (1 - R 1 ).(1 - R 2 )...(1 - R n )
1.6.2 Cas de n composants identiques en parallèle
Les n composants, identiques, ont tous la même fiabilité R, autrement dit : R = R1 = R2 = ... = Rn
L'expression précédente devient :
R S = 1 - (1 - R) n
Cas particulier de deux dispositifs en parallèle : si λ est constant, RS est obtenu par :
R S = 1 - (1 - R A ).(1 - R B ) = R A + R B - R A .R B = e -λA .t + e -λB .t - e -( λA + λB ).t
Exemple : trois dispositifs A, B et C de même fiabilité RA = RB = RC = 0,75 sont connectés en parallèle.
a)
Déterminons la fiabilité de l'ensemble.
RS = 1 - (1 - 0,75)3 = 1 - (0,25)3 = 1 - 0,0156 = 0,984.
2
Si on réduit à deux le nombre de dispositifs : RS = 1 - (0,25) = 0,9375.
4.
Si on met quatre dispositifs en parallèle : RS = 1 - (0,25) = 0,9961.
b)
Quel nombre de dispositifs en parallèle faudrait-il mettre pour avoir une fiabilité globale de 0,999 (99,9%) ?
RS = 0,999 = 1 - (0,25)n
d'où : 0,25n = 1 - 0,999 = 0,001.
En utilisant les logarithmes népériens :
n.Ln(0,25) = Ln(0,001)
n.(-1,386) = (-6,908)
n = 4,983.
Ce qui implique d'avoir au moins cinq dispositifs en parallèle.
c)
Si on souhaite obtenir une fiabilité globale de 99% avec trois dispositifs seulement, quelle devrait être la
fiabilité R' de chacun de ces dispositifs ?
RS = 0,990 = 1 - (1 - R')3
d'où :
(1-R')3 = 1 - 0,990 = 0,010
d)
Ln(1 - R') = Ln(0,010) = (-4,605)
Ln(1 -R') = (-1,535) d'où :
(1 -R') = 0,2154
R' = 0,7846 (soit une fiabilité minimale de 78,45%)
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1.7
1.7.1
CAS DE SYSTEMES CONNECTES EN PARALLELE ET DITS EN ATTENTE
Cas de deux composants en attente
Pour le système proposé, le composant A est en service actif et le composant B en attente. Si A tombe en panne,
B est immédiatement activée pour remplacer A.
Si on suppose que A et B sont identiques et ont un taux de défaillance λ constant, la fiabilité du système est
donnée par l'expression :
R(t) = e
- λ .t
+ λ . t.e
- λ .t
= e
- λ ;t
. [1 + λ . t
2
]
Si A et B ne sont pas identiques la relation devient :
R(t) =
λA
λB - λA
(e - λA .t - e - λB .t ) + e - λA .t
1.7.2 Cas de n composants en attente
Même démarche que précédemment, si A le composant actif tombe en panne, il est remplacé par B. Si B tombe à
son tour en panne, il est automatiquement remplacé par C, etc.
Si tous les composants sont identiques avec λ constant, la fiabilité du dispositif est donnée par :
R(t) = e
- λ .t

(
(
λ.t ) 2
λ.t )n 
.1 + λ.t +
+ ... +

2!
n! 

Exemple avec 3 composants identiques en attente.
1.7.3
Cas où m composants sur les n sont nécessaires au succès du système
Si on suppose que le système se compose de n composants K, tous de même fiabilité R, et qu'il doit y avoir au
moins m composants en état de fonctionner, la fiabilité de l'ensemble est donnée par la relation :
n
RS =

