P(X = −1) - unBlog.fr
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Exercices pour le 23 avril Exercice 1 Soit X dont la loi est donnée par P(X =0)=1/6, P(X =1)=P(X = −1)=1/4 et P(X =2)=P(X = −2) = 1/6. Soit Y = X2. 1. Donner la loi du couple (X , Y ). En déduire la loi de Y. Y X -2 -1 0 1 2 Loi de Y 0 0 0 1/6 0 0 1/6 1 0 1/4 0 1/4 0 1/2 4 1/6 0 0 0 1/6 1/3 1/6 1/4 1/6 1/4 1/6 Loi de X 2. X et Y sont-elles indépendantes? P( X=0∩Y=1)=0 , P(X=0)= 1 1 , P( Y=1)= 6 2 P( X=0∩Y=1)≠P(X=0)×P(Y=1) X et Y ne sont pas indépendantes. Donc Exercice 2 On considère l’expérience suivante : on lance une pièce parfaitement équilibrée et on note X1 le résultat (X1 =0 si on obtient pile et X1 =1 si on obtient face). Si X1 = 0 on lance une pièce truquée dont la probabilité d’obtenir face est double de celle d’obtenir pile, sinon on relance la pièce honnête. On note X2 le résultat du second lancer (X2 =0 si on obtient pile et X2 =1 si on obtient face). On note X = X2 et Y = X1 + X2. 1. Donner la loi conjointe de (X,Y). X 0 1 Loi de Y Y 0 1/6 0 1/6 1 2/6 1/4 7/12 2 0 1/4 1/4 Loi de X 1/2 1/2 2. En déduire les lois marginales de X et Y . Sontelles indépendantes ? P( X=0∩Y=2)=0 et P( X=0)×P(Y=2)≠0 X et Y ne sont pas indépendantes. 3. Calculer la loi de Y conditionnée à X ( C'est à dire P(X=k) (Y=i) ) P(X=0) (Y=0)=P(X1=0)= P(X=1) (Y=0)=0 1 2 P(X =0) ( Y=1)=P(X1=1)= P( X=1)( Y=1)=P(X1=0)= 1 2 1 2 P(X=0)(Y=2)=0 P( X=1)( Y=2)=P( X1=1)= 1 2 4. Calculer la loi de la va XY XY(Ω) = {0;1;2} P(XY=0) = P(X=0) + P(Y=0) – P( X=0∩Y=0) = 1 1 1 1 + − = 2 6 6 2 1 4 P(XY=1) = P( X=1∩Y=1)= P(XY= 2) = P( X=1∩Y=2)= 1 4 5. Calculer E(X), E(Y), V(X), V(Y) E(X) = 1 1 1 ×0+ ×1= 2 2 2 E(Y) = 1 7 1 13 ×0+ ×1+ ×2= 6 12 4 12 1 E( X2 )= ×02 +0×12 =0 2 1 7 1 19 2 2 2 2 E (Y )= ×0 + ×1 + ×2 = 6 12 4 12 Exercice 3 Une urne contient a boules blanches et b boules noires (a + b ≥ 3). On tire successivement 3 boules sans remise. Soient X , Y , et Z les v.a.r. respectivement égales à 1 si la première, la deuxième et la troisième boule tirée est blanche, et à 0 sinon. 1. Déterminer la loi conjointe du couple (Y,Z). ( Y=0∩Z=0)=( X=0∩Y=0∩Z=0)∪(X=1∩Y=0∩Z=0) P( Y=0∩Z=0)= b( b−1) b b−1 b−2 a b b−1 × × + × × = a+b a +b−1 a+b−2 a+b a+b−1 a+b−2 (a+b)(a+b−1) P( Y=1∩Z=0)= b a b−1 a a−1 b ab × × + × × = a+b a+b−1 a+b−2 a+b a+b−1 a+b−2 (a+b)(a+b−1) P( Y=0∩Z=1)= b b−1 a a b a−1 ab × × + × × = a+b a+b−1 a+b−2 a+b a+b−1 a+b−2 (a+b)(a+b−1) P( Y=1∩Z=1)= a (a −1) a a−1 a−2 b a a−1 × × + × × = a +b a+b−1 a +b−2 a+b a+b−1 a+b−2 (a +b)(a +b−1) 2. En déduire les lois de Y et de Z. P( Y=0∩Z=1)+P( Y=0∩Z=0)= P(Y=0) = P(Y = 1) = b a+b P( Y=1∩Z=1)+P( Y=1∩Z=0)= a a+b P(Z=0) = P( Y=0∩Z=0)+P(Y=1∩Z=0)= b a+b P(Z=1) = P( Y=0∩Z=1)+P (Y=1∩Z=1)= a a+b Exercice 4 Un sac contient n jetons numérotés de 1 à n. On tire successivement et sans remise 2 jetons de ce sac. On note X le numéro du premier jeton tiré et Y le numéro du deuxième jeton tiré. Déterminer la loi du couple (X , Y ). 1 ∀ (i , j)∈[[1 , n]]×[[1, n ]] ,P( X=i∩Y= j)=P(X =i )( Y= j)×P(X=i)= ×P(X =i )(Y= j) n P( X=i∩Y= j)=0 Si i = j, Sinon, P(X=i )(Y= j)= 1 1 et P( X=i∩Y= j)= n−1 n (n−1) Exercice 5 On lance deux dés parfaitement équilibrés. Soit T la somme des points obtenus. Soit X le reste de la division de T par 2 et Y le reste de la division de T par 5. 1. Donner la loi conjointe de (X,Y) X 0 1 Loi de Y 0 3/36 4/36 7/36 1 5/36 2/36 7/36 2 2/36 6/36 8/36 3 5/36 2/36 7/36 4 3/36 4/36 7/36 Y Loi de X 18/36 18/36 2. Les va X et Y sont-elles indépendantes ? 3 18 7 P (X=0)= P(Y=0)= 36 36 36 P(X=0∩Y=0)≠P( X=0)×P(Y=0) P( X=0∩Y=0)= Donc X et Y ne sont pas indépendantes.