1ES DS commun du jeudi 5 mai 2011. NOM

1ES DS commun du jeudi 5 mai 2011.
NOM……………………….
MATHEMATIQUES
Exercice 1 (8 points/40)
Cet exercice est un QCM. Pour chaque question une seule réponse est exacte. On demande d’entourer la
bonne réponse et aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte 1 point, une
mauvaise enlève 0,5 point, une absence de réponse compte 0 point, et en cas de total négatif la note de
l’exercice est ramenée à 0.
Les questions 1), 2) et 3) concernent le prix d’une denrée qui augmente de 3,6 % la première année et
augmente de 20 % la seconde année.
1) A l’issue de la première année, le prix de cette denrée a été multiplié par :
a. 0,964
b. 1,036
c. 1,360
d. 0,096
2) A l’issue des deux années, ce prix a augmenté de :
a. 7,2 %
b. 24,32 %
c. 16,4 %
d. 23,6 %
3) Si cette denrée avait augmenté de 3,6 % pendant 7 ans, le taux d’évolution pour ces sept années aurait
été, à 0,1% près, de :
a. 25,2 %
b. 28,1 %
c. 23 ,6 %
d. 27,2 %
4) Un prix TTC est de 129, 90 € pour une TVA à 19,6 %. Le prix HT arrondi au centime est de :
a. 155,36 €
b. 110,30 €
c. 108,61 €
5) Le prix d’un produit augmente de 8 %, puis diminue de 7 %. Finalement la variation est :
a. une augmentation de 0,44 %
b. une diminution de 1 %
c. une augmentation de 1 %
6) Le prix d’un produit dérivé du pétrole a augmenté de 60 % durant l’année 2005.
Pour revenir à sa valeur initiale, ce prix doit baisser de :
a. 70 %
b. 60 %
c. 40 %
d. 37,5 %
7) Le prix d’un article augmente d’un certain pourcentage puis baisse immédiatement du même
pourcentage. Finalement le prix de cet article :
a. a augmenté
b. a baissé
c. n’a pas varié
d. on ne peut pas savoir
8) Pour l’achat de mon baril de lessive, vaut-il mieux :
a. 10% de réduction du prix ?
b. 10% de produit en plus ? c. tout dépend du poids du baril
Exercice 2 (10 points/40)
On considère la fonction f définie sur par : f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 .
On note P la parabole qui représente f dans un repère O ; i ; j .
(
)
1) Déterminer les cordonnées du sommet S de la parabole P.
2) Dresser le tableau de variation de f.
3) Courbe de f.
a) Compléter le tableau de valeurs suivant :
x
f ( x)
–1
0
1
2
3
4
5
b) Représenter la parabole P dans le repère ci-dessous.
4) Soit D la droite d’équation y = x − 1 .
a) Tracer la droite D dans le même repère.
b) Résoudre graphiquement l’inéquation : x 2 − 4 x + 3 < x − 1 . Expliquer la démarche.
c) Résoudre algébriquement l’inéquation précédente.
5) Une tangente.
5
Déterminer une équation de la tangente T à la parabole en son point d’abscisse , et tracer T sur le
2
graphique.
Exercice 3 (10 points/40)
Une entreprise fabrique mensuellement une quantité de 0 à 80 tonnes de produit chimique.
Le coût de fabrication de x tonnes, exprimé en centaines d’euro, est donné par la fonction C définie par :
C(x) = 0,01 x3 – 1,05 x2 + 37x + 40
Chaque tonne est vendue 19 centaines d’euro.
1) Calculer, en euro, le coût de fabrication, la recette et le bénéfice correspondant à 40 tonnes.
2) Exprimer en fonction de x la recette R(x) en centaine d’euro.
3) Montrer que le bénéfice mensuel en centaines d’euro, est donné par la fonction B définie par :
B(x) = – 0,01 x3 + 1,05 x2 – 18x – 40
4) Calculer B’(x), où B’ est la fonction dérivée de la fonction B.
5) Etudier le signe de B’(x) sur [0 ; 80]. En déduire le tableau de variation de la fonction B sur [0 ; 80].
6) Déduire de la question précédente, le nombre de tonnes que doit vendre l’entreprise pour que son
bénéfice mensuel soit maximal. Que vaut alors ce bénéfice en euro ?
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Exercice 4 (12 points/40)
Un directeur de zoo veut nourrir ses animaux en leur apportant
des minimums journaliers de : 120 kg de protides, 90 kg de
lipides et 60 kg de glucides. Deux types d'aliments tout préparés
A et B lui sont proposés sur le marché. Leurs caractéristiques sont
celles du tableau ci-contre.
protides
lipides
glucides
coût
sac A
3 kg
3 kg
1 kg
10 €
sac B
2 kg
1 kg
2 kg
5€
On désigne par x le nombre de sacs de type A achetés par le directeur et par y le nombre de sacs de type B.
(x et y sont donc des entiers positif ou nuls)
1) Justifier que les contraintes alimentaires se traduisent par le système d'inéquations suivant :
 x ≥ 0 et y ≥ 0

−3
y ≥
x + 60

2

 y ≥ −3 x + 90

−1
x + 30
y ≥

2
2) Représenter graphiquement les solutions du système précédent (on laissera non hachurée la zone
représentant les solutions).
3) Respecte-t-on les contraintes en achetant :
• 10 sacs A et 30 sacs B ?
• 50 sacs A et 10 sacs B ?
4) Le directeur achète x sacs de type A et y de type B. Exprimer le coût C en fonction de x et y.
5) Tracer les deux droites représentant respectivement un coût de 400 € et 300 €.
6) Coût minimal.
a) Expliquer comment obtenir à l’aide du graphique le point M pour lequel le coût est minimal.
Placer M sur le graphique.
b) Calculer les coordonnées de M.
c) Calculer la valeur du coût minimal.
CORRIGE
Exercice 1 (8 points/40)
Les questions 1), 2) et 3) concernent le prix d’une denrée qui augmente de 3,6 % la première année et
augmente de 20 % la seconde année.
1) A l’issue de la première année, le prix de cette denrée a été multiplié par :
1 + 3, 6% = 1 + 0, 036 = 1, 036 (réponse b)
2) A l’issue des deux années, le coefficient multiplicateur est 1, 036 ×1, 2 = 1, 2432 qui traduit une
augmentation de 24,32% (réponse b)
3) Si cette denrée avait augmenté de 3,6 % pendant 7 ans, le coefficient multiplicateur aurait été de
1, 0367 ≈ 1, 281 et le taux d’évolution pour ces sept années aurait été d’environ : 28,1% (réponse b)
4) Un prix TTC est de 129, 90 € pour une TVA à 19,6 %. Le prix HT est tel que PHT × 1,196 = 129,9
129, 9
d’où : PHT =
≈ 108, 61 € (réponse c)
1,196
5) Le prix d’un produit augmente de 8 %, puis diminue de 7 %. Le coefficient multiplicateur est de
1, 08 × 0,93 = 1, 0044 . Finalement la variation est donc une augmentation de 0,44 % (réponse a)
6) Le prix d’un produit dérivé du pétrole a augmenté de 60 % durant l’année 2005. Pour revenir à sa
1
valeur initiale, il doit être multiplié par
= 0, 625 qui traduit une baisse de 37,5% (réponse d)
1, 6
7) Le prix d’un article augmente d’un certain pourcentage t puis baisse immédiatement du même
pourcentage t. Finalement le prix de cet article est multiplié par (1 + t )(1 − t ) = 1 − t 2 qui est strictement
inferieur à 1. Le prix a donc baissé. (réponse b)
8) Pour mon baril de lessive, c’est le prix unitaire pu qui décide de mon choix.
p
pu est le quotient du prix p du baril par la quantité q de lessive soit : pu =
q
0,9 p
Si p diminue de 10%, le prix unitaire devient :
= 0, 9 pu , donc pu diminue de 10%
q
p
Si q augmente de 10% le prix unitaire devient :
≈ 0,91 pu , donc pu diminue d’environ 9%
1,1q
Il vaut donc mieux 10% de réduction du prix que 10% de produit en plus (réponse a)
Exercice 2 (10 points/40)
On considère la fonction f définie sur par : f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 . Il s’agit d’un polynôme du 2nd degré
ax 2 + bx + c avec a = 1 ; b = −4 ; c = 3 . On note P la parabole qui représente f dans un repère O ; i ; j .
(
1) Les coordonnées du sommet S ( −b / 2a ; f ( −b / 2a ) ) de la parabole P sont donc ici ( 2 ; − 1)
2) On a a = 1 > 0 , donc le tableau de variation de f est :
x
–∞
2
+∞
f ( x)
–1
3) Courbe de f.
a) Complétons le tableau de valeurs suivant :
x
–1
0
1
f ( x)
8
3
0
2
–1
3
0
4
3
5
8
b) Cf. fig.
4) Soit D la droite d’équation y = x − 1 .
a) Cf. fig.
b) Résolution graphique de l’inéquation : x 2 − 4 x + 3 < x − 1 . Les solutions sont les abscisses des
points de P situés strictement en dessous de D ; on observe qu’il s’agit de l’intervalle ]1 ; 4[ .
c) Résolution algébrique de l’inéquation précédente équivalente à x 2 − 5 x + 4 < 0 . Le polynôme
x 2 − 5 x + 4 a pour discriminant ∆ = 9 et pour racines 1 et 4, et il est négatif strictement pour
x ∈ ]1 ; 4[ . On retrouve donc bien le même ensemble de solutions qu’au b).
5) Une tangente.
La tangente T à la parabole en son point d’abscisse
5
 5 
y = f '   x −  +
2
 2 
5
a pour équation :
2
5 3
13
5