n! 
∑  i!(n - i)! R (1 - R)
i
n-i
i=m
Exemple 1 : cas avec trois composants K et avec un minimum de deux composants actifs sur les trois
disponibles au départ.
On tolère pour le système la défaillance d'un seul composant sur les trois. Il doit y avoir au moins deux
composants en fonctionnement ou en activité pour accomplir la mission.
La relation précédente donne, avec n = 3 et m = 2 :
R S = R 3 + 3R 2 (1 - R) = 3R 2 - 2R 3
Exemple 2 : cas avec quatre composants K en parallèle et avec un minimum de deux composants actifs sur les
quatre disponibles au départ.
On tolère pour le système la défaillance de deux composants sur les quatre. Il doit y avoir au moins deux
composants en fonctionnement ou en activité pour accomplir la mission.
A partir de la relation initiale, on obtient avec n=4 et m=2 :
R S = R 4 + 4R 3 (1- R) + 6R 2 (1- R) 2 = 3R 4 - 8R 3 + 6R 2
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1.8
COMBINAISONS DE COMPOSANTS EN SERIE ET EN PARALLELE
C'est la combinaison des cas des deux paragraphes précédents 6 et 7.
Exemple : la fiabilité des trois composants identiques A, B et C est de 0,65 ; celle de D de 0,96 ; celle de E de
0,92 ; celle de G de 0,87 ; celle de F de 0,89 et celle de H de 1 (100%).
La fiabilité globale R est ici exprimée par :
3
R = [1 - (1-0,65) ].[0,96].[1 - (1-0,92.0,87)(1-0,89.1)]
= 0,957.0,96.0,978 = 0,8986 (environ 90%)
Remarque : si λ est supposé constant pour chaque composant, on obtient un MTBF de 257,2 heures.
2 FIABILITE : LOIS MATHEMATIQUES USUELLES
2.1
INTRODUCTION
Variabilité et probabilité ont un rôle déterminant dans la fiabilité des produits. Dimensions, masses, coefficients de
frottements, résistances, contraintes et autres sont des paramètres rarement constants. La variabilité peut aussi
résulter du processus de fabrication, de la variation des matériaux, des facteurs humains, des applications, etc.
Comprendre les lois, les causes et les effets de cette variabilité est nécessaire à l'élaboration de produits fiables.
Les principales lois de probabilité (ou statistiques) régulièrement utilisées en fiabilité sont abordées dans ce
chapitre. La loi normale, souvent employée, est supposée parfaitement acquise et ne sera pas développée. De
même, pour les mêmes raisons, la loi log-normale, loi telle que le logarithme de la variable temps t suit la loi
normale, ne sera pas abordée (cette loi caractérise certaines distributions de durée de vie ou de temps de
réparation).
2.2
DEFAILLANCE F(t) ET FIABILITE R(t) FONCTION DU TEMPS T
2.2.1 Relation entre F(t) et R(t)
Si F(t) est la probabilité (fonction mathématique du temps t variant entre 0 et 1) qu'a un dispositif d'avoir une
défaillance entre les instants 0 et t, alors la fiabilité R(t) est son complément. Autrement dit :
R(t) = 1 - F(t)
R(t) est appelée la fonction fiabilité, c'est une fonction mathématique du temps t (variant entre 0 et 1) définissant
les chances de survie entre les instants 0 et t.
2.2.2 Définitions
Soit N0, un nombre total de composants testés en fiabilité entre les instants 0 et t,
NS(t) est le nombre de composants encore en marche ou survivants à l'instant t,
Nd(t) est le nombre de composants ayant eu une défaillance entre les instants 0 et t,
alors on peut définir :
R(t) =
N S (t)
N (t)
= 1 - d
N0
N0
F(t) =
N d (t)
N0
2.2.3 Probabilité de défaillance f(t)
Soit maintenant f(t) la fonction définissant la probabilité de défaillance à un instant précis t de l'intervalle de temps
précédent [0, t].
f(t) indique la probabilité qu'a le produit d'avoir une défaillance entre les instants (t) et
(t + dt) ; dt étant un intervalle de temps très petit.
f(t) est encore appelée densité de probabilité de défaillance.
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Mathématiquement, la relation entre F(t) et f(t) est donnée par :
t
F(t) =
∫ f(t).dt
0
Inversement :
f(t) =
dF(t)
dR(t)
= dt
dt
∞
Si le temps devient infini (t = ∞), F(t) devient : F(∞) =
∫ f(t).dt
= 1.
0
Ce qui signifie que pour une durée de temps variant entre 0 et ∞ la probabilité d'avoir une défaillance est égale 1,
c'est-à-dire 100%. Autrement dit, sur une durée suffisamment longue on est certain de tomber en panne. Il en
résulte que :
t
∞
0
t
R(t) = 1 - ∫ f(t).dt = ∫ f(t).dt
2.3
2.3.1
TAUX INSTANTANE DE DEFAILLANCE λ(T) FONCTION DU TEMPS T
Etude générale
Définition : λ(t) est la probabilité pour qu'un produit en bon état à l'instant t
ait une défaillance entre les instants (t) et (t + dt).
Si on poursuit le raisonnement abordé au paragraphe précédent, λ(t), en tant que fonction du temps, est défini
par :
λ (t) =
f(t)
f(t)
1  dR(t) 
dLnR(t)
=
=
= 

1- F(t)
R(t)
R(t) 
dt 
dt
avec LnR(t) le logarithme népérien de R(t).
è
Remarque : comme R(t) = 1 - F(t) alors :
dR(t)
d(1)
d(F(t)
d(F(t)
d(F(t)
=
= 0 = = - f(t)
dt
dt
dt
dt
dt
La relation entre λ(t) et R(t) devient :
 t

