Exercice 1

Exercice 1
On veut concevoir un médicament sous forme de petites particules poreuses de diamètre d
~ 1 mm, dans lesquelles les molécules actives seraient initialement adsorbées.
Les particules poreuses sont initialement sèches et les molécules actives y sont immobiles.
Immédiatement après l’ingestion, des fluides physiologiques pénètrent dans la particule, les
molécules actives s’y dissolvent et diffusent avec un coefficient de diffusion D ~ 10-7 cm²/s.
Les molécules finissent par atteindre la surface de la particule où elles sont libérées dans
l’organisme.
On peut supposer que l’organisme est un milieu parfaitement mélangé dans lequel la
concentration en molécule active est pratiquement nulle.
1) Quel est l’ordre de grandeur du temps nécessaire pour que toutes les molécules
soient libérées dans l’organisme?
Cette valeur vous semble-t-elle compatible avec les posologies habituelles des
médicaments ? Justifiez.
2) On veut que la vitesse de libération des molécules (mol/s) dans l’organisme soit
aussi constante que possible dans le temps. Pour ce faire, on envisage trois profils
initiaux de concentration des molécules dans chaque particule poreuse (a, b et c).
Quel profil est le plus favorable ?
Pour préciser votre réponse, dessinez schématiquement sur un seul graphique la
quantité de matière libérée au cours du temps (nombre de molécules N libérées)
dans chacun des trois cas.
C0
C0
0
d/2
Profil a
r
C0
0
d/2
Profil b
r
0
Profil c
d/2
0
r
Exercice 2. La vitesse de dégazage des boissons pétillantes
Un des mécanismes de dégazage des boissons
pétillantes est le transport du CO2 dissout vers
les bulles présentes dans le liquide. C’est la
définition technique de l’effervescence !
Les bulles se forment sur des défauts de la
surface du verre, s’en détachent sous forme de
chapelets, et elles grossissent au fur et à mesure
où elles s’élèvent. Le but de cet exercice est
d’analyser la vitesse de croissance des bulles
qui forment les chapelets, c’est-à-dire pendant
qu’elles s’élèvent dans la boisson sous l’effet de
la poussée d’Archimède.
On observe expérimentalement que le rayon R des bulles croît linéairement avec le temps.
Les deux courbes ci-dessus ont été obtenues dans du Champagne à 10°C (Langmuir 18
(2002) 1294). On voudrait comprendre cette dépendance particulière du temps, et les
facteurs physicochimiques dont dépend la croissance de la bulle.
1) En utilisant la loi des gaz parfaits, dérivez la relation qui existe entre le rayon R d’une
bulle et la quantité de CO2 qu’elle contient (en moles). Pour ce faire vous supposerez
(i) que les bulles ne contiennent que du CO2 et (ii) que la pression qui y règne est la
pression atmosphérique P0. Justifiez qualitativement ces deux hypothèses.
2) Le transfert de CO2 du liquide vers une bulle dépend de la vitesse U de la bulle dans
le liquide. Cette vitesse résulte de l’équilibre entre la poussée d’Archimède et la
viscosité du liquide. En égalant les ordres de grandeur de ces deux forces,
déterminez la dépendance entre la vitesse U et le rayon R.
3) Dans les conditions typiques d’écoulement qui règnent dans les boissons pétillantes,
les transferts de matière du liquide vers une bulle sont bien décrits par la relation
où les nombres de Sherwood et de Peclet sont définis sur base du diamètre des
bulles. Utilisez cette relation pour déterminer la loi de croissance du rayon des bulles
en fonction du temps. Vous supposerez que la concentration en CO2 au contact
immédiat de la bulle satisfait c = kH P0 où kH est la constante de Henry, et vous
noterez c0 la concentration en CO2 dans le Champagne. Vous utiliserez également
les résultats des questions 1 et 2.
4) Les deux courbes de la figure ont été obtenues sur le même chapelet de bulle,
immédiatement après avoir versé la coupe de champagne et quelques dizaines de
minutes plus tard. Laquelle des deux courbes (la noire ou la blanche) a été obtenue
plus tard que l’autre ? Justifiez votre réponse ?
5) On vous donne les informations suivantes : teneur en CO2 du Champagne : 8 g/L;
Constante de Henry : 2 kg/m³/atm ; viscosité du Champagne : 1.5 10-3 Pa.s. En
complétant ces données avec des ordres de grandeur que vous connaissez
(diffusion dans les liquides, densité des solutions aqueuses, etc.) comparez la valeur
calculée à partir de la formule de la question 3 aux valeurs de la figure ci-dessus.
Comment expliquez-vous les écarts ?
6) Le cas de la bière diffère du Champagne par la présence de molécules tensioactives. Ces molécules sont notamment responsables de la stabilité de la mousse de
la bière. Dans le problème qui nous intéresse, ces molécules forment une couche
mince tapissant la surface des bulles au sein de laquelle le coefficient de diffusion du
CO2 est inférieur à celui du liquide.
Toutes autres choses égales, comment cette couche affecte-t-elle la croissance des
bulles ?
Dessinez sur une même figure les profils de concentration qualitatifs de CO2 au
voisinage d’une bulle, en présence et en absence de molécules tensioactives. Vous
supposerez que la constante de Henry est la même dans la couche et dans le
liquide.
Exercice 3.
Le Champagne fraîchement débouché contient 8 g/L de CO2
(Cf. exercice 2).
Combien de bulles s’échappent-elles d’une flûte de
Champagne avant qu’il ne soit tout à fait « plat »?