Mathématiques financières

Les Mathématiques
Financières
Yosra BEJAR
Maître de Conférences
Mél : [email protected]
Les principes
d’actualisation et de
capitalisation
1- les opérations à plusieurs flux
2- les principes d’actualisation et la valeur présente
3- Le taux de rentabilité interne
4- Quel taux d’actualisation ?
Page 2
Cours Math Fi EM1
BEJAR
Y.
1
Les Opérations à plusieurs flux
Principes de base
Dans l'analyse des opérations à plusieurs flux :
• Le temps est décomposé en périodes de même
durée (mois, trimestre, année, …).
• Chacune des périodes donne lieu à une rentrée ou
une sortie d’argent nette unique (égale à la somme
algébrique des rentrées et sorties de cette période).
Page 3
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
1
Les définitions de base
Opérations à plusieurs flux
Cas de l’emprunt, du prêt ou encore du financement
C
1
2
…
n
t
0
F1
Page 4
F2
…
Cours Math Fi EM1
Fn
Y. BEJAR
1
Les définitions de base
Opérations à plusieurs flux
Cas du placement ou encore de l’investissement
F1
F2
…
Fn
t
0
1
2
…
n
C
Page 5
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
2
Les principes d’actualisation et la
valeur présente
Comparer les opérations à plusieurs flux
Comparons deux investissements différents caractérisés par
des flux distincts aux différentes périodes.
Instants
0
1
2
3
4
A
– 500
100
150
200
250
B
– 350
250
100
75
125
Lequel des deux est préférable à l’autre ?
Page 6
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
2
Les principes d’actualisation et la
valeur présente
Principe d’actualisation
Une méthode de choix consiste à "actualiser" les deux séries de flux A et B :
Pour simplifier les calculs, supposons que l’investisseur puisse prêter et emprunter à
sa guise à un taux unique r (nous l’appellerons taux d’actualisation).
La méthode consiste à
• Remplacer les différents flux des différentes périodes par des flux
se produisant tous aujourd’hui (ils seront tous "en euros
d'aujourd'hui")
• Calculer la somme algébrique de ces flux se produisant tous à la
date initiale et caractériser chaque investissement par le résultat
ainsi obtenu (qui pourra être positif ou négatif).
Page 7
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
2
Les principes d’actualisation et la
valeur présente
Principe d’actualisation
Disposer de at à l'instant t équivaut à disposer de
at
( 1+ r )
Démonstration
at
(1+ r )
Page 8
at
(1+ r )
t
à l’instant 0.
t
* ( 1+ r ) t = a t
n
t
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
2
Les principes d’actualisation et la
valeur présente
Valeur présente
at
(1+r ) t
est appelée la "valeur actuelle" (ou "valeur présente"
ou encore "valeur actualisée à l'instant 0") du flux at
Où r est le taux d’actualisation.
Selon le même principe, on peut démontrer que payer at
at
à l'instant t équivaut à payer (
1+ r )
Page 9
Cours Math Fi EM1
t
l’instant 0
Y. BEJAR
2
Les principes d’actualisation et la
valeur présente
Exemple
Nous sommes le premier juillet 2005. Un particulier a souscrit un emprunt
qui lui impose de rembourser 2000€ le 1er juillet 2007. Il souhaite se
débarrasser dès aujourd'hui de cette dette en remboursant de façon
anticipée son emprunt. Sachant que le taux annuel d'emprunt et de prêt
en vigueur est de 3%, à combien devrait s’élever le montant du
remboursement anticipé?
Réponse :
On actualise le montant emprunté; le particulier devra rembourser :
2000
€, soit 1885,19€ au premier juillet 2005.
2
( 1+3%)
Page 10
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
2
Les principes d’actualisation et la
valeur présente
La Valeur Présente d’une séquence
Considérons maintenant un investissement générant une séquence
de flux {F0 , F1 , …, Fn}* ;
La VP (valeur présente) de cette séquence de flux est donnée par
la formule :
F1
F2
Fn
VP = F0 +
+
2 + ... +
n
1+ r ( 1+r )
( 1+r )
(F0 étant le flux de la période 0, n’a pas à être actualisé).
*rappelons que les Ft sont positifs ou négatifs selon qu’ils représentent des
encaissements ou des décaissements (dans le cas d’un investissement F0 est
négatif, et représente la mise de fonds initiale).
Page 11
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
2
Les principes d’actualisation et la
valeur présente
Simplification par la suite géométrique
Dans certains cas, le calcul peut être simplifié en utilisant les
propriétés des suites géométriques
Considérons en effet le cas particulier d’une séquence de
flux qui ont tous la même valeur. Supposons que cette
valeur soit de 1 €. La valeur présente de la séquence de flux
de 1€ reçus de la période 1 à la période n est alors égale à
la somme des :
1/( 1+r ) t
correspondant chacun à une période, soit:
Sn =
Page 12
1
1
1
+
+
...
+
=
2
n
1+ r ( 1+r )
( 1+r )
Cours Math Fi EM1
-n
(
)
1- 1+r
r
Y. BEJAR
2
Les principes d’actualisation et la
valeur présente
La Valeur capitalisée ou acquise
La valeur acquise (ou valeur capitalisée ou valeur actualisée à
l'instant final) d’une séquence de flux est égale à la somme des
valeurs capitalisées jusqu'à l'instant final de chacun des flux
composant la séquence.
Vaq = F0 * ( 1+ r ) n + F1 * ( 1+ r ) n - 1 + ... + Fn - 1 * ( 1+ r ) + Fn
Page 13
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
2
Les principes d’actualisation et la
valeur présente
VNP ou VAN
Dans le cas d’un investissement, on emploie le terme
de :
• VNP (valeur nette présente) ou
• VAN (valeur actuelle nette)
Le premier flux est négatif
Le taux d’actualisation est souvent approximé par le coût du capital
Page 14
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
Les principes d’actualisation et la valeur
présente
VNP ou VAN
Exemple :
Calculer la VNP de l’investissement suivant, en utilisant un
taux d’actualisation de 10%:
Périodes
Flux de trésorerie
0
1
2
– 200
100
200
Réponse :
En actualisant les flux nous obtenons :
VNP = - 200 +
Page 15
100
200
= – 200 + 91 + 165,2 = 56,2
+
2
1+ 0 , 1 ( 1+0 , 1)
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
2
2
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
2
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
2
Les principes d’actualisation et la
valeur présente
Exemple
Exemple
Considérons un investissement caractérisé par la série de flux
de trésorerie {F0, F1, …, F10} suivante :
Instants
Flux de trésorerie
0
1à 9
10
– 380
+89,4
+228,8
Calculez la VAN avec un taux d’actualisation de 10%
Page 18
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
2
Les principes d’actualisation et la
valeur présente
Exemple
Réponse :
Calculons séparément la valeur présente des flux de 89,4 K€ reçus
pendant les périodes 1 à 9 (VP(F1, …, F9) ) et celle du flux de 228,8 reçu
à la période 10 (VP(F10)).
VP(F1, …, F9) peut être obtenu à partir de la table financière 1 :
1 - (1+0 ,1)
VP( F1,. . . , F9 ) = 89,4 x
0 ,1
Page 19
Cours Math Fi EM1
-9
Y. BEJAR
2
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
2
Les principes d’actualisation et la
valeur présente
Exemple
Réponse :
Calculons séparément la valeur présente des flux de 89,4 K€ reçus
pendant les périodes 1 à 9 (VP(F1, …, F9) ) et celle du flux de 228,8 reçu
à la période 10 (VP(F10)).
VP(F1, …, F9) peut être obtenu à partir de la table financière 1 :
1 - (1+ 0 ,1)
VP ( F1,. . . , F9 ) = 89,4x
0 ,1
-9
= 89,4 × 5,759 = 514,8
VP (F10) peut être obtenu à partir de la table financière 2 :
VP( F10) = 228,8 x
Page 21
1
(1+0 ,1)10
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
2
Les principes d’actualisation et la
valeur présente
Exemple
Réponse :
Calculons séparément la valeur présente des flux de 89,4 K€ reçus
pendant les périodes 1 à 9 (VP(F1, …, F9) ) et celle du flux de 228,8 reçu
à la période 10 (VP(F10)).
VP(F1, …, F9) peut être obtenu à partir de la table financière 1 :
1 - (1+ 0 ,1)
VP ( F1 ,. . . , F9 ) = 89,4x
0 ,1
-9
= 89,4 × 5,759 = 514,8.
VP(F10) peut être obtenu à partir de la table financière 2 :
1
= 228,8 ×0 ,3855 = 88,2.
10
(1+ 0 ,1)
VP ( F10 ) = 228,8 x
Page 23
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
2
Les principes d’actualisation et la
valeur présente
Exemple
F0 = - 380
 1 − (1 + 0 ,1) - 9 
VP ( F1 ,. . . , F9 ) = 89 , 4 
 = 89 , 4 × 5,759 = 514 ,8 .
0 ,1


1
VP ( F10 ) = 228,8
= 228,8 × 0 ,3855 = 88,2.