 - λ (u)du 
 0

∫


R(t) = exp- ∫ λ (u)du = e
 0

t
Il en résulte notamment que :
t
f(t) = λ (t).R(t) = λ (t).e
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∫
- λ (u)du
0
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λ(t) est une fonction du temps et plusieurs modèles statistiques sont utilisables à ce niveau pour la représenter.
Dans le cas de la zone 2 (fig.1et 2) le taux de panne λ est constant ou sensiblement constant et les formules
- .t
précédentes se simplifient. La fiabilité R(t) qui en résulte a alors une forme exponentielle : R(t) = e λ (voir
paragraphe 2.7).
2.3.2 Définition
Le taux de défaillance a également été défini dans le chapitre précédent "Fiabilité 1" par :
λ =
nombre total de défaillances pendant le service
durée totale de bon fonctionnement
La durée de bon fonctionnement est la période de temps pendant laquelle le dispositif, en activité ou en service,
est exposé à des défaillances.
Exemple 1 : supposons 8 composants identiques testés sur une durée de 550 heures dans les mêmes
conditions. Le premier composant tombe en panne, de manière irréparable, après 65 heures de fonctionnement,
le deuxième après 115 heures, le troisième après 135 heures, le composant 4 après 340 heures, le composant 5
après 535 heures, les trois autres composants continuent de fonctionner normalement. Alors :
λ =
5
5
=
= 0,00176
65 + 115 + 135 + 340 + 535 + 550 + 550 + 550
2840
Exemple 2 : considérons une machine automatisée fonctionnant pendant un cycle opératoire de 155 heures.
Pendant cette période le système subit 5 défaillances à des moments différents, suivies d'une réparation puis
d'une remise en activité. Les durées respectives des défaillances sont 2,5 heures ; 8,3 heures ; 3,7 heures ; 1,8
heures et 7,5 heures.
λ =
2.3.3
5
5
=
= 0,0381
155 - (2,5 + 8,3 + 3,7 + 1,8 + 7,5)
131,2
Allures typiques du graphe λ(t) en fonction du temps t
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En pratique, le taux de pannes λ peut être constant mais aussi croissant ou décroissant au cours du temps, avec
changement graduel, sans discontinuités.
Pour la majorité des produits industriels, les variations de λ(t) au cours du temps ("courbes dites en baignoire"
voir figures 1 et 2) présentent trois zones typiques :
Zone 1 : Période de défaillance précoce (ou période de jeunesse) : c'est le début de la vie du produit
•
et les défaillances sont dites de jeunesse (composants neufs présentant des défauts de fabrication...). Le taux de
défaillance λ décroît rapidement au cours du temps. Préventions possibles : déverminage, rodage, contrôles et
tests renforcés avant livraison, etc. La loi de Weibull (avec β<1 et t0=0 ; voir paragraphe 2.8) est utilisable pour
décrire ce type de défaillance.
•
Zone 2 : période de défaillance à taux constant (ou sensiblement constant) : c'est la zone de maturité
ou de pleine activité du produit pour laquelle le taux de défaillance λ est sensiblement constant. C'est également
le domaine des défaillances imprévisibles se produisant de façon aléatoire. En étude de probabilité, la loi de
-λ.t
fiabilité adaptée à cette zone (λ = λ(t) = constante) est la distribution exponentielle, forme R = e , voir
paragraphe 2.6. Le phénomène d'arrivée des pannes dans le temps est dit Poissonien ou encore appelé
"Processus de Poisson".
•
Zone 3 : période de défaillance par vieillissement : c'est la période de fin de vie du produit caractérisée
par des défaillances dues à l'âge ou à l'usure des composants. Le taux de défaillances λ croît rapidement avec le
temps du fait de la dégradation du matériel (usures mécaniques, phénomènes de fatigue, dérive des composants
électroniques...). Les lois de fiabilité adaptées à cette zone sont : les lois normale, Gamma, log-normale ou
encore Weibull (avec β>2 et t0>0).
è
Remarque : la courbe "en baignoire" (figure 1) est typique des équipements électroniques. Dans le cas
des équipements mécaniques ou électromécaniques λ(t) est légèrement croissant dans la zone 2 (figure 2).
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2.4
LOI DE SURVIE .
Soit un groupe de 300 matériels identiques, utilisés de la même manière et mis en service à la même date.
2.4.1
Notations :
N(t) : Nombre de survivants à la date t (on fait le
compte des éléments encore en service)
∆N(t) : Mortalité absolue à la fin de la période t (nombre
d'éléments défaillants depuis le dernier inventaire)
N(0) : Nombre de matériels mis en service à la date t=0
(ici, il s'agit de 300)
