Contribution au développement d`un isolateur coplanaire à

Transcription

N° d’ordre : 02 ISAL 0036
Année 2002
Thèse
Contribution au développement
d'un isolateur coplanaire à résonance
par la méthode des Différences Finies
dans le Domaine Temporel
Présentée devant
L’Institut National des Sciences Appliquées de Lyon
Pour obtenir
Le grade de Docteur
Formation doctorale :
Dispositifs de l'électronique intégrée
École doctorale Électronique, Électrotechnique, Automatique de Lyon
Par
Gwénaël Poitau
Ingénieur ISTASE
Soutenue le 10 juillet 2002 devant la Commission d’examen
Jury
J.P Ganne
J.P Parneix
P. Saguet
B. Sauviac
P. Pinard
G. Noyel
Thalès RT
Professeur, ENSCPB
Rapporteur
Professeur, ENSERG
Rapporteur
Maître de Conférences, ISTASE
Professeur, INSA de Lyon
Professeur, ISTASE
Ecoles Doctorales
Écoles Doctorales
Matériaux de Lyon
INSAL – ECL -UCB. Lyon1 – Univ. De Chambéry – ENS
Responsable : Professeur A. HOAREAU, UCBL (Tél. : 04.72.44.85.66)
Formations doctorales associées :
Génie des Matériaux (Pr. R. FOUGERES, Tél : 04. 72. 43. 81 .49)
Matière condensée surfaces et interfaces
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(Pr. P. LAREAL, Tél : 04.72.43.82.16)
Mécanique (Pr. G. DALMAZ, Tél : 04.72.43.83.03)
Thermique et Energétique (Pr. M. LALLEMAND, Tél : 04.72.43.81.54)
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Génie électrique (Pr. J.P. CHANTE, Tél : 04.72.43.87.26)
Contribution au développement d'un isolateur coplanaire à résonance
par la méthode des Différences Finies dans le Domaine Temporel
2
Ecoles Doctorales
Signal, Image, Parole (Pr. G. GIMENEZ, Tél : 04.72.43.83.32)
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3
Ecoles Doctorales
Autres formations doctorales
Analyse et modélisation des systèmes biologique
Responsable : Professeur S. GRENIER, INSAL Tél : 04.72.43.83.56
Chimie inorganique
Responsable : Professeur P. GONNARD, INSAL Tél : 04.72.43.81.58
Conception en bâtiment et techniques urbaines
Responsable : Professeur M. MIRAMOND, INSAL Tél : 04.72.43.82.09
DEA Informatique de Lyon
Responsable : Professeur J.M. JOLION, INSAL Tél : 04.72.43.87.59
Productique : Organisation économique et génie informatique
pour l’entreprise
Responsable : Professeur J. FAVREL, INSAL Tél : 04.72.43.83.63
Sciences et techniques du déchet
Responsable : Professeur P. MOSZKOWICZ, INSAL Tél : 04.72.43.83.45
4
INSA de Lyon / Professeurs
INSTITUT NATIONAL DES
SCIENCES APPLIQUEES DE LYON
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Professeurs
AUDISIO S
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BERGER C (Mlle)
BETEMPS M
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BOTTA-ZIMMERMAN M
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Thermique du bâtiment
Génie Electrique Et Ferroélectrique
Ingénierie Des Systèmes
D’information
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puissance et applications
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– Structures
Chimie Organique
Mécanique Des Structures
5
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GEMPPM*
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Biologie Fonctionnelle, Insectes Et
Interactions
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D’information
GEMPPM*
GEMPPM*
Informatique
Matériaux Macromoléculaires
CREATIS**
GEGELY**** - Composants de
puissance et applications
CREATIS **
GEMPPM*
Biochimie Et Pharmacologie
PRISMa – PRoductique et Informatique des Systèmes Manufacturiers
Reconnaissance Des Formes Et Vision
– Structures
– Géotechnique
6
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Energétique et thermique
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GEMPPM*
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LAEPSI***
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LAEPSI***
CREATIS**
LEAPSI***
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7
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en Apprentissage, Coopération et
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8
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Unité Microbiologie Et Génétique
GEMPPM*
Unité Microbiologie Génétique
GEMPPM*
GEMPPM*
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FEBVAY G
Interactions
Interactions
GRENIER S
Directeurs de recherche I.N.S.E.R.M.
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Biologie Et Pharmacologie
CREATIS**
*
GEMPPM Groupe d’Etude Métallurgie Physique Et Physique Des Matériaux
**
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d’Applications en Traitement de
L’Image et du Signal
***
LAEPSI Laboratoire d’Analyse Environnementale des Procédés et Systèmes Industriels
****
CEGELY Centre de Génie Electrique
de Lyon
9
Remerciements
Remerciements
Je remercie M. P. Pinard, professeur émérite de l'INSA de Lyon, et M.
G. Noyel, professeur à l'Institut Supérieur des Techniques Avancées de SaintÉtienne, qui ont accepté la co-direction de cette thèse. Je suis particulièrement
reconnaissant envers M. J.P Parneix, professeur à l'École Nationale Supérieure
de Chimie et Physique de Bordeaux, et M. P. Saguet, professeur à l'École Nationale Supérieure d'Électronique et de Radio-électricité de Grenoble d'avoir accepté d'être rapporteurs de ce travail.
Je remercie vivement M. B. Sauviac, Maître de Conférences à l'Institut
Supérieur des Techniques Avancées de Saint-Étienne, pour avoir participé activement à ce travail et m'avoir aidé à le présenter avec plus de rigueur et de précision. J'exprime une reconnaissance particulière à M. B. Bayard, Maître de
Conférences à l'IUT de Saint-Étienne, qui m'a grandement aidé dans la résolution de nombreux problèmes techniques, notamment pour la partie informatique
de cette thèse.
Je n'oublie pas l'ensemble des membres des laboratoires DIOM et LPM
qui ont contribué à ce travail et qui m'ont apporté une aide précieuse.
10
Sommaire
Sommaire
SOMMAIRE .......................................................................................... 11
INTRODUCTION................................................................................... 15
PARTIE 1
PRÉSENTATION DE L'ÉTUDE ......................................... 19
Introduction ...................................................................................................20
1
Les isolateurs hyperfréquences à résonance ..........................................21
1.1
Physique des effets non réciproques en hyperfréquences....................21
1.1.1
Effet gyromagnétique pour un électron isolé...............................21
1.1.2
Effet gyromagnétique dans un ferrite ..........................................22
1.1.3
Étude en petits signaux...............................................................23
1.1.4
Polarisation circulaire.................................................................25
1.1.5
Perméabilité effective.................................................................26
1.1.6
Effets démagnétisants .................................................................26
1.1.7
Résonance dimensionnelle..........................................................27
1.2
Technologie des isolateurs hyperfréquences à résonance ...................27
1.2.1
Isolateur à résonance en guide d'ondes rectangulaire ..................28
1.2.2
Isolateur à résonance en ligne triplaque ......................................29
1.2.3
Isolateur à résonance en structure coplanaire ..............................30
2
Modélisation ............................................................................................36
2.1
Les méthodes de modélisation ...........................................................36
2.1.1
La méthode de séparation de variables (ou méthode de Fourier) .36
2.1.2
La décomposition en sommes de séries.......................................37
2.1.3
La méthode des perturbations .....................................................37
2.1.4
Les Éléments Finis .....................................................................37
2.1.5
Les Différences Finies ................................................................38
2.1.6
La méthode des Moments (ou méthode des résidus pondérés).....39
2.1.7
Les méthodes temporelles...........................................................39
2.2
Présentation de la méthode FDTD .....................................................40
2.2.1
Équations de Maxwell généralisées ............................................42
2.2.2
Principe des différences finies ....................................................44
2.2.3
Principe de Yee ..........................................................................46
2.2.4
Traitement des interfaces, conditions aux limites........................49
2.2.5
Choix d’une source électromagnétique .......................................51
2.2.6
Problèmes numériques................................................................55
2.2.7
Autres repères géométriques.......................................................57
11
Sommaire
Conclusion ......................................................................................................62
PARTIE 2
DÉVELOPPEMENT ET VALIDATIONS DU CODE FDTD.. 63
Introduction ...................................................................................................64
1
Modélisation de guides d'ondes rectangulaires......................................65
1.1
Introduction .......................................................................................65
1.2
État de l'art ........................................................................................66
1.3
Modélisation de guides d'ondes rectangulaires vides..........................67
1.3.1
Paramètres de modélisation ........................................................68
1.3.2
Étude de la forme spatiale du champ électrique ..........................68
1.3.3
Étude du paramètre de transmission S21 ......................................70
1.3.4
Étude de la dispersion en fréquence............................................71
1.4
Modélisation de guides d'ondes rectangulaires inhomogènes..............74
1.4.1
Introduction................................................................................74
1.4.2
Méthode employée .....................................................................75
1.4.3
Résultats ....................................................................................77
1.5
Conclusion ........................................................................................79
2
Modélisation de lignes coplanaires .........................................................80
2.1
Introduction .......................................................................................80
2.2
État de l’art........................................................................................80
2.3
Maillages non-uniformes ...................................................................83
2.3.1
Introduction................................................................................83
2.3.2
Modification de l'algorithme.......................................................83
2.3.3
Paramètres du maillage...............................................................85
2.3.4
Exemple .....................................................................................86
2.4
Modélisation d'une ligne coplanaire...................................................86
2.4.1
Paramètres de simulation ............................................................87
2.4.2
Formes temporelles des champs..................................................88
2.4.3
Formes spatiales des champs ......................................................88
2.4.4
Étude des paramètres fréquentiels...............................................90
2.5
Conclusion ........................................................................................94
3
Modélisation de ferrites ..........................................................................95
3.1
Introduction .......................................................................................95
3.2
État de l'art .......................................................................................95
3.3
Modification de l'algorithme ..............................................................97
3.4
Validations pour un espace de modélisation à une dimension...........100
3.4.1
Introduction..............................................................................100
3.4.2
Expressions théoriques des coefficients de réflexion et de
transmission............................................................................................101
3.4.3
Simulations FDTD ...................................................................101
3.5
Mise en évidence d'effets non réciproques dans un guide d'ondes
rectangulaire...............................................................................................105
12
Sommaire
3.5.1
Modification de l'algorithme pour les modélisations en trois
dimensions..............................................................................................105
3.5.2
Structures modélisées ...............................................................107
3.5.3
Paramètres de simulation ..........................................................108
3.5.4
Effets non réciproques ..............................................................108
3.5.5
Influence du maillage ...............................................................110
3.5.6
Influence des propriétés du ferrite ............................................111
3.6
Conclusion ......................................................................................112
4
Développement logiciel .........................................................................114
4.1
Introduction .....................................................................................114
4.2
Présentation de l'architecture du logiciel..........................................114
4.2.1
Espace physique .......................................................................115
4.2.2
Insertion d'un objet...................................................................115
4.2.3
Espace numérique ....................................................................116
4.2.4
Raffinement du maillage ..........................................................116
4.2.5
Simulation ................................................................................116
Conclusion ....................................................................................................118
PARTIE 3 APPLICATION À L'ISOLATEUR COPLANAIRE À
RÉSONANCE ..................................................................................... 119
Introduction .................................................................................................120
1 Étude paramétrique 2D de l’effet non-réciproque et contraintes
technologiques ..............................................................................................121
1.1
Introduction .....................................................................................121
1.2
Paramètres de simulation .................................................................123
1.3
Fréquence de travail et influence sur la polarisation magnétique ......124
1.4
Choix du substrat diélectrique..........................................................125
1.4.1
Présentation des matériaux envisageables pour cette fonction...125
1.4.2
Hauteur du substrat ..................................................................127
1.4.3
Permittivité relative ..................................................................128
1.4.4
Utilisation d’une couche supplémentaire de diélectrique à forte
permittivité .............................................................................................129
1.5
Géométrie des conducteurs ..............................................................131
1.5.1
Largeur des fentes entre les conducteurs...................................131
1.5.2
Largeur des fentes et du conducteur central ..............................132
1.5.3
Épaisseur des conducteurs ........................................................133
1.6
Paramètres liés au matériau magnétique...........................................135
1.6.1
Localisation du matériau magnétique........................................135
1.6.2
Obtention du matériau magnétique ...........................................136
1.6.3
Influence de la perméabilité .....................................................139
1.7
Synthèse ..........................................................................................140
13
Sommaire
2 Mise en évidence de l'effet non réciproque à la résonance
gyromagnétique ............................................................................................142
2.1
Problème des temps de calcul ..........................................................142
2.2
Identification de système .................................................................142
2.3
Application à l'isolateur à résonance en guide d'ondes rectangulaire 144
2.4
Application à l'isolateur coplanaire à résonance ...............................145
2.4.1
Introduction..............................................................................145
2.4.2
Paramètres de simulation ..........................................................146
2.4.3
Effets non réciproques ..............................................................147
Conclusion ....................................................................................................150
CONCLUSION .................................................................................... 151
ANNEXES .......................................................................................... 154
Annexe I........................................................................................................155
Annexe II ......................................................................................................159
Annexe III.....................................................................................................161
Annexe IV .....................................................................................................164
Annexe V ......................................................................................................167
BIBLIOGRAPHIE................................................................................ 169
14
Introduction
Introduction
La thèse développée dans ce mémoire a été élaborée sous la cotutelle
des laboratoires LPM (Laboratoire de Physique de la Matière) de l'Institut National des Sciences Appliquées de Lyon et DIOM (Dispositifs et Instrumentation
en Optoélectronique et Micro-ondes) de l'Université de Saint-Étienne. Elle s'inscrit dans le domaine de l'électronique hyperfréquence.
Les hyperfréquences sont des signaux radioélectriques à variations extrêmement
rapides. Le domaine fréquentiel concerné est situé entre 300 MHz et 300 GHz.
Les périodes temporelles sont comprises entre 3 ns et 3 ps alors que les longueurs d'onde mesurent de 1 mm à 1 m. Plus bas dans le spectre fréquentiel, on
rencontre les ondes utilisées pour la télévision et plus haut, on entre dans le domaine optique (infrarouges).
L'électronique hyperfréquence est principalement utilisée dans les technologies
radar, les télécommunications (notamment dans le domaine spatial) mais aussi
pour le chauffage, le séchage, la cuisson (four micro-ondes) et le traitement de
diverses maladies (diathermie). Historiquement, cette science est née avec la Seconde Guerre Mondiale, elle a ensuite rapidement évolué parallèlement à l'ensemble de la microélectronique. Les guides d'ondes et autres tubes générateurs
de signaux ont vite été remplacés par des structures planaires et des transistors.
Un des grands problèmes théoriques inhérent à l'étude de cette bande fréquentielle tient dans le fait que les longueurs d'onde sont du même ordre de grandeur
que les éléments de circuit utilisés pour produire et transmettre les signaux. On
ne peut donc pas considérer ces éléments comme ponctuels (électronique basse
fréquence) ou comme grands devant ces longueurs d'onde (optique). Ainsi, on ne
peut plus utiliser les lois de l'électronique classique et l'on s'oriente vers la théorie de la propagation des ondes électromagnétiques régie par les équations de
Maxwell.
Pourquoi alors utiliser ce domaine fréquentiel plus difficile à analyser ? D'abord,
pour la bande passante d'un signal porteur hyperfréquence permettant de faire
face aux besoins actuels des télécommunications. Ensuite, pour la transparence
de la ionosphère vis-à-vis de ce type de signaux, on peut ainsi communiquer entre la Terre et les satellites artificiels mais aussi recevoir des signaux en radioastronomie (la puissance de bruit la plus faible pour un signal provenant de l'espace est obtenue entre 1 et 10 GHz [23]. D'autre part, l'eau absorbe fortement
15
Introduction
toutes les hyperfréquences, ce qui permet de les utiliser pour la cuisson, la détection d'humidité, la diathermie… Les oscillateurs atomiques les plus stables
(hydrogène, césium, rubidium) oscillent dans ce domaine fréquentiel, les horloges atomiques et les étalons de fréquence font donc usage des hyperfréquences.
Enfin, l'industrie automobile commence à utiliser ces fréquences pour les radars
anti-collision.
Dans l'étude qui suit, nous allons nous intéresser plus particulièrement aux composants passifs non réciproques (isolateurs, circulateurs…) et aux problèmes posés par leur intégration dans une technologie microélectronique. Ceux-ci permettent d'isoler ou de discriminer des signaux : l'isolateur permet par exemple de
protéger la source d'un dispositif en bloquant la propagation de signaux réfléchis
provoqués par des désadaptations d'impédance. Le circulateur assure notamment
la séparation des signaux d'émission et de réception dans un circuit d'antenne (duplexage).
La microélectronique fait chaque année des progrès considérables dans l'intégration des composants actifs : à la fin de la décennie, les ordinateurs personnels
pourront fonctionner à une cadence d'horloge supérieure à 10 GHz et leur processeur comprendra plus de 1 milliard de transistors opérant à une tension d'alimentation inférieure au volt. Ces progrès ont autorisé une véritable révolution
technologique notamment dans le domaine des télécommunications. La troisième génération de systèmes de communication mobiles offre des débits accrus
pour toutes sortes d'applications (voix, données, vidéo…) et l'on pourra bientôt
regrouper sur une même puce tous les circuits actifs d'un GSM. L'électronique
hyperfréquence, autrefois réservée au domaine militaire, a ainsi été adoptée par
le grand public.
Force est de constater que le domaine des circuits passifs est plus lent à évoluer.
Les fréquences de travail actuelles (de l'ordre du gigaherz pour la téléphonie
mobile) permettent en effet d'utiliser des composants actifs dans la majorité des
applications. Cependant, pour les industriels, l'évolution irrémédiable des besoins en bande passante va rapidement nécessiter des fréquences de travail de
l'ordre de 60 GHz. À ces fréquences, il est probable que les performances de certains composants passifs soient supérieures à celles obtenues avec leurs homologues en technologie active. Disposer de tels composants intégrés permettra alors
de réduire les coûts de production, d'améliorer les performances et de diminuer
l'encombrement des circuits.
Le développement de composants passifs intégrés passe par la mise en place
d'un dispositif expérimental important [3]. Pour ce type de composants, il s'agit
16
Introduction
notamment du dépôt de couches magnétiques, de leur cristallisation (recuit), de
leur caractérisation (en basses et hautes fréquences), de la gravure des conducteurs ainsi que des problèmes de polarisation magnétique. Les paramètres impliqués et les contraintes technologiques sont nombreux. Parallèlement au développement expérimental, il est donc indispensable de produire des outils de
modélisation.
En effet, ceux-ci vont permettre d'analyser les phénomènes physiques mis en jeu
puis de jouer sur chaque paramètre pour comprendre son influence sur l'efficacité du dispositif. L'étape de développement terminé, la modélisation permettra
aussi de prévoir le comportement du composant dans un circuit complexe. On
pourra ensuite s'orienter vers un ensemble logiciel de Conception Assistée par
Ordinateur (CAO) prenant en charge le développement du simple composant
jusqu'au système le plus complexe. Cette démarche est aujourd'hui devenue classique en Recherche et Développement.
Pour contribuer à la réalisation de composants passifs non réciproques intégrables, nous présentons dans ce mémoire le développement d'un code de calcul utilisant la méthode FDTD [85] (Finite Difference in Time Domain ou Différences
Finies dans le Domaine Temporel). Cette étude doit permettre à court-terme de
donner des modèles de composants pouvant être miniaturisés et à moyen terme
de les intégrer dans une technologie microélectronique.
Dans la première partie du mémoire, nous présentons les éléments physiques
spécifiques aux isolateurs à résonance, les technologies pouvant être utilisées
ainsi que la configuration retenue pour la réalisation d'un démonstrateur. Nous
proposons aussi un rapide bilan des principales méthodes de modélisation disponibles et présentons la méthode FDTD.
Dans la seconde partie, nous proposons les différentes validations du code de
calcul pour des structures guides d'ondes et lignes coplanaires puis pour les matériaux ferrites ; nous incluons les différentes études bibliographiques réalisées
pour ces domaines. Nous ajoutons une présentation du logiciel dédié que nous
avons développé pour ces simulations.
Dans la troisième partie, nous effectuons une étude paramétrique en deux dimensions (géométrie, matériaux…) de l'isolateur coplanaire à résonance et évoquons les différents problèmes technologiques pour chaque paramètre. Nous
employons la notion de taux d'ellipticité comme critère d'optimisation. Nous
proposons ensuite d'utiliser la méthode d'identification de système pour mettre
en évidence la non réciprocité de la propagation dans cette structure tout en
17
Introduction
conservant des temps de calcul acceptables. L'étude qui est menée montre l'importance de la localisation du matériau magnétique pour l'efficacité de l'isolateur.
En dernier lieu, nous donnons les enseignements de ce travail et dressons le bilan des avantages et inconvénients de la méthode FDTD pour la modélisation de
ce type de composants. Nous proposons enfin différentes améliorations à envisager pour notre code de calcul ainsi que les perspectives de ce travail.
18
Présentation de l'étude
Partie 1
19
Introduction
Dans cette partie, nous présentons les notions théoriques indispensables
à la compréhension du mémoire. Nous expliquons d'abord le fonctionnement des
isolateurs à résonance en utilisant un modèle classique. Pour ce faire, nous introduisons notamment les notions de tenseur de perméabilité, d'effet gyromagnétique dans un ferrite et de polarisation circulaire. Nous proposons ensuite différentes technologies disponibles pour la réalisation de ces dispositifs : guides
d'ondes, lignes triplaques et lignes de transmission planaires. Nous examinons
plus en détail la configuration de Wen en soulignant les différentes contraintes
technologiques à prendre en compte en vue d'une intégration.
La difficulté de maîtriser l'ensemble de ces paramètres nous conduit naturellement à proposer une modélisation du dispositif. Nous expliquons le choix de la
méthode FDTD en la confrontant aux autres techniques disponibles. Enfin, nous
donnons les principes essentiels de cette méthode afin de faciliter la compréhension des algorithmes utilisés dans la suite de ce mémoire.
20
1
Les isolateurs hyperfréquences à
résonance
Dans ce chapitre, nous présentons les notions théoriques permettant
d'expliquer le fonctionnement d'un isolateur hyperfréquence. Nous proposons
ensuite plusieurs technologies possibles pour appliquer ces notions. Enfin, nous
nous intéressons à la structure de Wen choisie pour constituer un dispositif test
pour l'intégration de composants passifs dans une technologie microélectronique.
1.1
Physique des effets non réciproques en hyperfréquences
1.1.1
Effet gyromagnétique pour un électron isolé
La source du phénomène gyromagnétique se situe au niveau quantique
de la matière. On peut cependant expliquer de façon simplifiée l'action du
champ magnétique sur le spin de l'électron par un modèle classique [23].
Soient m (les caractères gras seront utilisés pour identifier les vecteurs dans le
texte courant de ce mémoire) le moment magnétique de spin de l'électron et p le
moment angulaire de spin. Si un champ magnétique H est appliqué à cet électron, p va être modifié par la quantité (dynamique d'un système conservatif) :
dp
dt
= m∧ H
(1.1)
Or p et m sont des vecteurs parallèles liés par la relation [40]:
m = − γp
(1.2)
où γ est le rapport gyromagnétique de valeur 3,52.104 s-1A-1m
En regroupant (1.1) et (1.2), on obtient l'équation (1.3).
dm
dt
= − γm ∧ H
(1.3)
21
La variation de m dans le temps est donc perpendiculaire à m et H. Si l'on
considère H constant, m va tourner autour de ce vecteur à la manière d'un gyroscope. Ce phénomène est appelé précession de Larmor.
Figure 1.1 Précession de Larmor
Dans la plupart des solides, les électrons sont regroupés par paires possédant des
spins opposés, les différentes interactions s'annulent donc globalement. Les matériaux ferromagnétiques (Fe, Co, Ni et certains terres rares) possèdent quant à
eux des électrons non appariés. Leur comportement est donc soumis à la précession de Larmor. D'autre part, pour interagir avec ces électrons, l'onde électromagnétique doit pouvoir pénétrer dans le matériau. Ce dernier doit donc posséder
une conductivité très faible. Ces conditions sont respectées pour les composés
d'oxydes de métaux ferromagnétiques appelés matériaux ferrites et pour les grenats d'yttrium-fer (YIG). Ceux-ci sont utilisés en hyperfréquences pour exploiter
les phénomènes physiques décrits dans ce chapitre.
1.1.2
Effet gyromagnétique dans un ferrite
On se place désormais dans un milieu ferrite homogène de dimensions
infinies. En prenant en compte la contribution de tous les électrons d'un tel matériau et en ajoutant les interactions entre ces électrons et le réseau cristallin, on
obtient l'équation du mouvement gyroscopique de l'aimantation [23] :
dM ( t )
dt
α 
dM ( t ) 
= − γM ( t ) ∧ H ( t ) +
M (t ) ∧
dt 
M 

(1.4)
où M est l'aimantation et α un coefficient introduit pour tenir compte des interactions spin-spin et spin-réseau. Celles-ci introduisent une force de rappel qui
tend à aligner l'aimantation M sur le champ magnétique H. L'extrémité du vecteur M décrit donc une spirale autour de H. Le coefficient α correspond au taux
d'amortissement de la précession de Larmor.
22
1.1.3
Étude en petits signaux
Dans l'étude qui suit, nous séparerons les composantes continues des
composantes alternatives sinusoïdales. De plus, les variations de H et M seront
considérées comme suffisamment faibles pour que l'on puisse négliger les termes de second ordre.
On a donc :
H (t ) = H 0 + h(t )
(1.5)
M (t ) = M s + m (t )
(1.6)
où :
H0 est le champ magnétique continu dans le matériau,
Ms est l'aimantation à saturation du matériau,
h(t) et m(t) sont les composantes alternatives.
Nous utiliserons les constantes suivantes :
ω L = γH 0
(1.7)
ωL est la pulsation de Larmor
ω M = γM s
(1.8)
ωM est la pulsation d'aimantation
En développant l'équation du mouvement gyroscopique de l'aimantation (1.4)
pour un champ polarisant suivant l'axe (Oz) d'un repère cartésien, on obtient
pour un matériau saturé :
 jω
− ωL − jωα 0  Mx   0

  
jω
0  My  = ωM
ωL + jωα
 0
jω Mz   0
0

− ωM
0
0
0 Hx 
 
0 Hy 
0 Hz 
(1.9)
À partir de cette égalité, on obtient facilement M en fonction de H. Soit le tenseur de perméabilité µ du matériau défini par la formule (1.10).
23
B = µ(H + M )
(1.10)
On obtient pour ce tenseur (forme de Landau-Lifshitz) :
µr

 jκ
 0

µ = µ0
où [40] :
µr = 1 +
κ =
(ω
− jκ
0

0
1 
µr
0
(ω L + jωα )ω M
(ω
+ jωα ) − ω
2
L
2
ωω M
+ jωα ) − ω
2
L
2
(1.11)
(1.12)
(1.13)
L'usage commun définit µr et κ sous les formes µr = µr' - jµr'' et κ = κ' - jκ''. Ainsi, les parties imaginaires sont représentatives des pertes magnétiques. Leurs variations sont indiquées sur la figure 1.2.
Figure 1.2 Variation des parties imaginaires de µr et κ
(H0=200 kA/m, Ms=150 kA/m, α=0,01)
Elles passent par un maximum en f=fL (fréquence de résonance gyromagnétique)
puis décroissent rapidement lorsque l'on s'écarte de cette valeur.
On définit la largeur de ligne à la résonance ∆H par la différence du champ
d'aimantation entre les deux points à demi-absorption. Cette valeur est reliée au
taux d'amortissement α par la formule (1.14).
24
α ≅
γ∆H
2ω L
(1.14)
Notons que dans les ferrites réels, la présence d'inhomogénéités élargira la résonance sans augmenter les pertes de la même façon.
1.1.4
Polarisation circulaire
La propagation d'un champ magnétique polarisé circulairement va produire des phénomènes particuliers dans un ferrite.
Supposons un champ magnétique statique H0 appliqué selon (Oz) et considérons
un champ magnétique hyperfréquence h polarisé circulairement dans le plan
perpendiculaire au champ H0.
On a par définition :
(
h ± = hc e x ∓ j e y
)
(1.15)
où :
hc représente une constante,
ex et ey sont les vecteurs unitaires des axes (Ox) et (Oy),
± correspondent aux deux sens de rotation.
En utilisant l'expression du tenseur de perméabilité (1.11), on obtient pour l'induction magnétique :
b± = µ ± h± = µ 0 ( µ r ± κ )h±
(1.16)
où :