10
(1+ 0 ,1)
VNP= - 380 + 514,8 + 88,2 = 223 K€
Page 24
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
2
Les principes d’actualisation et la
valeur présente
VAN et critères de choix
Un investissement ne sera retenu que s’il produit une VNP
positive et entre deux investissements on préfèrera celui dont
la VNP est la plus élevée. Cela permet d’énoncer les deux
règles suivantes qui constituent le critère de la valeur nette
présente:
1. Règle 1 : un investissement ne doit être retenu que si sa
valeur nette présente est positive.
2. Règle 2 : Entre plusieurs investissements mutuellement
exclusifs on doit retenir celui dont la valeur nette
présente est la plus grande.
Page 25
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
3
Le Taux de rentabilité interne
Introduction
Nous avons déjà défini le taux de rentabilité actuariel, dans le cas
d’un prêt-investissement de durée T générant deux flux {– C , F } :
c’est le taux d’intérêt qui, pour un capital placé égal à C, donne un
flux terminal F en T. C’est donc r* tel que F = C (1+r*)T ou encore :
–C+
F
( 1+r *)T
=0
Le taux de rentabilité
actuariel r* est donc le
taux d’actualisation
particulier qui annule la
valeur présente de
l’échéancier à deux flux.
Généralisation à plusieurs flux
Page 26
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
3
Le Taux de rentabilité interne
Introduction
Exemple : Commençons par considérer l’investissement suivant :
Instant
Flux de trésorerie
0
1
2
– 200
80
280
Si r est le taux d’actualisation, nous pouvons écrire l’expression de
sa valeur présente, quelle que soit la valeur de r :
VNP ( r ) = -200 +
80
280
+
2
1+ r ( 1+r )
La VNP est une fonction du taux d’actualisation r
Page 27
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
3
Le Taux de rentabilité interne
Introduction
Par exemple si :
• r =10% : VNP= 104.2 ;
• r = 0 : VNP = 160 ;
• r = 40% : VNP = 0
160
104,2
TRI
0
0%
10%
40%
La courbe représentative de VNP(r) coupe l’axe des r en un point et un seul : une
valeur de r unique annule donc la VNP ; nous appellerons cette valeur particulière
de r, le taux de rentabilité interne (TRI) de l’investissement.
Page 28
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
3
Le Taux de rentabilité interne
Définition
Définition:
Nous définirons le TRI (taux de rentabilité interne) d’un investissement
générant la séquence de flux annuels (F0, F1, …, Fn) par la relation :
0 = F0 +
F2
F1 +
Fn
+
...
+
1+ TRI (1+ TRI )2
(1+ TRI )n
Le TRI d’un investissement est donc le taux d’actualisation particulier qui annule sa VNP.
Page 29
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
3
Le Taux de rentabilité interne
Approximation du TRI par interpolation linéaire
Quand on ne dispose pas d’une calculatrice ni d’un tableur, le calcul du TRI se
fait par approximations successives : on encadre le TRI par deux valeurs
proches, l’une trop grande (VNP < 0) et l’autre trop petite (VNP > 0), puis l’on
effectue une interpolation linéaire.
r1
VAN (r1) > 0
TRI
r2
VAN (TRI) = 0
r2 ×VNP( r1) - r1 ×VNP( r2 )
r * ou TRI=
VNP( r1) - VNP( r2 )
VAN (r2) < 0
Page 30
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
3
Le Taux de rentabilité interne
Approximation du TRI par interpolation linéaire
r1
VAN (r1) > 0
TRI
VAN (TRI) = 0
r2
VAN (r2) < 0
r1 - TRI VNP( r1) - VNP( TRI )
=
r1 - r2
VNP( r1) - VNP( r2 )
Page 31
r * ou TRI =
Cours Math Fi EM1
r 2 × VNP ( r 1 ) - r 1 × VNP ( r 2 )
VNP ( r 1 ) - VNP ( r 2 )
Y. BEJAR
3
Le Taux de rentabilité interne
TRI de séquences Type / opération à deux flux
‘’’
Le TRI d’un investissement de séquence {– S ,
représente les intérêts est égal au taux d’intérêt i
1+i
=0
1+TRI
–S+S
;
S + iS } où iS
soit TRI= i
Plus généralement (deux flux) : (– x , y)
Le TRI de cette séquence est
Page 32
y- x
x
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
3
Le Taux de rentabilité interne
TRI de séquences Type / rente perpétuelle
Dans le cas d’une rente perpétuelle (– x, y, y, …, y, … à l’infini).
Le TRI de cette séquence est
y
x
Démonstration
On peut vérifier que le TRI de cette séquence coïncide bien avec ce
taux en résolvant l’équation
∞
y
y
∑ (1+TRI)i = -x+ TRI
i=1
0=–x+
Page 33
, d’où TRI =
Cours Math Fi EM1
y
x
Y. BEJAR
3
Le Taux de rentabilité interne
TRI de séquences Type / remboursement in fine
Dans le cas d’un remboursement in fine (– x, y, y, …, y+x).