R(t) : Fréquence relative de survivants, probabilité de
survie (c'est la proportion d'éléments encore en service
par rapport au nombre initial ; peut s'exprimer en pourcent
F(t) : Probabilité d'observer une défaillance avant t
(c'est le complément de R(t) )
f(t) : Proportion de défaillants dans l'intervalle [(t-1);t]
(c'est la proportion d'éléments défaillants depuis le
dernier inventaire par rapport au total initial)
R(t ) =
F (t ) = 1 − R (t )
f (t ) =
Z(t) : Taux de défaillance (ou Taux d'avarie) ; (c'est la
proportion d'éléments défaillants depuis le dernier
inventaire par rapport au total précédent
2.4.2
N (t )
N (0)
∆N (t ) N (t − 1) − N (t )
=
N (0)
N (0)
Z (t ) =
N (t − 1) − N (t )
N (t − 1)
Calcul des paramètres de fiabilité :
période
t
K
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
survivants
N(t)
300
260
235
205
160
115
75
40
15
0
211 - fiabilite 1 et 2 .DOC
mortalité
absolue
∆N(t)
0
40
25
30
45
45
40
35
25
15
mortalité
relative
f(t)
0.000
0.133
0.083
0.100
0.150
0.150
0.133
0.117
0.083
0.050
probabilité
de survie
R(t)
1.000
0.867
0.783
0.683
0.533
0.383
0.250
0.133
0.050
0.000
taux
d'avarie
Z(t)
0.000
0.133
0.096
0.128
0.220
0.281
0.348
0.467
0.625
1.000
Page 11 sur 26
2.4.3
Représentation graphique:
∆N(t)
N(t) 300
50
350
300
40
250
200
30
150
20
100
10
50
N(t) 300
0
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(t)
R(t)
0.160
0.140
0.120
0.100
0.080
0.060
0.040
0.020
0.000
Z(t)
1.200
1.200
1.000
1.000
f(t)
0.800
R(t)
0.600
0.400
0.800
0.600
0.400
0.200
0.200
Z(t)
0.000
0.000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2.4.4
DN(t)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Calcul de la M.T.B.F.
Dans la 3ème colonne du tableau de la page précédente, on remarque que 40 matériels sont morts au terme d'1
période, puis 25 au terme de 2 périodes, puis …
La MTBF peut donc s'écrire :
MTBF = [(40x1)+(25x2)+(30x3)+(45x4)+(45x5)+(40x6)+(35x7)+(25x8)+(15x9)] /300
MTBF = 4,68
2.4.5
périodes
Remarque :
Σ t.f(t) = 4,68
donc :
MTBF =
Σ R(t) = 4,68
∞
∞
1 ∞
(
)
(
)
t
.
∆
N
t
=
t
.
f
t
=
∑
∑1
∑1 R(t )
N (0 ) 1
N (t − ∆t ) − N (t )
f (t )
N (0 )
=
N (t )
R (t )
N (0 )
Posons le rapport f(t) / R(t) :
Avec N(0) ≠0
On peut dire alors que
211 - fiabilite 1 et 2 .DOC
Z (t ) =
f (t )
R(t )
quand
∆t → 0 c'est à dire quand la variable est continue.
Page 12 sur 26
période
t
K
survivants
N(t)
mortalité
absolue
∆N(t)
calcul de
MTBF
t x ∆N(t)
période
t
K
survivants
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
300
260
235
205
160
115
75
40
15
0
300
1
2
3
4
5
6
7
8
9
300
260
235
205
160
115
75
40
15
0
N(t)
mortalité
absolue
∆N(t)
mortalité
relative
f(t)
0
40
25
30
45
45
40
35
25
15
0.00
0.13
0.08
0.10
0.15
0.15
0.13
0.12
0.08
0.05
300
40
25
30
45
45
40
35
25
15
Σ
Σ / Ν0
40
50
90
180
225
240
245
200
135
1405
4.68
40 appareils sont HS
au bout de 1 période
temps total = 40 x 1
Σ
somme
des
t x f(t)
ici t=K
0.00
0.13
0.17
0.30
0.60
0.75
0.80
0.82
0.67
0.45
4.68
Calcul de MTBF
MTBF = (40x1 + 25x2 + 30x3 + 45x4 + 45x5 + 40x6 + 35x7 + 25x8 + 15x9) / 300
MTBF = 4,68 périodes
période
t
K
survivants
N(t)
mortalité
absolue
∆N(t)
mortalité
relative
f(t)
F(t)
0
40
25
30
45
45
40
35
25
15
0.000
0.133
0.083
0.100
0.150
0.150
0.133
0.117
0.083
0.050
0.000
0.133
0.217
0.317
0.467
0.617
0.750
0.867
0.950
1.000
300
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
300
260
235
205
160
115
75
40
15
0
211 - fiabilite 1 et 2 .DOC
probabilité
de survie
R(t)
1 - F(t)
1.00
0.87
0.78
0.68
0.53
0.38
0.25
0.13
0.05
0.00
4.68
Σ
Page 13 sur 26
2.5
LOI BINOMIALE :
Soit une "épreuve" dont le résultat se réduit à une alternative (succès, échec), par exemple "casse ou pas" ;
Soit une répétition de n épreuves identiques ;
Si on appelle X la variable aléatoire "nombre de succès dans n épreuves" ;
Si la probabilité de succès p est la même dans toutes les épreuves ;
Si les épreuves successives sont indépendantes ;
On dit que suit une loi binomiale B(n,p)
Pr[X = k ] = p (k ) = C nk . p k .(1 − p )
n−k
n
essais
5
5
5
6
6
6
6
7
7
7
7
8
8
8
8
9
9
9
9
10
10
10
10
k
défaillances
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
p probabilité
0.0500
0.1000
0.2036
0.3281
0.0214
0.0729
0.0011
0.0081
0.7351
0.5314
0.2321
0.3543
0.0305
0.0984
0.0021
0.0146
0.6983
0.4783
0.2573
0.3720
0.0406
0.1240
0.0036
0.0230
0.6634
0.4305
0.2793
0.3826
0.0515
0.1488
0.0054
0.0331
0.6302
0.3874
0.2985
0.3874
0.0629
0.1722
0.0077
0.0446
0.5987
0.3487
0.3151
0.3874
0.0746
0.1937
0.0105
0.0574
0.2000
0.4096
0.2048
0.0512