µ ± = µ 0 1 +
ωL
ωM
∓ ω + jωα




(1.17)
Ces deux perméabilités sont données sur la figure 1.3. On constate que le ferrite
ne présente une résonance gyromagnétique que pour la polarisation circulaire
positive. Cette propriété est utilisée dans les dispositifs non-réciproques où le
sens de propagation des ondes est associé à un sens de rotation de la polarisation.
25
Figure 1.3 Variation des parties imaginaires de µ+ et µ(H0=200 kA/m, Ms=150 kA/m, α=0,01)
Près de la fréquence de résonance gyromagnétique et pour une polarisation circulaire positive, l'aimantation tend à s'aligner sur un champ magnétique total luimême en rotation. L'énergie de l'onde est absorbée. Pour la polarisation circulaire négative, l'interaction entre l'aimantation et le champ magnétique n'a pas
lieu. On obtient donc un affaiblissement unilatéral de l'onde.
En s'éloignant de la fréquence de résonance, on obtient seulement un déphasage
différentiel entre les ondes aller et retour.
1.1.5
Perméabilité effective
Le modèle du milieu effectif permet d'homogénéiser par le calcul un
milieu composite [75]. On obtient ainsi des constantes typiques du milieu et notamment la perméabilité effective. Celle-ci va correspondre à la perméabilité
« vue » par une onde électromagnétique extérieure au milieu. Cette notion propose en quelque sorte une moyenne des effets magnétiques du milieu sur l'onde.
Nous l'utiliserons à plusieurs reprises dans ce mémoire car elle permettra d'expliciter certains phénomènes physiques de façon simplifiée.
1.1.6
Effets démagnétisants
Dans les matériaux réels, la gyrorésonance est influencée par les effets
démagnétisants, les directions privilégiées d'aimantation et les imperfections du
réseau cristallin. Nous ne parlerons ici que des effets démagnétisants.
26
Quand un matériau homogène est placé dans un champ magnétique uniforme H0,
il devient polarisé. Les dipôles magnétiques induits à la surface du matériau
créent un champ magnétique opposé au champ appliqué [40]. Le champ magnétique interne devient Hi=H0-NMs, où N est une matrice représentant le facteur
démagnétisant qui dépend de la forme du matériau. Dans nos modélisations
FDTD, le champ magnétique utilisé est le champ interne. Par contre, dans les
mesures expérimentales, le champ pris en compte correspond au champ externe.
Il faudra donc prendre des précautions dans les comparaisons effectuées.
1.1.7
Résonance dimensionnelle
En général, l'approche magnétostatique ne fonctionne plus lorsque les
dimensions du matériau sont comparables ou supérieures à une longueur caractéristique. Pour les conducteurs, cette longueur caractéristique est l'épaisseur de
peau. Pour un isolant, il s'agit de la longueur d'onde guidée λg à la fréquence f :
λg =
c
εµ f
(1.18)
où c est la vitesse de la lumière dans le vide, ε la constante diélectrique du matériau et µ sa perméabilité relative.
Lorsque λg/2 approche un sous-multiple d'une dimension du matériau, on observe une résonance dimensionnelle que l'on peut représenter comme une résonance de la perméabilité effective [75].
1.2
Technologie des isolateurs hyperfréquences à résonance
Dans cette partie, nous allons examiner différents composants utilisant
les propriétés de gyrorésonance décrites précédemment. Avant de les aborder, il
est nécessaire d'expliquer comment sont conçus en général les dispositifs hyperfréquences.
Les longueurs d'onde dans l'air pour les micro-ondes et les ondes millimétriques
varient de 1 m à 300 MHz à 1 mm à 300 GHz, elles sont donc comparables aux
dimensions physiques des composants mis en jeu. Pour cette raison, les compo-
27
sants passifs utilisés en basse fréquence (résistances, capacités et inductances)
ne sont plus disponibles au-dessus de 10 GHz [18].
Les composants hyperfréquences sont eux réalisés en changeant la structure des
champs électromagnétiques sur une ligne de transmission. Les changements sur
les champs électriques ont un effet capacitif alors que ceux effectués sur les
champs magnétiques apparaîtront inductifs.
Nous nous intéressons dans cette partie aux isolateurs utilisant directement l'absorption à la gyrorésonance. D'autres isolateurs utilisent les variations des distributions des champs électromagnétiques introduites par un ferrite aimanté ou
encore l'effet Faraday [3, 14].
1.2.1
Isolateur à résonance en guide d'ondes rectangulaire
Les guides d'ondes rectangulaires permettent de transporter des signaux
hyperfréquences sans pertes par rayonnement. Ils sont notamment utilisés pour
les signaux à forte puissance. La bande fréquentielle de fonctionnement dépend
des dimensions du guide qui se comporte comme un filtre passe-haut : différents
modes de propagation (TE : Transversal Electrique, TM : Transversal Magnétique) sont possibles. Chaque mode possède une fréquence de coupure basse dépendante des dimensions transversales du guide.
Figure 1.4 Guide d'ondes WR90 (bande X)
Pour obtenir un effet non réciproque dans un guide d'ondes rectangulaire, on
place une lame de ferrite dans le plan du guide où le champ magnétique est polarisé circulairement. Une polarisation magnétique continue est ajoutée perpendiculairement au plan de polarisation du champ magnétique hyperfréquence. La
perméabilité effective vue par l'onde va différer suivant le sens de rotation de la
polarisation, c'est-à-dire suivant le sens de propagation de l'onde.
28
Figure 1.5 Isolateur à résonance en guide d'ondes rectangulaire
De nombreuses structures dérivent de cette géométrie. Il est courant, par exemple, d'insérer une seconde lame de ferrite dotée d'une polarisation continue opposée à la première pour améliorer l'effet non réciproque. Cette lame est placée
symétriquement par rapport au centre du guide.
1.2.2
Isolateur à résonance en ligne triplaque
Les lignes triplaques sont inspirées des lignes coaxiales. Le conducteur
central est enfoui dans un substrat diélectrique supportant sur ses deux faces horizontales deux plans de masse. La propagation est de type TEM (Transverse
Electrique Magnétique).
Figure 1.6 Ligne triplaque
Pour une ligne triplaque à substrat non homogène (voir fig. 1.7), la discontinuité
de la constante diélectrique produit une polarisation elliptique du champ électrique à l'interface entre les deux milieux [3]. Des barreaux de ferrite polarisés pla-
29
cés à l'endroit où l'ellipticité est maximale permettent de générer une propagation non-réciproque
Figure 1.7 Isolateur à résonance sur ligne triplaque
1.2.3
Isolateur à résonance en structure coplanaire
Les isolateurs en guides d'ondes rectangulaires et lignes triplaques possèdent des plans de masse a priori difficiles à connecter avec des circuits actifs.
Pour remédier à ce problème, un isolateur utilisant une ligne coplanaire a été
proposé par Wen en 1969 [81], nous le présentons dans cette partie.
A.
Lignes de transmission planaires
Les lignes de transmission planaires sont des assemblages de conducteurs déposés sur l'une ou les deux faces d'un substrat isolant (diélectrique). Les
plus utilisées sont la ligne microruban (microstrip), la ligne coplanaire (coplanar
waveguide) et la ligne à fente (slot line).
Ligne coplanaire
Ligne microruban
Ligne à fente
Figure 1.8 Différentes lignes de transmission planaires
Pour des applications en bande millimétrique, ces lignes peuvent être placées
dans une enceinte fermée [23] pour supprimer les pertes par rayonnement. Celles-ci peuvent aussi être réduites en utilisant un substrat à forte permittivité dié-
30
lectrique. Le mode dominant de ces lignes est un mode hybride et la distribution
des champs n'est pas connue analytiquement.
B.
Configuration de Wen
En 1969, C. P. Wen [81] propose une nouvelle ligne de transmission : la
ligne coplanaire. Celle-ci propose une connexion facile aux circuits externes. De
plus, elle peut être utilisée comme support de composants passifs non réciproques. En effet, la polarisation du champ magnétique à l’interface air-diélectrique
entre les conducteurs est elliptique. Si l’on place un matériau magnétique polarisé à cet endroit, la perméabilité effective vue par l’onde va dépendre de son sens
de propagation. On obtient ainsi une transmission non réciproque.
Figure 1.9 Isolateur en structure coplanaire
Dans son article, Wen propose des résultats très convaincants pour un isolateur à
résonance (fig. 1.9). Les différents éléments de la structure proposée sont caractérisés par les grandeurs données dans le tableau 1.1.
Ferrite Trans-Tech G1000
Largeur des fentes
Largeur du conducteur central
Épaisseur du substrat
Longueur de la ligne
254 µm × 127 µm × 15,24 mm
254 µm
762 µm
635 µm
20,32 mm
Tableau 1.1 Caractéristiques de l'isolateur de Wen
31
Figure 1.10 Performances de l’isolateur de Wen
Wen obtient pour cette configuration une isolation de 37 dB à 6 GHz pour des
pertes d’insertion inférieures à 2 dB.
Si l'on se place à une fréquence bien supérieure à la fréquence de gyrorésonance,
ce même dispositif peut servir de déphaseur (on obtient un déphasage de 45° entre 5,6 GHz et 7,1 GHz pour un champ magnétique appliqué de 94 kA/m).
C.
Étude de faisabilité réalisée au laboratoire DIOM
En 1999, B. Bayard [3] utilise la même structure en remplaçant les barreaux de ferrite (difficiles à usiner à cause de leur section très faible : environ
100 µm) par des poudres et liquides magnétiques. Ceux-ci ont une efficacité limitée par leur concentration magnétique mais sont plus faciles à mettre en oeuvre. Une étude de faisabilité d’un isolateur coplanaire est réalisée. Celle-ci montre l’existence d’effets non-réciproques pour la configuration présentée à la
figure 1.11.
Figure 1.11 Dispositif test [3]
32
Les éléments sont caractérisés par les grandeurs données dans le tableau 1.2.
épaisseur
largeur
largeur
Substrat
Fentes
Conducteur central
635 µm
300 µm
300 µm
εr
profondeur
épaisseur
10,2
50 µm
17,5 µm
Tableau 1.2 Caractéristiques de la ligne coplanaire expérimentée
Le matériau magnétique utilisé est une poudre de maghémite (γ - Fe2O3, taille :
10 nm, Ms du matériau massif : 336 kA/m, concentration < 33 %).
0
0
5
-2
10
S21=S12 H=0 kA/m
15
Fréquence (GHz)
20
-4
S21
-8
-10
-12
Transmissions (dB)
-6
S12
H = 340 kA/m
-14
Figure 1.12 Paramètres de transmission obtenus par B. Bayard [3]
Les deux paramètres de transmission sont donnés à la figure 1.12. Ils sont égaux
sans champ et présentent un écart d'environ 3 dB sous un champ magnétique polarisant de 340 kA/m. Il faut noter qu'aucune adaptation d'impédance particulière
n'a été mise en œuvre dans cette étude de faisabilité, ce qui explique une partie
des pertes d'insertion importantes mesurées.
D'autre part, l'auteur indique que l'amplitude de l'effet non réciproque augmente
lorsque les fentes de la ligne sont creusées [3]. A priori, il faut placer le matériau magnétique à l'endroit de la ligne où l'énergie transportée est maximale pour
obtenir le meilleur rendement.
33
D.
Paramètres et contraintes technologiques, optimisation du
dispositif
a.
Obtention et placement du matériau magnétique
L’étude présentée dans [3] montre que les liquides et les poudres magnétiques ne sont pas adaptés à cause de leur faible concentration en matière
magnétique. La réalisation et le placement des barreaux de ferrite étant inadaptés du point de vue technologique, le laboratoire s'est tourné vers des dépôts
contrôlés sous vide de matériaux magnétiques en couches relativement épaisses
(jusqu'à une dizaine de µm). Le procédé utilisé est la pulvérisation cathodique
radiofréquence et le matériau déposé est l'hexaferrite de baryum (BaFe12O19).
Un problème important réside dans la nécessité d'un recuit à haute température
après le dépôt pour cristalliser la couche magnétique. Pour espérer intégrer le
composant sur une puce silicium, il sera nécessaire d'abaisser la température de
recuit ou de trouver une technique alternative.
b.
Problème de l'aimantation permanente
L’aimant permanent, nécessaire pour la polarisation magnétique, n'est
pas compatible avec une intégration du composant. Nous pensons donc le remplacer, à terme, par une orientation préférentielle du réseau cristallin dans la
couche magnétique. L'hexaferrite de baryum est adapté car il est fortement anisotrope et présente un champ coercitif élevé (ce matériau est souvent utilisé
comme aimant permanent).
c.
Caractérisation des couches magnétiques
Pour pouvoir utiliser des couches magnétiques dans un composant, il
est nécessaire de les caractériser. La caractérisation physico-chimique des couches est effectuée par microscopie électronique à balayage et diffraction des
rayons X. Ces opérations permettent d'évaluer l'état de surface et la composition
stœchiométrique des couches déposées. La caractérisation électromagnétique est
plus problématique à cause de la faible épaisseur des couches fabriquées devant
la longueur d'onde utilisée. Le champ coercitif et l'aimantation à saturation sont
déterminés par VSM (Vibrating Sample Magnetometer). Plusieurs méthodes
basses et hautes fréquences sont en cours de développement au laboratoire
34
DIOM afin de déterminer notamment les éléments du tenseur de perméabilité
des couches.
d.
Modélisation et optimisation du dispositif
Plusieurs problèmes doivent donc être résolus avant l'intégration du
dispositif. Outre les facteurs recuit et aimantation permanente vus précédemment, il sera nécessaire de miniaturiser le dispositif. Cette miniaturisation ne
peut être effectuée que si une modélisation précise du composant est réalisée. Il
faut, en effet, être capable de proposer la géométrie et les matériaux permettant
d'obtenir l'effet maximal pour une taille de composant donnée. D'autre part, il
est indispensable de connaître le comportement du composant dans un circuit
(impédance, pertes d'insertion…). Dans cette thèse, nous proposons donc de développer une méthode de modélisation permettant de simuler des composants
passifs non réciproques avec des géométries variées. La modélisation nous permettra de :
•
•
•
•
comprendre les phénomènes électromagnétiques mis en jeu dans ce type de
composants (cartographie des champs électromagnétiques…),
optimiser le composant (géométrie, dimensions, types de matériaux, problèmes
d'impédance) et donner des bases solides pour la réalisation expérimentale de
démonstrateurs,
développer les méthodes de caractérisation des couches minces présentes dans
ces composants,
proposer des modèles de composants utilisables dans des simulateurs globaux
(SPICE…) et faciliter l’insertion du composant dans des circuits complexes.
35
2
Modélisation
Il existe un grand nombre de méthodes de modélisation, chacune d’elles
étant plus adaptée à un certain type de problèmes. Les méthodes analytiques
permettront d’analyser des structures possédant certaines symétries et dont la
géométrie et le modèle de matériau restent simples. Pour des modélisations plus
réalistes de géométries et de matériaux complexes, on choisira l’approche numérique. Les méthodes numériques ont l'avantage de progresser parallèlement aux
ressources informatiques. L’intelligence humaine ne suivant pas la loi de Moore,
elles vont sans doute prendre de plus en plus d’importance dans le futur.
Dans ce chapitre, nous présentons d'abord quelques-unes des méthodes les plus
utilisées puis nous détaillons la technique de modélisation que nous avons retenue.
2.1
Les méthodes de modélisation
2.1.1
La méthode de séparation de variables (ou méthode de
Fourier)
Cette technique est très utilisée et constitue souvent le point de départ
d’autres méthodes. Le concept est simple : si l’on recherche la solution
Φ(x,y,z,t) d’une équation aux dérivées partielles (EDP) alors on propose, si la
physique du problème nous le permet, d’exprimer cette fonction sous la forme :
Φ(x,y,z,t)=X(x).Y(y).Z(z).T(t)
(1.19)
On est parfois limité à :
Φ(x,y,z,t)=F(x,y).Z(z).T(t)
(1.20)
ou à d’autres formes, mais les simplifications obtenues permettent de déterminer
plus facilement les solutions générales de l'EDP [68].
36
2.1.2
La décomposition en sommes de séries
La méthode de séparation de variables engendre souvent la nécessité
d’utiliser des séries de fonctions orthogonales. Ces séries peuvent aussi être
adaptées à des EDP à variables non séparables. Après avoir choisi la forme des
fonctions orthogonales approchant au mieux les phénomènes physiques, on intègre l'EDP sur l’ensemble du domaine (la méthode est dite « intégrale »). On obtient ainsi les coefficients des différents termes des séries.
2.1.3
La méthode des perturbations
Cette méthode permet d'utiliser les résultats analytiques d'une structure
(ex : guide d'ondes vide) pour modéliser une structure dérivée plus complexe
(ex : guide d'ondes rempli partiellement de ferrite [40]). On considère que la variation entre les deux dispositifs est suffisamment petite pour que certaines variables électromagnétiques restent inchangées. On peut alors se concentrer sur
les variations des autres variables. Bien évidemment, la méthode est précise tant
que les variations du dispositif n'entraînent pas l'apparition de phénomènes physiques remettant en cause la répartition des champs électromagnétiques dans la
structure.
2.1.4
Les Éléments Finis
La méthode des Éléments Finis consiste à interpoler une fonction
sur des éléments qui correspondent à des sous-ensembles de l'ensemble de définition de la fonction [79].
Considérons le cas simplifié d'un espace à une dimension. Soit une fonction f(x)
dont on connaît la valeur en certains points (x1, x2, …, xN) de l'ensemble de définition. Cette fonction est approchée par une fonction fa(x) qui prend les valeurs
de la fonction f aux points (x1, x2, …, xN). fa(x) peut être recherchée comme une
fonction polynomiale :
fa(x) = α0 + α1x + α2x2 + … + αnxn
(1.21)
La valeur de la fonction fa est imposée pour l'ensemble des points (x1, x2, …,
xN). On obtient donc N équations par rapport aux paramètres (α0, α1, …, αn).
Ces paramètres sont donc calculables si l'ordre des polynômes est n=N-1.
37
La méthode des Éléments Finis consiste à restreindre l'intervalle de définition de
la fonction à des intervalles plus petits, appelés éléments, sur lesquels il est plus
facile d'appliquer la définition de la fonction d'approximation. Dans un espace à
une dimension, ces éléments sont des segments alors que dans un espace à trois
dimensions, ce sont généralement des tetraèdres.
De nombreux logiciels existent dans le commerce (Ansoft HFSS…) et permettent des calculs de structures complexes en trois dimensions notamment grâce à
un maillage adaptatif. Les fonctions utilisées sont des fonctionnelles construites
par rapport aux potentiels ou aux champs électromagnétiques. La méthode est
robuste mais nécessite des moyens informatiques importants.
2.1.5
Les Différences Finies
Pour un certain nombre de problèmes (non-linéarité, conditions aux limites dépendantes du temps, anisotropie…), les méthodes analytiques peuvent
devenir trop complexes à mettre en oeuvre. On fait alors appel à des méthodes
approchées demandant l’aide d’un système informatique pour effectuer le grand
nombre de calculs impliqué. Contrairement aux méthodes analytiques, le physicien n’a pas à évaluer a priori le comportement du dispositif à modéliser. Les
méthodes numériques calculent tous les champs électromagnétiques, l’analyse
est dite en onde complète (« full-wave »). Parmi ces méthodes, on fera la différence entre les méthodes purement numériques (Différences Finies, Différences
Finies dans le Domaine Temporel…) et les méthodes semi-analytiques (méthode
des Moments, méthode SDA…).
La méthode des Différences Finies a été développée par A. Thom [73]. Elle nécessite de discrétiser et de mailler le système physique à modéliser (chaque cellule du maillage contient alors les constantes physiques du matériau mis en jeu).
On approxime ensuite les EDP régissant ce système avec le principe des différences finies. Enfin, on résout les équations en chaque point du maillage en prenant en compte les conditions initiales ainsi que les conditions aux limites du
système.
Les points essentiels à assurer pour cette méthode sont la précision des calculs et
la stabilité de l’algorithme (un algorithme est stable lorsque une erreur survenant
à une étape donnée produit à l’étape suivante une erreur de plus petite importance). Trois types d’erreurs vont apparaître : les erreurs dans le modèle du système, les erreurs dues à la discrétisation de l’espace (on aura la possibilité de
mailler plus finement cet espace au détriment des coûts en temps de calcul et en
38
mémoire système) et les erreurs d’arrondis des nombres dans le calculateur (on
utilise au minimum des nombres codés en double précision). Il faut noter qu’un
maillage plus fin utilisé pour réduire le second type d’erreurs va augmenter le
nombre d’opérations et ainsi les erreurs du troisième type.
Un grand nombre de méthodes utilisant les différences finies sont dites méthodes variationnelles. Elles fonctionnent en minimisant une expression que l’on
sait stationnaire pour la solution réelle du problème (le plus souvent, il s’agira
d’une fonctionnelle d’énergie).
Une faiblesse majeure de la méthode des Différences Finies est la difficulté de
modéliser des configurations « ouvertes » (en espace libre). En effet, les conditions utilisées aux limites de l’espace de modélisation introduisent un facteur
d’erreur. Enfin, il faut noter que le fait d’utiliser des maillages non-uniformes
est indispensable pour modéliser certaines structures.
Un développement des différences finies a été effectué dans le domaine temporel par Yee [85], nous en reparlerons dans la suite de ce mémoire.
2.1.6
La méthode des Moments (ou méthode des résidus pondérés)
La méthode des Moments est une méthode fréquentielle permettant de
résoudre des équations intégrales complexes en les réduisant à un système linéaire d’équations. On transforme en premier lieu l’équation intégrale régissant
le problème physique en une matrice représentant des sommes de fonctions pondérées. On évalue ensuite les éléments de cette matrice. Enfin, on résout
l’équation matricielle.
Cette méthode a été popularisée dans le cadre du Génie Électrique par Harrington [27], elle est très utilisée notamment pour la modélisation des problèmes
d’antennes et de transitions entre guides. Elle reste cependant peu efficace pour
les problèmes à géométrie complexe et pour ceux faisant intervenir des matériaux inhomogènes.
2.1.7
Les méthodes temporelles
La plupart des méthodes de modélisation utilisent une approche fréquentielle. Il existe cependant des techniques développées dans le domaine tem-
39
porel. Les deux principales sont la TLM (Transmission Line Matrix) et la FDTD
(Finite Difference Time Domain).
Pour ces deux méthodes, on numérise les dérivées temporelles et spatiales et l'on
subdivise les dispositifs en cellules élémentaires (maillage). Les principaux
avantages sont la modélisation de matériaux et géométries complexes ainsi que
les calculs possibles sur des machines mises en parallèle. Les principaux inconvénients sont les temps de calcul et les ressources mémoire utilisés.
Dans le cadre de la TLM, les différents points du maillage sont reliés par des lignes de transmission virtuelles et la modélisation des matériaux est introduite
par des capacités, des inductances et des résistances. Pour la FDTD, ces matériaux sont représentés par leurs constantes physiques (permittivité, conductivité…).
Le choix entre les méthodes TLM et FDTD est délicat et dépend des configurations mises en jeu. Notons que la TLM utilise plus de mémoire que la FDTD
mais qu’elle modélise mieux les conditions aux limites (E et H sont calculés aux
mêmes points). L’approche FDTD est cependant la plus directe et la plus simple.
Nous ajouterons à ces différentes techniques, la catégorie des systèmes experts.
Ceux-ci ne constituent pas des méthodes directes de calculs des champs électromagnétiques. Ils permettent de déterminer le comportement d'un système à
partir d’une base de données des lois régissant ses différents sous-systèmes.
Enfin, il faut souligner l’utilisation des méthodes hybrides qui, pour une même
structure, vont utiliser plusieurs méthodes, chacune modélisant la zone du système (et/ou le domaine fréquentiel) où elle est la plus performante.
2.2
Présentation de la méthode FDTD
Depuis la fin des années 80, on assiste à un développement exceptionnel des méthodes de calcul numérique dites « PDE » (Partial Differential Equation). Ces méthodes permettent de résoudre les équation aux dérivées partielles
dans les domaines temporel ou fréquentiel. Les raisons de cet engouement sont
multiples :
•
robustesse des calculs pour une grande diversité de systèmes,
40
•
•
•
•
possibilité d’éviter les inversions de matrice (dans le cas contraire, les matrices
ne sont que partiellement remplies),
approche systématique pour tout type de structures,
croissance très élevée des ressources informatiques permettant à ces méthodes
d’évoluer très rapidement,
visualisation aisée de nombreux phénomènes physiques.
Parmi ces algorithmes PDE, c’est la méthode FDTD (Finite Difference Time
Domain) ou méthode des Différences Finies dans le Domaine Temporel qui possède le plus grand nombre de domaines d’applications tant au niveau des structures pouvant être modélisées qu’au niveau des domaines de fréquences explorés. Cette méthode a été proposée par Kane Yee en 1966 [85] puis plus ou moins
oubliée jusqu’en 1975. Cette année là, Allen Taflove [72], qui n'arrivait pas à résoudre un problème de pénétration de micro-ondes sur l’œil humain (de nombreuses cataractes avaient été observées sur des techniciens radar durant la Seconde Guerre Mondiale), décide d’utiliser l’algorithme de Yee. Malgré le succès
de sa modélisation et les différentes améliorations qu’il apporte à la méthode,
celle-ci retombe dans l’oubli, sans doute faute de moyens informatiques suffisants (seule la Défense américaine continue à l’utiliser). La révolution informatique est cependant en marche et, dès la fin des années 80, elle va permettre de
généraliser l’utilisation de la FDTD. Depuis lors, plusieurs centaines d’articles
paraissent chaque année sur ce sujet.
Ce succès s’explique principalement par la simplicité du principe de base de la
méthode. Il s’agit d’implémenter les équations de Maxwell et de les appliquer
sur l’ensemble de l’espace de modélisation pour tout instant de la simulation.
Or, les équations de Maxwell régissent le comportement électromagnétique de la
matière, ce qui leur permet de s’appliquer quel que soit le système envisagé.
Théoriquement, la FDTD permet donc de modéliser des structures quelconques
(évidemment, dans la pratique quelques restrictions vont intervenir). C’est cette
polyvalence qui constitue l’intérêt majeur de la méthode.
La FDTD a été appliquée à de nombreux domaines d’applications :
•
•
•
•
•
étude de la réponse du corps humain à un rayonnement électromagnétique (la
FDTD est utilisée pour le traitement des cancers par hyperthermie, le modèle
du corps est obtenu par tomographie),
simulation d’antennes (antennes microrubans, réseau d’antennes…),
étude de composants électroniques actifs et passifs,
étude de circuits électroniques subnanosecondes (des simulateurs circuits tels
que SPICE ne prennent pas en compte le transport de l’énergie électromagnétique sur les plans de masse ou dans l’air),
propagation optique subpicoseconde,
41
•
•
conception d’avions furtifs,
fonctionnement des satellites artificiels…
La FDTD permet ainsi de couvrir quatre ordres d’amplitude en fréquence (jusqu’à six avec des extensions spécifiques). Elle fournit pour de tels spectres
l’ensemble des types de réponses possibles en électromagnétisme : champs électromagnétiques, courants, tensions, densités de puissance, diagrammes
d’antennes, courants de surface, SER (Surface Equivalente Radar), coefficients
de couplage et pénétration…
Après cette liste non exhaustive, on peut se demander ce que la FDTD ne peut
pas modéliser. A l’heure actuelle, on n’envisage pas de simuler avec cette méthode le comportement de générateurs de signaux 50-60 Hz, les temps de calcul
sont beaucoup trop longs. Dans le même ordre d’idée, les structures possédant
un facteur de qualité très important sont souvent problématiques.
En ce qui concerne la précision des modélisations, on estime que la FDTD propose une précision dynamique de 30 à 50 dB. On peut néanmoins améliorer la
performance par l’emploi de conditions aux limites perfectionnées (PML [5]) ou
en discrétisant les équations à un ordre supérieur.
Ajoutons que la FDTD est tout à fait adaptée au parallélisme informatique. En
effet, chaque calcul de champ ne fait intervenir que ses plus proches voisins.
Enfin, le lecteur peut se reporter à la référence [62] présentant une étude de faisabilité d’un logiciel de modélisation électromagnétique FDTD. Celui-ci est dédié au comportement d'un capteur de niveau en milieu industriel. Nous avons réalisé cette étude, en marge de ce travail de thèse, pour le département R&D de
Krohne France en avril-mai 2000. Celle-ci illustre la capacité de la méthode
FDTD à résoudre une très large variété de problèmes.
2.2.1
Équations de Maxwell généralisées
La FDTD utilise une implémentation directe des équations de maxwell
dans un calculateur. Nous donnons donc l’expression théorique de ces équations
avant de découvrir la méthode d’implémentation.
Considérons une région de l’espace dépourvue de sources électriques ou magnétiques. En utilisant les unités du système international, les équations de Maxwell
généralisées sont données sous leurs formes intégrale et différentielle par les lois
présentées sur la page suivante [72].
42
•
Loi de Faraday
∂B
= −∇ ∧ E − J m
∂t
∂
B . dS = − ∫ E . dl − ∫∫ J m . dS
C
S
∂t ∫∫S
•
(1.24)
e
. dS
(1.25)
Loi de Gauss pour le champ électrique (en l'absence de charges électriques)
∇.D = 0
(1.26)
∫∫ D . dS
(1.27)
= 0
S
•
(1.23)
Loi d’Ampère
∂D
= ∇ ∧H−J e
∂t
∂
∫∫ D . dS = − ∫CH . dl − ∫∫S J
∂t S
•
(1.22)
Loi de Gauss pour le champ magnétique
∇.B = 0
(1.28)
∫∫ B . dS
(1.29)
S
= 0
où :
E est le vecteur champ électrique en V/m,
D le vecteur densité de flux électrique en Coulombs/m2,
H le vecteur champ magnétique en A/m,
B le vecteur densité de flux magnétique en Webers/m2,
Je le vecteur densité de courant de conduction électrique en A/m2,
Jm le vecteur équivalent à la densité de courant de conduction magnétique en
V/m2.
Selon la nature du milieu étudié, les champs électromagnétiques vont aussi respecter des relations appelées généralement « équations macroscopiques du milieu ».
43
Ainsi, dans les milieux linéaires, homogènes, isotropes et non dispersifs, on a :
B = µH
(1.30)
D = εE
(1.31)
où :
µ est la perméabilité magnétique en Henry/m,
ε est la permittivité électrique en Farad/m.
Si l’on appelle σ la conductivité électrique en Siemens/m et σm la résistivité magnétique équivalente en Ω/m, on obtient les expressions de Jm et Je en fonction
de E et H :
Jm = σm H
(1.32)
Je = σ E
(1.33)
En combinant les équations (1.21), (1.23), (1.29), (1.30), (1.31) et (1.32), on obtient des relations entre les champs E et H et les paramètres électromagnétiques
du milieu linéaire, homogène et isotrope :
∂H
∂t
∂E
∂t
2.2.2
= −
=
1
ε
1
µ
∇ ∧E−
∇ ∧H−
σm
H
µ
σ
E
ε
(1.34)
(1.35)
Principe des différences finies
L’ordinateur ne connaît pas la continuité mathématique, l’obtention
d’expressions programmables passe donc par la discrétisation des formulations
analytiques. Les dérivées partielles spatiales et temporelles des équations de
Maxwell peuvent être traitées numériquement par la technique des différences
finies. L’approximation des dérivées aux différents points de l’espace discret va
être réalisée par différenciation de valeurs de nœuds voisins du point de dérivation.
44
Pour illustrer le principe, considérons une fonction f(u) connue aux points u0∆u/2, u0 et u0+∆u/2. On évalue numériquement la dérivée de f(u) en u0 en développant f(u) en séries de Taylor aux points u0-∆u/2 et u0+∆u/2.
Figure 1.13 Évaluation d’une dérivée
On a :
f (u 0 +
f (u 0 −
∆u
2
∆u
2
) = f (u 0 ) +
) = f (u 0 ) −
∆u
2
∆u
2
2
'
∆u
'
8
2
∆u
f (u 0 ) +
f (u 0 ) +
''
3
(1.36)
''
3
(1.37)
f ( u 0 ) + ο ( ∆u )
f ( u 0 ) − ο ( ∆u )
8
La dérivée peut être obtenue de différentes manières :
•
soit par une « approximation par différence avant » (à partir de (1.36))
'
f (u 0 ) =
f (u 0 +
∆u
) − f (u 0 )
2
+ ο ( ∆u )
∆u
(1.38)
2
•
soit par une « approximation par différence arrière » (à partir de (1.37))
'
f (u 0 ) =
f (u 0 ) − f (u 0 −
∆u
∆u
2
)
+ ο ( ∆u )
(1.39)
2
•
soit par une « approximation par différence centrée » (par différence entre
(1.36) et (1.37))
45
'
f (u 0 ) =
f (u 0 +
∆u
2
) − f (u 0 −
∆u
∆u
2
)
2
+ ο ( ∆u )
(1.40)
On peut noter que les points de différenciation sont décalés par rapport aux
points de discrétisation du maillage (voir la configuration de la cellule de Yee
fig. 1.15). On constate également que le dernier schéma est le plus performant
car l’erreur commise est seulement d’ordre 2. C’est celui-ci qui a été utilisé par
Yee pour le développement de la méthode FDTD.
2.2.3
Principe de Yee
Soit un espace de modélisation (O, x, y, z), ∆x, ∆y, ∆z représentant les
pas de discrétisation dans ces trois directions et i, j et k les coordonnées du point
de l’espace de modélisation.
Figure 1.14 Notations
On utilisera la notation : u(i∆x, j∆y, k∆z, n∆t) = u i,n j, k
Si l’on applique le principe des différences centrées aux équations (1.34) et
(1.35), on obtient l’expression de chaque composante des champs E et H (voir
annexe I). Par exemple, pour la composante Ex, (1.34) conduit à :
n +1/2
E x (i , j ,k )
 σ i , j , k ∆t 


