La météo de l`été

ECE 1ère année
DM n°0 de Mathématiques
La météo de l’été
Ce devoir, à rédiger pendant les vacances, a pour but de vous faire prendre un bon départ pour
réussir votre année de prépa. Les cours commenceront très vite, puis les devoirs et les colles
s’enchaîneront tout de suite. Les premières semaines sont importantes, il ne faut pas accumuler de
retard. Prenez donc le temps de bien réviser les notions suivantes qui seront la base des premiers
chapitres en Mathématiques et d’apporter une attention particulière à votre rédaction.
La calculatrice est autorisée pour la dernière fois.
Savoirs faires à revoir
Probabilités
Suites
Etude de fonctions
Calcul intégral
Polynômes du second degré, exponentielle, logarithme
I Jours de soleil
On considère que le nombre de jours ensoleillés pendant
l’été est une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli
de paramètres 𝑛 = 94 (nombre de jours dans la saison
d’été) et 𝑝 (probabilité du succès 𝑆 « il fait beau un jour
d’été » qui dépend du lieu des vacances).
Une mathématicienne part en Espagne avec un nombre moyen de jours d’ensoleillement l’été de
36,25 jours.
1/ a- Chercher le nombre moyen d’ensoleillement l’été de votre lieu de vacances.
Déterminer les paramètres 𝑝 associés au lieu de vacances de la mathématicienne et à votre lieu de
vacances.
b- Un hôtelier affirme que l’année dernière en Espagne, il y a eu 45 jours de soleil en tout. Faut-il le
croire ?
Même question avec 45 jours de soleil l’année dernière sur votre lieu de vacances.
2/ La mathématicienne arrive sur son lieu de vacances et il fait beau. Elle reste dix jours et se
demande combien de jours le beau temps va durer. On appelle 𝑌 la variable aléatoire donnant le
nombre de jours consécutifs de soleil à partir du jour d’arrivée.
a- A l’aide de l’arbre suivant à compléter et à pondérer, montrer que 𝑃(𝑌 = 10) = 𝑝9 et que
𝑃 (𝑌 = 𝑘) = 𝑝𝑘−1 (1 − 𝑝) pour 𝑘 compris entre 1 et 9.
Jour 1
Jour 2
Jour 3
Jour 4
Jour 5
Jour 6
Jour 7
Jour 8
Jour 9
Jour 10
𝑆̅
𝑆̅
𝑆
𝑆
𝑆 …
b- Vérifier que 𝑃(𝑌 = 1) + 𝑃(𝑌 = 2) + 𝑃(𝑌 = 3) + ⋯ + 𝑃 (𝑌 = 9) + 𝑃 (𝑌 = 10) = 1.
II Température estivale
La mathématicienne relève plusieurs températures au cours de la journée et modélise la
température 𝑇(𝑥) en fonction de l’heure 𝑥 dans la journée comprise entre 7 et 18, par la formule
suivante :
𝑇(𝑥) = (0,1𝑥 − 1) exp(−0.05𝑥 2 + 𝑥 − 1,25) + 15
3/ Montrer que 𝑇 est dérivable sur [7; 18] et calculer sa dérivée 𝑇′.
4/a- Etudier les variations, les racines et le signe du trinôme −𝑋 2 + 20𝑋 − 90
b- En déduire les variations de 𝑇 sur [7 ; 18]
5/ Représenter graphiquement 𝑇 sur [7; 18]
6/ Déterminer graphiquement l’heure la plus chaude entre 7h et 18h
7/ Existe-t-il une heure dans la matinée où la température sera de 20° ?
8/ Calculer la valeur moyenne de la température entre 7h et 18h.
III Jours de pluie
La mathématicienne remonte sur Paris où il pleut.
L’été, sur son lieu de vacances en Espagne, il y a en
moyenne 51 mm de précipitations ; à Paris, il y a en
moyenne 164,6 mm de précipitations.
On considère que cette mesure de précipitations est
une suite (𝑢𝑛 ) en fonction de la distance 𝑛 en km
depuis Paris et telle qu’il existe deux réels 𝑎 et
𝑏 vérifiant pour tout 𝑛 entier naturel
𝑢𝑛 = 𝑎ln(𝑛 + 1) + 𝑏
La mathématicienne était en Espagne à 1376 km de
Paris.
9/ Déterminer 𝑎 et 𝑏.
1
10/ Montrer que pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 = 𝑎ln (1 + 𝑛+1). En déduire le sens de
variation de la suite (𝑢𝑛 ).
11/ Résoudre l’inéquation 𝑎ln(𝑛 + 1) + 𝑏 ≤ 10 avec 𝑛 entier naturel.
12/ A l’aide de la table suivante, proposez un prochain lieu de vacances à la mathématicienne où il y
a en moyenne moins de 10 mm de précipitations.
Distance entre Paris et le capitales d’Océanie