0.2621
0.3932
0.2458
0.0819
0.2097
0.3670
0.2753
0.1147
0.1678
0.3355
0.2936
0.1468
0.1342
0.3020
0.3020
0.1762
0.1074
0.2684
0.3020
0.2013
0.3000
0.3602
0.3087
0.1323
0.1176
0.3025
0.3241
0.1852
0.0824
0.2471
0.3177
0.2269
0.0576
0.1977
0.2965
0.2541
0.0404
0.1556
0.2668
0.2668
0.0282
0.1211
0.2335
0.2668
0.4000
0.2592
0.3456
0.2304
0.0467
0.1866
0.3110
0.2765
0.0280
0.1306
0.2613
0.2903
0.0168
0.0896
0.2090
0.2787
0.0101
0.0605
0.1612
0.2508
0.0060
0.0403
0.1209
0.2150
Un dispositif a une probabilité de 2 chances sur 10 de défaillance pour chaque démarrage,
Quelle est la probabilité d'avoir une défaillance au bout de 5 essais, puis 6, puis 7, puis 8,
Quelle est la probabilité d'avoir deux défaillances au bout de 5 essais, puis 6, puis 7, puis 8,
211 - fiabilite 1 et 2 .DOC
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2.6
2.6.1
LOI DE POISSON
Définitions
La loi de Poisson utilise des variables discrètes pour représenter les individus et les populations étudiées.
Variable discrète : variable qui ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs (même si ce nombre est très
grand). Il est toujours possible de faire la liste de toutes les valeurs (x1, x2,..., xn).
Variable continue : variable qui peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle donné entre une valeur
mini et une valeur maxi (xmini ≤ x ≤ xmaxi). La loi exponentielle et la loi de Weibull des paragraphes suivants
utilisent des variables continues.
2.6.2 Loi de Poisson
L'arrivée de véhicules sur une autoroute, d'avions sur un petit aérodrome, l'explosion d'atomes radioactifs,
l'étalement des communications téléphoniques à un standard obéissent "en gros" à la loi de Poisson.
En fiabilité, lorsque λ est constant (λ(t) = λ), le processus d'arrivée des pannes est exprimé par la loi de Poisson.
La loi détermine la probabilité P(k) de constater k pannes sur un temps ou une durée t par :
P(k) =
(λ t) k - λ .t
e
k!
La fiabilité correspond à la probabilité qu'il n'y ait pas de défaillance au bout du temps t soit :
R(t) = P(0) = e - λ .t
è
Remarque : cette relation peut se déduire directement de la relation du paragraphe III-1
dans laquelle on suppose λ constant.
La fonction fiabilité est le complément à la fonction répartition des défaillances :
F(t) = 1 - e - λ .t
dont la dérivée, la densité de probabilité de défaillances f(t) est :
f(t) = λ .e - λ .t
211 - fiabilite 1 et 2 .DOC
Page 15 sur 26
è
Remarque : 1/λ=MTBF, on retrouve les propriétés générales de la loi exponentielle du paragraphe 2.7
suivant.
Exemple
e − λ . λk
Pr ob( X = k ) =
k!
La MTBF d'un système est de 41,2 jours
Le temps requis est de 24 jours par mois, 10 mois par an,
1 / Calcul du taux d'avarie
λ=1/41.2 =
2 / Calcul du temps total requis en jours
lambda x t = 5.82524272
0.02427
240
3 / Calcul de p(k) pour n variant de 1 à 10 et tracé des courbes représentatives
n
p(k)
P(k)
1.20000
0
0.00295
0.00295
1.00000
1
0.01720
0.02015
0.80000
2
0.05009
0.07024
3
0.09726
0.16750
0.60000
4
0.14164
0.30913
0.40000
5
0.16501
0.47415
6
0.16021
0.63436
0.20000
7
0.13332
0.76767
0.00000
8
0.09708
0.86475
9
0.06283
0.92758
10
0.03660
0.96418
Quelle est la probabilité d'avoir jusqu'a 5 pannes
Quelle est la probabilité d'avoir 5 pannes
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
p(0)+p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)
p(5)
Probabilité d’avoir jusque 5 pannes = p(0)+p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5) = 0,47415
Probabilité d’avoir5 pannes exactement = p(5) = 0,0,16501
211 - fiabilite 1 et 2 .DOC
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2.7
LOI EXPONENTIELLE
Ce modèle est régulièrement utilisé lorsque le taux de défaillance λ est constant (cas courant des composants
électroniques) ou sensiblement constant. Il est à rapprocher de la loi de Poisson du paragraphe précédent en
utilisant une variable continue à la place d'une variable discrète.
2.7.1 Distribution exponentielle
Reprenons les raisonnements abordés au paragraphe 2.3. Dans le cas de la zone 2 (fig.1et 2), le taux de panne λ
est constant ou sensiblement constant, les expressions se simplifient et R(t) prend une forme exponentielle.
En remarquant que :
t
t
t
t
∫0 λ (u)du = ∫0 λ .du = λ . ∫0 du = λ . t = MTBF
Propriétés de la distribution exponentielle
Taux de défaillance:
Equation générale (t ≥ 0):
-λ.t
λ(t) =λ = constante
f(t) = λ.e = λ.R(t)
(voir allure figure 4)
moyenne : µ = 1/λ = MTBF
écart type : σ = 1/λ
Figure4
∫
t
- λ (u)du
R(t) = e
0