∆t
1 −




 ε i , j ,k
 Hnz ( i , j +1 / 2, k ) − Hnz (i , j −1 / 2, k ) Hny ( i , j , k +1 / 2) − Hny (i , j , k −1 / 2)
2ε i , j , k  n-1/2




E x (i , j ,k ) +
=
−
 σ i , j , k ∆t 
 σ i , j , k ∆t 
∆y
∆z
1 +

1 +



2ε i , j , k 
2ε i , j , k 






(1.41)
46
Dans ce calcul, on fait intervenir les valeurs des champs Hz et Hy aux points situés respectivement en x1=(i-1/2)∆x, x2=(i+1/2)∆x, z1=(k-1/2)∆z et
z2=(k+1/2)∆z. Ainsi, dans notre espace FDTD, le point où l’on calcule Ex doit
être situé au milieu des points où l’on calcule Hz et Hy. Yee raisonne de la même
façon pour chaque équation et propose de décomposer l’espace de modélisation
en cellules élémentaires (appelées désormais « cellules de Yee ») présentées à la
figure 1.15.
Figure 1.15 Cellule de Yee
Cette cellule respecte l’ensemble des conditions posées pour le calcul des
champs électromagnétiques. Cependant, le fait d'évaluer chaque composante des
champs électromagnétiques à des emplacements différents de l’espace de modélisation aura des conséquences pour la précision globale de la méthode et pour le
calcul de certains paramètres (vecteurs de Poynting…).
Ajoutons que pour obtenir un algorithme itératif, on calcule les champs électrique et magnétique à des instants différents : les composantes du champ magnétique sont calculées aux instants n∆t et les composantes du champ électrique sont
calculées aux instant (n+1/2)∆t.
Les constantes physiques ε, µ, σ et σm impliquées dans les équations FDTD sont
affectées préalablement aux différentes cellules pendant la phase de maillage de
l’espace de modélisation.
L'algorithme classique de la FDTD est présenté à la figure 1.16.
47
(1) Initialisation des constantes
(2) Maillage
(3)
Traitement des conditions
aux limites
Calcul des composantes de H
Calcul des composantes de E
Traitement des sources
Mise à jour des paramètres
de sortie
(4) Enregistrement des paramètres de sortie dans les fichiers
Figure 1.16 Algorithme de base de la méthode FDTD
(1) : On initialise les différentes constantes pour chaque matériau utilisé, les pas
spatiaux et temporel…
(2) : On maille la structure, c'est-à-dire qu'on affecte un matériau à chaque cellule élémentaire.
(3) : Ces opérations sont implémentées dans une boucle spatio-temporelle et
donc répétées pour chaque instant de simulation et pour chaque cellule élémentaire.
(4) : Les paramètres de sortie (évolution de champs spécifiques au cours du
temps, impédance…) sont sauvegardés.
48
2.2.4
Traitement des interfaces, conditions aux limites
Nous avons vu que le calcul des champs électromagnétiques s’effectuait
dans l’algorithme FDTD à l’intérieur d’une cellule élémentaire de volume
∆x∆y∆z. Ce raisonnement ne convient pas lorqu’il s’agit de traiter le cas des interfaces entre différents milieux. En effet, ces interfaces sont des plans, au sens
mathématique du terme, et l’on doit donc modifier l’algorithme FDTD pour approcher cette réalité.
A.
Traitement d’une interface diélectrique
La discontinuité de certaines composantes des champs électromagnétiques entre deux milieux diélectriques différents nécessite de traiter spécifiquement le plan de l'interface entre ces milieux. Ainsi, pour le calcul des composantes tangentielles du champ électrique, on utilisera la permittivité électrique
équivalente εreq. Cette notion permet d'approximer le comportement électromagnétique de la matière pour une interface de ce type [80] (la démonstration de
cette propriété est donnée en annexe II). On obtient :
ε req =
ε1 + ε 2
2
(1.42)
Où ε1 représente la permittivité du milieu 1 et ε2 la permittivité du milieu 2.
B.
Traitement des zones conductrices
Pour le cas des conducteurs parfaits, on peut forcer les composantes
tangentielles du champ électrique à une valeur nulle. Pour le cas des conducteurs
réels dont on connaît la conductivité, on affectera celle-ci aux cellules élémentaires de l’espace FDTD.
C.
Mur magnétique
Dans le cas de problèmes à symétrie planaire (microrubans, lignes coplanaires…), on peut se limiter à l'étude de la moitié de la structure. En effet, la
connaissance de la configuration électromagnétique générale de ces structures (voir fig. 1.17) nous indique que le plan de symétrie est équivalent à un mur
magnétique (champ électrique normal et champ magnétique tangentiel nuls).
49
Figure 1.17 Symétrie électromagnétique de la ligne coplanaire
On construit donc le maillage de la structure en faisant coïncider le plan de symétrie (une des limites de l’espace de modélisation) avec les composantes normales du champ électrique et les composantes tangentielles du champ magnétique. Les valeurs de ces composantes seront ensuite forcées à zéro dans
l’algorithme.
D.
Traitement des structures « ouvertes »
Un des problèmes principaux de la méthode FDTD apparaît dans les
simulations d’espace à géométrie infinie ou semi-infinie (notamment pour les
problèmes « en espace libre » mais aussi pour les terminaisons de guides
d’ondes, de lignes coplanaires...). En effet , notre espace de modélisation est fini
et limité par la quantité de mémoire (RAM) disponible sur l'ordinateur. Pour le
calcul de champs situés sur une limite de celui-ci, il est nécessaire, dans l'expression des différences finies, de connaître des champs situés au-delà de cette
limite. Il faut donc les affecter d’une valeur cohérente. Dans le cas contraire,
l'erreur générée par l'algorithme sera similaire à une onde réfléchie par la limite.
De façon extrême, si l'on affecte une valeur nulle aux champs électriques situés
sur une limite, cela revient à simuler l'équivalent d'un conducteur sur celle-ci.
On obtient alors une réflexion totale de l'onde, ce qui n'est pas l'effet souhaité.
Mur propose en 1981 [52], d’après les travaux d’Engquist et Majda [20],
d’approcher le champ à la limite d’après l’équation de propagation d’une onde :
(∂
2
x
2
2
−2
2
+ ∂ y + ∂ z − c ∂t
) W =0
(1.43)
La connaissance de la valeur de l’onde au-delà de la limite va être déduite de la
valeur de cette onde à un instant précédent et de sa valeur à un pas de discrétisation à l’intérieur de l’espace de modélisation.
50
Par exemple, si l'on considère une onde W se propageant à la vitesse c selon la
direction (Ox), alors celle-ci vérifie approximativement l’équation de propagation suivante :
∂W
∂x
−c
−1
∂W
∂t
= 0
(1.44)
La discrétisation de cette équation permet d’obtenir des conditions dites
« absorbantes » pour les plans x=0 et x=Xmax (limites de l'espace de modélisation). Nous donnons ici l’expression d’une telle condition au premier ordre pour
la composante tangentielle du champ électrique en x=Xmax (=Imax × ∆x) :
n+1
n
Etan( Imax, j ,k ) = Etan( Imax−1, j ,k ) +
c∆t − ∆x
c∆t + ∆x
n+1
n
[Etan( I max−1, j ,k ) − Etan( Imax, j ,k ) ]
(1.45)
Les conditions obtenues permettent effectivement d’éviter toute réflexion mais
uniquement pour une onde incidente normale au plan limite.
D’autres auteurs [9, 92] et notamment J.P Bérenger [5] ont proposé des solutions
alternatives supérieures en efficacité mais beaucoup plus lourdes à mettre en
place dans le code de calcul. Nous nous sommes donc contenté des conditions de
Mur de premier ordre pour le développement de notre algorithme, ces conditions
se sont avérées satisfaisantes pour la grande majorité des problèmes que nous
avons traités.
2.2.5
Choix d’une source électromagnétique
Pour que l'algorithme fonctionne, il est nécessaire d'exciter
électromagnétiquement la structure à étudier. Le choix de la source
électromagnétique va dépendre de la forme de cette structure et de la bande de
fréquences ciblée.
A.
Forme temporelle
Pour balayer un large spectre de fréquences avec une seule simulation,
on utilisera un signal de type gaussien dont l’équivalent fréquentiel est une
« demi-gaussienne » dont la valeur est maximale pour la fréquence nulle. Les
caractéristiques fréquentielles et l’absence de variation abrupte d’un tel signal
sont parfaitement adaptées à la méthode FDTD.
51
Une source gaussienne sera définie de la façon suivante :
− ( n∆t − T 0 )
S (n) = e
T
2
2
(1.46)
où :
n est le nombre d'itérations,
∆t est le pas temporel,
T est proportionnelle à la largeur à mi-hauteur de la gaussienne,
T0 désigne le retard par rapport à l’instant t=0.
T et la fréquence maximale de la bande étudiée fmax sont reliées par :
T ≈
1
2 f max
(1.47)
Cette relation pose un problème pour l'étude de bandes de fréquences restreintes.
En effet, dans ce cas, fmax étant faible, T sera très importante devant ∆t et le
nombre d'étapes de calcul nécessaire à la modélisation augmentera en conséquence.
Paradoxalement, les modélisations de bandes fréquentielles étroites sont donc
difficiles à réaliser en FDTD.
Figure 1.18 Forme temporelle d'une source gaussienne
52
Figure 1.19 Spectre fréquentiel d'une source gaussienne
La source décrite ci-dessus permet une modélisation du continu jusqu'à une fréquence maximale. Il peut s'avérer nécessaire de modéliser une bande de fréquences n'incluant pas le continu (Guides d’ondes en bande X…). Pour ce faire, il
suffit de multiplier la gaussienne par une sinusoïde dont la fréquence va correspondre à la fréquence centrale de la bande spectrale à étudier.
− ( n∆t − T 0 )
S (n) = e
T
2
2
× sin( 2πf 0 n∆t )
(1.48)
où :
f0 représente la fréquence centrale de la bande étudiée.
La largeur de la bande de fréquence étudiée est environ égale à 1/T.
Figure 1.20 Forme temporelle d'une source sinusoïdale modulée par une gaussienne
53
Figure 1.21 Spectre fréquentiel d'une source sinusoïdale modulée par une gaussienne
B.
Forme spatiale de l'excitation
Dans la plupart des problèmes, notamment ceux de propagation guidée,
on se contente d’exciter le mode de propagation fondamental de la structure. On
place la source sur la composante adéquate du champ électrique pour une zone
donnée (voir fig. 1.22).
Ligne coplanaire
Guide d’ondes
Figure 1.22 Formes spatiales des sources électromagnétiques
Dans les zones spatiales indiquées sur la figure 1.22, on force donc la composante du champ électrique concernée à suivre l’évolution temporelle d’une
source gaussienne. L’évolution des autres composantes électromagnétiques est
laissée libre sur ces plans. Notons, en dernier lieu, que lorsque l’amplitude de la
gaussienne tend vers une valeur nulle, la source se comporte comme un courtcircuit et réfléchit entièrement toute onde l’atteignant. On peut résoudre ce problème en remplaçant la source par des conditions aux limites absorbantes après
la durée nécessaire à l'excitation.
54
2.2.6
Problèmes numériques
A.
Pas temporel maximal
Le premier problème à régler pour éviter l’instabilité numérique est le
fait qu’en une itération temporelle, un point quelconque d’une onde ne doit pas
pouvoir traverser plus d’une cellule FDTD. En effet, l’algorithme ne peut propager l’onde que d’un nœud vers un nœud adjacent. Le pas d’échantillonnage temporel devra donc être choisi suffisamment petit pour éviter cette erreur. Le critère suivant a été démontré (critère de stabilité de Courant-FriedrichsLewy) [72] :
1
∆t ≤
1
c
∆x
2
+
1
∆y
2
+
(1.49)
1
∆z
2
où :
∆x, ∆y, ∆z représentent les pas de discrétisation de l’espace de modélisation,
c la vitesse de propagation d’une onde plane dans le milieu,
∆t le pas d’échantillonnage temporel.
Cette condition de stabilité implique, si les pas de discrétisation dans les trois
directions spatiales sont égaux à ∆, l’inégalité suivante :
∆t ≤
∆
c 3
.
(1.50)
Dans l'ensemble des simulations proposées dans ce mémoire, nous avons utilisé
un pas temporel tel que :
∆t =
∆ min
2c 0
(1.51)
où :
∆min est le pas spatial minimal utilisé dans l'espace de modélisation,
c0 est la vitesse de la lumière dans le vide.
55
Dans la pratique, nous verrons que le respect du critère de stabilité implique un
« sur-échantillonnage » temporel bien supérieur aux besoins réels de
l’utilisateur, notamment dans le cadre de la conversion temps-fréquence.
B.
Dispersion numérique
La relation de dispersion analytique pour une onde plane dans un milieu continu
sans pertes, est la suivante :
ω
2
c
2
2
2
2
= kx + ky + kz
(1.52)
où :
ω (rad/s) est la pulsation du signal,
k (m-1) est le vecteur d’onde,
c (m/s) est la vitesse de la lumière dans le milieu.
Dans ce même milieu modélisé par FDTD, la relation de dispersion numérique
[72] est :
 1
 ω∆t  


sin 
 2 
 c∆t


2
 1
 k~ ∆x  
x


=
sin 
 ∆x
 2  

 

2
 1
 k~ ∆y  
 y


+
sin 
 ∆y
 2  


 
2
1
 k~ ∆z  
z


+
sin 
 ∆z
 2  

 

2
(1.53)
où :
~
k (m-1) est le vecteur d’onde numérique,
∆x, ∆y, ∆z (m) et ∆t (s) sont les pas de discrétisation spatiaux et temporel.
On remarque que les deux relations sont identiques pour ∆x, ∆y, ∆z et ∆t tendant
vers zéro. On peut donc réduire au degré désiré la différence entre les relations
de dispersion numérique et « physique » en jouant sur les pas de discrétisation
mais au détriment des temps de calculs et des ressources mémoire.
La relation de dispersion numérique est une des principales limitations des algorithmes FDTD. La vitesse de phase des différents modes d'ondes dans la grille
FDTD peut différer de la vitesse de phase « physique » selon la fréquence ou la
direction de ces modes. Ce problème sera particulièrement important pour les
maillages possédant un grand nombre de cellules ou pour les maillages nonuniformes.
56
Le rapport λ/∆ fixe l’ordre de grandeur de l’erreur sur les vitesses. Les erreurs
sur les vitesses de groupe (vg=dω/dk) et de phase (vϕ=ω/k) seront ainsi fonctions
de la fréquence de l'onde. La vitesse de phase numérique diminue d’autant plus
que la longueur de l’onde qui se propage est résolue grossièrement. Un code
FDTD constitue ainsi l'équivalent d'un filtre passe-bas. On estime que la discrétisation d'une onde est assurée correctement si ∆<λ/15 (λ est la période de l'onde
guidée dans le matériau).
Certains auteurs ont étudié précisément l’influence de différents paramètres sur
la dispersion numérique [17] et notamment l’influence de la direction de propagation sur les vitesses de groupe et de phase. Ainsi, la vitesse de phase numérique atteint un maximum pour un angle d’incidence de l’onde de 45° (par rapport
à l’axe des abscisses d’un domaine de calcul bidimensionnel) et un minimum en
0° et 90°. Ce résultat est tout à fait compréhensible puisque l'onde se propageant
avec un angle d'incidence de 45° parcourt pendant un pas temporel l'équivalent
de la diagonale de la cellule de Yee. Les ondes se propageant à 0° et 90° parcourent pendant le même temps l'équivalent d'un côté de la cellule de Yee.
2.2.7
Autres repères géométriques
Selon les symétries mises en jeu, la FDTD peut s'appliquer dans différents repères. De nombreuses formes de la méthode ont ainsi été développées.
Nous présentons dans cette partie les repères utilisés dans ce mémoire.
A.
Repère cartésien 1D
Pour des cas spécifiques, on peut ramener l’étude d’un espace 3D à une
simulation en une dimension. Prenons l’exemple d’une onde plane se propageant
en espace libre et rencontrant un milieu différent. Nous sommes alors dans le cas
de la figure 1.23.
Figure 1.23 Simulation d'une interface air-ferrite en une dimension
57
L’onde se propage de manière similaire quelle que soit la direction, on peut donc
limiter l’étude à une seule direction. On se ramène à un repère (O, x) et l’on
considère uniquement les dérivées selon cette direction dans les équations de
Maxwell. Nous verrons dans la seconde partie du mémoire (voir Simulation
d'une interface air-ferrite) que l’on réalise ainsi seulement une étude partielle de
la propagation mais que celle-ci est suffisante pour l’application visée.
B.
Repère cartésien 3D cylindrique et simplification 2D
Dans le cas de structures symétriques par rapport à un axe, les repères
cartésiens sont inadaptés. Des auteurs ont donc développé l’algorithme FDTD
dans un repère cylindrique [39] (les repères sphériques ont aussi été utilisés mais
n’entrent pas dans le cadre de notre étude). La dépendance azimutale (φ) des
champs peut être exprimée en séries de Fourier, l’ordinateur calculant ensuite
les solutions pour chaque mode. Lors de la mise aux point de nos algorithmes
FDTD, nous avons utilisé une simplification que nous nommerons « 2D cylindrique » (et non polaire puisque l'on conserve le calcul suivant l’axe (Oz)). Cette
approche a été utilisée spécifiquement pour répondre aux besoins de l'étude
donnée dans [62].
Figure 1.24 Exemple de dispositif à symétrie axiale
La figure 1.24 représente la structure étudiée. Il s'agit d'un câble métallique entouré d'une fixation et plongé dans une cuve métallique. L'ensemble s'apparente
à un système coaxial de grande dimension. Il est utilisé pour la mesure par réflectométrie hyperfréquence du niveau de remplissage d'une cuve.
Ce dispositif est excité par une source à symétrie axiale (excitation en tension
entre le câble et la fixation). Le signal source est choisi de manière à ce que seul
un mode TEM puisse se propager. Le champ électromagnétique est donc indépendant de la coordonnée azimutale φ (le problème est identique à un problème
de modélisation d’antenne [46]). Les équations de Maxwell peuvent donc être
exprimées par deux ensembles indépendants comprenant, d’une part, Eφ, Hr, Hz
(mode TE) et, d’autre part, Er, Ez et Hφ. (mode TM).
58
L’excitation portant uniquement sur Er, on excite seulement des modes TM. On
peut donc utiliser un maillage 2D et calculer uniquement les composantes Er, Ez
et Hφ pour chaque itération. On obtient finalement le système d’équations simplifié suivant :
∂E r
−
∂z
∂H φ
∂E z
= ε0
∂z
(
1 ∂ rH φ
r
∂r
∂r
= −µ0
∂H φ
∂t
∂E r
(1.55)
∂t
)=ε
∂E z
0
(1.54)
∂t
(1.56)
On peut ensuite appliquer le principe des différences finies et obtenir un algorithme capable de résoudre le problème posé en économisant ressources mémoire et temps de calcul. Les expressions que l'on pourra implémenter sont données en annexe I. Cet algorithme peut être utilisé pour de nombreuses structures
cylindriques.
C.
Repère cartésien 2D
Nous n'utiliserons pas directement ce repère dans nos modélisations (il
est inadapté à la simulation de lignes coplanaires). Cependant, il est souvent cité
(simulation 2D dite « classique ») dans les différents états de l'art que nous
proposons, il nous paraît donc judicieux de le présenter.
Lorsqu’une structure ne présente pas de variation suivant une direction, on peut,
en première approximation, se ramener à une modélisation en deux dimensions.
Un exemple typique est l’étude de certains guides d’ondes rectangulaires.
Figure 1.25 Guide d’ondes rectangulaire WR90 vide
59
La modélisation peut être largement simplifiée si l'on considère que seuls les
champs du mode TE10 participent à la propagation (pour un guide WR90, cela
correspond à la bande de fréquences 8,2-12,4 GHz). On peut alors considérer
que l'on n'a pas de variation des champs électromagnétiques suivant la hauteur
du guide. Ainsi, on se ramène à une simulation 2D (plan (x, y)) et l'on gagne un
facteur important en temps de calcul et en mémoire RAM. Pour le mode TE10,
seuls les champs Ez, Hx et Hy participent à la propagation, les autres composantes sont nulles.
Seules les équations suivantes sont donc nécessaires à l’algorithme de modélisation :
n+1/2
Ez (i, j )
 σi, j ∆t 
 ∆t 
1 −



 2εi, j  n-1/2
 εi, j  Hny (i+1/ 2, j ) − Hny (i−1/ 2, j ) Hnx (i, j+1/ 2) − Hnx (i, j−1/ 2) 
=
Ez (i, j,k) + 

−

∆x
∆y
 σi, j ∆t 
 σi, j ∆t 


+
+
1
1




2
ε
2
ε
i
j
i
j
,
,




(1.57)
n +1/2
Hx ( i , j )
 σi*, j ∆t 


∆t
1 −



n
n

2µi , j  n -1/2  µi , j  Ez ( i , j +1 / 2) − Ez ( i , j −1 / 2) 



=
−
H
x (i , j )
*
*

∆y
 σi , j ∆t 
 σi , j ∆t 

 1 +

 1 +

µ
µ
2
2
,
,
i
j
i
j




(1.58)
n +1/2
Hy ( i , j )
*




∆t
 1 − σ i , j ∆t 


n
n



µi , j  Ez ( i +1 / 2 , j ) − Ez ( i −1 / 2 , j )
2µi , j
n -1/2




=
Hy ( i , j ) +
*
*
∆x


σ i , j ∆t 
σ i , j ∆t 
 1 +

 1 +

2µi , j 
2µi , j 






(1.59)
Il faut noter que bien que l’on utilise un repère 2D (O, x, y), on conserve le
calcul de la composante du champ électrique suivant (Oz). L’espace de
modélisation reste lui virtuellement en trois dimensions et l’on simplifie son
étude par l’utilisation d’un maillage bidimensionnel.
D.
Repère 2D ½
Pour certaines structures, on peut se ramener à une étude en deux
dimensions tout en conservant le calcul des six composantes des champs électromagnétiques [1, 84]. Nous avons montré dans le paragraphe précédent que
l’on pouvait utiliser un maillage 2D pour un guide d’ondes rectangulaire en
considérant que seul le mode TE10 se propageait. On perd alors l'information sur
60
les autres modes. Dans une modélisation 2D ½, nous simulerons l’ensemble des
modes mais pour une constante de propagation β fixée.
Dans cet algorithme, on considère que la structure ne varie pas suivant la direction de propagation, on ne la maille donc pas. On remplace la dérivée partielle
suivant cette direction dans les équations de Maxwell par son expression analytique jβ. On balaie ensuite le spectre de fréquences en choisissant différentes valeurs pour β, chaque β excitant plusieurs modes à des fréquences différentes.
La limite principale de cette méthode réside dans le fait que l’on ne prend pas en
compte le facteur de pertes dans la constante de propagation (on ne le connaît
pas !). On considère donc que ces pertes sont négligeables par rapport à β. Ainsi,
on ne pourra pas modéliser des structures faisant intervenir des matériaux à pertes importantes avec cette méthode. Ce qui inclut malheureusement les dispositifs non-réciproques à la fréquence de gyrorésonance.
61
Conclusion
Cette partie nous a permis de situer les bases théoriques de ce travail de
thèse. Les notions physiques impliquées dans l'isolateur à résonance ont été introduites. Nous avons ensuite expliqué les spécificités de la configuration de
Wen. La technologie planaire utilisée et la faible quantité de matériau magnétique nécessaire pour générer l'effet non réciproque sont des atouts importants en
vue d'une intégration. Nous avons aussi montré pourquoi il était nécessaire de
modéliser ces dispositifs. Cette phase du développement d'un composant est devenue indispensable quelle que soit l'ingénierie concernée.
Le second chapitre a permis d'examiner les raisons du choix de la méthode des
Différences Finies dans le Domaine Temporel puis d'expliquer son fonctionnement. Nous nous sommes délibérément limités aux principes fondamentaux. Des
points plus spécifiques de cette méthode seront donnés dans la suite en fonction
des structures simulées.
Dans cette présentation, nous avons montré les principaux avantages de la modélisation FDTD. Il s'agit notamment de l'indépendance vis-à-vis de la géométrie
des systèmes simulés : la méthode est développée pour des géométries quelconques. Cette qualité est primordiale pour le cadre de notre recherche. En effet,
le développement de l'isolateur coplanaire à résonance n'est qu'une première
étape dans l'intégration de composants passifs. D'autres dispositifs tels que les
circulateurs ou les déphaseurs pourront être intégrés avec la même technologie.
Notre outil de modélisation ne doit donc pas être lié à une géométrie donnée et
permettra ainsi de faciliter le développement de ces composants.
62
Développement et validations du code FDTD
Partie 2 Développement et
validations du code FDTD
63
Introduction
Dans cette partie, nous détaillons les différentes validations effectuées
sur l'outil de modélisation que nous avons développé spécifiquement pour les
composants passifs à effet non réciproque. Dans un premier temps, nous nous attachons à modéliser des structures simples (guides d'ondes rectangulaires) pour
évaluer le niveau de précision obtenu et cerner les paramètres importants des
simulations FDTD. Nous appliquons ensuite notre code de calcul aux lignes coplanaires. Ce type de structure est en effet utilisé dans la configuration de Wen.
Il nous semble donc naturel de tester notre algorithme sur ces lignes, sans inclusion de matériau magnétique dans un premier temps.
Après ces modélisations de structures relativement simples, il est nécessaire
d'adapter notre algorithme à la modélisation des matériaux magnétiques dispersifs (notamment les ferrites). Nous montrons les modifications effectuées sur le
code de calcul et les résultats obtenus. Les simulations sont d'abord entreprises
en une dimension afin de diminuer le nombre de paramètres à contrôler ainsi que
les temps de calculs. Nous passons ensuite à des modélisations en trois dimensions sur des isolateurs à résonance en guides d'ondes rectangulaires. Ceux-ci
ont un comportement connu et nous permettent de mettre en évidence une propagation non-réciproque par FDTD.
Enfin, pour numériser correctement et rapidement les différentes structures
abordées dans la partie suivante, nous avons développé un mailleur dont nous
présentons succinctement l'architecture et le fonctionnement.
64
1
Modélisation de guides d'ondes
rectangulaires
1.1
Introduction
Dans ce chapitre, nous modélisons des guides d'ondes rectangulaires vides puis remplis partiellement de diélectrique. Ces validations n'ont pas pour but
d'obtenir les résultats les plus précis possibles (la modélisation de guides d'ondes n'est pas l'objectif de ce travail). Nous voulons surtout mettre en évidence
les facteurs importants influençant la précision de la modélisation. Nous pourrons ensuite étudier les dispositifs non réciproques en choisissant le degré de
précision voulu et en utilisant les paramètres de modélisation correspondants.
Nous avons choisi de simuler des guides d'ondes rectangulaires pour plusieurs
raisons.
•
•
•
•
Ces structures ont été largement étudiées analytiquement. Les résultats acquis
constitueront des références efficaces pour comparer nos modélisations.
Ces structures possèdent des comportements fréquentiels typiques (fréquence
de coupure basse pour chaque mode, transmission totale au-dessus de cette
fréquence) que l'on pourra facilement vérifier dans nos simulations.
De nombreux dispositifs non-réciproques utilisent ces structures. Avant d'étudier ceux-ci, il est nécessaire de bien connaître le comportement en simulation
de guides simples.
Ce sont des structures fermées. Les conditions aux limites ne sont donc impliquées que pour les plans transversaux au début et à la fin du guide, les temps
de calcul seront donc réduits et les simulations plus fiables.
Pour chaque structure, nous utiliserons deux types de modélisation et comparerons les performances obtenues. La première modélisation sera en trois dimensions et sans simplifications (analyse « full-wave »). La seconde modélisation
est dite « 2D ½ », la dérivée partielle suivant la direction de propagation est
remplacée par son expression analytique jβ (les pertes sont donc négligées), le
maillage est bidimensionnel (section transverse du guide).
65
1.2
État de l'art
En 1990, Chu [13] associe la FDTD à la méthode des moindres carrés
afin d'extraire les amplitudes des différents modes propagés dans un guide d'ondes. Il expérimente la méthode sur différentes structures (guide et jonction diélectrique, séparateur de signaux) et obtient des résultats significatifs pour les paramètres de transmission et la distribution en énergie des différents signaux.
En 1992, Xiao [84] introduit la modélisation FDTD dite « 2D ½ » qui permet de
n'utiliser qu'un maillage bidimensionnel tout en modélisant l'onde complète. Il
remplace pour cela la dérivée partielle selon la direction de propagation par jβ.
Les modélisations classiques en deux dimensions ne modélisaient, elles, que des
modes TE ou des modes TM. La méthode est cependant réservée aux structures
sans pertes (on néglige le terme réel dans l'expression analytique du coefficient
de propagation). En outre, les simulations sont effectuées dans le domaine complexe. Xiao expérimente cette méthode pour un guide rempli partiellement par
deux diélectriques et montre qu'elle est beaucoup plus rapide pour ce type de
structures que la méthode TLM et la méthode des Moments.
En 1997, Fujii [21] reprend cette approche et l'associe à une méthode autorégressive. Il travaille pour une ligne de transmission de longueur donnée dont les
extrémités sont des murs électriques (résonateur). Les champs sont exprimés
dans le domaine réel. Les paramètres obtenus sur le résonateur par la méthode
autorégressive permettent de déduire les pertes et la dispersion en fréquence de
la ligne de transmission correspondante. Il applique cet algorithme à des guides
d'ondes, lignes microruban et lignes coplanaires.
Cette même année, Chen [12] utilise la méthode développée par Xiao et l'adapte
à un guide d'ondes à symétrie axiale en ne maillant qu'une seule dimension grâce
au concept de résonance transverse. Il obtient les caractéristiques de propagation
de ce guide avec des erreurs relatives inférieures à 0,5 % par rapport aux valeurs
analytiques.
En 2000, Hernandez-Lopez [29] associe la FDTD à une méthode aux moindres
carrés non linéaire afin d'utiliser la théorie des développements modaux. Les
fréquences de coupure et les distributions de champs de guides homogènes et inhomogènes sont obtenues. Elles sont en accord avec les résultats analytiques
(simulations en deux dimensions et trois dimensions). Cependant, certains modes complexes sont masqués dans les résultats numériques et il paraît très difficile de les mettre en évidence avec cette méthode.
66
Dou [19], en 2000, met en évidence un problème dans l'implémentation FDTD
pour les simulations de guides d'ondes rectangulaires. Il montre que la puissance
du spectre continu est décalée vers la fréquence de coupure du mode H10. Cette
transformation est expliquée grâce à la configuration des champs à cette fréquence. Dans la pratique, il faut donc éviter d'exciter le niveau continu pour ce
type de structures.
Enfin, Navarro [54], toujours en 2000, démontre que les modes évanescents d'un
guide d'ondes s'atténuent moins rapidement lors d'une simulation FDTD que
dans le cas analytique. Il propose une nouvelle relation de dispersion numérique
pour améliorer la précision des modélisations FDTD.
L'ensemble de ces références montre que la simulation FDTD de guides d'ondes
rectangulaires, qui a priori semblait simple, engendre des phénomènes complexes. Ce type de modélisations peut donc constituer un test probant pour notre
code. En outre, on peut noter que la complexité est moindre pour des simulations
en 2D ½ et que de nombreux auteurs développent cette méthode. Cependant,
bien que cela n'apparaisse pas dans la plupart des articles, le passage de la simulation 2D ½ à la simulation 3D n'est pas direct et fait apparaître de nouveaux
phénomènes numériques. Il s'agira donc dans nos validations de bien montrer les
différences entre ces deux types de modélisation et d'examiner pour chaque cas
la précision obtenue.
1.3
Modélisation de guides d'ondes rectangulaires vides
Nous étudions dans cette partie des guides WR90 vides (fig. 2.1). Ceuxci transmettent des signaux en bande X (8,2-12,4 GHz).
Figure 2.1 Guide d’ondes WR90 vide
67
1.3.1
Paramètres de modélisation
La source est placée sur le plan du début du guide en x=0. On impose
sur ce plan et pour la composante verticale du champ électrique Ez une forme sinusoïdale modulée par une gaussienne permettant d'exciter le domaine de fréquences 5-15 GHz. La première modélisation mise à part, la cartographie du
mode TE10 sera appliquée pour cette composante afin de réduire la durée du régime transitoire (et donc les temps de calcul).
1.3.2
Étude de la forme spatiale du champ électrique
Dans ce paragraphe, nous allons examiner la forme du champ électrique
vertical Ez obtenu par FDTD et vérifier qu'elle correspond à la forme analytique.
Pour cette modélisation, la cartographie du mode TE10 n'est pas appliquée à la
source. On peut ainsi examiner la mise en place du régime permanent.
A.
Rappel : formes théoriques des champs électriques dans un
guide d'ondes rectangulaire
Pour une onde TE, les champs Ez et Ey à l'intérieur d'un guide sont donnés par les formules suivantes :
E z ( x, y ) = − H 0
E y ( x, y ) = H 0
jωµ 0 mπ
a
2
kc
jωµ 0 nπ
k
b
2
c
sin
cos
mπy
a
mπy
a
cos
sin
nπ z
b
(2.1)
nπx
b
(2.2)
où :
H0 est une constante arbitraire dépendant des conditions de normalisation,
ω représente la pulsation de l'onde en rad.s-1,
m et n caractérisent le mode envisagé : TEmn ou TMmn,
kc est défini tel que :
k
2
c
 mπ
= 
 a





2
 nπ
+
 b





2
(2.3)
68
Pour le mode TE10, on obtient donc :
E y ( x, y ) = 0
(2.4)
E z ( x, y ) = − H 0
B.
jωµ 0 mπ
a
2
kc
sin
πy
a
(2.5)
Rappel : fréquence de coupure d'un guide d'ondes
La fréquence de coupure d'un mode TEmn ou TMmn est donnée par :
2
fc
 n 
 m 

 +
= c 
 2b 
 2a 




2
(2.6)
où :
c représente la vitesse de la lumière dans le milieu du guide,
a et b sont les longueurs des côtés du guide.
Pour le mode TE10, on obtient fc=6,56 GHz. Au-dessous de cette fréquence, aucun mode ne doit se propager. Si l'on se place à une fréquence de 10 GHz pour
le guide présenté à la figure 2.1, seul ce mode se propagera. En effet, les fréquences de coupure des autres modes sont supérieures à 10 GHz. On doit donc
obtenir, pour l'amplitude de la composante verticale du champ électrique, une
forme demi-sinusoïdale suivant y (voir l'équation (2.5)).
B.
Résultats de simulation
Pour les deux types de modélisations, nous obtenons la configuration
représentée à la figure 2.2. Le résultat est tout à fait cohérent.
69
Figure 2.2 Forme du champ électrique vertical sur un plan transverse obtenu par FDTD
1.3.3
Étude du paramètre de transmission S21
La fréquence de coupure du mode TE10 étant fc=6,56 GHz. Au-dessous de cette
fréquence, aucun mode ne doit se propager. Le paramètre S21 doit donc représenter un filtre passe-haut.
B.
Calcul du paramètre de transmission S21
Le paramètre S21 est calculé de la manière suivante :
 ∑ E z ( x = x2 )
S 21 = 20 × log 10 

E ( x = x1 )
∑ z




(2.7)
Les sommes sont effectuées sur l'ensemble des points de maillage du plan x=xi.
On calcule ainsi le paramètre de transmission pour le champ électrique (en tension pour un modèle tension-courant).
Les paramètres de transmission en champ électrique sont calculés entre
x1=12,5 mm et x2=25 mm quel que soit le pas de maillage. Le pas spatial Delta
est le même dans les trois directions.
70
Figure 2.3 Paramètres S21 pour différents maillages uniformes
Le paramètre obtenu est tout à fait conforme aux paramètres S21 mesurés expérimentalement pour ce type de structures.
Nous ne calculerons pas le paramètre de transmission S21 avec la méthode 2D ½
puisque pour celle-ci, on considère par définition que l'on n'a pas de pertes.
1.3.4
Étude de la dispersion en fréquence
Nous allons étudier la dispersion en fréquence de la constante de phase
β. Les paramètres de modélisation sont les mêmes que pour les validations précédentes.
A.
Méthode employée
Pour la modélisation 3D, nous utiliserons la propriété suivante :
Soit γ = α + jβ la constante de propagation du signal et TF[] l'opérateur
transformée de Fourier, on a par définition :
[
]
[
]
TF E ( x 2 ) = TF E ( x1 ) e
− γ ( x 2 − x1 )
(2.8)
71
il vient :
TF  E ( x 2 ) 


γ =
ln
x1 − x 2
TF  E ( x 1 ) 


(2.9)


TF  E ( x 2 )  

1

 
β = Im 
ln
 x1 − x 2

TF  E ( x 1 )  






(2.10)
1
puis
On retrouve ainsi la constante de phase β pour l'ensemble du spectre fréquentiel
simulé.
Pour la modélisation 2D ½, nous affectons une valeur donnée à cette constante
et analysons la fréquence du mode TE10 correspondant (la méthode utilisée est
exposée plus en détails dans 1.4). On obtient ainsi la courbe f(β) et donc β(f).
Nous avons regroupé les résultats de modélisation pour un pas spatial de
0,25 mm dans la figure 2.4.
Figure 2.4 Dispersion en fréquence dans un guide vide
Les deux types de modélisation donnent des résultats très précis. La modélisation 2D ½ fonctionne mieux car l'une des dérivées partielles (celle suivant la direction de propagation) est donnée analytiquement et n'engendre donc pas d'imprécision.
72
B.
Étude de la précision en fonction du pas spatial
Nous montrons dans l'étude suivante qu'en diminuant le pas de maillage, on
améliore encore cette précision. Pour la modélisation 2D ½ et pour un nombre
d'étapes de simulation constant (T=2500∆t), on obtient les résultats présentés sur
la figure 2.5 (pour un guide vide, le nombre d'étapes de simulation n'affecte pas
nos résultats. Pour d'autres modélisations, on augmentera le nombre d'étapes de
calcul. On modélisera alors le même nombre de périodes du signal quels que
soient la fréquence et le pas spatial).
On remarque que l'amélioration de la précision en fonction du pas spatial n'est
pas linéaire. Des phénomènes numériques ne dépendant pas du pas spatial entrent en jeu. Certains sont connus : l'erreur de précision dans le codage des réels
d'un ordinateur peut s'accumuler et est d'autant plus importante que le nombre de
calculs est important. Elle augmente donc de façon inversement proportionnelle
au pas de maillage. D'autres phénomènes appartiennent au « brouillard numérique » de la modélisation. Étant donné le nombre de variables mises en jeu, des
phénomènes multiples peuvent intervenir lors d'une simulation (disparition de
certains modes, apparition de modes évanescents…).
Figure 2.5 Étude de la précision obtenue en fonction du pas spatial pour la
modélisation 2D ½
On note cependant que l'on peut obtenir une très bonne précision en jouant sur le
pas de maillage. Le problème réside alors dans les coûts en temps de calcul et
dans les ressources mémoire utilisées.
Pour la modélisation 3D, on obtient les résultats donnés à la figure 2.6.
73
modélisation 2D ½
Comme pour la modélisation en 2D ½, on note une amélioration de la précision
en fonction du maillage. Par contre, celle-ci n'est vérifiée qu'au-dessus de
9 GHz. Pour des fréquences plus basses, le pas de maillage de 0,25 mm donne
des résultats moins précis que celui de 0,5 mm. Les facteurs d'imprécision autres
que le maillage deviennent donc plus importants lorsque l'on se rapproche de la
fréquence de coupure basse. En effet, près de cette fréquence, la quantité de signal propagé est très faible, le bruit numérique prend donc beaucoup plus d'importance pour ces fréquences. Au contraire, lorsque la longueur d'onde guidée
diminue, une bonne discrétisation de cette quantité devient très importante et
une amélioration de la précision peut être obtenue grâce au maillage employé.
1.4
Modélisation de guides d'ondes rectangulaires
inhomogènes
1.4.1
Introduction
Dans cette partie, nous poursuivons par l'étude de guides d'ondes rectangulaires remplis partiellement par des diélectriques. Leur configuration est
présentée sur la figure 2.7.
74
Figure 2.7 Guide rempli partiellement de diélectrique
Nous abordons ainsi des structures géométriques semblables aux premiers dispositifs non réciproques que nous étudierons dans le chapitre suivant. Le matériau
diélectrique sera alors remplacé par un matériau ferrite polarisé.
Ces structures ont été étudiées analytiquement au laboratoire DIOM avec la méthode donnée par F. Gardiol dans [24]. Nous comparerons nos résultats avec
cette solution analytique.
1.4.2
Méthode employée
La méthode de Gardiol permet, pour une fréquence donnée, de déterminer les constantes de propagation des différents modes dans le guide. Dans le
cadre de notre modélisation 2D ½, nous effectuerons l'opération inverse. C'est-àdire que pour une constante de propagation donnée, nous analyserons les fréquences propagées. Les résultats présentés sont obtenus pour le mode TE10.
Dans un premier temps, nous allons examiner précisément le cas β=484,3 m-1
(correspondant à f=10 GHz pour le mode TE10), ceci nous permettra d'exposer
notre méthode. Pour f=10 GHz, la méthode de Gardiol permet d'obtenir le tableau des constantes de phase en fonction du mode impliqué :
LSE11 LSE21
LSE31
TE10
TE20
TE30
LSE12
LSE22
LSE32
LSE14
372,8
-237,6
484,3
-38,4
-342,1
-384,6
-576,1
-585,9
-1138,1 -1216,3 -1468,2
-212,4
LSE24
LSE15
Tableau 2.1 Résultats de la méthode Gardiol pour f=10GHz
Des résultats identiques sont obtenus pour chaque fréquence. Nous affectons
donc à notre modélisation 2D ½ la constante de propagation β=484,3 m-1. La
durée de la modélisation est T=20000∆t (pour l'analyse du mode TE10 seul, nous
75
utiliserons T=2500∆t. Cette durée ne réduit pas la précision des résultats). Si
l'on visualise la variation de la somme des parties imaginaires de Ez (élevées au
carré) au cours du temps, on obtient la figure 2.8. La somme des champs électriques est calculée sur la section transversale du maillage du guide. On élève au
carré chaque valeur pour ne pas éliminer les modes impairs.
Figure 2.8 Amplitude normalisée de (Im(Ez))2
Pour obtenir une transformée de Fourier correcte (lissée : sans oscillations de
Gibbs), nous allons utiliser une fenêtre de pondération. La fenêtre de Blackman
est particulièrement adaptée au problème [74]. En effet, elle possède des lobes
extrêmes de très faible niveau (-92 dB) et un lobe principal possédant une pente
très douce. Elle garantit ainsi une faible corruption du signal convolué. Nous
multiplions donc notre signal par la fonction (2.11) (issue de Matlab 6.0, voir
gencoswin.m)


t 
t 
f ( t ) = 0.42 − 0.5 × cos  2π  + 0.08 × cos  4π 


T 
T 


(2.11)
La transformée de Fourier de ce signal est représentée sur la figure 2.9.
76
Figure 2.9 Spectre fréquentiel du signal (Im(Ez))2
La fréquence du pic de plus grande amplitude est la fréquence de l'onde du mode
TE10 propagée pour la constante de phase β donnée. La même démarche est appliquée pour chaque constante de propagation et l'on peut reconstituer ainsi la
courbe de dispersion en fréquence β(f).
Pour ce qui concerne la modélisation 3D, la méthode est similaire à celle donnée
pour les guides vides au paragraphe 1.3.4.
1.4.3
Résultats
A.
Dispersion en fréquence
La modélisation est réalisée avec un pas spatial de 0,25 mm, on obtient
les résultats présentés à la figure 2.10.
Figure 2.10 Modélisation de la dispersion en fréquence pour un guide rempli partiellement
de diélectrique
77
Les deux modélisations donnent des résultats satisfaisants. Nous allons les quantifier en effectuant une étude de la précision en fonction du maillage pour ces
deux techniques.
B.
Étude de la précision en fonction du pas spatial
Le temps de simulation réel est laissé constant, c'est-à-dire que le nombre d'étapes de simulation augmente de façon inversement proportionnelle au pas temporel (et donc au pas spatial).
modélisation 2D ½ (guide inhomogène)
La précision obtenue avec la modélisation 2D ½ (fig. 2.11) est excellente pour
un pas de maillage suffisamment fin. Pour le pas de 1 mm, il est clair que lorsque l'on monte en fréquence, la discrétisation spatiale de la longueur d'onde guidée n'est plus suffisante.
Figure 2.12 Étude de la précision obtenue en fonction du pas spatial pour la modélisation 3D
(guide inhomogène)
78
Sur la figure 2.12, on note que la modélisation avec un pas spatial de 1 mm ne
fonctionne pas correctement en 3D. En effet, la longueur d'onde guidée dans le
diélectrique à f=10 GHz est λg=8 mm, la discrétisation spatiale de cette longueur
d'onde n'est plus suffisante (la condition ∆<λg/15 n'est plus vérifiée).
1.5
Conclusion
Les différentes simulations de structures en guide d'ondes que nous venons d'effectuer ont donné des résultats cohérents. Nous avons ainsi pu retrouver
la distribution spatiale du champ électrique dans un guide vide puis son paramètre de transmission S21. Nous avons ensuite étudié la précision des résultats de
dispersion en fréquence en fonction du pas de maillage. Que ce soit pour des
guides vides ou pour des guides remplis partiellement de diélectrique, nous
avons pu montrer que la modélisation 2D ½ était plus précise que son homologue en 3D. En effet, pour la modélisation 2D ½, la dérivée partielle suivant la
direction de propagation est donnée analytiquement et n'introduit donc pas une
erreur de second ordre. On peut améliorer cette précision dans les deux cas en
diminuant le pas spatial, l'amélioration n'est cependant pas linéaire. D'autres facteurs tels que la différence entre les vitesses de phase « physique » et numérique
sont à prendre en compte.
79
2
Modélisation de lignes coplanaires
2.1
Introduction
Après les validations de notre algorithme pour des guides d'ondes rectangulaires vides puis remplis partiellement de diélectrique, nous allons modéliser des lignes coplanaires. En effet, le dispositif non-réciproque que nous développons est réalisé à partir de la structure d'une ligne coplanaire. Il paraît donc
judicieux de modéliser celle-ci sans insertion de matériau magnétique dans un
premier temps. On pourra ainsi évaluer la précision obtenue sur différents paramètres de la ligne telles que la permittivité effective et l'impédance.
Nous effectuerons dans ce chapitre deux types de simulations : la simulation 3D
classique et la simulation 2D ½ aussi appelée « compacte ». Comme dans le
chapitre précédent, nous évaluerons la précision obtenue pour les paramètres de
la ligne en fonction du pas de maillage. Nous donnons aussi un état de l'art de la
modélisation de lignes de transmission planaires par FDTD. Nous ne nous sommes pas limités aux lignes coplanaires dans la mesure où de nombreux résultats
ont été acquis pour des lignes microruban ou des lignes à fentes. Ils sont tout à
fait transposables à la simulation du comportement de lignes coplanaires.
Enfin, nous utiliserons dans cette partie des maillages non-uniformes. En effet,
les différences importantes entre les ordres de grandeur de la structure nous imposent de ne pas utiliser le même pas spatial pour tout l'espace. Par exemple, la
différence de taille entre les espaces inter-conducteurs et la largeur des conducteurs massiques est problématique. Nous expliquerons donc les différentes améliorations apportées à l'algorithme FDTD de base et évaluerons la précision obtenue pour ce type de maillage.
2.2
État de l’art
En 1988, Zhang [87] constate la disparité des résultats de modélisation
concernant les lignes microruban. Elle propose de les étudier avec la méthode
FDTD afin d’obtenir des résultats quantitatifs pour les caractéristiques de transmission de ces lignes. Elle utilise comme conditions aux limites la technique
80
circuit ouvert (mur magnétique) + court-circuit (mur électrique). Les coefficients de réflexion sont alors respectivement de +1 et –1. Ainsi, si l’on effectue
deux simulations et que l’on moyenne les résultats, on obtient théoriquement un
coefficient de réflexion nul. Avec cette méthode, elle obtient des résultats précis
pour la permittivité effective et l’impédance (en modèle tension-courant) de ces
lignes.
Liang [45] reprend la même approche en 1989 et l’applique aux lignes coplanaires et aux lignes à fentes. En plus des caractéristiques fréquentielles de ces lignes, il analyse la validité de l’approximation quasi TEM et obtient la distribution des champs électriques sur le plan des conducteurs. Les résultats sont en
accord avec les formules empiriques.
Sheen [70] applique, en 1990, la méthode FDTD à des structures microruban :
antenne patch, filtre passe-bas, coupleur. Il calcule les différents paramètres de
transmission et de réflexion et obtient des résultats très proches des résultats expérimentaux. Les légères différences sont probablement dues aux limites du
maillage d’une part et au fait qu’il néglige les pertes dans les diélectriques et
dans les conducteurs d'autre part.
Kashiwa [33], simule, en 1992, des transitions entre microrubans de différentes
largeurs. Il utilise un maillage à grille conforme : la forme des cellules élémentaires est courbe et épouse ainsi la forme des circuits. Les résultats sont en accord avec l’expérimentation ou avec des modélisations par Éléments Finis.
Asi [1] propose, en 1992, une technique à peu près similaire à la méthode développée par Xiao [83]. La dérivée partielle selon la direction de propagation est
remplacée par sa valeur analytique jβ. On ne maille ainsi les structures qu’en
deux dimensions. L’auteur applique la méthode à une ligne microruban à substrat saphir. La précision et la vitesse de l’algorithme prouvent que cette méthode
est tout à fait adaptée à la modélisation de ces lignes de transmission.
Fujii [21] utilise en 1995 l’algorithme de la FDTD compacte et l’associe à une
analyse auto-régressive pour déterminer différents paramètres de lignes microruban. Il prend en compte les pertes dans les conducteurs et dans le diélectrique.
Les calculs s’effectuent dans le domaine réel et l’utilisation d’une grille 2D nonuniforme permet de mailler correctement l’épaisseur des conducteurs (dix mailles pour l’épaisseur de peau). Les caractéristiques de l’oscillation amortie du signal sont identifiées par un modèle auto-régressif. Elles permettent de déterminer l’atténuation et la dispersion en fréquence de la ligne. Les résultats obtenus
sont en accord avec les mesures expérimentales.
81
Huynh [32] modélise en 1997 des lignes coplanaires jusqu’à la fréquence de
1 THz (les modélisations sont en trois dimensions). Les résultats sont ensuite
comparés à des mesures électro-optiques. La modélisation montre que la largeur
des conducteurs de masse joue un rôle important dans les caractéristiques
d’atténuation et de dispersion : la dispersion augmente faiblement avec la largeur des plans de masse et l’atténuation augmente sensiblement avec celle-ci.
Tong [74] simule, en 1998, le comportement de lignes microruban et de lignes
coplanaires à substrats anisotropes à l’aide de la FDTD 2D compacte. Il obtient
les caractéristiques de propagation et les images des champs sur ces lignes. Il
utilise la fenêtre de Blackman-Harris pour réduire les temps de simulation.
Zhao [88] utilise, en 1999, un maillage non-uniforme pour modéliser à l’aide de
la FDTD une antenne microruban. Il montre comment modifier les conditions de
Mur du second ordre pour un tel maillage. Les fréquences de résonance obtenues
sont précises à environ 1 %.
Enfin, Mao [47] modélise, en 2000, une transition entre une ligne coplanaire et
une ligne fendue. Il utilise d’une part un modèle de circuit équivalent et d’autre
part un modèle FDTD modifié (associé à un modèle FEM : Élément Finis). Les
résultats montrent que le modèle circuit équivalent est plus précis aux basses
fréquences. Par contre, c’est la méthode FDTD qui est en accord avec les mesures en hautes fréquences.
L'ensemble de ces études montre que la FDTD est tout à fait adaptée à l'étude de
lignes de transmission planaires. Il semble cependant nécessaire d'utiliser des
maillages non-uniformes pour effectuer des simulations très précises avec des
coûts en temps de calcul acceptables. De plus, les conditions aux limites prennent ici plus d'importance que pour les guides d'ondes « fermés » et peuvent poser des problèmes de réflexions parasites. Enfin, l'absence de résultats analytiques pour ces structures est problématique pour la validation de certaines
simulations.
82
2.3
Maillages non-uniformes
2.3.1
Introduction
Les deux inconvénients principaux de la méthode FDTD sont les coûts
en mémoire RAM et en temps de calcul. Pour réduire ces coûts, il est possible
d’utiliser un maillage non-uniforme de l'espace de modélisation. Celui-ci permet
de mailler finement les zones où l’énergie électromagnétique est concentrée et
plus grossièrement le reste de la structure. Plusieurs formes de raffinement de
maillage ont été développées en FDTD [28, 35, 51, 57, 82, 83, 86], nous nous
limiterons dans ce mémoire à des maillages orthogonaux.
2.3.2
Modification de l'algorithme
Des tailles de cellules différentes faussent l’évaluation des dérivées
spatiales par des différences finies et produisent une erreur du premier ordre.
Cependant, Monk [51] a démontré que cette erreur était locale et que l’on gardait globalement une incertitude de second ordre (supraconvergence).
L’algorithme FDTD de base doit être modifié de la manière suivante [72] :
Soient
∆xi = xi+1-xi
∆y i = y i+1-y i
∆zi = zi+1-zi
(2.12)
(2.13)
(2.14)
x
∆x i + ∆x i −1
y
2
∆y j + ∆y j −1
z
2
∆z k + ∆z k −1
hi =
hj =
hk =
(2.15)
(2.16)
(2.17)
2
L’algorithme utilise les formulations intégrales des équations de Maxwell (lois
de Faraday et d’Ampère) :
∫
C
E . dl = −
∂
∂t ∫∫S
B . dS −
∫∫ J
S
m
. dS
(2.18)
83
∂
∫ H.dl = ∂t ∫∫ D.dS −∫∫
C'
S'
S'
J e .dS
(2.19)
L'intégrale de surface de (2.18) est calculée sur une face de la cellule de Yee
(fig. 2.13) alors que l'intégrale de surface de (2.19) est calculée sur l'aire définie
dans la figure 2.14 (qui s'étend sur deux parties de cellules de Yee adjacentes et
de tailles différentes).
Figure 2.13 Surface de calcul de l'intégrale (2.18)
Figure 2.14 Surface de calcul de l'intégrale (2.19)
On obtient à partir de ces intégrales les expressions des différentes composantes
des champs électrique et magnétique données en annexe I.
84
Par exemple, on obtient pour la composante Ex du champ électrique :
n+1/2
x (i , j ,k )
E
n
n
n
n
 Hz (i , j ,k ) − Hz (i , j−1,k ) Hy (i , j ,k ) − Hy (i , j ,k−1) 

 2εi , j ,k − σi , j ,k ∆t  n-1/2
2∆t




−
E
−
=
 2εi , j ,k + σi , j ,k ∆t  x (i , j ,k )  2εi , j ,k + σi , j ,k ∆t 
h
hzk
y
j





(2.20)
Ce sont les composantes des champs qui sont en marge des cellules de Yee qui
sont affectés par le maillage non-uniforme (composantes du champ électrique).
On doit bien sûr conserver un pas spatial maximum tel que ∆max<λmin/15 (où λmin
est la longueur d'onde guidée minimale dans l'espace de modélisation). De plus,
la grille de maillage ne doit pas changer trop rapidement de taille. Le facteur
maximum d’agrandissement entre deux mailles est de 2 pour conserver un algorithme convergent mais une valeur comprise entre 1,2 et 1,4 semble être le meilleur compromis [28]. Enfin, quel que soit le maillage, la précision à l’ordre 2 est
vérifiée pour des champs bornés. Si le domaine discrétisé contient des
singularités de champs, la précision est alors déterminée par ces
singularités [28].
2.3.3
Paramètres du maillage
Soit une structure (en une seule dimension pour simplifier) que l'on
souhaite numériser avec un maillage non-uniforme.
Figure 2.15 Maillage non-uniforme en une dimension
Le changement du pas de maillage s'effectue sur un ensemble de N cellules de
transition. Le facteur d’agrandissement d'une cellule à l'autre est R.
On obtient une suite géométrique, ce qui permet d'écrire :
2
3
4
∆l + R∆l + R ∆l + R ∆l + R ∆l + ... + R
N −1
∆l = L
85
(
∆l 1 + R + R
∆l
R
N
−1
R −1
2
+ R
3
+ R
4
+ ... + R
N −1
)= L
= L
et finalement :

L ( R − 1) 

ln  1 +


∆
l


N =
ln ( R )
(2.21)
Pour définir les paramètres du maillage en fonction de la géométrie de la structure, on s'appuie sur la formule (2.21). On doit donc spécifier deux paramètres
parmi les grandeurs suivantes : ∆l, R et L pour obtenir le troisième de ces
paramètres.
2.3.4
Exemple
Pour une ligne coplanaire, on maillera plus finement la zone encadrée
de la figure 2.16 où est concentrée l'énergie du signal hyperfréquence.
Figure 2.16 Zone maillée finement pour une ligne coplanaire
2.4
Modélisation d'une ligne coplanaire
Dans cette partie, nous allons utiliser les maillages non-uniformes décrits précédemment pour modéliser des lignes coplanaires. Il s'agit de valider le
86
nouvel algorithme que nous avons mis en place. Nous étudierons donc la précision obtenue pour différents paramètres fréquentiels et pour différentes formes
de maillage.
2.4.1
Paramètres de simulation
Les paramètres géométriques de la ligne coplanaire modélisée sont indiqués sur la figure 2.17. La permittivité du substrat, considéré sans pertes, est
εr=11. Les conducteurs sont parfaits et infiniment fins (modélisés par un plan).
Figure 2.17 Espace de modélisation
Deux maillages différents ont été utilisés pour les simulations 3D : un maillage
régulier avec un pas spatial de 100 µm et un maillage non uniforme dont le pas
spatial varie entre 30 µm et 244,7 µm. Le nombre d'étapes de simulation est fixé
à 3000.
Trois maillages différents ont été utilisés pour les simulations 2D ½ : un maillage régulier avec un pas spatial de 100 µm, un maillage régulier avec un pas
spatial de 50 µm et un maillage non uniforme dont le pas spatial varie entre
15 µm et 350 µm.
Chaque source, placée entre les conducteurs, est excitée par une gaussienne
permettant de modéliser le domaine fréquentiel 0-50 GHz. Les champs étant symétriques par rapport au plan médian, ces deux gaussiennes sont de signes opposés. Les résultats des simulations seront donnés sur le spectre 5-20 GHz. Audessus de cette fréquence de 20 GHz, certains pas de maillage deviennent trop
importants. Enfin, les limites de l'espace de modélisation sont traitées par des
conditions de Mur de premier ordre.
87
2.4.2
Formes temporelles des champs
Les quatre courbes de la figure 2.18 sont données respectivement pour
des points éloignés de la source de 5 mm, 10 mm, 15 mm et 20 mm.
Figure 2.18 Forme temporelle des champs Ez le long de la ligne (Pas spatial ∆=100 µm)
On remarque que plus on s'éloigne de la source, plus la gaussienne est déformée.
En effet, les hautes fréquences du spectre fréquentiel simulé ici sont marquées
par des pertes et une dispersion importantes. Le spectre fréquentiel de l'impulsion est donc déformé, ce qui conduit à la déformation de son allure temporelle.
Ainsi, si l'on simule un spectre fréquentiel plus étroit (et donc des gaussiennes
de largeur temporelle plus importante), cette déformation sera moins visible.
2.4.3
Formes spatiales des champs
La méthode FDTD permet aussi de représenter la forme spatiale des champs sur
n'importe quel plan de la ligne coplanaire. Nous donnons sur les figures 2.19,
2.20 et 2.21 les distributions des composantes des champs qui nous intéresseront
par la suite. Les maxima de ces composantes sont normalisés à 1.
88
Figure 2.19 Représentation de l'amplitude normalisée de Ez sur le plan des conducteurs
Figure 2.20 Représentation de l'amplitude normalisée de Hy sur le plan des conducteurs
Figure 2.21 Représentation de l'amplitude normalisée de Hx sur le plan des conducteurs
Les formes spatiales des différents champs sont les mêmes que celles obtenues
au laboratoire DIOM par la méthode SDA [3]. Pour la composante longitudinale
du champ magnétique Hx, on note que la forme est perturbée à l'extrémité des
plans de masse. Ces perturbations sont, sans doute, dues aux conditions aux limites utilisées ainsi qu'au bruit numérique proportionnellement plus important
pour cette composante d'amplitude très faible.
89
2.4.4
Étude des paramètres fréquentiels
Nous allons nous intéresser dans cette partie à deux paramètres fréquentiels significatifs du comportement d'une ligne coplanaire. Il s'agit de la permittivité effective qui permet d'évaluer la dispersion en fréquence et de l'impédance
dont l'étude sera très importante par la suite pour diminuer les pertes de l'isolateur.
A.
Permittivité effective
Pour étudier la permittivité effective de cette ligne coplanaire, nous
avons utilisé la définition suivante :
ε reff =
avec
β
2
(ω )
2
ω ε 0µ0


TF  E ( x 2 )  

1

 
β = Im 
ln
 x1 − x 2

TF  E ( x 1 )  

 


(2.22)
(2.23)
où x1 et x2 sont deux coordonnées longitudinales (situées à différentes distances
de la source).
L'équation (2.22) est utilisée pour les simulations en trois dimensions. Pour la
modélisation 2D ½, nous utilisons la courbe β(f) obtenue par simulation.
En 3D, nous avons effectué des essais avec x1=5 mm et x2=15 mm puis avec
x1=10 mm et x2=20 mm. De légères différences apparaissent, les valeurs de la
figure 2.22 sont les valeurs moyennes.
90
Figure 2.22 εreff en fonction de la fréquence pour les modélisations 3D et 2D ½
Les résultats donnés dans la figure 2.22 sont tout à fait cohérents comparés à
d'autres résultats numériques issus de [26] et donnés en annexe III. L'erreur
maximale constatée est d'environ 5 %, elle peut être minimisée si l'on réduit le
pas spatial minimal. Nous l'avons analysée en fonction du pas de maillage. La
figure 2.23 montre clairement que le maillage non uniforme donne, pour des
temps de calcul comparables, une précision bien supérieure au maillage régulier.
La réduction du pas spatial de ce dernier est en effet limité par l'espace mémoire
utilisé.
Figure 2.23 Étude de la précision en fonction du maillage pour les modélisations 3D
Des résultats identiques sont obtenus pour les modélisations 2D ½, ils sont donnés sur la figure 2.24.
91
Figure 2.24 Étude de la précision en fonction du maillage pour les modélisations 2D ½
B.
Impédance
Pour le calcul de l'impédance d'une ligne coplanaire en FDTD, nous
avons utilisé un modèle tension-courant :
b
V (t , xi ) ≡
∫ E (t , x
i
). dl
(2.24)
I (t , xi ) ≡
∫ H (t , x
i
). dl
(2.25)
Z ( f , xi ) =
a
C
TF [V ( t , x i ) ]
TF [I ( t , x i ) ]
(2.26)
où la borne de l'intégrale (2.24) a est un point sur le conducteur central, la borne
b un point sur le conducteur latéral et C (intégrale (2.25)) un chemin d'intégration entourant le conducteur central. Les résultats obtenus sont présentés sur la
figure 2.25.
Pour ce paramètre aussi, les résultats sont cohérents. On remarque toutefois que
la simulation 2D ½ est moins précise que la simulation 3D. Le problème vient
probablement des conditions limites utilisées. Les conditions aux limites que
nous avons implémentées pour le développement de ce code ne sont efficaces
que pour des ondes se propageant dans une direction normale au plan limite. Or,
le nombre d'étapes de calculs nécessaires à la modélisation 2D ½ est très important, les erreurs dues à ces conditions peuvent donc s'accumuler et fausser légèrement les résultats. Ces résultats sont donc à vérifier avec des conditions limites de type PML plus performantes. On note sur les figures 2.26 et 2.27 que,
92
pour les deux types de modélisation, l'erreur relative peut être minimisée en réduisant le pas spatial.
Figure 2.25 Impédance en fonction de la fréquence pour les modélisations 3D et 2D ½
Figure 2.26 Étude de la précision en fonction du maillage pour les modélisations 3D
Figure 2.27 Étude de la précision en fonction du maillage pour les modélisations 2D ½
93
Enfin, nous verrons dans la troisième partie de ce mémoire que la précision obtenue en 2D ½ peut encore être améliorée en utilisant un maillage plus fin suivant la direction (Oy) (voir l'étude paramétrique).
2.5
Conclusion
L'ensemble des simulations que nous avons effectué sur les lignes
coplanaires a été probant. Nous avons amélioré notre code FDTD en mettant en
place la gestion des maillages non-uniformes. Les modélisations entreprises
avec de tels maillages se sont révélées plus précises que leurs homologues effectuées avec des maillages uniformes. De plus, contrairement aux études réalisées
sur des guides d'ondes, les simulations 2D ½ n'ont pas été les plus précises, sans
doute à cause des conditions aux limites utilisées. Ces modélisations 2D ½ permettent cependant d'obtenir des résultats beaucoup plus rapidement et nous les
utiliserons donc pour une première étude paramétrique sur l'isolateur coplanaire
à résonance dans la troisième partie de ce mémoire.
94
3
Modélisation de ferrites
3.1
Introduction
Pour modéliser efficacement un isolateur, il est nécessaire de pouvoir
simuler le comportement de matériaux magnétiques dispersifs tels que les ferrites. L'algorithme de base de la FDTD doit être modifié pour prendre en compte
ce caractère dispersif. Nous présentons dans cette partie les modifications théoriques que nous avons entreprises ainsi que les validations effectuées pour ce
nouveau code. De la même façon que pour les autres validations, il nous a paru
nécessaire d'ajouter un état de l'art dans ce domaine. Celui-ci montre dans quel
contexte s'inscrit notre travail mais aussi les limites des résultats obtenus à
l'heure actuelle.
3.2
État de l'art
Les modélisations FDTD de matériaux magnétiques dispersifs ont débuté il y a une dizaine d'années :
Reinex [66], en 1992, utilise une discrétisation de l'équation régissant le mouvement gyroscopique de l'aimantation pour modéliser la propagation d'un mode
TE01 dans un guide rempli de ferrite sans pertes. On appellera cette méthode
« méthode de l'équation différentielle ». Le champ magnétique polarisant est appliqué perpendiculairement à la direction de propagation. La modélisation est
bidimensionnelle et le calcul de la perméabilité effective est conforme aux résultats analytiques.
Zheng [91], en 1992, analyse des lignes microrubans à substrat ferrite. Il utilise
la méthode de l'équation différentielle mais ne prend pas en compte les pertes
magnétiques. Il explique que le pas temporel requis pour les simulations dépend
de l'aimantation à saturation du ferrite et du champ appliqué. Les résultats sont
donnés dans le domaine temporel et ne sont pas très significatifs.
Melon [49], en 1994, développe une méthode pour des ferrites non saturés. Il
utilise la technique développée pour les diélectriques dispersifs (méthode dite
« du produit de convolution ») [39]. Cette méthode est présentée pour informa-
95
tion en annexe IV. Une structure résonante à ferrite est modélisée en deux dimensions et des résultats précis sont obtenus.
Okoniewski [56], en 1994, montre que la modélisation de Zheng était limitée à
un ordre o(∆t/2). Il explique que des interpolations dans le domaine temporel et
dans le domaine spatial sont nécessaires pour le calcul du champ magnétique.
Les résultats en 2D ½ et 3D n'incluent pas l'étude de la gyrorésonance.
Pereda [59], en 1995, développe la méthode de l'équation différentielle en prenant en compte le facteur d'amortissement et la nécessité d'interpoler les champs
magnétiques. Il obtient de bons résultats pour des modélisations 2D ½ limitées à
des structures à pertes faibles (guides remplis partiellement de ferrites). Il ne
donne pas de simulation à la gyrorésonance.
Nikawa [55], en 1995, présente une application en hyperthermie pour un guide
chargé partiellement de ferrite et d'eau. Le système de chauffage peut varier en
fonction du champ appliqué. Une simulation FDTD de la distribution SAR (Surface Absorption Rayonnement) d'un tel guide (supposé sans pertes) dans un tissu
humain est donnée.
Vielva [77], en 1995, étudie les paramètres de transmission de guides remplis
partiellement de ferrite. Il utilise une simulation FDTD 2D classique en ne modélisant que les modes TEn0. Les résultats sont obtenus avec la méthode de Prony pour diminuer les temps de calcul. Ils sont en accord avec la méthode de raccordement des modes. Cependant, le domaine fréquentiel modélisé est éloigné
de la fréquence de gyrorésonance.
Schuster [69], en 1996, adapte la technique du produit de convolution pour un
champ polarisant de direction quelconque. Il montre aussi comment réduire le
nombre de variables pour le calcul des produits de convolution.
Monedière [50], en 1998, utilise la technique du produit de convolution avec le
nouveau tenseur de perméabilité de Gelin-Berthou pour modéliser des ferrites
non saturés.
Lenge [42], en 1998, modélise des circulateurs avec la méthode de l'équation
différentielle développée par Pereda. Il explique que la technique d'Okoniewski [56] ne fonctionne pas pour certaines structures. L'effet des champs démagnétisants est évalué. Les résultats sont assez proches des résultats expérimentaux
bien qu'encore imparfaits pour certaines fréquences.
96
Hruskovec [31], en 1999, utilise la transformée en z sur les termes du tenseur de
perméabilité pour pouvoir implémenter le comportement d'un matériau magnétique dispersif dans l'algorithme FDTD. Le domaine fréquentiel modélisé est éloigné de la fréquence de gyrorésonance. Cette méthode peut éventuellement être
avantageuse dans le cas de tenseurs de perméabilité complexes.
Li [43], en 2000, modélise des ferrites localisés à partir de données expérimentales sur l'impédance de ces ferrites. Leur comportement est transformé du domaine fréquentiel au domaine temporel puis inséré dans l'algorithme FDTD.
L'ensemble de ces études fait apparaître que deux méthodes principales ont été
développées pour modéliser des matériaux magnétiques dispersifs : la méthode
de l'équation différentielle et celle du produit de convolution. Cette dernière
(voir l'annexe IV), plus complexe à mettre en œuvre, sert essentiellement pour
les ferrites non saturés. Nous ne la développerons donc pas dans ce mémoire.
Nous utiliserons la méthode de l'équation différentielle présentée dans la partie 3.3.
D'autre part, cet état de l'art fait apparaître la difficulté d'effectuer des modélisations en trois dimensions sur un spectre comprenant la fréquence de gyrorésonance. Cette difficulté provient du fait qu'à la gyrorésonance, la longueur d'onde
guidée diminue fortement, le pas spatial de modélisation doit donc lui aussi être
réduit. Ainsi, pour des modélisations en trois dimensions, le coût en ressources
mémoire et en temps de calcul devient vite prohibitif.
L'objectif des validations suivantes est de cerner les paramètres importants pour
ce type de modélisation puis de mettre en évidence une propagation non réciproque à la fréquence de gyrorésonance avec la FDTD.
3.3
Modification de l'algorithme
Nous avons choisi la méthode de l'équation différentielle pour modéliser des matériaux ferrites [59]. Nous présentons, ci-après, les modifications effectuées sur l'algorithme FDTD classique.
L'induction magnétique est reliée au champ magnétique et à l'aimantation par la
relation (2.27).
97
B ( t ) = µ 0  H ( t ) + M ( t ) 


(2.27)
Or le mouvement gyroscopique de l'aimantation est décrit par l'équation :
dM ( t )
dt
α 
= − γM ( t ) ∧ H ( t ) +
M 

M (t ) ∧
dM ( t ) 
dt 

(2.28)
Soient
H (t ) = H 0 + h (t )
(2.29)
M (t ) = M s + m (t )
(2.30)
où H0 est le champ de polarisation et Ms l'aimantation à saturation du ferrite.
Considérons un champ polarisant suivant Oz, avec hz(t)<< H0 :
en combinant les équations (2.26), (2.27), (2.28) et (2.29), on obtient le système
suivant :
∂Bx (t )
∂t
∂By (t )
∂t
− µ0
− µ0
∂H x (t )
∂t
{
}
∂By (t )
{
}
∂Bx (t )
= −γ By (t ) H 0 − µ 0 ( H 0 + M s )hy (t ) − α
∂H y (t )
∂t
= −γ µ 0 ( H 0 + M s )hy (t ) − Bx (t ) H 0 + α
− µ0
∂t
(2.31)
B z (t ) = µ 0 H z (t )
− µ0
∂t
(2.32)
∂H y (t )
∂t
∂H x (t )
∂t
(2.33)
Les champs H(t) et B(t) étant calculés aux instants n∆t, leurs dérivées temporelles sont obtenues par différences finies centrées aux instants (n+1/2) ∆t. Par interpolation linéaire, on obtient :
B
H
n +1 / 2
n +1 / 2
=
=
B
n +1
+ B
n
(2.34)
2
H
n +1
+ H
n
2
(2.35)
98
On obtient alors le système discrétisé suivant :
n+1
n+1
n
− Bx
Bx
∆t
n+1
n
Byn+1 + Byn
Hy + Hy 

= −γ 
H0 − µ0 (H0 + Ms )

2
2


n
− Hx
Hx
− µ0
∆t
n+1
−α
n+1
n
By − By
∆t
− µ0
n
Hy − H y
∆t
(2.36)
n+1
∆t
n+1
n
By − By
n+1
n
n+1
n
n+1
n
n+1
n


Hx + Hx Bx + Bx
Bx − Bx
Hx − Hx


= −γ µ0 (H0 + Ms )
−
H0  + α
− µ0
∆t
2
2
∆t


n
Hy − Hy
− µ0
∆t
(2.37)
Sa résolution permet de déterminer Hx et Hy à l'instant (n+1)∆t en fonction des
données connues à cet instant.
On obtient finalement :
n +1
= C1 H x − C2 H y + C3 Bx
n +1
= C1 H y + C2 H x + C3 B y
Hx
Hy
n
n
n +1
+ C4 B y
n +1
+ C5 B x + C 6 B y
n
n
n +1
− C4 Bx
n +1
+ C5 B y − C 6 B x
n
n
(2.38)
n
n
(2.39)
n +1
H
n +1
z
=
Bz
(2.40)
µ0
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
C 0 = 4 (1 + α ) + γ ∆t ( H 0 + M s ) + 4γ∆tα ( H 0 + M s )
C1 =
C2 =
4 (1 + α ) − γ ∆t ( H 0 + M s )
4(1 + α ) + γ ∆t H 0 ( H 0 + M s ) + 2αγ∆t (2 H 0 + M s )
2
2
C0 µ 0
C4 = −
C5 = −
C6 =
(2.43)
C0
2
C3 =
(2.42)
C0
+ H0 )
4γ∆t ( M s
2γ∆tM s
(
(2.44)
(2.45)
C0 µ 0
41 + α
(2.41)
2
) + 2αγ∆tM
2γ∆t ( 2 H 0 + M s )
− ∆t γ H 0 ( H 0 + M s
2
s
2
)
C0 µ 0
C0 µ 0
(2.46)
(2.47)
99
Dans le nouvel algorithme, on calcule donc d'abord les composantes de l'induction magnétique en fonction du champ électrique. On peut ensuite évaluer les
composantes du champ magnétique grâce aux formules précédentes.
3.4
Validations pour un espace de modélisation à une
dimension
3.4.1
Introduction
Les validations décrites ci-dessous ont été envisagées dans [48]. Nous
approfondirons ici l’étude des phénomènes liés à la gyrorésonance et à la résonance de la perméabilité effective.
On s’intéresse à une onde plane modélisée dans un espace à une dimension.
Cette onde, après un parcours en espace libre, rencontre un milieu constitué de
ferrite polarisé par un champ H0 transverse vertical.
Dans un ferrite magnétisé orthogonalement à la direction de propagation, il se
propage une onde ordinaire (champ magnétique colinéaire à H0) et une onde
extraordinaire (champ électrique colinéaire à H0) [48]. On modélisera seulement
l’onde extraordinaire constituée des champs Ez, Hx et Hy. En effet, dans cette
configuration, l’onde ordinaire ne voit qu’un diélectrique parfait. Le caractère
dispersif du matériau n'apparaissant pas, nous n'étudierons pas cette dernière.
Figure 2.28 Onde plane illuminant une interface air-ferrite
100
3.4.2
Expressions théoriques des coefficients de réflexion et de
transmission
On s’intéresse au coefficient de transmission τ et au coefficient de
réflexion ρ entre l'air et le ferrite polarisé. On peut obtenir leurs expressions
théoriques [48] :
ρ =
Z f − Z0
(2.4)
Z f + Z0
Zf
τ = 2×
(2.49)
Z f + Z0
où :
µ0
ε0
Z0 =
(2.50)
µ eff
εr
Z f = Z0
avec :
(ω
µ =1+
κ =
(ω
µ eff =
(ω
0
(2.51)
+ jαω )ω m
+ jαω ) − ω
2
0
2
ωω m
+ jαω ) − ω
2
0
µ
2
−κ
2
(2.52)
(2.53)
2
µ
3.4.3
Simulations FDTD
A.
(2.54)
Le ferrite est, sauf indication, représenté par les paramètres suivants :
|Ms|=150 kA/m, α=0,08, εr=15. Le champ appliqué est |H0|=200 kA/m. Le pas
spatial est, sauf indication, ∆=0,05 mm. La fréquence de résonance de la
perméabilité effective est 9,3 GHz.
101
B.
Forme temporelle des signaux
On obtient, pour les champs électriques, les formes temporelles
suivantes :
Figure 2.29 Forme temporelle des champs électriques incident et réfléchi
Figure 2.30 Forme temporelle du champ électrique transmis
On effectue une transformée de Fourier sur ces signaux (les champs incident et
réfléchi sont d'abord isolés l'un de l'autre) puis on calcule le coefficients de
réflexion et de transmission issus de ces simulations.
102
C.
Coefficients de réflexion et de transmission obtenus par
FDTD
Figure 2.31 Coefficients de réflexion théorique et simulé
Figure 2.32 Coefficients de transmission théorique et simulé
Les coefficients obtenus sont en accord avec les valeurs théoriques. Des
différences apparaissent néammoins à la fréquence de résonance de la
perméabilité effective. Comme le montre la figure 2.33, l'erreur observée dépend
du pas spatial : un mailage plus fin permet d'améliorer la précision des résultats.
103
Figure 2.33 Étude de la précision en fonction du pas spatial
Enfin, pour démontrer l'importance de la résonance de la perméabilité effective
sur cette modélisation FDTD, nous avons simulé un ferrite possédant un facteur
d'amortissement de 0,04 (sans changer le maillage). La diminution de ce facteur
va produire une augmentation de la valeur maximale de la perméabilité effective
à la résonance (voir fig. 2.34). La longueur d'onde guidée à cette fréquence sera
donc diminuée, ce qui nuira à la précision de la simulation. Pour un même pas
spatial, on note effectivement que l'erreur relative obtenue est tout à fait
similaire à la forme de la partie imaginaire de µeff (voir fig. 2.34 et fig.2.35).
Figure 2.34 Partie imaginaire de µeff en fonction du taux d'amortissement
104
Figure 2.35 Étude de la précision en fonction du taux d'amortissement
Cette relation entre l'erreur relative et la perméabilité effective est le cœur du
problème de modélisation du phénomène de gyrorésonance en FDTD. Pour une
précision donnée, il faudra un pas spatial inversement propotionnel à l'amplitude
maximale de la perméabilité effective. Ainsi, pour un facteur d'amortissement
divisé par deux ou pour une aimantation à saturation multipliée par 2, il faudra
réduire le pas spatial de moitié. Pour une modélisation en trois dimensions, le
temps CPU et les besoins en mémoire vive seront alors multipliés par 8.
3.5
Mise en évidence d'effets non réciproques dans un guide
d'ondes rectangulaire
Dans cette étude, nous allons mettre en évidence les phénomènes de
propagation non réciproque dans un guide d'ondes rectangulaire. Contrairement
aux références de la littérature dans ce domaine, nous conduirons cette étude
pour un spectre de fréquences comprenant la gyrorésonance. Nous utiliserons
donc une modélisation en trois dimensions pour prendre en compte les pertes
importantes à cette fréquence.
3.5.1
Modification de l'algorithme pour les modélisations en trois
dimensions
L'algorithme de modélisation des ferrites, proposé au début de ce
chapitre et validé dans un espace en une dimension, pose un problème pour un
espace en trois dimensions. En effet, si l'on examine plus attentivement les
105
équations (2.38) et (2.39), on s'aperçoit que le calcul de Hx fait intervenir les
composantes Hy et By. Or, dans la cellule de Yee, ces composantes ne sont pas
calculées au même point que Hx. Le même problème est posé pour le calcul de
Hy qui fait apparaître les composantes Hx et Bx (voir fig. 2.36).
Figure 2.36 Plan de Hx et Hy dans la cellule de Yee
Pour effectuer une modélisation plus précise, nous allons utiliser la méthode
proposée par J. Pereda dans [59].
Deux variables supplémentaires représentant les composantes Hx au point B et
Hy au point A vont être ajoutées à la cellule de Yee. Les composantes Bx et By
seront elles interpolées linéairement pour ces points par rapport à leurs positions
d'origine.
Figure 2.37 Cellule de Pereda
L'interpolation linéaire de l'induction magnétique conduit aux expressions
suivantes :
ByA (i, j, k) =
n
[B (i, j, k) + B (i − 1, j, k) + B (i, j + 1, k) + B (i − 1, j + 1, k)]
4
1
n
y
n
y
n
y
n
y
(2.55)
106
BxB (i, j, k) =
n
[B (i, j, k) + B (i + 1, j, k) + B (i, j − 1, k) + B (i + 1, j − 1, k)]
4
1
n
x
n
x
n
x
n
x
(2.56)
Les différentes composantes du champ magnétique sont ensuite calculées de la
façon suivante :
n +1
Hx
n +1
n
n
n +1
n +1
= C1 H x − C2 H yA + C3 Bx
n
n
n +1
n +1
H xB = C1 H xB − C2 H y + C3 BxB + C4 B y
n +1
Hy
n +1
n
n
n +1
= C1 H y + C2 H xB + C3 By
n
n
n
n
(2.57)
n
(2.58)
+ C4 ByA + C5 Bx + C6 ByA
n +1
n
+ C5 BxB + C6 By
n
n
− C4 BxB + C5 By − C6 BxB
n +1
n +1
H yA = C1 H yA + C2 H x + C3 B yA − C4 Bx
n
n
+ C5 B yA − C6 Bx
(2.59)
(2.60)
où les coefficients Ci sont donnés par les équations (2.41) à (2.46).
3.5.2
Structures modélisées
Nous avons modélisé la structure proposée à la figure 2.38. Le
fonctionnement de cet isolateur a été présenté dans la première partie de ce
mémoire. La tranche de diélectrique permet de concentrer l'énergie
électromagnétique dans la tranche de ferrite et ainsi d'améliorer l'isolation. Un
isolateur similaire a été étudié dans [25] grâce à une méthode analytique.
Figure 2.38 Structure modélisée
Les paramètres géométriques de cette structure sont présentés sur le tableau 2.2.
107
Distance tranche ferrite-paroi du guide
Largeur tranche ferrite
Largeur tranche diélectrique
Largeur totale du guide
Hauteur du guide
2,86
0,5
2
15,86
10,16
mm
mm
mm
mm
mm
Tableau 2.2 Paramètres de la structure
Dans l'étude qui suit, nous nous sommes limités à des matériaux magnétiques
possédant des aimantations à saturation (et donc des perméabilités effectives)
assez faibles afin de limiter les temps de calculs.
3.5.3
Le maillage de la structure simulée est un maillage non-uniforme. Pour
la direction (Ox), le pas spatial minimal est de 0,05 mm et le pas spatial
maximal est, sauf indication, de 0,12 mm. Pour la direction (Oy), le pas spatial
est de 0,48 mm et pour la direction (Oz), il est de 0,25 mm. La source
électromagnétique est localisée sur le plan (y=0) et excite le spectre 5-15 GHz.
Les paramètres de transmission sont calculés de la même façon que dans les
validations sur les guides d'ondes rectangulaires non magnétiques entre y1=4,76
mm et y 2=33,34 mm. Ils sont ensuite normalisés pour une longueur de 10 mm.
Sauf indication, l'aimantation à saturation du ferrite est Ms=30 kA/m et le taux
d'amortissement est α=0,05.
3.5.4
Effets non réciproques
Nous avons voulu mettre en évidence les effets non-réciproques
existant dans un telle structure. Pour cela, nous avons fait varier le champ
magnétique polarisant entre 200 kA/m et 300 kA/m. Les figures 2.39, 2.40 et
2.41 mettent en évidence un phénomène d'isolation centré près de la fréquence
de résonance théorique de la perméabilité effective (représentée sur ces figures
par la flèche épaisse « fres »).
108
Figure 2.39 Paramètres de transmission Sij pour H0=200 kA/m
109
Ces courbes font apparaître un problème, a priori, numérique. On note, en effet,
que l'isolation est maximale pour deux fréquences situées de par et d'autre de la
fréquence de résonance théorique. Nous avons fait varier un grand nombre de
paramètres sur ces structures : pas de maillages dans les trois directions (sauf le
pas minimal dans la direction (Ox)), propriétés du ferrite et géométrie de la
structure. Cependant, aucun d'eux n'a permis de faire disparaître ce phénomène.
L'explication qui nous semble la plus plausible est que le pas spatial minimal selon la direction (Ox), que nous n'avons pas pu diminuer pour des raisons liées
aux temps de calculs, n'est pas assez petit pour bien modéliser l'onde guidée à la
gyrorésonance. Ainsi, la zone fréquentielle située entre nos deux maxima d'isolation n'est pas correctement modélisée et fait apparaître une diminution de l'isolation alors que l'on devrait obtenir une augmentation.
Notons enfin que ce phénomène disparaît pour la modélisation de l'isolateur en
structure coplanaire. Il s'agit donc bien d'un problème d'interaction entre les paramètres de maillages et la structure et non d'un problème général dans le code
de calcul.
3.5.5
Influence du maillage
Nous avons fait varier certains paramètres du maillage afin de déterminer leur influence sur la modélisation des effets non-réciproques. La variation
des pas spatiaux suivant les directions (Oy) et (Oz) n'a fait apparaître aucune
différence sur les paramètres de transmission. Le maillage suivant ces directions
semble donc suffisamment fin. Ce résultat est compréhensible puisque l'on n'a
pas de variations géométriques de la structure pour ces directions. Au contraire,
pour la direction (Ox), où la géométrie de la structure varie, nous avons obtenu
les résultats présentés à la figure 2.42.
110
Figure 2.42 Influence du pas de maillage maximal pour la direction (Ox)
H0=200 kA/m
Le maillage est non-uniforme. Le pas spatial que nous avons fait varier pour les
résultats de la figure 42 est le pas maximal pour la direction (Ox) : ∆xmax. Ce paramètre correspond à la zone du guide éloignée du ferrite. Le pas spatial minimal ∆xmin de 0,05 mm (utilisé pour la zone dans le ferrite) est laissé constant
pour limiter les temps de calcul. En effet, la diminution du pas spatial minimal
d'une modélisation entraîne une diminution du pas temporel et donc une augmentation importante du nombre d'étapes de calculs.
La variation du pas spatial maximal montre une convergence des résultats pour
un pas inférieur ou égal à 0,25 mm. Celui-ci semble donc suffisant pour modéliser les champs électromagnétiques éloignés de la zone du ferrite. Pour celle située dans le ferrite, une étude complémentaire devrait être menée. Les moyens
informatiques et le temps limité dont nous disposions n'étaient pas suffisants
pour la réaliser.
3.5.6
Influence des propriétés du ferrite
Nous avons fait varier l'aimantation à saturation Ms et le facteur de pertes α du ferrite. Les résultats obtenus sont présentés sur la figure 2.43.
111
Figure 2.43 Influence des propriétés du ferrite sur les paramètres de transmission
H0=200 kA/m
L'augmentation du facteur de pertes de 0,05 à 0,1 réduit l'isolation d'un facteur 2. Ce résultat est tout à fait cohérent puisque la perméabilité effective
correspondante verra alors l'amplitude de sa partie imaginaire divisée par 2.
Pour ce même facteur de pertes de 0,1 et pour une augmentation de l'aimantation
à saturation du ferrite à 60 kA/m, on obtient une isolation deux fois plus importante de fréquence centrale légèrement supérieure. Cette variation est cohérente
puisque la partie imaginaire de la perméabilité effective correspondante augmente. Le décalage de la fréquence de résonance est normal puisque celle-ci dépend de Ms :
f res = γ
H 0 (H 0 + M s
)
(2.61)
Où γ est le rapport gyromagnétique.
3.6
Conclusion
Les différentes validations effectuées sur la modélisation de ferrites
ont fourni des résultats cohérents. Nous avons ainsi pu retrouver les coefficients
de réflexion et de transmission à une interface air-ferrite. Nous avons ensuite
montré que la précision des résultats obtenus dépendait de la relation entre le
pas de maillage et la perméabilité effective du matériau. En effet, la longueur
d'onde guidée dans un ferrite dépend de cette perméabilité. Comme la précision
des modélisations FDTD est fonction de la bonne discrétisation de cette lon-
112
gueur d'onde, il est indispensable de choisir un pas de maillage adapté au comportement magnétique du matériau.
Enfin, nous avons simulé le comportement d'un isolateur dans une structure
guide d'ondes. Si une non-réciprocité de la propagation fonction des paramètres
du ferrite a pu être clairement mise en évidence, il est néanmoins apparu des
problèmes numériques autour de la fréquence de résonance de la perméabilité
effective. Il semble a priori que ceux-ci dépendent du pas de maillage trop important dans la tranche de ferrite. Une étude complémentaire reste cependant à
réaliser pour confirmer cette hypothèse.
113
4
Développement logiciel
4.1
Introduction
Après les nombreuses validations algorithmiques que nous avons effectuées, nous avons choisi de concevoir et développer un mailleur. Cet outil logiciel va nous permettre d'automatiser la numérisation des composants à modéliser. De plus, il permettra à des utilisateurs, non-spécialistes de la méthode
FDTD et du C++, d'effectuer des simulations. En effet, sans cet outil, il est nécessaire de mailler chaque composant avec des instructions C++. Ce qui, pour
des structures importantes ou pour des études paramétriques est assez long et rébarbatif. De plus, le logiciel est doté d'une aide précise guidant l'utilisateur et
permet de gérer l'ensemble des paramètres de simulation dont les maillages nonuniformes. Nous utiliserons ce logiciel dans la partie suivante dédiée à l'isolateur coplanaire à résonance.
4.2
Présentation de l'architecture du logiciel
Ce logiciel, nommé actuellement SFS (Sharp FDTD Simulator), a été
réalisé sous C++ Builder 5. C++ Builder est un outil RAD (Rapid Application
Development) simplifiant la programmation Windows. Nous l'avons choisi car il
permet de conserver la rapidité d'exécution du C/C++ tout en simplifiant le processus de création de l'interface graphique. Des logiciels tels que Visual Basic
ou Matlab ne convenaient pas car ils reposent sur des langages interprétés donc
relativement lents.
Nous avons utilisé le composant TStringGrid [41] permettant de gérer facilement des grilles graphiques. Un premier objet TStringGrid représente l'espace
« physique », c'est-à-dire la structure que veut modéliser l'utilisateur et éventuellement une zone d'espace libre autour de cette structure. Un second objet
TStringGrid gère la représentation du maillage de cet espace, c'est-à-dire la représentation d'une matrice permettant d'identifier le type de matériau situé dans
chaque cellule élémentaire de l'espace. L'insertion de matériaux se fait très simplement. L'utilisateur spécifie d'abord la liste des matériaux qu'il veut utiliser
ainsi que leurs propriétés électromagnétiques. Chaque matériau est identifié par
une couleur différente. Ensuite, selon le type d'espace envisagé (2D ou 3D),
114
l'utilisateur insère directement sur la grille des rectangles ou des parallélépipèdes. Il construit ainsi sa structure à l'aide de ces formes basiques.
La fonction principale de simulation est placée dans une DLL (Dynamic Link
Library). Cela permet de bien séparer le code de l'interface graphique du code
algorithmique mais aussi de ne pas inclure les fonctions Windows dans la DLL.
Ces fonctions ralentissent en effet l'exécution. De plus, on pourra ainsi améliorer
le code algorithmique sans retoucher le logiciel principal et redistribuer simplement la DLL.
Nous avons essayé de concevoir un logiciel évolutif permettant une large réutilisation de code pour d'autres types de simulation (repères cylindriques, sphériques, grilles conformes…). Nous avons donc utilisé au maximum les concepts
de la programmation orientée objet.
4.2.1
Espace physique
L'espace physique est représenté par un composant TStringGrid. L'ensemble de l'espace peut ainsi être visualisé pour les simulations 2D. Pour les simulations 3D, l'utilisateur choisit un plan de représentation. Pour définir cet espace, il doit donner ses dimensions et la résolution qu'il veut donner à la grille
de représentation. Une fonction zoom est disponible pour les faibles résolutions.
4.2.2
Insertion d'un objet
A.
Choix des matériaux
L'utilisateur définit lui-même les matériaux qu'il va employer. Il leur
donne un nom, spécifie les propriétés électromagnétiques (permittivité, perméabilité, conductivité…) et choisit une couleur de représentation. Un numéro est
attribué à chaque matériau par le logiciel, celui-ci permettra d'identifier le type
de matériau dans la matrice de maillage. En outre, nous avons traité les sources
électromagnétiques comme un matériau quelconque. L'utilisateur définit d'abord
les propriétés de la source (forme temporelle, fréquence…) puis l'insère comme
les autres objets matériels.
115
B.
Insertion dans l'espace physique
L'utilisateur choisit d'abord un matériau parmi la liste qu'il a établie. Il
se place ensuite en mode Insertion. Il dessine lui-même l'objet dans la grille à
l'aide de la souris. La barre d'état lui fournit les coordonnées du curseur dans
l'espace physique. Enfin, une fois satisfait du placement de son objet, il choisit
la commande Confirmation. Le logiciel place alors l'objet et ses propriétés dans
un tableau d'objets.
4.2.3
Espace numérique
Cet espace est représenté par un deuxième composant TStringGrid placé dans une seconde fenêtre. Une commande permet d'alterner entre les visualisations du maillage et de l'espace physique. L'utilisateur doit donner les pas spatiaux minimal et maximal pour chaque direction de l'espace de maillage. Il
choisit aussi la largeur des zones tampons pour les maillages non-uniformes (le
changement de pas spatial s'effectue dans ces zones). Le maillage de chaque objet du tableau d'objets est alors exécuté par une fonction dédiée.
4.2.4
Raffinement du maillage
L'utilisateur peut choisir d'utiliser un maillage non-uniforme (voir
fig. 2.44). Dans ce cas, il va délimiter la zone où le pas spatial restera à sa valeur
minimale définie auparavant. Aux limites de cette zone, un espace tampon est
placé. Cet espace permet au logiciel d'effectuer la transition progressive entre
les pas spatiaux minimal et maximal. Dans le reste de l'espace, c'est le pas spatial maximal qui est appliqué. Le logiciel gère automatiquement la définition de
la nouvelle matrice de maillage. Deux vecteurs (trois en 3D) permettent de
conserver en mémoire les pas spatiaux pour chaque cellule élémentaire. Ces vecteurs seront nécessaires pour l'application des différences finies dans les différents algorithmes.
4.2.5
Simulation
Après le maillage de la structure, la définition et le placement des sources et le choix des paramètres de sortie, l'utilisateur peut entreprendre la simulation. Il précise seulement le nombre d'étapes de calcul à effectuer. Le pas tempo-
116
rel est automatiquement défini en fonction du pas spatial minimal (voir l'équation (1.51), on évite ainsi les problèmes d'instabilité).
Figure 2.44 Maillage non-uniforme d'une ligne coplanaire avec le logiciel SFS
117
Conclusion
Dans cette partie, nous avons validé un code FDTD adapté à la modélisation de dispositifs non réciproques. Les nombreuses simulations qui ont
été réalisées ont mis en évidence l'importance fondamentale du pas spatial de
maillage sur la précision. Pour un pas suffisamment petit, on obtient des résultats très précis quelle que soit la structure modélisée. Par-contre, au-dessus d'un
seuil dépendant de la longueur d'onde guidée, la modélisation du comportement
électromagnétique du système n'est plus assurée et les résultats deviennent incohérents.
Les simulations sur les matériaux ferrites ont aussi permis de mettre en évidence
l'importance de la perméabilité effective du matériau. Cette quantité impose un
pas spatial minimal à respecter. Comme elle dépend de l'aimantation à saturation
et du facteur de pertes magnétiques, certains matériaux, comme le YIG, seront
plus difficiles à modéliser. Bien que nous ayons pu mettre en évidence la propagation non réciproque d'un isolateur en guide d'ondes, des problèmes numériques sont apparus. Ceux-ci sont liés à la relation entre le maillage et la structure
guide d'ondes et n'apparaissent pas pour l'isolateur à résonance coplanaire.
Enfin, pour automatiser la numérisation des différentes configurations modélisées (maillage, champ polarisant…) dans la partie suivante, nous avons développé un outil logiciel dédié. Nous avons rapidement présenté son architecture et
son fonctionnement
L'étude précise qui a été menée dans cette partie va nous permettre d'appliquer
correctement le code de calcul développé à notre isolateur coplanaire. Nous
connaissons désormais bien le comportement de simulations FDTD ainsi que la
précision des résultats que l'on peut en attendre.
118
Application à l'isolateur coplanaire à résonance
Partie 3 Application à l'isolateur
coplanaire à résonance
119
Introduction
Dans cette dernière partie, nous allons appliquer les notions introduites
dans le premier chapitre puis validées dans le second. Nous modéliserons, à
l'aide des différents algorithmes développés, un isolateur coplanaire à résonance
en cours de réalisation expérimentale. Pour cela, nous proposons de résoudre le
problème des temps de calcul par deux approches :
La première est la simplification 2D de la structure. Pour ce faire, nous utilisons
un résultat démontré dans [3] reliant l'efficacité de l'isolateur au taux d'ellipticité
du champ magnétique. Nous proposons ainsi une étude paramétrique mettant en
relief les variations de ce taux d'ellipticité et de l'impédance du dispositif devant
les facteurs géométriques, matériels et fréquentiels de celui-ci. Pour chaque facteur, nous évaluons aussi les problèmes technologiques correspondants.
La seconde est l'utilisation d'une technique utilisée en traitement numérique du
signal : l'identification de système. Nous introduisons rapidement cette méthode
et l'appliquons à l'isolateur modélisé cette fois en trois dimensions. Le phénomène d'isolation peut ainsi être mis en évidence avec des temps de calculs raisonnables. Nous obtenons des premiers résultats intéressants notamment sur
l'importance de la localisation du matériau magnétique pour l'efficacité de l'isolateur.
120
1 Étude paramétrique 2D de l’effet
non-réciproque et contraintes
technologiques
1.1
Introduction
L'isolateur coplanaire à résonance est construit à partir de la structure
d'une ligne coplanaire (fig. 3.1) à laquelle on ajoute un matériau magnétique polarisé afin de générer l'effet non réciproque.
Figure 3.1 Ligne coplanaire et paramètres associés
Pour effectuer une première étude paramétrique de ce dispositif, nous souhaitions utiliser un maillage 2D afin de diminuer les temps de calculs et d'obtenir
rapidement un certain nombre de résultats.
Pour définir le critère d'optimisation, nous avons utilisé une propriété démontrée
dans [3]. En effet, dans cette référence, B. Bayard montre qu'il est possible d'approximer la constante de propagation de l'isolateur coplanaire à résonance par
l'expression suivante :
±
β i = β 0 − ωµ 0
H0y 
H0x 
χ ± κ
 (3.1)
1 + N y χ E z 
jH 0 y 
1 − Ny
121
où :
l'indice i notifie la valeur en tenant compte des inclusions magnétiques,
l'indice 0 notifie la valeur sans inclusions magnétiques,
Ny est le facteur de forme de l'inclusion magnétique selon l'axe y,
χ et κ sont les élément du tenseur de perméabilité du matériau magnétique,
± représente le sens d'application de la polarisation magnétique.
Il est donc possible de connaître le comportement de la constante de propagation
βi de l'isolateur (ligne coplanaire + matériau magnétique polarisé) grâce à des
résultats issus de la ligne coplanaire sans matériau magnétique. Nous utiliserons
cette propriété pour notre première étude paramétrique, ce qui nous permettra
d'obtenir des résultats approchés sans rencontrer les problèmes liés à la gyrorésonance magnétique.
Soit τ le taux d'ellipticité de la ligne coplanaire défini par :
τ =
H longitudinal
H vertical
=
Hx
Hy
(3.2)
χ et κ étant sensiblement égaux à la résonance gyromagnétique, on obtient
d'après l'équation (3.1) une isolation maximale et des pertes d'insertion minimales pour τ proche de l'unité.
Nous utiliserons donc ce taux d'ellipticité comme mesure de l'efficacité de l'isolateur. Nous analyserons ses variations en fonction des différents paramètres du
dispositif modélisé : fréquence de travail, matériaux mis en jeu et géométrie de
la structure (dans cette étude, nous calculerons le taux d'ellipticité moyen sur
l'ensemble de l'espace inter-conducteurs).
Cependant, ce taux constitue une mesure de l'efficacité de l'isolateur ne tenant
pas compte du circuit extérieur. On peut très bien en effet réduire théoriquement
les pertes du dispositif mais augmenter celles de l'ensemble dispositif+circuit
extérieur. Il faut donc étudier, parallèlement à ce taux, l'impédance du dispositif
que l'on doit être capable d'adapter au mieux à celle du circuit extérieur. Pour
l'ensemble des paramètres de l'isolateur, nous donnerons donc les variations de
ces deux facteurs.
Enfin, nous sommes tout à fait conscients que cette approche ne constitue qu'une
approximation. Celle-ci nous permet cependant d'appliquer rapidement les algorithmes développés afin d'obtenir une vision qualitative de l'influence des diffé-
122
rents paramètres de la ligne. Cette première étude constituera un ensemble de résultats à confronter avec d'autres données expérimentales ou issues de simulations.
1.2
Avant de réaliser l'étude qui suit, nous avons effectué des essais
avec des maillages plus grossiers en 2D et 3D. Bien que la précision obtenue fût
insuffisante, nous avons pu en déduire l'influence et le sens de variation des
principaux paramètres. Cependant, l'étude des couches minces diélectriques ou
magnétiques ne pouvait être effectuée avec un maillage grossier. Avec une seule
maille (modélisations 3D), on obtient en effet des résultats erronés. Il faut environ une dizaine de mailles pour modéliser correctement une telle couche. De
même, la détermination de l'influence de l'épaisseur des conducteurs est tout à
fait impossible avec une simulation 3D (avec les performances de notre matériel
informatique) et reste difficile avec une modélisation 2D.
Pour se rendre compte du problème, effectuons le petit calcul suivant : les simulations 3D de l'isolateur proposées dans ce mémoire utilisent un pas spatial minimal de 30 µm et représentent avec notre matériel actuel une durée de calcul de
l'ordre de 24 heures. Une épaisseur classique de conducteur est de l'ordre du micromètre. Pour mailler correctement son épaisseur de peau, il faut une dizaine de
mailles, donc un pas spatial minimal de 0,1 µm. Le pas temporel étant relié à ce
pas spatial minimal (voir l'équation (1.51)), la durée minimale de simulation serait multipliée par 300 (une petite année de calcul !). Il faut bien noter ici que le
problème principal est dû au pas temporel et non au pas spatial lui-même. Les
lois logarithmiques sont telles qu'une diminution importante du pas spatial minimal n'engendre pas une augmentation importante du nombre de cellules dans
un maillage non-uniforme.
Nous avons donc choisi d'effectuer l'étude paramétrique qui suit avec des modélisations 2D ½. Ce type de modélisation étant plus rapide, il permet d'utiliser un
pas spatial minimal bien plus petit que pour les modélisations en trois dimensions.
La configuration et les dimensions par défaut de la ligne coplanaire que nous
avons modélisée est présentée à la figure 3.2.
123
Figure 3.2 Ligne coplanaire et paramètres associés
Le substrat diélectrique possède une permittivité de 11, il est sans pertes. Les
conducteurs sont parfaits. La constante de propagation utilisée par défaut est
β=500 m-1. La structure est décrite avec un maillage non-uniforme. Le pas de
maillage vertical (direction (Oy)) varie entre 1 µm et 218 µm. Le pas de maillage pour la direction horizontale (Oz) varie, lui, entre 30 µm et 250 µm.
1.3
Fréquence de travail et influence sur la polarisation
magnétique
Nous avons modélisé l'influence de la fréquence de travail sur l'efficacité de l'isolateur. Pour cela, nous avons fait varier la constante de propagation β
entre 250 m-1 et 2000 m-1. La fréquence du mode principal propagé correspondant varie entre 4,6 GHz et 36,6 GHz. Il faut noter que l'approximation quasi
TEM est discutable pour cette dernière fréquence. Nous ne considérerons cependant dans cette étude que le mode principal.
Figure 3.3 Influence de la fréquence de fonctionnement
124
Ce paramètre a une influence importante sur le taux d'ellipticité. On note que la
variation de ce taux avec la fréquence est sensiblement linéaire (pour la zone
étudiée). L'impédance restant constante, on peut donc améliorer l'efficacité du
dispositif en augmentant la fréquence de fonctionnement. On s'éloigne ainsi du
mode quasi TEM pour lequel la composante longitudinale des champs est négligeable. Pour des fréquences importantes, la composante longitudinale du champ
magnétique va donc augmenter alors que la composante verticale de ce champ
restera sensiblement constante.
Il faut donc, a priori, se placer à hautes fréquences pour obtenir les meilleures
performances. Le problème est alors de pouvoir déplacer le phénomène d'isolation et donc la fréquence de résonance gyromagnétique vers ces fréquences. Il
faut donc disposer soit d'un champ magnétique polarisant important, soit d'un
matériau magnétique possédant une aimantation à saturation élevée. En effet, la
fréquence de résonance de la perméabilité effective du matériau dépend de ces
deux quantités (voir l'équation (2.57)). Des problèmes technologiques peuvent
alors apparaître au niveau de l'encombrement du circuit de polarisation ou pour
la réalisation d'un matériau magnétique auto-polarisé à fort champ interne.
1.4
Choix du substrat diélectrique
1.4.1
Présentation des matériaux envisageables pour cette fonction
Différents critères vont importer pour le choix du substrat car celui-ci
est à la fois :
•
•
•
Un support mécanique pour le circuit et ses composants et une connexion
mécanique pour l'emballage du circuit,
un milieu qui va guider des ondes électromagnétiques,
un support d'implantation des différentes couches que l'on va ajouter (couche
magnétique, conducteurs, voire couche diélectrique supplémentaire).
Il faut donc prendre en compte les facteurs mécanique, électrique, thermique et
chimique pour les différents matériaux susceptibles d'être choisis comme substrat. Nous donnons en annexe V les propriétés des principaux substrats utilisés
en hyperfréquences. Ceux-ci peuvent être séparés en deux groupes : les matériaux plastiques (organiques) et les matériaux inorganiques (céramiques, matériaux monocristalllins : saphir et quartz, ferrites et semi-conducteurs).
125
Les matériaux plastiques ne tiendront malheureusement pas les températures induites par le recuit de la couche magnétique, nous les éliminons donc pour le
procédé envisagé. Notre substrat sera donc choisi parmi les céramiques (Al2O3),
les matériaux monocristallins (saphir et quartz) ou les semi-conducteurs (GaAs
et Si). Le problème pour les semi-conducteurs réside dans leurs pertes importantes dans les hautes fréquences. Il est cependant possible de jouer sur leurs propriétés (passivation de la surface…) pour réduire efficacement ces pertes. D'autre part, le laboratoire LPM travaille actuellement sur la réalisation de silicium
poreux dont les propriétés hyperfréquences peuvent s'avérer intéressantes pour
notre composant. Les céramiques Al2O3 sont les substrats les plus utilisés en hyperfréquences. Ceci tient au fait qu'ils sont relativement faciles à produire et utilisables dans un grand nombre de circuits hybrides (utilisant des couches minces). Au stade de développement actuel, nous avons réalisé des essais
expérimentaux sur des céramiques et sur du silicium (voir fig. 3.4). Les couches
obtenues sont adhérentes et homogènes dans les deux cas.
Figure 3.4 Microscopie d'un dépôt d'hexaferrite de baryum (BaFe12O19) sur substrat silicium après pulvérisation cathodique RF.
126
1.4.2
Hauteur du substrat
Figure 3.5 Variation de la hauteur h du substrat
Les lignes coplanaires ont le plus souvent une épaisseur normalisée à
635 µm. L'influence de ce paramètre va dépendre de la géométrie de la ligne
mise en jeu (largeur des conducteurs et des fentes). Pour la configuration de la
figure 3.2, nous avons obtenu, pour une valeur de permittivité moyenne εr=11,
les résultats présentés sur la figure 3.6.
Figure 3.6 Influence de la hauteur du substrat (pour εr=11)
En-dessous de 200 µm, le taux d'ellipticité chute. La distribution des champs est
donc perturbée. Au-dessus de cette limite et pour cette géométrie de conducteurs, la hauteur du substrat n'influe pratiquement plus sur les deux paramètres
étudiés.
127
1.4.3
Permittivité relative
Une permittivité relative importante va permettre de confiner le signal
hyperfréquence près des conducteurs. Cette distribution d'énergie permettra
d'une part de réduire les dimensions géométriques du dispositif en vue d'une intégration et d'autre part d'améliorer l'efficacité de l'isolateur (voir fig. 3.7 et 3.8).
Figure 3.7 Influence de la permittivité du substrat pour β=500 m-1
La figure 3.7 montre une valeur seuil de 0,1 du taux d'ellipticité pour une permittivité de 30 environ. Cependant, ce résultat est donné pour une constante de
propagation fixée à β=500 m-1. Or, il faut noter que la fréquence du mode principal propagé pour cette constante baisse lorsque la permittivité du substrat
augmente. On passe ainsi d'une fréquence de 9,2 GHz pour une permittivité de
11 à une fréquence de 4,6 GHz pour une permittivité de 85. Comme le taux d'ellipticité augmente en fonction de la fréquence, il augmentera de façon importante avec la permittivité du substrat si l'on considère la fréquence constante.
Pour affiner l'analyse, nous avons effectué une seconde étude à fréquence constante en déterminant pour chaque valeur de la permittivité la constante de propagation permettant d'exciter un mode principal de fréquence 9,2 GHz. Nous obtenons les résultats présentés sur la figure 3.8. Ceux-ci confirment cette dernière
hypothèse. La permittivité permet donc d'améliorer l'efficacité du dispositif.
Cependant, comme le choix des substrats est a priori limité à des permittivités
faibles (entre 9 et 15), nous allons étudier l'impact d'une couche diélectrique
supplémentaire et possédant une forte permittivité.
128
Figure 3.8 Influence de la permittivité du substrat pour une fréquence constante de 9,2 GHz
1.4.4
Utilisation d’une couche supplémentaire de diélectrique à
forte permittivité
Figure 3.9 Utilisation d'une couche diélectrique supplémentaire
Nous venons de voir qu'un facteur important pour ce dispositif est le
confinement de l'énergie transportée par la ligne coplanaire dans une zone restreinte autour des conducteurs. C'est dans cette zone que l'interaction avec le
matériau magnétique aura lieu. Pour un substrat dont la permittivité est limitée
par les choix technologiques possibles, ce confinement peut être amélioré si l'on
ajoute une fine couche de diélectrique à forte permittivité entre le substrat et la
couche magnétique.
Lors de l'achèvement de ce mémoire, aucun résultat expérimental sur ce sujet
n'avait encore pu être obtenu. Il apparaît cependant envisageable d'utiliser l'expérience du LPM pour ce type de procédé. En effet, ce laboratoire travaille, depuis 1996, à l'intégration de films piézoélectriques en Titanate Zirconate de
129
Plomb (PZT) obtenus par pulvérisation cathodique [16]. La constante diélectrique de ce type de matériau est très importante (on peut obtenir des constantes
diélectriques de 600). L'expertise acquise dans ce domaine pourrait donc être
utilisée afin de pulvériser des couches de diélectrique à forte permittivité sur
substrat alumine ou silicium. Les problèmes de diffusion entre les différentes
couches semblent cependant délicats à traiter.
Nous avons modélisé l'influence d'une couche diélectrique de 10 µm d'épaisseur
(voir fig. 3.9). La permittivité de cette couche varie de 11 à 180. La permittivité
du substrat est de 11 et sa hauteur reste constante. Les résultats sont donnés sur
la figure 3.10.
Figure 3.10 Influence de la permittivité d'une couche diélectrique de 10 µm pour β=500 m-1
Pour cette étude, nous avons rencontré le même problème que pour la permittivité du substrat. Lorsque la permittivité de la couche diélectrique augmente, la
fréquence du mode principal propagé dans la ligne diminue. On passe ainsi de
9,2 GHz pour εr=11 à 6,9 GHz pour εr=180. Ainsi, les résultats de la figure 3.10
ne montrent qu'une faible augmentation du taux d'ellipticité devant l'augmentation de la permittivité. Nous avons donc renouvelé cette étude pour une fréquence constante de 9,2 GHz et nous avons obtenu les résultats présentés sur la
figure 3.11.
Ces derniers montrent une augmentation plus conséquente du taux d'ellipticité.
On obtient ainsi un taux de 0,12 pour une permittivité de 180. L'impédance diminue, elle, de 60 Ω (pour un permittivité de 11) à 45 Ω (pour une permittivité
de 180). Une couche diélectrique plus épaisse pourrait être plus efficace mais
expérimentalement difficile à réaliser.
130
Figure 3.11 Influence de la permittivité d'une couche diélectrique de 10 µm pour une fréquence constante de 9,2 GHz
1.5
Géométrie des conducteurs
1.5.1
Largeur des fentes entre les conducteurs
Figure 3.12 Variation de la largeur des fentes Lf
Dans un premier temps, nous avons modélisé plusieurs largeurs de fentes pour une même largeur du conducteur central (fig. 3.12). Les résultats sont
donnés sur la figure 3.13.
131
Figure 3.13 Influence de la largeur des fentes
Cette figure montre que la largeur des fentes a une influence importante sur le
taux d'ellipticité et l'impédance. Pour une largeur des fentes multipliée par 6, on
obtient un taux d'ellipticité multiplié par 3. L'augmentation de la largeur des fentes permet en effet de s'éloigner du mode quasi TEM. Ainsi, la composante longitudinale du champ magnétique et donc le taux d'ellipticité augmentent. Cependant, il ne faut pas oublier les problèmes d'encombrement du dispositif en vue
d'une intégration. On ne pourra donc pas augmenter la largeur de la ligne de façon trop importante.
1.5.2
Largeur des fentes et du conducteur central
Figure 3.14 Variation des largeurs des fentes Lf et du conducteur central Lc
Si l'on fait varier de la même quantité les largeurs des fentes et du
conducteur central (fig. 3.14), on augmente le taux d'ellipticité en laissant l'im-
132
pédance constante (fig. 3.15). Pour une largeur des fentes et du conducteur central multipliée par 6, on obtient un taux d'ellipticité multiplié par 5.
Ajoutons que le changement de géométrie de la ligne a une influence sur les pertes non magnétiques. On peut cependant considérer dans un premier temps que
ces dernières sont négligeables devant les pertes magnétiques.
Figure 3.15 Influence de la largeur des fentes et du conducteur central
1.5.3
Épaisseur des conducteurs
Figure 3.16 Variation de l'épaisseur e des conducteurs
Le problème de l'épaisseur des conducteurs a été évoqué dans [3].
B. Bayard a émis l'hypothèse que, étant donné les moyens technologiques existants à l'époque des résultats expérimentaux de Wen [81], les conducteurs pouvaient être dotés d'une épaisseur conséquente influençant l'efficacité du composant. À l'heure actuelle, cette hypothèse n'a toujours pas pu être vérifiée. En
effet, la méthode SDA développée au laboratoire DIOM ne permet pas de pren-
133
dre en compte ce paramètre. Quant à la FDTD, elle permet théoriquement de
mailler une épaisseur quelconque de conducteur, cependant, les temps de calcul
engendrés sont très importants.
Nous n'avons donc pu modéliser que grossièrement les variations de cette épaisseur. En effet, en utilisant un pas spatial de 1 µm, on ne peut détailler le
comportement interne du conducteur (épaisseur de peau). La figure 3.17 montre
que nos simulations n'ont pas fait apparaître d'influence notable de l'épaisseur du
conducteur sur le taux d'ellipticité. Ce comportement sera cependant à vérifier
avec un maillage plus fin.
Au niveau expérimental, les premières gravures chimiques ont été réalisées par
le LPM avec de l'or. Ce matériau, bien que possédant une conductivité inférieure
au cuivre (40,98.106 S/m pour l'or et 58,13 .106 S/m pour le cuivre) présente
moins de problème d'oxydation. Réaliser des épaisseurs de conducteurs de plusieurs micromètres ne devrait pas a priori poser de problèmes. Par contre, des
problèmes de diffusion du conducteur dans la couche magnétique sont possibles.
Cette diffusion peut provoquer des pertes importantes voire des courts-circuits
sur la ligne.
Figure 3.17 Influence de l'épaisseur des conducteurs
134
1.6
Paramètres liés au matériau magnétique
1.6.1
Localisation du matériau magnétique
La structure expérimentale développée actuellement par les laboratoires
DIOM et LPM est différente de la configuration de Wen et de celle de la première étude de faisabilité. Dans la première configuration (configuration de
Wen), le matériau magnétique est localisé entre les conducteurs (fig. 3.18). Dans
la seconde (fig. 3.19), celui-ci est placé sous les conducteurs pour simplifier la
réalisation multicouches.
Figure 3.18 Première configuration
Figure 3.19 Seconde configuration
Nous avons comparé ces deux structures avec une modélisation FDTD 2D ½.
Les résultats, peu précis pour la première configuration (mode non TEM), semblent cependant montrer que le taux d'ellipticité est plus important pour la configuration de Wen. Dans cette structure, nous ne sommes plus en mode quasi TEM
et l'on peut s'approcher d'un taux d'ellipticité unité. Le choix de la configuration
135
doit donc être étudié précisément notamment avec les modélisation FDTD tridimensionnelles.
1.6.2
Obtention du matériau magnétique
Le verrou technologique pour l'intégration de composants passifs non
réciproques est la mise en place du matériau magnétique sur le substrat. Le
choix réalisé par le laboratoire DIOM [3] est le dépôt du matériau magnétique en
couche mince par pulvérisation cathodique radiofréquence. Nous présentons rapidement cette technologie dans le paragraphe qui suit.
A.
La pulvérisation cathodique radiofréquence
Les techniques d'élaboration de couches minces se répartissent en deux
grandes catégories : les processus physiques de dépôts par évaporation et les
processus chimiques. Les processus chimiques qui font intervenir la décomposition d'un gaz porteur au niveau d'un substrat sont principalement utilisés pour
l'élaboration de couches minces de semi-conducteurs [75]. La pulvérisation cathodique et l'épitaxie par jet moléculaire sont les techniques les plus répandues
pour la préparation des couches magnétiques. Ces méthodes, qui utilisent des
enceintes à vide, comprennent trois étapes : l'émission d'atomes ou de particules
à partir d'une source, leur transport jusqu'au substrat et leur condensation sur celui-ci.
La pulvérisation cathodique radiofréquence est très utilisée dans les laboratoires
et dans l'industrie, elle permet de déposer aussi bien des métaux que des isolants. On utilise communément une enceinte avec un vide de 10-6 à 10-4 Pa où un
gaz inerte (le plus souvent de l'argon) est introduit. Ce gaz est ionisé sous l'action d'un fort champ électrique, les ions sont alors attirés vers une cible constituée du matériau que l'on veut déposer. Le bombardement d'ions (relativement
lourds) va arracher des atomes de cette cible. Ceux-ci vont alors se propager à
travers le plasma jusqu'au substrat placé en face de la cible.
Pour les cibles métalliques, on attire les ions grâce à l'application d'un potentiel
négatif (pulvérisation DC). Pour les matériaux isolants et donc pour le matériau
magnétique que l'on veut déposer (hexaferrite de baryum), on ne peut pas utiliser cette méthode. En effet, la surface de la cible se chargerait alors très rapidement à un potentiel positif qui repousserait les ions positifs. Pour ce type de matériau, on utilise donc la pulvérisation cathodique radiofréquence. Il s'agit
d'appliquer une tension radiofréquence (13,56 MHz en général) sur la cible. Au
136
cours d'une période RF, celle-ci sera d'abord bombardée par les ions positifs
puis par les électrons qui neutraliseront la charge laissée par ces ions.
B.
Problème du recuit
Les couches déposées par pulvérisation cathodique radiofréquence sont
amorphes. Pour retrouver les propriétés magnétiques du matériau initial, il faut
réorganiser la matière. Cette réorganisation peut être obtenue par un recuit. Il
s'agit, à l'heure actuelle, soit de recuits lents (1 à 3 h) effectués dans un four de
chimie classique, soit de recuits rapides (30 s) effectués au laboratoire LPM
avec un four à lampes halogènes. Une température critique de 800 °C a été mise
en évidence [3]. La cristallisation de la matière ne semble pas apparaître endessous de cette température. Comme celle-ci est incompatible avec les technologies de la microélectronique (limitées à 400 °C), une solution alternative est
recherchée. Ce pourrait être un recuit laser localisé sur une partie du matériau
magnétique, le substrat et les autres circuits seraient alors peu atteints par l'élévation de température.
Figure 3.20 Analyses VSM de deux couches magnétiques recuites à 600 °C et 800 °C
Les analyses VSM (Magnétomètre à échantillon vibrant, 10-3 emu/cm3=1 A/m)
présentées à la figure 3.20 montrent clairement l'impact de la température de recuit sur les propriétés magnétostatiques des couches déposées. À 800 °C, on obtient un champ coercitif de 2000 Oe proche de celui du matériau massif. Pour
600 °C, aucun cycle d'hystérésis n'apparaît, le matériau n'est donc pas cristallisé
correctement.
137
C.
Caractérisation magnétique des couches minces
a.
Caractérisation basses fréquences
Pour la caractérisation basses fréquences, c'est-à-dire la détermination
des perméabilité et permittivité statiques de la couche mince, des méthodes spécifiques sont développées au laboratoire DIOM. Le succès de ces méthodes est
indispensable à moyen terme pour développer la modélisation du dispositif. En
effet, nous utilisons à l'heure actuelle les constantes théoriques du matériau massif pour les simulations. Ces valeurs permettent de donner des renseignements
importants sur le comportement du dispositif. Cependant, pour s'approcher du
fonctionnement réel, il faudra utiliser les constantes électromagnétiques des
couches minces obtenues expérimentalement.
b.
Caractérisation hautes fréquences
La caractérisation en hautes fréquences pose des problèmes plus conséquents. Deux méthodes sont actuellement développées au laboratoire DIOM, la
première s'appuie sur une structure guide d'ondes rectangulaire (fig. 3.21), la seconde est l'adaptation à une structure coplanaire d'une méthode développée à
l'origine sur microruban (fig. 3.22).
Figure 3.21 Caractérisation HF des couches minces en guide d'onde
138
Figure 3.22 Caractérisation HF des couches minces en cellule microruban
À partir des coefficients de réflexion et de transmission calculés à partir des mesures effectuées avec ces cellules, une étude analytique doit permettre d'obtenir
les expressions des différentes composantes du tenseur de perméabilité.
Une autre solution paraît envisageable grâce au code de calcul que nous développons. En effet, nous avons démontré qu'il permettait de modéliser ces deux
types de structures. On peut donc envisager d'effectuer un certain nombre de simulations en faisant varier les paramètres du matériau magnétique. Les paramètres de transmission et de réflexion obtenus permettront de réaliser des abaques.
Grâce à ces abaques, on pourra, à partir des paramètres S expérimentaux, remonter aux éléments du tenseur de perméabilité du matériau sans calculs analytiques
complexes.
1.6.3
Influence de la perméabilité
Nous avons modélisé l'influence d'une couche magnétique de 10 µm
placée sous les conducteurs (fig. 3.19). Cette couche possède ici une perméabilité constante que l'on peut assimiler, en première approximation, à la perméabilité effective du matériau magnétique réel à la fréquence envisagée. Les modélisations sont effectuées avec une constante de propagation β=500 m-1.
139
Figure 3.23 Influence de la perméabilité d'une couche magnétique de 10 µm
L'augmentation du taux d'ellipticité est de 13 % pour une perméabilité variant
entre 1 et 60. L'impédance varie elle de 28 % (de 60 Ω à 77 Ω). L'influence de la
perméabilité de la couche sur le taux d'ellipticité semble donc limitée. Or, nous
verrons dans les modélisations 3D présentées dans le chapitre suivant que la
perméabilité effective du matériau a une influence importante sur l'isolation du
dispositif. Cependant, nous noterons aussi que les pertes d'insertion augmentent
avec ce paramètre. Les premiers résultats de la figure 3.23, s'ils sont qualitativement justes, méritent donc d'être confrontés avec les résultats quantitatifs des
modélisations 3D.
1.7
Synthèse
Cette première étude paramétrique a permis de mettre rapidement en
évidence l'influence de différents paramètres sur l'efficacité de l'isolateur. Les
résultats obtenus sont résumés sur la figure 3.24. Il sera nécessaire d'entreprendre des études complémentaires pour l'influence de l'épaisseur des conducteurs
et pour celle des couches diélectrique et magnétique. De plus, il faut rappeler
que les modélisations 2D ½ ne prennent pas en compte les pertes importantes.
Les résultats donnés doivent donc être comparés aux simulations 3D qui permettent, elles, de tenir compte du comportement du matériau magnétique à la gyrorésonance.
140
FFrrééqquueennccee ddee ttrraavvaaiill
SSuubbssttrraatt
Hauteur
Pour cette géométrie, pas d'influence si h>200 µm
Permittivité
Fréquence
Influence forte :
si f alors τ et z
Influence forte :
si ε r alors τ et z
mais choix technologiques limités
Polarisation magnétique
Couche de diélectrique à
forte permittivité
pb d'encombrement
f est liée aux possibilités du
circuit de polarisation :
autopolarisation ?
Si ε r alors τ et Z
Étude quantitative à effectuer
pour déterminer une épaisseur
nominale
EEffffiiccaacciittéé ddee
ll''iissoollaatteeuurr ccoo-ppllaannaaiirree àà rrééssoo-GGééoommééttrriiee ddeess
ccoonndduucctteeuurrss
Largeur des fentes
Influence forte :
si L alors τ et Z
Largeur des fentes et du
conducteur central
Influence forte :
si L alors τ et Z
épaisseur
Pas d'influence mise en évidence, à vérifier avec un maillage plus fin
MMaattéérriiaauu mmaaggnnééttiiqquuee
Localisation
influence forte :
mode non TEM pour matériau
magnétique entre les conducteurs
Perméabilité effective
Influence importante sur l'isolation.
Voir l'étude quantitative en 3D
pour les pertes d'insertion
figure 3.24 Efficacité de l'isolateur coplanaire à résonance
141
2
Mise en évidence de l'effet non
réciproque à la résonance
gyromagnétique
2.1
Problème des temps de calcul
Les temps de calculs de systèmes modélisés par FDTD peuvent être très
longs. En effet, les dispositifs possédant un facteur de qualité important propagent des signaux s'atténuant très lentement. Pour conserver des temps de simulation acceptables, on devra parfois tronquer leurs réponses temporelles. Cette
opération conduit à convoluer la réponse fréquentielle du système avec la fonction sin(f)/f. Cette convolution va masquer des pics fréquentiels et causer des
distorsions. La précision des simulations sera alors diminuée. De nombreux auteurs [8, 11, 36, 38, 53, 58, 67, 78] ont utilisé des techniques propres au traitement du signal et à l’estimation spectrale pour éviter ce phénomène.
Après les simulations 2D ½ du chapitre précédent, nous souhaitions effectuer
des simulations 3D ne nécessitant pas d'approximation et permettant de modéliser les phénomènes de résonance gyromagnétique. Nous avons utilisé les procédés d'identification de système afin de réduire les temps de calculs.
2.2
Identification de système
Cette méthode consiste à construire le modèle mathématique d'un système dynamique en ajustant les paramètres de ce modèle jusqu'à ce que ses données de sortie soient assez proches de celles du système modélisé. Les modèles
les plus utilisés sont les processus auto-régressifs (AR : Auto Regressive, ARMA : Auto Regressive Moving Average) et les représentations par variables
d'état.
Considérons le système de la figure 3.25.
142
Figure 3.25 système modélisé
u représente les données en entrée,
e représente le bruit additionnel,
y représente les données de sortie.
Soit T la période d'échantillonnage de ce système, un modèle AR permet de relier la sortie y à l'entrée u par l'équation différentielle suivante :
y(t) + a1y(t-1) +…+ anay(t-na) = b1u(t-nk) + b2u(t-nk-1) +…+ bnbu(t-nk-nb+1)
(3.3)
na représente le nombre de pôles du modèle,
nb-1 représente le nombre de zéros du modèle,
nk est le retard pur.
Pour déterminer l'ensemble des coefficients d'un tel modèle, on utilise principalement la méthode des moindres carrés où l'on cherche à minimiser la somme
des carrés de la différence entre la sortie du signal réel et la sortie du signal estimé. On réalise cette opération pour chaque échantillon temporel.
Dans la représentation par variables d'état, on exprime la relation entre u, e et y
par :
x(t+1) = Ax(t) + Bu(t) + Ke(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t) + e(t)
(3.4)
(3.5)
x est appelé le vecteur d'état du système.
Cette formulation permet de n'avoir qu'un retard pur unité. L'ordre du modèle est
donné par la taille du vecteur d'état.
143
2.3
Application à l'isolateur à résonance en guide d'ondes
rectangulaire
Pour obtenir un modèle auto-régressif de l'isolateur en guide d'ondes
rectangulaire modélisé dans la partie précédente, nous avons utilisé le module
(ToolBox) « System Identification » de Matlab 6.0.
Le signal d'entrée utilisé est :
u =
∑
E z ( x = x1 )
(3.6)
où la somme est effectuée sur l'ensemble de l'aire transversale du guide avec
x1=4,76 mm (x est la coordonnée longitudinale, voir fig. 2.38).
Le signal de sortie utilisé est :
y =
∑
Ez ( x = x2 )
(3.7)
où la somme est effectuée sur l'ensemble de l'aire transversale du guide avec
x2=33,34 mm.
Il est nécessaire de ré-échantillonner ces signaux avant la modélisation autorégressive (la FDTD produit des signaux sur-échantillonnés en temps). On peut
facilement démontrer [38] qu'on peut multiplier la période d'échantillonnage par
un facteur k tel que :
k =
1
2 f max ∆t FDTD
(3.8)
Ce ré-échantillonnage permet d'améliorer la précision fréquentielle et de simplifier grandement les modèles AR. Pour le modèle suivant, nous avons utilisé
k=100.
Avec un modèle AR possédant les paramètres suivants : na=40, nb=30 et nk=17,
nous obtenons les résultats proposés à la figure 3.26.
144
Figure 3.26 Modélisation auto-régressive du fonctionnement d'un isolateur en guide d'ondes
rectangulaire
Ces résultats sont obtenus pour les paramètres suivants : H0=200 kA/m, Ms=30
kA/m et α=0,05. Dans le sens passant, le premier modèle auto-régressif donne
un résultat identique au paramètre de transmission obtenu par FFT. Dans le sens
bloquant, on note une différence entre les deux paramètres autour de la résonance. Le modèle AR pourrait encore être amélioré mais le but est ici de montrer
simplement que la modélisation auto-régressive permet de retrouver rapidement
les paramètres de transmission d'un isolateur. Les outils de Matlab permettent de
construire rapidement des modèles assez proches de la réalité et nous nous en
servirons pour l'isolateur coplanaire à résonance. En effet, pour cette structure,
la précision obtenue par FFT sera cette fois limitée et la modélisation autorégressive donnera de meilleurs résultats.
2.4
2.4.1
Introduction
Pour des raisons de temps de calcul, nous n'avons pu modéliser une
couche magnétique mince (de l'ordre de la dizaine de microns) en trois dimensions. Cette modélisation ne sera possible que si l'on utilise des moyens
informatiques plus importants. Nous avons cependant voulu montrer que l'on
pouvait mettre en évidence des effets non réciproques par FDTD pour des
configurations proches. Nous avons donc modélisé d'une part une ligne
coplanaire avec un substrat ferrite polarisé et d'autre part une ligne coplanaire
avec des barreaux de ferrite polarisés entre les conducteurs (structure de Wen).
145
En effet, dans une ligne coplanaire, l'énergie des signaux transmis est confinée
autour des conducteurs. Le fonctionnement global de l'isolateur doit donc être le
même pour une couche magnétique près des conducteurs ou pour un substrat
magnétique dont la partie éloignée des conducteurs n'a que très peu d'influence
sur la propagation. Par contre, l'épaisseur de la couche aura bien sûr une importance sur l'amplitude de l'effet observé. Cette influence sera à déterminer par la
suite avec le même code de calcul mais avec une machine plus performante.
2.4.2
La ligne coplanaire modélisée est identique à celle simulée dans la
seconde partie de ce mémoire. Elle est représentée sur la figure 3.27. Le nombre
d'étapes de simulation est fixé à 9500. Le maillage utilisé est un maillage nonuniforme. Le pas spatial longitudinal (direction (Ox)) est de 250 µm, les pas
spatiaux suivant les directions transversales (Oy) et (Oz) varient entre 30 et 250
µm.
Figure 3.27 Structure modélisée
Les formes temporelles des champs électriques Ez situés entre les conducteurs et
obtenus pour les deux coordonnées x1=4,8 mm et x2=35,7 mm sont données sur
la figure 3.28.
146
Figure 3.28 Formes temporelles du champ électrique
2.4.3
Effets non réciproques
Avec les modélisations 3D, nous pouvons maintenant juger des performances de l'isolateur en observant directement les paramètres de transmission
dans les deux sens. Ces paramètres sont donnés pour une longueur de ligne de
10 mm, les résultats obtenus par FFT sont présentés sur la figure 3.29.
Ces paramètres présentent une oscillation due à la forme temporelle tronquée
des signaux. Une modélisation auto-régressive (na=17 nb=10 nk=19 k=125) permet d'obtenir des paramètres sans oscillations (fig. 3.30). En effet, une fois le
modèle auto-régressif obtenu, on peut simuler la forme du signal pour une période de temps suffisante pour que celui-ci revienne à son état initial nul. L'obtention du spectre fréquentiel ne pose alors plus de problème.
Figure 3.29 Paramètres de transmission obtenus par FFT
147
Figure 3.30 Paramètres de transmission obtenus par modélisation auto-régressive
(H0=250 kA/m, Ms=30 kA/m, α=0,1)
En ce qui concerne l'aspect physique du résultat, on note que l'isolation est faible car la valeur de l'aimantation à saturation du matériau est peu élevée (Ms=30
kA/m est équivalente à l'aimantation d'une poudre magnétique).
Si l'on fait varier la valeur du champ magnétique polarisant, on décale la fréquence centrale de l'effet non réciproque de la même façon que pour les structures en guides d'ondes (fig. 3.31).
Figure 3.31 Paramètres de transmission obtenus par modélisation auto-régressive
(H0=350 kA/m, Ms=30 kA/m, α=0,1)
D'autre part, on peut jouer sur la valeur de l'aimantation à saturation du matériau
pour augmenter l'isolation du dispositif (fig. 3.32).
148
Figure 3.32 Pertes d'insertion et isolation en fonction de Ms
(H0=200 kA/m, α=0,1)
On note cependant sur la figure 3.32 que les pertes d'insertion augmentent aussi
en fonction de l'aimantation à saturation. Elles sont bien plus importantes que
pour les résultats expérimentaux obtenus pour la configuration de Wen. Nous
avons donc effectué des simulations pour cette structure (voir fig 3.18). Les barreaux de ferrite utilisés mesurent 120 µm de hauteur et 300 µm de largeur. La
moitié de leur hauteur est enfouie dans le substrat. Les autres paramètres de la
ligne sont inchangés. Les résultats sont présentés à la figure 3.33.
Figure 3.33 Pertes d'insertion et isolation en fonction de Ms
(H0=200 kA/m, α=0,1), configuration de Wen
Ces premiers résultats qui seront complétés très rapidement montrent que les
pertes d'insertion sont plus faibles pour cette configuration. On observe cependant que l'isolation est moins importante que dans la structure à substrat ferrite.
Une configuration optimale du matériau magnétique doit donc être définie afin
de réduire les pertes d'insertion tout en conservant une isolation élevée.
149
Conclusion
Dans cette dernière partie, nous avons appliqué notre outil de modélisation FDTD à un isolateur coplanaire à résonance. Nous avons contourné la difficulté majeure des temps de calculs très importants par deux moyens.
Le premier est l'utilisation d'un maillage en deux dimensions seulement. Dans la
mesure où ce type de maillage ne permet pas de modéliser les paramètres de
transmission, nous avons utilisé la notion de taux d'ellipticité du champ magnétique. Il a en effet été démontré que ce paramètre constituait une mesure de l'efficacité du composant. Une étude paramétrique a ainsi pu être menée. Elle a
permis de mettre en évidence les principaux paramètres influençant le comportement du dispositif. La fréquence de travail et la largeur des fentes sont deux
paramètres essentiels augmentant le taux d'ellipticité. D'autre part, les substrats
qui peuvent être utilisés sont soit l'alumine dans le cadre d'une miniaturisation
du dispositif, soit un semi-conducteur (Si, GaAs, Si poreux) pour une intégration. Leurs permittivités étant relativement faibles, il peut être utile d'ajouter une
fine couche de diélectrique à plus forte permittivité afin d'augmenter le taux
d'ellipticité. L'épaisseur nominale de cette couche reste à déterminer.
Le second moyen de limiter les temps de calculs est l'utilisation de la technique
d'identification de système propre au traitement du signal. Pour l'isolateur coplanaire à résonance, elle constitue une alternative intéressante à la transformée
de Fourier pour obtenir des paramètres de transmission sans oscillations. Nous
avons ainsi pu mettre en évidence la propagation non réciproque dans cette
structure en conservant des temps de calcul raisonnables. L'étude qui a été menée a permis, en outre, de focaliser notre attention sur les pertes d'insertion importantes du dispositif.
150
Conclusion
Conclusion
L'objectif de ce travail, réalisé sous la cotutelle des laboratoires LPM et
DIOM, tenait en trois points principaux : développement d'une méthode de modélisation permettant de simuler des dispositifs non-réciproques, validations de
cette méthode puis application à un isolateur coplanaire à résonance. Ce dispositif est développé expérimentalement par ces deux laboratoires. Pour effectuer ce
travail, nous avons choisi la méthode FDTD. Celle-ci est en effet indépendante
de la géométrie des structures à modéliser, elle gère les matériaux dispersifs et
va inévitablement progresser parallèlement aux ressources informatiques.
Nous avons présenté dans la première partie de ce mémoire les notions physiques essentielles à la compréhension du fonctionnement des isolateurs à résonance. Nous nous sommes ensuite intéressés aux différentes technologies permettant de les réaliser. La structure de Wen semble être la plus apte à être
intégrée sur une puce silicium. Dans le cadre de cette intégration, le problème
expérimental le plus important à résoudre est l'obtention d'un matériau magnétique déposé sur une ligne coplanaire. Ce matériau doit, en effet, conserver des
propriétés magnétiques proches du matériau massif. À l'heure actuelle, le laboratoire DIOM est capable de déposer des couches magnétiques par pulvérisation
cathodique radiofréquence. Le problème est de pouvoir les caractériser précisément et d'affiner la géométrie de l'isolateur pour améliorer son efficacité. Un
circuit de polarisation magnétique permettant de polariser précisément et uniformément l'ensemble du matériau magnétique de l'isolateur doit aussi être
conçu.
La modélisation du composant doit nous permettre d'optimiser l'ensemble du
processus de développement. Après avoir justifié les choix de la méthode FDTD,
nous nous sommes attachés à développer et à valider un code de calcul. Ces validations, entreprises sur deux types de modélisation (3D et 2D ½), ont montré
que l'on pouvait obtenir des résultats dont la précision dépend essentiellement
du pas de maillage utilisé. Le choix de la taille des cellules élémentaires étant
fonction des ressources informatiques disponibles, la méthode FDTD possède
indubitablement une marge de progression importante. Ces premières simulations nous ont aussi permis de montrer la difficulté de modéliser des matériaux
magnétiques dispersifs à la fréquence de gyrorésonance. À notre connaissance,
personne n'avait mis en évidence grâce à la FDTD des effets non réciproques
dans des isolateurs au voisinage de la gyrorésonance.
151
Conclusion
Dans la dernière partie de cette thèse, nous avons appliqué notre code de calcul à
un isolateur coplanaire à résonance. La numérisation des différentes configurations est assurée par un mailleur développé spécifiquement pour les dispositifs
non réciproques.
L'étude paramétrique qui a été menée en 2D ½ a permis de déterminer l'influence de plusieurs facteurs sur l'efficacité du dispositif. L'importance de la
géométrie de la ligne et de la fréquence de travail a ainsi été mise en évidence.
D'autres paramètres telle que la présence d'une couche diélectrique ont aussi été
étudiés. L'ensemble des résultats qui ont été obtenus doit désormais être
confronté avec d'autres modélisations afin de préciser encore la configuration
optimale pouvant être réalisée. En outre, parallèlement aux simulations, nous
avons détaillé les différentes contraintes technologiques correspondant aux paramètres étudiés. Les problèmes inhérents à la température de recuit du matériau
magnétique et au circuit de polarisation doivent être solutionnés.
Nous avons ensuite proposé des modélisations 3D mettant en évidence les effets
non réciproques de cette structure. La méthode d'identification de système qui a
été utilisée constitue une alternative intéressante à la transformée de Fourier
pour l'analyse des paramètres fréquentiels. Ces simulations démontrent la capacité de notre code de calculs à modéliser des dispositifs non réciproques notamment à la fréquence de gyrorésonance.
Les perspectives de ce travail sont nombreuses. En premier lieu, il s'agit d'utiliser les ressources des centres informatiques universitaires pour disposer de possibilités de modélisation bien supérieures. Une étude paramétrique 3D sérieuse
ne peut être envisagée qu'à cette condition.
Les algorithmes développés pour les structures guides d'ondes et lignes coplanaires pourront aussi servir à la caractérisation des couches minces. Cette étude
qui nécessite un pas de maillage très fin n'a pu être effectuée avec notre matériel
actuel. Nous avons cependant montré qu'elle était tout à fait envisageable. La
mise en place d'abaques avec l'aide des simulations numériques peut remplacer
avantageusement des calculs analytiques très complexes.
Ce code de calcul peut aussi être associé à des algorithmes génétiques pour optimiser les dispositifs non réciproques. Ces algorithmes gèrent automatiquement
les variations des différents paramètres et donnent comme résultat une configuration optimale. De plus, l'ajout de conditions limites telles que les PML semble
indispensable notamment pour la modélisation des circulateurs.
152
Conclusion
Dotée de ces différents atouts, le code de calcul FDTD que nous avons développé peut sans aucun doute aider à résoudre de nombreux problèmes liés à l'intégration de composants passifs non réciproques.
153
Annexes
Annexes
154
Annexes
Annexe I
Équations FDTD des champs
électromagnétiques
1.
EXPRESSIONS DES DIFFÉRENTES COMPOSANTES DES
CHAMPS ÉLECTROMAGNÉTIQUES POUR UN MILIEU LINÉAIRE,
ISOTROPE ET NON DISPERSIF DANS UN REPÈRE CARTÉSIEN (σ*
REPRÉSENTE LA CONDUCTIVITÉ MAGNÉTIQUE)
n
H x (i, j ,k )
*