f   soit y = 1 x −  − , et finalement : y = x −
2 4
4
2

)
Exercice 3 (10 points/40)
Une entreprise fabrique mensuellement une quantité de 0 à 80 tonnes de produit chimique.
Le coût de fabrication de x tonnes, exprimé en centaines d’euro, est donné par la fonction C définie par :
C ( x ) = 0, 01x3 − 1, 05 x 2 + 37 x + 40
Chaque tonne est vendue 19 centaines d’euro.
1) Calculons, pour 40 tonnes, en euro :
le coût de fabrication : C ( 40 ) = 0, 01× 403 − 1, 05 × 402 + 37 × 40 + 40 = 480 soit 48000 €
la recette : 1900 × 40 = 76000 €
le bénéfice : 76000 − 48000 = 28000 €
2) Expression en fonction de x la recette R(x) en centaine d’euro : R ( x ) = 19 x
3) Le bénéfice mensuel B(x) en centaines d’euro, est défini par :
B ( x ) = R ( x ) − C ( x ) = 19 x − ( 0, 01x 3 − 1, 05 x 2 + 37 x + 40 ) soit B ( x ) = −0, 01x 3 + 1, 05 x 2 − 18 x − 40
4) Calculons : B ' ( x ) = −0, 03 x 2 + 2,1x − 18
5) B ' ( x ) est un polynôme du 2nd degré de racines 10 et 60, négatif à l’extérieur de ces valeurs, et positif
entre elles. On en déduit le tableau de variation de la fonction B sur [0 ; 80] :
x
B '( x)
0
–
10
0
–40
+
60
0
500
80
–
B ( x)
–125
120
6) On déduit de la question précédente que le nombre de tonnes que doit vendre l’entreprise pour que
son bénéfice mensuel soit maximal est de 60. Ce bénéfice est alors de 50 000 €.
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Exercice 4 (12 points40)
sac A
3 kg
3 kg
1 kg
10 €
sac B
2 kg
1 kg
2 kg
5€
Un directeur de zoo veut nourrir ses animaux en leur apportant
protides
des minimums journaliers de : 120 kg de protides, 90 kg de
lipides
lipides et 60 kg de glucides. Deux types d'aliments tout préparés
glucides
A et B lui sont proposés sur le marché. Leurs caractéristiques sont
coût
celles du tableau ci-contre.
On désigne par x le nombre de sacs de type A achetés par le directeur et par y le nombre de sacs de type B.
1) Le tableau suivant résume les contraintes :
protides
lipides
glucides
x sacs A
3x
3x
x
y sacs B
2y
y
2y
3x + 2 y
3x + y
x + 2y
totaux
contraintes 3x + 2y ≥ 120 3x + y ≥ 90 x + 2y ≥ 60
Le système est donc :
 x ≥ 0 et y ≥ 0

 x ≥ 0 et y ≥ 0
 y ≥ −3 x + 60
3 x + 2 y ≥ 120


2
⇔

3 x + y ≥ 90
 y ≥ −3 x + 90
 x + 2 y ≥ 60

−1
x + 30
y ≥

2
2) Cf. fig. Les solutions sont représentées par les points à coordonnées entières situés dans la zone non
hachurée, frontières comprises.
On note les droites : d1: 3 x + 2 y = 120 ; d 2 : 3x + y = 90 ; d 3 : x + 2 y = 60
3) En achetant :
• 10 sacs A et 30 sacs B, on ne respecte pas les contraintes, car le point H de coordonnées (10 ; 30)
n'est pas dans la zone d'acceptabilité.
• 50 sacs A et 10 sacs B, on respecte les contraintes, car le point K de coordonnées (50 ; 10) est dans
la zone d'acceptabilité.
4) Le directeur achète x sacs de type A et y de type B. Le coût en fonction de x et y est : C = 10x + 5y.
5) Equations des droites de coût (tracées en pointillés) :• 400 €:10x + 5y = 400 • 300 €:10x + 5y = 300.
6) Coût Minimal.
a) La droite de coût minimal est obtenue en cherchant la parallèle aux droites précédentes, la plus
basse possible, passant dans la zone non hachurée. C’est celle qui passe par le point M(20 ; 30).
b) Les coordonnées de M se calculent en résolvant le système des équations de d1 et d2 :
3 x + 2 y = 120
 y = 30
 y = 30
⇔
⇔
soit S = {( 20 ; 30 )} .

3 x + y = 90
3 x = 60
 x = 20
c) Ce coût minimum vaut : 20×10 + 30×5 = 350 €.