= exp  
Fiabilité:
-λ.t
-t/MTBF
R(t) = e = e
(voir allure figure 5)
Figure5
t

∫ λ (u)du
= e- λ t
0
Fonction défaillance:
-λ.t
F(t) = 1 - R(t) = 1 - e
(voir allure figure 6)
Figure6
Le MTBF, temps moyen entre défaillances, correspond à une moyenne de vie arithmétique.
Exemple 1 : Quelle est la fiabilité d'un dispositif travaillant pendant une période de temps égale au MTBF ?
Pour ce cas la probabilité de survie est :
R(t)= R(MTBF) = e-MTBF/MTBF = e-1 = 1/e = 1/2,718 = 0,3679 (environ 37%)
211 - fiabilite 1 et 2 .DOC
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Exemple 2 : un composant électronique de puissance a un taux de panne constant de 0,07 pour 1 000 heures de
fonctionnement.
a)
Quelle est la probabilité pour qu'il survive 5000, 1000 et 2000 heures ?
L'unité de temps est 1000 heures. A 5000 heures correspond t = 5
-λ.t
- (0,07).t
- (0,07).(5)
P(t < 5 000) = R(t) = R(5) = e
=e
=e
pour 1 000 heures (t = 1) : R(1) = e- 0,07.1 = 0,932
pour 2 000 heures (t = 2) : R(2) = e- 0,07.2 = 0,869
= 0,705 (environ 70,5%),
(93,2%),
(86,9%).
b) Quelle est la probabilité pour que le composant dure entre 2 000 et 5 000 heures ?
P(2000 ≤ t ≤ 5000) = F(5) - F(2) = R(2) - R(5) = 0,869 - 0,705 = 0,164 (16,4%).
c) Quelle est la probabilité pour que le composant dure 1 000 heures de plus après 5 000 heures de
fonctionnement ?
C'est une probabilité conditionnelle de forme générale : P(t > b / t> a) = P(t > b-a)
P(t > 6 / t > 5) = P(t > 6-5) = P(t>1) = R(1) = 0,932 (93,2%)
Remarque : lorsque le taux de panne est constant, les chances d'avoir une défaillance restent toujours les
mêmes. Que le composant soit neuf ou non, qu'il ait déjà servi longtemps ou non, sa fiabilité reste la même.
Exemple 3 : soit quatre composants connectés en série dont les taux de panne pour 1000 heures sont
respectivement : 0,052 ; 0,056 ; 0,042 et 0,047. Quelle est la probabilité pour que le dispositif fonctionne sans
défaillance jusqu'à 5000 heures ?
R(5) = e -(0,052+0,056+0,042+0,047).t = e-0,197.5 = e-0,985 = 0,373.
Le taux de panne de l'ensemble est :
λ = 0,052+0,056+0,042+0,047 = 0,197.
Soit un taux de défaillances de 19,7% pour 1000 heures.
Le MTBF de l'ensemble est :
MTBF = 1/λ = 1/0,197 = 5,08
Soit un temps moyen entre défaillances d'environ 5000 heures.
211 - fiabilite 1 et 2 .DOC
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Exemple 4 :
LOI EXPONENTIELLE
Un équipement d'atelier de mécanique a subi 10 pannes sur 1 an,
Les temps de bon fonctionnement sont les suivants:
55 26 13 80 14 21 124 35 18 26 jours
2 / Calculer la MTBF
MOYENNE(55;26;13;80;14;21;124;35;18;26)
1 / Vérifier que la distribution des défaillances est bien exponentielle en traçant
la courbe R(t) sur papier semi-logarithmique
MTBF=
41.2
lambda = 1/41,2
lamda =
0.02427184
λ=
1
MTBF
R(t ) = e−λ.t
3/ Calcul de R(t)
Temps entre
avaries
R(t)
13
0.72939929
14
0.71190854
18
0.64604042
21
0.60067051
26
0.53202332
26
0.53202332
35
0.42762247
55
0.26317095
80
0.14345304
124
0.04930604
classement Temps entre Temps
des pannes avaries
cumulés
R(t)=N't)/N(o)
1
13
13
9 / 10
0.9
2
14
27
8 / 10
0.8
3
18
45
7 / 10
0.7
4
21
66
6 / 10
0.6
5
26
92
5 / 10
0.5
6
26
118
4 / 10
0.4
7
35
153
3 / 10
0.3
8
55
208
2 / 10
0.2
9
80
288
1 / 10
0.1
10
124
412
0 / 10
0
Les points sont alignés, la distribution est bien exponentielle
R(t)
1.00
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0.8
0.7
0.6
0.5
0.10
R(t)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.01
211 - fiabilite 1 et 2 .DOC
0
20
40
60
80
100
120
140
Page 19 sur 26
2.8
LOI DE WEIBULL
Pour un grand nombre de composants (mécaniques et électromécaniques notamment) λ n'est pas constant dans
la zone 2 figure.2, même remarque pour les zones 1 et 3 des figures 1 et 2. La distribution exponentielle
précédente n'est pas applicable.
La manière la plus pratique est de considérer que la défaillance est distribuée d'après la loi de Weibull. Cette loi
est en effet bien adaptée à l'étude statistique des défaillances, en particulier de jeunesse et d'usure.
La distribution de Weibull est une sorte de loi caméléon, très souple, qui, grâce à ses trois paramètres (tö, β, T),
peut s'ajuster à un grand nombre de données statistiques. Elle peut suivre une distribution non symétrique, faire
l'approximation de la loi normale, devenir une distribution exponentielle, etc. Elle est également utilisée pour
décrire des phénomènes de fatigue, des durées de vie (roulements...), des probabilités de rupture sous charge,
etc.
2.8.1
Loi de Weibull à trois paramètres
2.8.1.1 Définitions et propriétés
Propriétés de la loi de Weibull à trois paramètres
Ecart type:
équation générale: t ≥ t0 ≥ 0
(densité de probabilité)
 2
ββ t - t0 
f(t) =
T  T 


1 
e
t


- t 0  β 

T  

1/2

1

σ = T. Γ  + 1 - Γ 2  + 1 

β

 β
Γ est la fonction gamma, fonction tabulée,
voir tableau ci dessous
voir allure générale fig.7
Paramètres:
t0 (ou γ): paramètre de position (0 ≤ t0 ≤ ∞)
T (ou η): paramètre d'échelle (T > 0) ou vie
caractéristique.
β : paramètre de forme (β > 0), sans unités
Valeur moyenne:
1

µ = t 0 + T. Γ  + 1
β

Principales valeurs de la fonction Γ(t)
t
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
Γ(t)
1,000 0,951 0,918 0,897 0,887 0,886 0,893
t
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
Γ(t)
1,000 1,046 1,101 1,166 1,242 1,329 1,429
Si k est un nombre entier (k = 1, 2,..., N) alors (avec k ≥ 1):
Γ(k) = (k - 1)!
1,7
0,908
2,7
1,544
1,8
0,931
2,8
1,676
1,9
0,961
2,9
1,827
2,0
3,0
2,00
Figure 7
211 - fiabilite 1 et 2 .DOC
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è
Remarques :
le premier paramètre β (dit paramètre de forme) donne la forme générale de la courbe f(t),
le deuxième paramètre T (paramètre d'échelle), encore appelé η , permet "d'étaler" plus ou moins le graphe selon
l'abscisse des temps t,
le troisième paramètre t0 (paramètre de position), encore appelé γ, positif (t0 < 0 n'a pas de sens physique),
correspond à une apparition retardée des défaillances, autrement dit entre 0 et t0 il n'y a pas de défaillance du
dispositif.
2.8.1.2 Distribution cumulative F(t)
C'est sous cette forme que la loi de Weibull est la plus utilisée. F(t) la fonction défaillance, ou fonction de
répartition, est définie par :


