equations - Maths et tiques
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1 EQUATIONS But : Trouver x ! C'est-à-dire : isoler x dans l’équation. x = nombre Les différents éléments d’une équation sont liés ensemble par des opérations. Nous les désignerons « liens faibles » (+ et -) et « liens forts » (x et :). Ces derniers marquent en effet une priorité opératoire. Pour signifier que le lien est fort, le symbole « x » peut être omis. Dans l’équation ci-dessus, par exemple, 2x et 5x sont juxtaposés par le lien faible « − ». Par contre, 2 et x sont juxtaposés par un lien fort « x » qui est omis. Dans l’équation 2x + 5x − 4 = 3x + 2 + 3x, on reconnaît des membres de la famille des x et des membres de la famille des nombres juxtaposés par des « liens faibles ». Pour obtenir « x = nombre », on considèrera que la famille des x habite à gauche de la « barrière = » et la famille des nombres habite à droite. Résoudre une équation, c’est clore deux petites réceptions où se sont réunis des x et des nombres. Une se passe chez les x et l’autre chez les nombres. La fête est finie, chacun rentre chez soi. On sera ainsi menés à effectuer des mouvements d’un côté à l’autre de la « barrière = » en suivant des règles différentes suivant que le lien est fort ou faible. I. Résolution d’équations « avec liens faibles » Méthode: Résoudre : 3x - 4 = 2x + 2 On reconnaît des membres de la famille des x et des membres de la famille des nombres juxtaposés par « des liens faibles » : + ou La famille des x habite à gauche de la « barrière = » et la famille des nombres habite à droite de la « barrière = ». 1ère étape : chacun rentre chez soi ! 3x -4 = 2x +2 3x -2x = 2 +4 2e étape : réduction (des familles) x=6 Pour un lien faible, chaque déplacement par dessus « la barrière = » est accompagné par un changement de signe. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 2 Exercices conseillés Ex « Equations » n°1 (page 4) II. Résolution d’équations « avec liens forts » 1) Liens forts uniquement Méthode: Résoudre les équations suivantes : 1) 2) 3) 1) 2 x x = 6 x = 6 :2 x=3 Pour isoler x, il faut casser le dernier lien fort ; ici 2 x. Pour cela, on balance la multiplication du nombre, ici 2 x, de l’autre côté de la « barrière = » ce qui se traduit par une « inversion » de l’opération déplacée, soit :2 2) 5x = 12 x = 12 :5 x = 2,4 3) 7x = 21 x = 21 :7 x=3 Exercices conseillés http://euler.acversailles.fr/webMat hematica/pi/equation s/latex/equations13.j sp En devoirs http://euler.acversailles.fr/webMathe matica/pi/equations/la tex/equations13.jsp 2) Liens forts et liens faibles dans la même équation Méthode: Résoudre : Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 3 1. 2. 3. 4. Etapes successives : 1. Chacun rentre chez soi : liens faibles 2. Réduction 3. Casser le dernier lien fort 4. Simplification (si besoin) Exercices conseillés Ex « Equations » n°2 (page 4) En devoirs http://euler.acversailles.fr/webMathe matica/pi/equations/la tex/equations5.jsp Exercices complémentaires Ex1 (page4) p108 n°34, 35 p108 n°26 à 33 p113 n°104 p108 n°38, 39 p108 n°42 p109 n°45 La méthode de résolution des équations (muadala) découverte par le perse Abu Djafar Muhammad ibn Musa al Khwarizmi (Bagdad, 780-850) consiste en : - al jabr (le reboutement, 4x - 3 = 5 devient 4x = 5 + 3), le mot est devenu "algèbre" aujourd’hui. Dans l’équation, un terme négatif est accepté mais al Khwarizmi s’attache à s’en débarrasser au plus vite. Pour cela, il ajoute son opposé des deux côtés de l’équation. - al muqabala (la réduction, 4x = 9 + 3x devient x = 9) Les termes semblables sont réduits. A cette époque, la « famille des nombres » est appelée dirham et la « famille des x » est appelée chay (=chose), devenu plus tard xay en espagnol qui explique l’origine du x dans les équations. Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 4 EQUATIONS EXERCICE 2 : Résoudre les équations : 1) −8x − 4 = 7x 2) 5x + 10 = −4 3) −2x − 3 = 7 − 9x 4) x − 8 = 6x − 5 5) 2x − 6 = −10x − 6 6) 1 − 9x = 5 − 4x 7) −3x = 1 8) 3x + 10 = 7x 9) 6 − 7x = 8x + 1 10) −3x − 10 = 10x + 4 11) 4x + 10 = 2x + 3 12) −8x − 9 = 2 13) 2x + 9 = x − 1 14) 5x + 8 = 4x + 2 15) 3 − 3x = 9x − 1 Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr