Savez-vous planter des choux en deux carrés

Savez-vous planter des choux en deux carrés ?
Le jardinier voudrait planter ses choux en formant deux carrés. Par exemple avec 13 choux, il
peut réaliser cette disposition :
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
1) Le jardinier peut-il planter 25 choux en formant deux carrés ?
2) Peut-il planter 146 choux en formant deux carrés ?
Référence : Cap maths CM2, cycle 3, Paris, Hatier, 2004.
Compte rendu d’expérience
Problème : Savez-vous planter les choux ?
Classe : CM2
Lieu : École élémentaire de Viessoix
Nombre d’élèves : 20
Durée de la séance : 65 minutes
Période de l’année : mars 2006
Déroulement et consignes
Les élèves sont groupés par deux. La fiche exposant la situation leur est distribuée. Les élèves
effectuent une lecture silencieuse de la présentation de la situation puis une mise au point
collective est organisée (réponses aux questions, points de vocabulaire…). Des précisions sont
redonnées sur la notion de « carré ».
Les élèves disposent de dix minutes pour répondre à la première question en utilisant les
techniques de leur choix.
Une première mise en commun s’avère nécessaire pour faire la différence entre la
représentation géométrique d’un carré dans lequel sont plantées x rangées de y choux et la
notion de carré numérique en tant que résultat du produit de x par x.
Après cette mise au point, la plupart des élèves parviennent au résultat : 25 = (4 x 4) + (3 x 3).
Ils se lancent alors, selon les mêmes procédures, dans la résolution de la deuxième question.
Nous intervenons pour remettre en cause une schématisation qui paraît longue et inadaptée et
nous notons au tableau les résultats de quelques calculs intermédiaires que les groupes
proposent : 5 x 5 = 25, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64….
À l’aide de ce répertoire, les groupes organisent des calculs qui permettent de parvenir pour la
plupart à la solution.
Procédures utilisées par les élèves
Le schéma qui se trouve sur la fiche d’énoncé de la situation induit, pour tous les groupes (sauf
un qui donnera le premier la réponse), une utilisation du dessin. Les représentations des élèves
ne sont, dans un premier temps, pas toutes conformes à la notion de carré telle qu’elle figure
dans l’énoncé. Beaucoup de groupes proposent 3 rangées de 5 choux disposées dans un carré
« géométrique ».
Après un rappel sur l’utilisation exclusive de carrés de type « 3 rangées de 3 choux chacune »,
la plupart des groupes parviennent à la solution en n’utilisant exclusivement que le moyen du
dessin. Un seul groupe (le plus rapide) s’est servi d’écritures numériques : 3 x 3 = 9 et
4 x 4 = 16 et 16 + 9 = 25 donc il fera un carré de 16 choux et un autre de 9. Ceux qui n’ont pas
trouvé ont écrit des opérations du type 2 x 13 = 26 ou 12 + 13 = 25.
Pour la deuxième question, le dessin est à nouveau utilisé par tous les élèves mais certains
groupes trouvent fastidieux de dessiner des dizaines de choux ! Il y a alors des tentatives pour
« morceler » les 146 choux (146 : 2 ou 146 : 4…). Un groupe d’élèves propose d’utiliser le
carré de 10. Aussitôt, certains rappellent des résultats déjà utilisés (5 x 5 = 25, 4 x 4 = 16…) et
un répertoire des carrés s’élabore au tableau. Dès que le calcul 11 x 11 = 121 est proposé par un
groupe, la plupart des élèves parviennent à la solution.
Commentaires
Les élèves ont bien participé à l’ensemble de la recherche ; ils ont fait preuve d’opiniâtreté et de
méthode. Dans un premier temps, les plus en difficulté sont restés bloqués dans le système « la
résolution d’un problème nécessite une opération ». Ils en ont donc proposé qui ne convenaient
pas à la situation décrite (2 x 13, 13 + 12…).
Pour la plupart, il a fallu revenir sur la notion de carré numérique (produit de 2 nombres
identiques) pour la représentation schématique (faire 4 colonnes de 4 choux ou 5 colonnes de 5
choux…).
Ensuite l’utilisation du dessin a été systématique et surtout inadaptée au traitement du grand
nombre (146 choux à planter…).
Pour cette situation, les interventions de l’adulte doivent être fréquentes de manière à faire
émerger les propositions des groupes et à orienter les recherches vers des méthodes plus
rapides, plus fiables et donc plus efficaces.
C’est une situation intéressante dans la mesure où elle induit l’élève à utiliser, dans un premier
temps, une schématisation, puis à l’abandonner pour passer à l’abstraction par le recours au
nombre. Le terme de « carré » induit aussi un aspect géométrique à une activité qui ne l’est pas.
Savez-vous planter les choux ?
Référence
Référence : Cap maths CM2, cycle 3, Paris, Hatier, 2004.
Situation
Proposer une solution pour qu’un jardinier puisse planter 25 choux en formant 2 carrés. Même
question pour 146 choux.
Pour 25 choux, il utilise 16 choux pour un carré et 9 pour l’autre (16 = 4 x 4, 9 = 3 x 3 et 16 +
9 = 25).
Pour 146 choux, il faudra un carré de 121 choux et un autre de 25 (121 + 25 = 146).
Compétences générales
- Savoir représenter schématiquement une situation
- Passer d’une solution schématique à une solution algébrique
- Utiliser ses connaissances (tables de multiplication) pour traiter des problèmes
Compétences spécifiques
- Connaître les tables de multiplication pour construire la table des carrés
- Calculer des sommes, des produits ou des différences de nombres entiers
- Organiser et effectuer mentalement des calculs additifs ou soustractifs en s’appuyant sur des
résultats mémorisés (la table des carrés des nombres inférieurs à 13)
Prolongements possibles
- Trouver d’autres réponses aux questions posées en permettant l’utilisation de 3, 4 ou 5 carrés
- Proposer d’autres énoncés du même type, toujours en utilisant des carrés
- Proposer des énoncés qui associeraient des carrés ou des rectangles dont le nombre de rangées
serait donné
- Introduire la notation du carré d’un nombre