 -
  t - t0  β 
 
F(t) = 1 - exp - 
  = 1 - e
  T  
t - t0  β 
 
T  
2.8.1.3 Fiabilité R(t)
Celle-ci est donnée par la relation :
  t - t0  β 
R(t) = 1 - F(t) = exp - 
  = e
  T  
 t - t0 
-

 T 
β
avec :
t : durée de temps jusqu'à la défaillance
t0 : instant pour lequel f(t) = 0
2.8.1.4 Taux de défaillance λ(t) :
β  t - t0 
f(t)
λ (t) =
=


R(t)
T  T 
β-1
Figure 8
On constate, figure 8, que les défauts de jeunesse indiqués figure 1 correspondent à l'allure β<1 et que les
défaillances dues à l'usure à β>2.
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2.8.1.5 Remarques
•
•
•
•
•
Lorsque t0 = 0 et β = 1 on retrouve la distribution exponentielle du paragraphe précédent avec :
T = µ = (MTBF - t0).
Lorsque β = 3,2 la distribution de Weibull devient une bonne approximation de la loi normale.
Lorsque β < 1 alors λ(t) décroît lorsque t croît.
Lorsque 1 < β < 2 alors λ(t) croît lorsque t croît.
2.8.1.6 exemples
Exemple : un composant mécanique possède une durée de vie qui suit la loi de Weibull avec :
t0 = 0 ; β = 0,25 et T = 120 heures.
Déterminons le temps moyen entre défaillances :
MTBF = µ = t0 +T.Γ(1/β + 1)
= 0 + 120. Γ(1/0,25 + 1) = 120. Γ(4+1) = 120.(4!) = 2880 heures
Quelle est la probabilité que le composant tombe en panne avant 36000 heures ?
F(t) = F(3600) = 1 - e
  3600  0,25 
 -


  120 

= 1 - e -2,34 = 1 - 0,0963 = 0,9037 (90,37%)
2.8.2 Loi de Weibull à deux paramètres
C'est la loi précédente avec t0 = 0, on est dans le cas où l'origine est connue.
Les relations et les expressions du paragraphe 2.8.1.1 se simplifient et deviennent :
Fonction défaillance :

 
 - 
  t β
  T 
F(t) = 1 - exp -    = 1 - e
  T 
è
t
β



Remarque : si t = α, F(t) = 0,632
Propriétés de la loi de Weibull à deux paramètres
Equation générale t ≥ 0: f(t) =
β  t β T  T 
β

-  t  
1   T 

e
Paramètres:
T : paramètre d'échelle (T > 0)
β est le paramètre de forme (β > 0), sans unités
Fiabilité:
  t β
R(t) = 1 - F(t) = exp -    = e
  T  
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 t
- 
 T
β
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2.8.3 Méthode pour vérifier qu'un ensemble de données suit la loi de Weibull
La méthode, basée sur des résolutions graphiques (à partir du graphe ou papier de Weibull), permet de
déterminer en même temps les paramètres β , t0 et T.
Figure 9
2.8.3.1 Principe
Réaliser la linéarisation de F(t) en utilisant les logarithmes népériens (Ln) puis faire la vérification graphiquement
à partir d'un graphe ou papier de Weibull. Soit au départ :

 
- 
  t β
  T 
F(t) = 1 - exp -    = 1 - e
  T 
t
β



on en déduit :
 t  β 


 
1
 T
= e 
1 - F(t)
Linéarisons l'expression en appliquant deux fois de suite les logarithmes népériens :
 
1 
Ln  Ln
  = β .[ Ln(t) - Ln(T) ]
  1 - F(t)  
On se ramène ainsi à l'équation, d'une droite de la forme (y = ax + b). En posant :


1

X = Ln(t) et Y = Ln  Ln 1 - F(t)  


Pour vérifier que l'ensemble de données collectées suit la loi de Weibull, il suffit de tracer celles-ci sur un papier
graphique adapté (appelé papier ou graphe de Weibull). Après tracé, l'ensemble des données doit s'aligner, ou
être très proche, d'une droite de pente b.
Si c'est le cas, les paramètres β et T peuvent être mesurés directement sur le graphe.
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2.8.3.2 Caractéristiques générales du "graphe de Weibull"
En abscisse : le graphe est gradué en échelle logarithmique X = Ln(t). Le graphe comporte deux graduations afin
de simplifier les tracés : une graduation linéaire pour X située au-dessus de la bordure supérieure (chiffres de -2,0
à 4,0) et une graduation pour t sous la bordure inférieure (chiffres de 0,1 à 100). Par correspondance on retrouve
Ln1=0 et Ln20≈3. t devra être choisi dans une échelle judicieusement choisie pour figurer sur le graphe.
En ordonnée : le graphe est gradué en échelle
1 

Y = Ln Ln
 .
 1 - F(t) 
La graduation de F(t) est indiquée en pourcentage (chiffres de 0,1 à 99,9). Une graduation linéaire en Y, en fait en
(-Y) ; chiffres 0, 1,...,6 ; est indiquée dans le graphe au droit de X= -1.
Point particulier : la droite horizontale parallèle à l'axe des t et passant par F(t)=0,632 correspond à [1 - F(t) = e
= 0,368] et à Y=0.
-1
-1
Si, dans l'expression de Weibull, on remplace t par T : F(t) = 1 -e = 0,632. Le paramètre T correspond à
l'abscisse du point d'intersection entre la droite de Weibull et la ligne horizontale de probabilité 63,32% (0,6322).
2.8.3.3 Exemple
Les défaillances d'un lot de roulements testés sous charge donne les résultats suivants :
t /heures
F(t) %
65 80 100 140 190 260 310 400 500 660 820 1040 1250 1600
1,5 2,1 3
5
8
13 17 24 33 46 58 72
82
92
Déterminons T et β de la distribution.
Etapes de résolution
En abscisse, choix d'une échelle des temps t : à 1 correspond t=100 ; à 10 correspond t=1000.
•
•
Tracer les 14 points de la distribution sur un graphe ou papier de Weibull (fig.8).
Vérifier le bon alignement de l'ensemble des points. Si c'est le cas tracer la droite de Weibull
•
correspondante.
Déterminer graphiquement la valeur de T ; T est égal à la valeur de l'abscisse du point situé à l'intersection
•
de la droite de Weibull et de l'horizontale passant par 63,2%.
•
Résultat : T=890 heures.
•
Tracer une parallèle à la droite de Weibull passant par un point de coordonnées [t=1(ou 100), Y=63,2].
•
Déterminer graphiquement la pente de la droite : lire celle-ci sur l'échelle de mesure verticale indiquée.
Résultat : β=1,6.
En définitive la distribution suit la loi : F(t) = 1 - e
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1,6
 t 
-

 890 
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Figure 10
è
Remarque : dans le cas d'une équation de Weibull à trois paramètres, il est judicieux de remplacer T par
(T' - t0), autrement dit de faire un changement de paramètre. Le travail suivant consistera à déterminer t0
graphiquement. Une fois t0 connue on se ramène au cas précédent.
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3 EXERCICES
Exercice 1 : un dispositif se compose de cinq composants montés en série dont les MTBF respectifs sont de
9540, 15220, 85000, 11200 et 2600heures. Calculer la probabilité de survie de l'ensemble pour une durée de
1000 heures.
Exercice 2 : reprendre l'exercice 1 avec quatre composants et 8540, 11450, 5650 et 7300 heures.
Exercice 3 : le système de réservation d'une agence de voyage se compose de trois micro-ordinateurs connectés
en parallèles. Quelle doit être la fiabilité de chaque appareil si l'on souhaite obtenir une fiabilité globale de 0,999
(99,9%) pour l'ensemble du système.
Exercice 4 : une photocopieuse se compose de 3000 composants, connectés en série et ayant tous la même
fiabilité, très élevée, de 0,9998 (99,98%). Calculer la fiabilité de l'appareil. Que devient cette fiabilité si le nombre
des composants est divisé par 2 ?
Exercice 5 : un système de production se compose de 4 machines connectées en série et dont les taux de
défaillances, pour 1 000 heures, sont respectivement : 0,052 ; 0,059 ; 0,044 et 0,048. Quelle est la probabilité
pour que le système arrive sans défaillance à 4000 heures. Déterminer le MTBF du système.
Exercice 6 : reprendre l'exercice 5 avec 0,051 ; 0,058 ; 0,043 ; 0,048.
Réponse : R(4) = 0,449 : MTBF = 5 (5 000 heures)
Exercice 7 : reprendre l'exercice 5 avec quatre machines connectées en parallèle.
Exercice 8 : soit un système de n composants identiques montés en parallèle et ayant tous le même taux de
défaillances de 0,05 pour 1000 heures. Calculer le MTBF du système lorsque n varie de 1 à 8. Conclusions ?
Exercice 9 : un composant électronique de puissance à un taux de panne constant de 0,333 pour 1000 heures de
fonctionnement (une défaillance chaque 3000 heures).
a) Quelle est la probabilité pour qu'un composant survive après 3000 heures ?
b) Quelle est la probabilité que le composant dure entre 1000 et 3000 heures ?
c)Quelle est la probabilité que le composant dure 1000 heures de plus après 3000 heures de fonctionnement ?
Réponse : 0,368 ; 0,349 ; 0,7168
Exercice 10 : reprendre l'exercice 9 avec λ = 0,25 et 4000 heures.
Exercice 11 : soit quatre composants connectés en série dont les taux de panne pour 1 000 heures sont
respectivement : 0,042 ; 0,046 ; 0,052 et 0,057. Quelle est la probabilité pour que le dispositif fonctionne sans
défaillance jusqu'à 4 000 heures ? Déterminer le MTBF de l'ensemble.
Exercice 12 : un composant électronique a une durée de vie qui suit la loi de Weibull avec t0=0 ; T=150 heures et
β=1/3. Déterminer le MTBF et la probabilité que le composant tombe en panne avant 1500 heures.
Réponse : MTBF=900 heures ; F(1500)=0,882
Exercice 13 : les défaillances d'usure d'un composant mécanique suivent la distribution suivante :
t en heures
200 280 370 490 580 670 760 850 940 1050 1300
F(t)en %
2
5
10
20
30
40
50
60
70
80
95
Vérifier si la distribution suit la loi de Weibull. Si c'est le cas déterminer les paramètres de la distribution.
Réponse : oui, T=870 heures, β=2,6
Exercice14 : reprendre l'exercice 13 avec un lot de 100 composants testé pendant 250 heures. Huit composants
subissent une défaillance aux instants : 11, 32, 61, 91, 101, 141, 190 et 245 heures.
Réponse: oui, β =0,9 ; T=3605 heures ; MTBF=3791 heures.
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