TS Physique Satellite à la recherche de sa planète Exercice résolu
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TS Physique Satellite à la recherche de sa planète Exercice résolu
P age |1 TS Physique Satellite à la recherche de sa planète Exercice résolu Enoncé Remarques : - Certaines des données fournies ne sont pas nécessaires à la résolution. - Tous les calculs demandés seront effectués avec les unités du Système International. - Pour les questions 2 et 3, les détails des calculs n’apparaîtront pas sur la copie. C’est à partir des observations de Tycho Brahé (1546-1601) réalisées à l’observatoire de l’île de Hveen (Danemark) que Kepler (1571-1630) établit empiriquement ses lois sur le mouvement des planètes. Peu de temps après, Newton (1643-1727) publie ses « Principia » où il expose sa théorie de la gravitation universelle. Cavendish (1731-1810) détermine expérimentalement la valeur de la constante gravitationnelle. Deux des lois de Kepler peuvent se formuler actuellement de la façon suivante : 1ère loi (loi des orbites – 1609) : un corps céleste, satellite d’un astre attracteur, décrit autour de cet astre une orbite elliptique dont le centre O de l’astre cental occupe un des foyers. 3ème loi (loi des périodes – 1619) : le carré de la période T de révolution d’un satellite autour d’un astre attracteur de masse M est proportionnel au cube du demi grand axe a de sa T2 4π2 trajectoire elliptique. Ce qui se traduit par l’expression : 3 = Cte = (G : constante de G.M a gravitation universelle). Ces lois peuvent s’appliquer pour divers corps célestes, satellites, gravitant autour d’un même astre attracteur. Les corps célestes Titan, Néréide, Io et Galatéa-N6, sont chacun satellite de l’une des planètes suivantes : Jupiter, Neptune et Saturne. On sait que Néréide est un satellite de Neptune. Données : • Masse de la Terre : MT = 5,98 x 1024 kg • Constante de gravitation : G = 6,67 x 10-11 N.m2.kg-2 TABLEAU N°1 : SATELLITES Satellites Diamètre Demi-grand du satellite axe (km) (km) Néréide Titan 340 5140 5510000 1222000 Io Galatea-N6 3630 160 422000 61944 Période orbitale 360 jours 16,0 jours TABLEAU N°2 : PLANETES Planètes Demi-grand axe Terre Jupiter 1,0000 5,2026 1,77jours Saturne 10,3 heures Uranus 9,5386 19,2184 Période sidérale Masse 365,256 jours 1,0000 11,862 ans 317,892 29,460 ans 84,020 ans 95,168 14,559 T2 4π2 = est homogène. G.M a3 T2 2. Compléter le tableau (1) en annexe en calculant le rapport 3 pour chaque satellite. a Conclusion ? 4π2 3. Compléter le tableau (2) en annexe en calculant le rapport pour chaque planète. G.M Conclusion ? 4. Déterminer la masse MN de Neptune et comparez-là à celle de la Terre. 1. Par une analyse dimensionnelle, montrer que l’expression Satellite à la recherche de sa planète Document : M.Moppert - CPF - Beyrouth P age |2 Annexe TABLEAU (1) TABLEAU (2) 2 Satellites T en …………………. a3 Planètes Néréide Terre Titan Jupiter Io Saturne Galatea-N6 Uranus Satellite à la recherche de sa planète 4π2 en ………………. G.M Document : M.Moppert - CPF - Beyrouth P age |3 Corrigé 1. Par une analyse dimensionnelle, montrer que l’expression T 2 4π2 = est homogène. a3 G.M 2 2 T 2 T [T ] T2 2 -3 = = . Or : [T] = T et [a] = L => 3 3 = T .L 3 [ a ]3 a a a π2 4 π2 . Or : [π] = 1 ; [M] = M ; [G] = M.L.T-2.L2.M-2 = L3.T-2.M-1 => = G.M [G ] . [M ] T2.L-3 T 2 4 π2 On a bien 3 = : l’expression est homogène. a G.M 4 π2 -3 2 -1 = L .T .M.M = G.M 2 et 3.Compléter les tableaux (1) et (2) en annexe. Conclusion ? TABLEAU (1) TABLEAU (2) 2 T en s2.m-3 a3 Planètes 5,78 x 10-15 Terre 9,89 x 10-14 1,05 x 10-15 Jupiter 3,11 x 10-16 Io 3,11 x 10-16 Saturne 1,04 x 10-15 Galatea-N6 5,79 x 10-15 Uranus 6,79 x 10-15 Satellites Néréide Titan 4π2 en s2.m-3 G.M Tableau (1) : les valeurs trouvées pour Néréide et Galatea-N6 sont identiques. Ces deux satellites gravitent autour de la même planète et, puisque Néréide est un satellite de Neptune, Galatea-N6 est un satellite de Neptune. Tableau (2) : les valeurs trouvées pour Titan et Saturne d’une part, et Io et Jupiter d’autre part, sont identiques. Titan est donc un satellite de Saturne et Io un satellite de Jupiter. 4. Déterminer la masse MN de Neptune et la comparer à celle de la Terre. Néréide est un satellite de Neptune. On peut donc écrire : T2 4 π2 4 π2 .a3 = => MN = 3 G.MN a T 2 .G (T et a : caractéristiques de l’orbite de Néréide) 4π2 = 1,02 x 1026 kg 5, 78 × 10 × 6, 67 × 10 −11 M 1, 02 × 1026 On a donc : N = = 17,1. MT 5, 98 × 1024 Soit : MN = −15 La masse de Neptune est environ égale à 17 fois celle de la Terre. Satellite à la recherche de sa planète Document : M.Moppert - CPF - Beyrouth