Le TRI de cette séquence est y
x
Démonstration
On peut vérifier que le TRI de cette séquence coïncide bien avec ce
taux en résolvant l’équation
n
y
x
1- ( 1+TRI)
-n
0 = – x +∑
+
=
x
(
1
(
1
+
TRI
)
)
+
y
i
n
TRI
(
)
(
)
1
+
TRI
1
+
TRI
i=1
y d’où TRI = y
=- x +
x
TRI
Page 34
Cours Math Fi EM1
-n
Y. BEJAR
3
Le Taux de rentabilité interne
Exemples
Exemple :
-100, 6 à l’infini donne un TRI de 6% ; un prêt de 100 au taux de 6
% dont le capital n’est jamais remboursé engendre bien la séquence
considérée.
Exemple :
-200, 10, 10, 10, 210 donne un TRI de
10
200
soit 5% ; un prêt in fine sur quatre ans, d’un montant de 200 , au
taux de 5 %, engendre bien la séquence considérée.
Page 35
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
3
Le Taux de rentabilité interne
VAN versus TRI
VANF(k)
VAN
>0
Creation de valeur
0
TRI
k1
k2
k
VAN < 0
Destruction de valeur
I0
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
3
Le Taux de rentabilité interne
VAN versus TRI / conflits
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
3
Le Taux de rentabilité interne
VAN versus TRI /conflits
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
3
Le Taux de rentabilité interne
La solution au conflit : la VAN globale
-F0
F1
F2 … F(n-1)
Fn
n-(n- 1)
Fn- 1( 1+i )
…
n- 2
F ( 1+i)
2
n- 1
F ( 1+i)
1
n
∑F ( 1+i)
n-k
k
VANG=- F0 +
n
1
∑F ( 1+i)
n
( 1+r)
n- k
k
1
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
3
Le Taux de rentabilité interne
La solution au conflit : la VAN globale
TIR
et
VAN
globaux
sont
plus
économiquement
réalistes
puisqu’ils
distinguent le taux de rendement du projet du
coût du capital.
VAN globale et TIR global permettent toujours
de déterminer le meilleur investissement de
projets mutuellement exclusifs.
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
4
Quel taux d’actualisation ?
Cout du capital
Dans
les précédents exemples, le
d’actualisation est toujours une donnée
taux
Dans
la pratique, les managers doivent estimer
ce taux. D’une manière générale ce taux doit
être égale au coût du capital.
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
4
Quel taux d’actualisation ?
Cout du capital
Il s'agit de déterminer le TRI mini à exiger de l'investissement
ce TRI mini servira de taux d'actualisation
En présence D’aléas
En absence D’aléas
Coût moyen pondéré
Coût du financement
Rentabilité des investissements
alternatifs …?
CMPC = WACC = k e
E
D
+ k d (1 - t)
V
V
Référence au marché …?
coût = rf + β(rm-rf)
Le TRI minimum à exiger
Croît avec le risque de l'investissement
Traduit l’exigence des bailleurs de fonds (actionnaires et prêteurs)
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
4
Quel taux d’actualisation ?
Cout du capital
Cout moyen pondéré du capital (CMPC) /Weighted average
cost of capital (WACC):
est le taux de rentabilité annuel moyen attendu, par les actionnaires
et les créanciers, en retour de leur investissement. Le CMPC mesure
ce que l'entreprise doit à tous ceux qui lui ont apporté des capitaux.
WACC
= k
e
E
+ k
V
d
D
(1 - t)
V
Ke: cout des fonds propres
Kd: cout de la dette avant impôt
t: taux d’imposition
E: Fonds propres
D: Dettes
V: Capitaux engagés (D+E)
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
4
Quel taux d’actualisation ?
Cout du capital
Modèle de marché (MEDAF / CAPM)
• Ke= krf + ßi (km - krf)
-
Ke: rendement attendu pour l’entreprise
Krf: Cout sans risque sur le marché (estimé par le rendement d’une obligation)
ßi: coefficient de risque
Km: rendement du marché
- MEDAF : Modèle d’évaluation des actifs financiers
- CAPM : Capital asset princing model
* Capital Asset Pricing Model
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
4
Quel taux d’actualisation ?
Cout du capital
ßi = Cov( Ri,Rm)
σ2(Rm)
La valeur de ß dépend donc de la façon dont bouge
le rendement du titre i par rapport au rendement du
marché.
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR
4
Quel taux d’actualisation ?
Exemples de cout du capital
Cours Math Fi EM1
Y. BEJAR