Mesure et Intgration - exigences aux tudiants
Transcription
Mesure et Intgration - exigences aux tudiants
Examen du cours « Mesure et Intégration » 2008/2009 - exigences aux étudiants Savoir donner les définitions d’une algèbre, d’une sigma algèbre, d’une classe monotone, et connaître ses propriétés savoir donner les exemples en cas de d . Savoir donner les définitions d’une mesure, d’une pré-mesure, d’une mesure extérieure, d’un espace mesurable, d’un espace mesuré, et connaître ses propriétés et savoir les donner en cas de d notamment les propriétés de régularité, des invariances. Savoir donner l’énoncé du théorème de Carathéodory. Savoir donner la définition d’une fonction mesurable et connaître les propriétés des fonctions mesurables ainsi de l’ensemble M + (Ω, Σ) . Savoir préciser la notion « presque partout » notamment, la convergence presque partout et la convergence en mesure. Savoir donner et interpréter les deux définitions de l’intégrale données au cours et connaître les propriétés de l’intégrale. En particulier, savoir donner la notion d’une fonction sommable. En cas de d savoir expliquer la différence par rapport à l’intégrale de Riemann. Maîtriser le calcul des intégrales selon les séries d’exercices. Savoir énoncer les théorèmes de la convergence monotone, de la convergence dominée et du lemme de Fatou et savoir donner les démonstrations. Savoir énoncer le théorème de Brezis-Lieb, les théorèmes de Fubini-Tonelli. Maîtriser la représentation des fonctions par leurs ensembles de niveau. Savoir définir la convolution de deux fonctions sur d et connaître ses propriétés. Connaître la définition de la transformée de Fourier d’une fonction intégrable sur d et ses propriétés. Maîtriser le calcul des convolutions (notamment le théorème de Newton) et des transformée de Fourier selon les exercices du cours. Connaître et savoir appliquer les représentations intégrales des fonctions Gamma et Beta. Savoir définir les espaces Lp sur un espace mesuré et connaître ses propriétés comme espace de Banach, notamment des espaces Lp définis sur d (complétude, espace dual, convexité uniforme, séparabilité) Connaître les ensembles denses et des approximations des éléments de Lp ( d ) . Savoir définir la convergence en norme (ou forte), la convergence presque partout, la convergence faible et leurs relations entre elles. Savoir énoncer le théorème de Banach-Alaoglu. Savoir appliquer les inégalités de Minkowski, de Hölder, et de Young et connaître les cas quand ces inégalités sont saturées (optimalité). Connaître les propriétés de la transformée de Fourier dans L2 ( d ) . Savoir ennoncer le théorème de Radon-Nikodym. Savoir définir le réarrangement à symétrie sphérique décroissante et connaître ses propriétés, en particulier les inégalités pour les intégrales y associées. Savoir calculer le réarrangement à symétrie sphérique décroissante d’une fonction donnée.