σ i , j , k ∆t

−
1

2µ i , j , k
= 
*

σ i , j , k ∆t

+
1

2µ i , j , k



∆t




µ i, j ,k
 H n -1
+
*
 x (i, j ,k )

σ i , j , k ∆t


+
1


2µ i , j , k




n −1 / 2
n −1 / 2
n −1 / 2
  E n −1 / 2
E z ( i , j +1 , k ) − E z ( i , j , k )
− E y (i, j ,k )
  y ( i , j , k +1 )
−

∆z
∆y







(I.1)
n
H y (i, j ,k )
*

σ i , j , k ∆t

−
1

2µ i , j , k
= 
*

σ i , j , k ∆t

+
1

2µ i , j ,k



∆t




µ i, j ,k
 H n -1
+
*
 y (i, j ,k )

σ i , j , k ∆t


+
1


2µ i , j , k




n −1 / 2
n −1 / 2
n −1 / 2
  E n −1 / 2
E x ( i , j , k +1 ) − E x ( i , j , k )
− E z (i, j ,k )
  z ( i +1 , j , k )
−

∆x
∆z







(I.2)
n
H z (i , j ,k )
*

σ i , j , k ∆t

1
−

2µ i , j , k
= 
*

σ i , j , k ∆t

1
+

2µ i , j , k



∆t




µ i, j ,k
 H n -1
+
*
 z (i, j ,k )

σ i , j , k ∆t


1
+


2µ i , j , k




n −1 / 2
n −1 / 2
n −1 / 2
  E n −1 / 2
E y ( i +1 , j , k ) − E y ( i , j , k )
− E x (i, j ,k )
  x ( i , j +1 , k )
−

∆y
∆x







(I.3)
n +1/2
E x (i, j ,k )

∆t
σ
 1 − i, j ,k

2ε i , j , k
= 

σ i , j , k ∆t
1 +

2ε i , j , k



∆t




ε i, j ,k
 E nx -(1/2

i, j ,k ) +


σ i , j , k ∆t

1 +


2ε i , j , k




n
n
 H nz ( i , j , k ) − H nz ( i , j −1, k )
H y ( i , j , k ) − H y ( i , j , k −1 )

−

∆z
∆y







(I.4)
155
Annexes
n +1/2
E y (i, j ,k )

∆t
σ
 1 − i, j ,k

2ε i , j , k
= 

σ i , j , k ∆t
1 +

2ε i , j , k



∆t




ε
i, j ,k
 E ny -(1/2

i, j ,k ) +


σ i , j , k ∆t

1 +


2ε i , j , k




n
n
 H nx ( i , j , k ) − H nx ( i , j , k −1 )
H z ( i , j , k ) − H z ( i −1 , j , k )

−

∆x
∆z







(I.5)
n +1/2
E z (i, j ,k )

∆t
σ
 1 − i , j ,k

2ε i , j , k
= 

σ i , j , k ∆t
1 +

2ε i , j , k



∆t




ε i, j ,k
 E nz -(1/2

i, j ,k ) +


σ i , j , k ∆t

1 +


2ε i , j , k




n
n
 H ny ( i , j , k ) − H ny ( i −1, j , k )
H x ( i , j , k ) − H x ( i , j −1 , k )

−

∆x
∆y







(I.6)
156
Annexes
2.
ÉQUATIONS UTILISÉES POUR LE CODE DE CALCULS « 2D
CYLINDRIQUE »
Les conducteurs sont considérés parfaits et le milieu est l’air.
n−1
n
Hφ (i, j) = Hφ (i, j) +
∆t
µ0∆r
[E
n−1 / 2
z
n−1 / 2
(i + 1, j) − Ez
n−1 / 2
(i, j) + Er
n−1 / 2
(i, j) − Er
]
(i, j + 1)
(I.7)
n +1 / 2
Er
n −1 / 2
(i , j ) = E r
(i , j ) −
[H
∆z
∆t
ε0
n
φ
n
( i , j ) − H φ ( i , j − 1)
]
(I.8)
n+1 / 2
Ez
n−1 / 2
(i, j ) = Ez
(i, j ) −
[H (i, j) × i − H (i − 1, j) × (i − 1)]
ε ∆z(i − 0.5)
∆t
n
n
φ
φ
0
(I.9)
157
Annexes
3.
ÉQUATIONS DES CHAMPS ÉLECTROMAGNÉTIQUES POUR
UN MAILLAGE NON-UNIFORME
On considère que la conductivité magnétique est nulle.
n -1
x (i, j , k )
 ∆t
−
 µi , j , k

 E y ( i , j , k + 1) − E y ( i , j , k )
E z ( i , j + 1, k ) − E z ( i , j , k )

−

∆z k
∆y j


 (I.10)


n -1
y (i , j , k )
 ∆t
−
 µi , j , k

 E z ( i +1, j , k ) − E z ( i , j , k )
E x ( i , j , k + 1) − E x ( i , j , k )

−


∆xi
∆z k


 (I.11)


 ∆t
n
n -1
Hz ( i , j , k ) = Hz ( i , j , k ) + 
 µi , j , k

 E x ( i , j +1, k ) − E x ( i , j , k )
E y ( i + 1, j , k ) − E y ( i , j , k )

−

∆y j
∆xi


 (I.12)


H
n
x (i, j , k )
H
n
y (i, j , k )
n+1/2
x ( i , j ,k )
E
=H
=H
n −1 / 2
n −1 / 2
n −1 / 2
n −1 / 2
n −1 / 2
n −1 / 2
n −1 / 2
n −1 / 2
n −1 / 2
n −1 / 2
n −1 / 2
n −1 / 2
n
n
n
n
 2εi , j ,k − σi , j ,k ∆t  n-1/2

 Hz (i , j ,k ) − Hz (i , j−1,k ) Hy (i , j ,k ) − Hy (i , j ,k−1) 
2∆t




=
−
−
E

 2εi , j ,k + σi , j ,k ∆t  x (i , j ,k )  2εi , j ,k + σi , j ,k ∆t 
h
hzk
y
j





(I.13)
n +1/2
y (i , j , k )
E
n
n
n
n

 Hx (i, j , k) − Hx (i , j , k −1) Hz (i, j , k) − Hz (i −1, j , k) 
 2εi, j , k − σi, j , k ∆t  n-1/2
2∆t




E
−
−
=
 2εi, j , k + σi, j , k ∆t  y (i, j , k)  2εi, j , k + σi , j , k ∆t 
hzk
hxi





(I.14)
n+1/2
z (i, j , k)
E
 2εi, j, k − σi, j, k∆t  n-1/2
E
=
 2εi, j, k + σi, j, k∆t  z (i, j, k)


n
n
n
n

 Hy (i, j, k) − Hy (i −1, j, k) Hx (i, j, k) − Hx (i, j −1, k) 
2∆t

−
−
 2εi, j, k + σi, j, k∆t 
h
hy j
x
i



(I.15)
158
Annexes
Annexe II
Traitement de l'interface entre deux
milieux diélectriques
À l’interface de 2 milieux diélectriques, le calcul des composantes du
champ électrique fait intervenir des composantes magnétiques discontinues. On
ne peut donc appliquer directement les équations aux différences finies [80].
z
Hy(k)
(1) ε1
∆z/2
∆z/2
(2) ε2
Ex(k)
x
Hy(k-1/2)
Hy(k-1)
Figure II.1 Interface entre deux milieux diélectriques
Si l’on considère le cas présenté sur la figure II.1, on peut écrire pour le
champ électrique dans le premier diélectrique :
∂E
∂t
=
1
ε1
∇ ∧H
(II.1)
et pour le champ électrique dans le second diélectrique :
∂E
∂t
=
1
ε2
∇ ∧H
(II.2)
Soit pour la composante Ex dans (1) :
ε1
 ∂H y
=
∂t  ∂z
∂E x

∂H z
 −

∂y
1
(II.3)
159
Annexes
et pour la composante Ex dans (2) :
ε2
 ∂H y
=
∂t  ∂z
∂E x

∂H z
 −

∂y
2
(II.4)
Hz étant continue au niveau de l’interface (champ magnétique normal), le calcul
de sa dérivée ne pose pas de problème. Par contre, la discontinuité de Hy à
l’interface nous oblige à évaluer sa dérivée séparément dans les deux milieux [80].
Si l’on introduit la variable intermédiaire Hy(k-1/2) (voir fig. II.1), on peut approcher les dérivées de chaque côté de l’interface par :
 ∂H y

 ∂z

 ∂H y

 ∂z




1

1
H y  k −  − H y (k − 1)

2 

=
∆z



2
2

1
H y (k ) − H y  k − 

2 

=
∆z
(II.5)
(II.6)
2
La somme des équations (II.3) et (II.4) donne :
(ε
1
+ ε2 )
∂Ex  ∂H y
=
∂t  ∂z
  ∂H y
 +
  ∂z
1 

∂H
 −2 z

∂y
2
(II.7)
Et en utilisant (II.5) et (II.6), on obtient finalement :
ε 1 + ε 1 ∂E x
2
∂t
=
∂H y
∂z
−
∂H z
∂y
(III.8)
160
Annexes
Annexe III
Modèles numériques pour les
paramètres fréquentiels d'une ligne
coplanaire
Les expressions suivantes sont issues de [26].
Figure III.1 Notations
La permittivité effective est donnée par :
ε re ( f ) =
ε re ( 0 ) +
εr −
ε re ( 0 )
1 + G ( f / f TE )
−1.8
(III.1)
où :
G = e
u ln( 2 a /( b − a )) + v
(III.2)
u = 0.54 − 0.64 p + 0.015 p
v = 0.43 − 0.86 p + 0.54 p
2
2
p = ln( 2 a / h )
(III.3)
(III.4)
(III.5)
fTE est la fréquence de coupure pour le mode d'onde de surface TE0, on a :
f TE =
c
4h ε r − 1
(III.6)
161
Annexes
La précision de cette formule est de 5 % pour des paramètres compris dans les
limites suivantes :
0,1<W/h<5 0,1<S/W<5
1,5<εr<50 0<f/fTE<10
εre(0) est la valeur quasi-statique de εre, on a :
ε re = 1 +
k3 =
k4 =
ε r − 1 K (k 4 ) K ' (k3 )
2
(III.7)
K ' (k 4 ) K (k 3 )
2
2
2
/ c0
a
1 − b / c0
b
1− a
(III.8)
2
2
2
2
2
sinh(πa / 2 h )
1 − sinh (πb / 2 h ) / sinh (πc / 2 h )
sinh(πb / 2 h )
1 − sinh (πa / 2 h ) / sinh (πc / 2 h )
(III.9)
k' =
K (k )
K ' (k )
1− k
=
2
(III.10)
[(
ln 2 1 +
π
) (
k /21−
k'
)]
(III.11)
pour 0 ≤ k ≤ 0 , 707
K (k )
K ' (k )
=
1
π
[(
ln 2 1 +
) (
k / 21−
k'
)]
(III.12)
pour 0 , 707 ≤ k ≤ 1
L'impédance est donnée, en première approximation, par :
a
Z0 ( f ) =
Z0
ε re ( f )
(III.13)
162
Annexes
où :
a
Z0 =
1
cC
(III.14)
a
c est la vitesse de la lumière dans le vide et
C
a
= 4ε 0
K (k3 )
K ' (k3 )
(III.15)
163
Annexes
Annexe IV
Méthode du produit de convolution
pour la modélisation de ferrites
Cette méthode consiste à utiliser la perméabilité du ferrite établie dans le domaine fréquentiel. Elle est donnée dans [48].
On a dans le domaine fréquentiel ([µ(ω)] représente le tenseur de perméabilité
fréquentiel) :
B(ω) = [µ(ω)].H(ω)
(IV.1)
Ainsi, on obtient dans le domaine temporel (l'opérateur ⊗ représente le produit
de convolution) :
B(t) = [µ(t)]⊗H(t)
(IV.2)
La perméabilité percussionnelle [µr(t)] est obtenue par une transformée de Fourier inverse de [µr(ω)]. On a :
•
Pour un champ polarisant suivant Oz :
 µ (t )
[µ r ( t ) ] =  − κ ( t )
 0
•
κ (t )
µ (t )
0
0 
0 

δ ( t ) 
(IV.3)
Pour un champ polarisant suivant Oy :
 µ (t )
[µ r ( t ) ] =  0
 − κ ( t )
0
δ (t )
0
κ (t ) 
0 

µ ( t ) 
(IV.4)
164
Annexes
•
Pour un champ polarisant suivant Ox :
δ ( t )
[µ r ( t ) ] =  0
 0
avec
0 
κ (t ) 

µ ( t ) 
0
µ (t )
− κ (t )
µ(t)=δ(t)+χ(t)
χ (t ) =
ωm
− αν
ν 0e
ω0
κ (t ) =
ωm
− αν
ν 0e
ω0
(IV.5)
(IV.6)
0t
0t
[α cos ν
[cos ν
0
t + sin ν 0 t ]u ( t )
(IV.7)
t − α sin ν 0 t ]u ( t )
(IV.8)
0
δ(t) : Distribution de Dirac
ν0 =
ω0
1+α
2
(IV.9)
u(t) : échelon unité
On obtient dans un repère cartésien :
•
Pour un champ polarisant suivant Oz :
B x (t )
µ0
B y (t )
µ0
B z (t )
µ0
= H x (t ) + χ (t ) ⊗ H x (t ) + κ (t ) ⊗ H y (t )
(IV.10)
= H y (t ) − κ (t ) ⊗ H x (t ) + χ (t ) ⊗ H y (t )
(IV.11)
= H z (t )
(IV.12)
165
Annexes
•
Pour un champ polarisant suivant Oy :
B x (t )
= H x (t ) + χ (t ) ⊗ H x (t ) + κ (t ) ⊗ H z (t )
(IV.13)
= H y (t )
(IV.14)
= H z (t ) − κ (t ) ⊗ H x (t ) + χ (t ) ⊗ H z (t )
(IV.15)
µ0
B y (t )
µ0
B z (t )
µ0
•
Pour un champ polarisant suivant Ox :
B x (t )
= H x (t )
(IV.16)
= H y (t ) − κ (t ) ⊗ H z (t ) + χ (t ) ⊗ H y (t )
(IV.17)
= H z (t ) + κ (t ) ⊗ H y (t ) + χ (t ) ⊗ H z (t )
(IV.18)
µ0
B y (t )
µ0
B z (t )
µ0
Pour un champ polarisant suivant Oy, on obtient la forme intégrale suivante :
B x (t )
µ0
= H x (t ) +
t
∫ χ (τ ) H
x
( t − τ ) dτ +
0
B z (t )
µ0
t
z
( t − τ )dτ
(IV.19)
x
( t − τ )dτ
(IV.20)
0
t
= H z (t ) +
∫ κ (τ ) H
t
∫ χ (τ ) H
z
( t − τ ) dτ −
0
∫ κ (τ ) H
0
On discrétise ensuite ce système au sens des différences finies. Pour la composante Bx, on a :
n
Bx
µ0
n∆t
= H x (t ) +
∫ χ (τ ) H
0
n∆t
x
( n∆t − τ ) dτ +
∫ κ (τ ) H
z
( n∆t − τ )dτ
(IV.21)
0
On obtient une expression de la même forme pour By. Ces expressions sont implémentées dans le code FDTD. Plusieurs méthodes permettent de calculer les
produits de convolution en minimisant le nombre de variables impliquées.
166
Annexes
Annexe V
Propriétés des principaux substrats
utilisés en hyperfréquences [30]
CoeffiCoefficient
cient de
Conducd'exten- températivité
sion
ture de ε r
thermithermi∆ε r /ε r ∆T
que spéque lien ppm/K
cifique
néaire (à
Ty Rema
KTh
25°C)
pe rques
en W/cm
∆l/l/∆T
K
en
ppm/K
0,37
6,3
+136
In
Permittivité
relative
εr
Facteur
de pertes diélectriques (à
10 GHz,
25°C)
tan δε
Al2O3
(pur à
99,5%)
9,8
0,0001
Al2O3
(pur à
96%)
9,4
0,001
0,35
6,4
Saphir
9,4;1,6
0,0001
0,42
6
+110;+14
0
In
Quartz
3,78
0,0001
0,017
0,55
+13
In
Verre
(Corning
Glass
7059)
5,75
0,0036
0,012
4,6
BeO
(98%)
6,3
0,006
2,1
6,1
+107
In
Oxyde
de titane TiO2
85
0,004
0,05
7,5
-575
In
BaTi4O
9
37
0,0005
(6 GHz)
0,02
9,4
-26
In
Zirko-
20-40
0,0002
5
-130;+100
In
Matériau
In
anisot
rope
In
Sa
poussière
est un
poison
167
Annexes
nate
AsGa
(haute
résistivité)
12,9
0,002
0,46
5,7
Se
mi
Silicium
(ρ=103 Ω
.cm)
11,9
0,015
1,45
4,2
Se
mi
Ferrite
9-16
0,001
PTFE
2,1
0,0003
0,002
106
+350
D
polyolefin
(verre
renforcé)
2,32
0,0007
0,005
108
+480
D
Fe
température
de
Curie
100500°C
Tableau V.1 Propriétés des principaux substrats utilisés en hyperfréquences
In = matériau inorganique, Semi = semi-conducteur, Fe = matériau ferromagnétique, D = Diélectrique plastique.
168
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Contribution au développement d`un isolateur coplanaire à

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